統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識之?dāng)?shù)據(jù)集中趨勢的描述

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數(shù)據(jù)集中趨勢的描述

算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)，又稱均值，分為簡約算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。就是將一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

計(jì)算公式：

1.簡約算術(shù)平均，適用：主要用于未分組的原始數(shù)據(jù)。

設(shè)一組數(shù)據(jù)為*1，*2，...，*n，那么簡約的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：

2.加權(quán)算術(shù)平均，適用：主要用于處理經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)。

設(shè)原始數(shù)據(jù)為被分成K組，各組的組中的值為*1，*2，...，*k，各組的頻數(shù)分別為f1，f2，...，fk，那么加權(quán)算術(shù)平均數(shù)為：

應(yīng)用問題：

均值是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢測度值，樣本均值受樣本數(shù)據(jù)影響最小，具有肯定的穩(wěn)定性，因此，在抽樣推斷中均值是用于推斷總體的一個(gè)最重要指標(biāo)，但還需要留意以下幾個(gè)問題：(1)當(dāng)數(shù)據(jù)中有極大值或微小值存在時(shí)，均值會受到很大影響，其結(jié)果會掩蓋數(shù)據(jù)的真實(shí)特征，使均值失去代表性。(2)運(yùn)用分組數(shù)據(jù)計(jì)算總平均數(shù)時(shí)，由于各組頻率對平均數(shù)的影響，在對總平均數(shù)進(jìn)行對比時(shí)，要留意結(jié)合組平均數(shù)補(bǔ)充說明。

幾何平均數(shù)(geometricmean)，是指n個(gè)觀測值連乘積的n次方根。幾何平均數(shù)主要用于各種比率的平均，尤其在計(jì)算動(dòng)態(tài)比率的平均時(shí)特別適合。

計(jì)算公式：

設(shè)一組數(shù)據(jù)為*1，*2，，*n，且均大于0，那么幾何平均數(shù)*g為：

應(yīng)用舉例：

某廠流水作業(yè)的裝配線有4道工序，各工序的產(chǎn)品合格率分別是85%，97%，94%，92%，求4道工序平均產(chǎn)品合格率。計(jì)算結(jié)果：

其他應(yīng)用：

幾何平均數(shù)在肯定場合下，還可以用來說明數(shù)據(jù)的集中程度。例如，有兩組數(shù)字分別是18，20，22和15，20，25，假如分別計(jì)算兩組數(shù)字的均值和幾何平均數(shù)，可以得到兩組數(shù)據(jù)的均值都是20，而幾何平均數(shù)分別是19.93和19.57，可以看到第一組數(shù)據(jù)更靠近20。

眾數(shù)(Mode)，是一組數(shù)據(jù)中涌現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平。眾數(shù)表示的是變量值明顯集中的數(shù)值點(diǎn)。假如在一組數(shù)據(jù)中，只有一個(gè)變量值涌現(xiàn)次數(shù)最多，那么變量值即為眾數(shù);假如有兩個(gè)(或多個(gè))變量值涌現(xiàn)次數(shù)相同并最多，那么，兩個(gè)(或多個(gè))變量值都是眾數(shù);假如有兩個(gè)(或多個(gè))變量值涌現(xiàn)次數(shù)最多但不相同，那么涌現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值是主要眾數(shù)，其他為次要眾數(shù)。當(dāng)然數(shù)據(jù)中變量值涌現(xiàn)的次數(shù)都相同，那么該數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。

眾數(shù)的應(yīng)用問題：

眾數(shù)在某些場合具有不可替代的作用。例如，人們穿著的服裝和鞋帽寸嗎對于生產(chǎn)廠商特別重要，但用均值計(jì)算的服裝和鞋帽的數(shù)據(jù)可能是不存在的，生產(chǎn)廠商只有根據(jù)服裝和鞋帽尺寸的眾數(shù)生產(chǎn)才有意義。

眾數(shù)不僅可以代表數(shù)值型變量的集中趨勢，還可以代表非數(shù)值類型變量的集中趨勢。例如，房地產(chǎn)商關(guān)懷那種"格局'房屋銷售最多;飲料廠商關(guān)懷哪一種"顏色'的飲料銷售最多;燈具廠商關(guān)懷哪一種"造型'的燈具銷售最多等等。

總數(shù)還有一個(gè)作用，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)涌現(xiàn)兩個(gè)眾數(shù)時(shí)，他提示我們應(yīng)懷疑這樣的數(shù)據(jù)是否來自兩個(gè)不同的總體。例如，將兩個(gè)廠家生產(chǎn)的燈泡混在一起，檢查它們的壽命，假如兩個(gè)廠家生產(chǎn)燈泡的.質(zhì)量有很大差別，那么會發(fā)覺燈泡的壽命會涌現(xiàn)兩個(gè)眾數(shù)。

最末，眾數(shù)的實(shí)際的代表意義只有在數(shù)據(jù)足夠多，且有明顯的集中趨勢時(shí)，才能表達(dá)得最好。否那么，不宜用眾數(shù)代表集中趨勢。

中位數(shù)(Median)，代表一個(gè)樣本、種群或概率分布中的一個(gè)數(shù)值，其可將數(shù)值集合劃分為相等的上下兩部分。對于有限的數(shù)集，可以通過把全部觀測值高低排序后找出正中間的一個(gè)作為中位數(shù)。假如觀測值有偶數(shù)個(gè)，通常取最中間的兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。

中位數(shù)的應(yīng)用問題：

中位數(shù)不受個(gè)別極端值的影響，表現(xiàn)出穩(wěn)定的特性。這一特點(diǎn)使其在數(shù)據(jù)分布有較大的偏斜時(shí)，能夠保持對數(shù)據(jù)一般水平的代表性，因此常常運(yùn)用。例如，有一組5個(gè)人的抽樣資料，它們在一周內(nèi)看電視的時(shí)間分別是1，3，7，9，30小時(shí)。假如用均值代表5人平均看電視時(shí)間，有均值*=10小時(shí)，用這個(gè)數(shù)據(jù)代表5個(gè)人平均每周看電視的時(shí)間顯著偏大，由于有30這個(gè)數(shù)據(jù)的影響。而用中位數(shù)*=7代表5個(gè)人平均每周看電視的時(shí)間，就要比用均值具有代表性。中位數(shù)另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是方便。在某些場合，不能計(jì)算均值時(shí)，中位數(shù)就是一個(gè)