2023年高考數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷文科）真題詳細(xì)解讀及評(píng)析

2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國(guó)甲卷文科）

適用省份

四川、廣西、貴州、西藏

試卷總評(píng)

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷全面考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析

等學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思維，發(fā)揮出數(shù)學(xué)學(xué)科在

人才選拔中的重要作用。

一、題型與分值分布

題型：（1）單選題12道，每題5分共60分；（2）填空題4道，每題5分共20分；（3）解答題5

道，每題12分共60分；（4）選做題2道，每題10分。

二、題目難度和復(fù)雜度

難度級(jí)別具體試題總分值整體評(píng)價(jià)

★☆☆☆☆第1題、第2題、25分

第4題、第13題、

第15題

第3題、第5題、42分

第6題、第14題、整體試卷難度偏

第17題、第22題、易，整體復(fù)雜度

第23題不高，綜合知識(shí)

★★★☆☆第7題、第8題、44分點(diǎn)大多都是2個(gè)

第9題、第10題、左右

第18題、第19題

★★★★☆第11題、第20題、29分

第21題

★★★★★第12題、第16題10分

三、知識(shí)點(diǎn)覆蓋詳細(xì)情況說(shuō)明

知識(shí)點(diǎn)題型題目數(shù)量總分值整體評(píng)價(jià)

^≡-單選題1個(gè)15分

復(fù)數(shù)單選題1個(gè)15分

平面向量單選題1個(gè)15分

程序框圖單選題1個(gè)15分主干知識(shí)考查

數(shù)列單選題1個(gè)210分全面，題目數(shù)

填空題1個(gè)量設(shè)置均衡；

三角函數(shù)單選題1個(gè)217分與課程標(biāo)準(zhǔn)保

解答題1個(gè)持了一致性。

概率與統(tǒng)計(jì)單選題1個(gè)217分

解答題1個(gè)

--

立體幾何單選題1個(gè)322^

填空題1個(gè)

解答題1個(gè)

圓錐曲線單選題2個(gè)322分

解答題1個(gè)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單選題2個(gè)427分

填空題1個(gè)

解答題1個(gè)

極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題1個(gè)110分

--

不等式填空題1個(gè)215分

（線性規(guī)劃問(wèn)

題）

選做題1個(gè)

四、高考試卷命題探究

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在命制情境化試題過(guò)程中，通過(guò)對(duì)閱讀題的分析，可以發(fā)現(xiàn)今年的高考命題在

素材使用方面，對(duì)文字?jǐn)?shù)量加以控制，閱讀理解難度也有所降低；在抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題方面，力圖設(shè)置合理的

思維強(qiáng)度和抽象程度；在解決問(wèn)題方面，通過(guò)設(shè)置合適的運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算量，力求使情境化試題達(dá)到試題

要求層次與考生認(rèn)知水平的契合與貼切。

一是創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境。數(shù)學(xué)試題情境取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問(wèn)題，貼近學(xué)生實(shí)際，具有現(xiàn)實(shí)意義，

具備研究?jī)r(jià)值。如第4題，取材于學(xué)校文藝活動(dòng)，貼近考生，貼近生活，意在引導(dǎo)學(xué)生積極參加文藝活動(dòng)，

全面發(fā)展。

二是設(shè)置科學(xué)研究情境。科學(xué)研究情境的設(shè)置不僅考查數(shù)學(xué)的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力，而且引導(dǎo)考生樹(shù)

立理想信念，熱愛(ài)科學(xué)，為我國(guó)社會(huì)主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn)。如第19題，研究臭氧環(huán)境對(duì)小白鼠生長(zhǎng)的

影響，將小白鼠隨機(jī)分配到試驗(yàn)組和對(duì)照組，利用成對(duì)數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。

五、高考復(fù)習(xí)建議

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)

用能力，在日常試題訓(xùn)練中應(yīng)合理控制難度，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接，促進(jìn)考

教銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無(wú)效的學(xué)習(xí)。針對(duì)高三新一輪的復(fù)習(xí)，主要有以下幾點(diǎn)

建議。

一是突出基礎(chǔ)性要求。高考數(shù)學(xué)試卷在選擇題和填空題部分均設(shè)置多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，全面考查集合、復(fù)數(shù)、

平面向量、排列組合、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、幾何體的體積、直線和圓等內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全方

位覆蓋。同時(shí)，在解答題部分深入考查基礎(chǔ)，集中體現(xiàn)在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深刻理解和融

會(huì)貫通的應(yīng)用。如第5題，全面考查等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，以主干知識(shí)考查理性思維素養(yǎng)和運(yùn)算求解能

力。如第13題，全面考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，以主干知識(shí)考查理性思維素養(yǎng)和運(yùn)算求解能力。

二是彰顯綜合性要求。如第14題，是函數(shù)、三角函數(shù)的綜合題，深入考查函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的

奇偶性，可通過(guò)函數(shù)、三角函數(shù)奇偶性的定義求解。

三是體現(xiàn)創(chuàng)新性要求。如第12題，將三角函數(shù)的圖像和直線方程相結(jié)合，考查兩者交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，展示

函數(shù)圖象在解決問(wèn)題過(guò)程中的重要作用。

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷全面貫徹黨的二十大報(bào)告精神，落實(shí)高考內(nèi)容改革的要求，嚴(yán)格依據(jù)高中課程

標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性和綜合性，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，精選試題情境，加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，促進(jìn)學(xué)生提升科學(xué)

素養(yǎng)，引導(dǎo)全面發(fā)展，助推高中育人方式改革。

考情分析

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容考查點(diǎn)

~i-一-5--單選題≡有限集合中，求補(bǔ)集，求并集

25單選題復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

3-5-單選題平面向量平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量的加、減法、數(shù)量積的

坐標(biāo)運(yùn)算，求向量的夾角

45單選題概率古典概率的概率公式，組合問(wèn)題

5-5-~單選題等差數(shù)列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式

65單選題算法與程序框圖程序框圖模擬運(yùn)行

-7--5-單選題圓錐曲線橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式

-8~-5-單選題導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的切線問(wèn)題

95單選題圓錐曲線雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系，圓心到直線的

距離及圓半徑，求弦長(zhǎng)

105單選題立體幾何證明ABl平面PEC找高，分割體積法求體積

115單選題函數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用作差

法比較自變量的大小

125單選題三角函數(shù)與函數(shù)三角函數(shù)平移的性質(zhì)，畫(huà)圖，判斷三角函數(shù)與一

次函數(shù)交點(diǎn)數(shù)量

13-5-―填空題-等比數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，通項(xiàng)公式

145填空題函數(shù)與三角函數(shù)函數(shù)的奇偶性判斷，三角函數(shù)的奇偶性

15-5-填空題線性規(guī)劃線性規(guī)劃"截距”型最值問(wèn)題

165填空題立體幾何正方體的外接球、球的內(nèi)接正方形

1712解答題三角函數(shù)(1)余弦定理；

(2)面積公式以及恒等變換.

1812解答題立體幾何(1)線面、面面垂直問(wèn)題

(2)體積問(wèn)題

1912解答題概率與統(tǒng)計(jì)(1)直接根據(jù)均值定義求解；

(2)(i)列聯(lián)表；

(H)獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)

2012解答題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)判斷單調(diào)性；

(2)隱零點(diǎn)問(wèn)題

2112解答題圓錐曲線(1)求拋物線方程

(2)直線與拋物線相交，最值問(wèn)題.

2210選做題極坐標(biāo)與參數(shù)方程(1)直線參數(shù)方程的幾何意義；

(2)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化.

23-選做題—不等式(1)解含參的絕對(duì)值不等式，分類討論

(2)將絕對(duì)值函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，畫(huà)草圖，根據(jù)

面積列式，求參.

備考指津

1、強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無(wú)效

的學(xué)習(xí)。

2、學(xué)生應(yīng)認(rèn)識(shí)到低效的學(xué)習(xí)方式只會(huì)帶來(lái)無(wú)效的壓力和負(fù)擔(dān)，講究備考復(fù)習(xí)時(shí)效性，不斷鞏固階段性

復(fù)習(xí)成果。

3、合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接。

4、不管命題方向趨勢(shì)如何，重視對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和掌握永遠(yuǎn)是最重要的。不論題型、題量、難度如

何，透徹、全面地理解基礎(chǔ)概念，能夠用最基礎(chǔ)、樸素的方式使用基礎(chǔ)概念分析解決問(wèn)題是一切的基礎(chǔ)，

是能做對(duì)所有送分的基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)，是能著手分析難題的基礎(chǔ)，也是未來(lái)學(xué)習(xí)大學(xué)的專業(yè)知識(shí)和高等知識(shí)

的基礎(chǔ)。

5、不管命題方向趨勢(shì)如何，邏輯分析推理能力也是非常重要的?，F(xiàn)在的難題幾乎根本不會(huì)出現(xiàn)非常套

路化、模板化的陳年舊題，總是在想方設(shè)法地推陳出新。就算有舊題型，往往也都是簡(jiǎn)單的題目，不需要

什么特殊的方法也能做出來(lái)。

霏真題解讀

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題

一、單選題

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則NU(CUM)=()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【命題意圖】

本題考察有限集合中，求補(bǔ)集，求并集，難度：容易

【答案】A

【詳解】因?yàn)槿疷={1,2,3,4,5},集合M={l,4},所以CUM={2,3,5},

又N={2,5},所以ND(CUV)={2,3,5}

【知識(shí)鏈接】

I、集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖等；

2、集合的類型：有限集、無(wú)限集：

3、根據(jù)元素的特征判斷集合所表示的含義；

4、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系及Venn圖.

25(1÷i3)_()

'(2+i)(2-i)~

A.—1B.1C.1—iD.1+i

【命題意圖】

本題考察復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，難度：容易

【答案】C

【詳解】5(∣+F)q

1-i

(2+i)(2-i)5

【知識(shí)鏈接】

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)ZI=α+bi,Z2=c+di(。力Cd￡R),我們規(guī)定:

zι+z2=(o+0i)+(c+di)=(α+c)+(0+J)i;

Z2-zι=(c+di)?(α+0i)=(c-4)+(d-))i.

Z卜Z2=m+bi)(c+di)=(αc/6θ+Sc+α<∕)i;

Zlα+?i_(α+?i)(c-di)_ac+bdbc-ad

i(c+^∕i≠O).

?c÷di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2

3.已知向量α=(3,l),b=(2,2),則

1

A.B.叵cd

Γ717?f?￥

【命題意圖】

本題考察平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量的加、減法、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求向量的夾角，難度：較易

【答案】B

【詳解】因?yàn)棣?(3,1),6=(2,2),所以α+A=(5,3),α-b=(l,-l),

則,+0=J52+3?=?734,-?∣=>J↑÷1=y∣2,(々+人)(々一/?)=5xl+3x(-1)=2,

所以cos∕a+b.從一("")("叫一2_√I7

【知識(shí)鏈接】

1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)α=(x∣,χ),^=(x2,y2)>則α+g=(x∣+x2,y+必)，α-?=(x1-x2,yl-γ2)

λ-a=(λxl,λyiyH=JXl2+yj.

2、平面向量的數(shù)量積

（1）定義:已知兩個(gè)非零向量Z與［,它們的夾角為8,則數(shù)量4?B?COS6叫作Z與B的數(shù)量積（或內(nèi)積）,

記作屋兒即規(guī)

“?B=IdWcose.定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即。G=O

（2）向量的夾角

①定義:已知兩個(gè)非零向量［和M如右圖,作SX=Z,OB=β.MZAOB=^(0O≤^<I80O)

a`b

叫作Z與1的夾角,記作＜力了COSe=CoS<Q,Z?

②當(dāng)0=0。時(shí)，Z與%同向；當(dāng)0=180。時(shí)，Z與B反向；當(dāng)0=90。時(shí)，7與各垂直

3、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向Rλα=(χl,γ1).b=(x2,y2)`6為向量a與刃的夾角,則

(1)α=∣α∣?I^l?cos^=xlx2+yly2；

-7abXIX2+%必

(2)COSZel=cos<a,b>=-p?=/

⑵μHτ-Hj不7?G?

4.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則

這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為()

A.-B.-C.?D.I

6323

【命題意圖】

本題考察古典概率的概率公式，組合問(wèn)題，難度：容易

【答案】D

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C；=6件，其中這2名學(xué)

生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有C；C；=4,

42

所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為2=；.

63

【知識(shí)鏈接】

1、古典概型

具有以下特征的試驗(yàn)叫作古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.

⑴有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)：

(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

2、古典概型的概率公式

一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含〃個(gè)樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件A

的概率P(A)=K=W.

nτι(?β)

其中,〃(4)和分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

3、概率的性質(zhì)

性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有O≤P(4)W1?

性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(0=1,P(0)=O.

性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么尸(AUB)=P(A)+P(B).

性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=I-P(4),P(A)=LP(B).

性質(zhì)5:如果AU8,那么P(A)SP(2),由該性質(zhì)可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)?UAUQ,所以O(shè)SP(A)$1.

性質(zhì)6:設(shè)人8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,有P(AUB)=P(Λ)+P(β)-P(A∩B).

4、排列與組合

名稱定義

排列斛H并按照一定的順序排成一列,叫作從"個(gè)元素中取出〃，個(gè)元素的一個(gè)排

素歹IJ

?

~α作為一組,叫作從"個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的一個(gè)組合

①?gòu)摹▊€(gè)不同元素中取出，"（，”9）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫作從"個(gè)不同元素中取出，〃個(gè)元素的排列

數(shù),用符號(hào)A/表示.

②從〃個(gè)不同元素中取出，"（，%〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合

數(shù),用符號(hào)Gr表示.

5.記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若4+%=10MW8=45,則S5=（）

A.25B.22C.20D.15

【命題意圖】

本題考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，難度：較易

【答案】C

【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,首項(xiàng)為4,依題意可得，

=a

a2+《＞=4+"+4+5"=10,即α∣+3d=5,又α√%（\+3d）（q+7d）=45,

5×4

解得：d=l,al=2,所以S5=501+Hxd=5x2+10=20.

【知識(shí)鏈接】

等差數(shù)列的基本問(wèn)題

1.定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，

這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示,定義的表達(dá)式為an+l-an=d.

2.通項(xiàng)公式:如果等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為α∣,公差為d,那么通項(xiàng)公式為an=a?+（?-1）d=am+（n-m）d.

推導(dǎo)方法（累加法）：。"=（。"-*1）+（即1-斯-2）+…+32-S）+αi?

3.等差中項(xiàng):如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項(xiàng),且A=等.

4.前〃項(xiàng)和公式為S,,=nal+^d=空誓.推導(dǎo)方法:倒序相加法.

5.用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列:⑴詼=而+（03（類似于一次函數(shù)）;（2以=殳2+（%-9〃（類似于常數(shù)項(xiàng)為零的二次

函數(shù)）.

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的B=（）

i

/?18/

Cf?**J

A.21B.34C.55D.89

【命題意圖】

本題考察程序框圖模擬運(yùn)行，難度：較易

【答案】B

【詳解】當(dāng)Jt=I時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=l+2=3,B=3+2=5,々=1+1=2；

當(dāng)％=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8,3=8+5=13,?=2+l=3;

當(dāng)k=3時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21,8=21+13=34,%=3+l=4;

當(dāng)M=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出5=34.

【知識(shí)鏈接】

1、程序框圖基本概念：

程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算

法的圖形。

2、構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱功能

/sS表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不

起止框

可少的。

K_______________________

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法

輸入、輸出框

中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

—

處理框式等分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

O判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明

判斷框

“是”或“Y”：不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。

3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

7.設(shè)人,居為橢圓C:?+/=］的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，若P%PB=O,則IPHHP圖=()

A.1B.2C.4D.5

【命題意圖】

本題考察橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式，求出APg心的面積，難度：一般

【答案】B

【詳解】方法'：因?yàn)镻4?PG=0,所以N咐馬=90,

2

從而S哪=0tan45=l=^×?PFl?-?PF2?,所以IP用療用=2.

方法二：

2

因?yàn)镻/Pg=0,所以/小6=90,由橢圓方程可知，C=5-1=4≈>C=2,

所以伊埒+忸閭2=忻閭2=42=16,又IP用+∣P周=2α=2√^,平方得：

?PFf+?PF2f+2?PFl??PF2?=16+2?PF,??PF2?-20,所以歸￡卜歸閭=2.

【知識(shí)鏈接】

I、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)

準(zhǔn)

X2y2y2x2

方

程-+-^a>b>O)_____________

圖形?

范圍-a≤x≤a∕b≤y≤l>__________________________—?b≤x≤b∕aSy≤a____?__________—______________

對(duì)稱性____________________________對(duì)稱軸:坐標(biāo)有1;對(duì)稱中心:原點(diǎn)

頂點(diǎn)A(α,0)A(0,0),AI(O,?〃)42(0,。)，

坐標(biāo)B∣(O,-?),B2(O,?)歷(--0),82(-0)______________

性

長(zhǎng)軸AiA2的長(zhǎng)為2a;

質(zhì)軸

_______________________________短軸一」的長(zhǎng)為2b_________________________________

焦距一周=2。

C

離心率e=-∈(0,i)

_______________________________________a__________________________________________

a,hc

ia2=b2+c2-

的關(guān)系

2、與橢圓的焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論(含焦半徑公式)

橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定

理和余弦定理.

%2-?12

在以橢圓上+匕=13泌>0)上一點(diǎn)P(XOJO)()#0)和焦點(diǎn)B(CO)F2(c,0)為頂點(diǎn)的APQB中若/FIB=。,則

a2b2

(I)IPBI="+exo,∣PF2∣=α-exo((焦半徑公式,e為橢圓的離心率),|叩|+|?&|=2〃；

222

(2)4c=∣PF∣?+?PF2?-2?PFi∣?∣PF2∣?cosθ?,

1n

⑶SAPaF2=TlPBllPBMine=c∣泗I=夕tan^當(dāng)Iwl=4即P為短軸端點(diǎn)時(shí).SΔPF∣FZ取得最大值最大值為be;

(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(α+c).

1

3、中線的向量公式：若P為線段AB的中點(diǎn)Q為平面內(nèi)任一點(diǎn),則而=-(6?+而).

2

8.曲線>=鼻在點(diǎn)［,|)處的切線方程為()

A.y=-xB.y=-xC.y=—x+-D.?=-x+-

-42'44,24

【命題意圖】

本題考察導(dǎo)數(shù)的切線問(wèn)題，難度：一般

【答案】C

【詳解】設(shè)曲線尸三在點(diǎn)(用處的切線方程為y-，MX一1)，

e*(x+l)-e[χe,

因?yàn)楫a(chǎn)工,所以y'所以火=y'∣*τ=(所以y-?∣=2(χT)

-x+l(x+l)2(x÷l)2

所以曲線尸名在點(diǎn)(闈處的切線方程為k%+%

【知識(shí)鏈接】

求解過(guò)曲線外某點(diǎn)處的切線問(wèn)題的步驟

第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P5√U∣)).

第二步:寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P'(x∣√Ul))的切線方程.v√(x∣)=F(x∣)(x-xι).

第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(XOJb)代入切線方程求出Al.

第四步:將XI的值代入方程)，：/3)=八內(nèi))口川),可得過(guò)點(diǎn)25),四)的切線方程

22

9.己知雙曲線'告=l(α>0,%>0)的離心率為忖其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B兩

點(diǎn)，則IABI=()

A.在B.也C.拽D.拽

5555

【命題意圖】

本題考察雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系，圓心到直線的距離及圓半徑，求弦長(zhǎng)，難度：一般

【答案】D

［分析］根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).

【詳解】由e=6,則W=0^=l+??=5,解得2=2,所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,則圓

Craa~a

心（2,3）到漸近線的距離d=與MI=或，

所以弦長(zhǎng)IABI=2y∣r2-d2==華.

【知識(shí)鏈接】

1、圓的定義和圓的方程

工義一^W?與定點(diǎn)的函離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）一

標(biāo)準(zhǔn)方程(X-α)2+(y∕)2=∕(r>o)__________________________________________圓心:（“力）,半徑:r________________________________

22

一般x+y+Dx+Ey+F=0,圓心GA),

即2d4F22

方程(X+T)2+(y+?=^(D+E-4F>0)半徑S√D2+E2_4F_____________________________

2、直線被圓截得的弦長(zhǎng)

弦心距土弦長(zhǎng)I的一半寸及圓的半徑，?構(gòu)成一直角三角形.且有戶=M+（3）2.

3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

X2y2y2X2

標(biāo)準(zhǔn)方程

__________老司3>0吧__________/R=g0,∕>0)__________________________

圖形?,

____W：____

范圍定?；騲≤?α,yWR_______________________________XWRj≤-a或比〃__________________________________

對(duì)稱性__________________________對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)_____________________________

頂點(diǎn)_________________4(-4,0)√?2(α,0)_________________A(OM)A(OM)

T一

漸近線產(chǎn)令

e—--Jl+(2),e∈(l,+∞),其中C=√α2+b2

質(zhì)離心率

線段44叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)AA2∣=2a;線段BiBi叫作雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)IB/2∣=

軸

2b.a叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)力叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng)______________________________________

CIhC

222

的關(guān)系e=a+b(c>a>O,c>?>O)

10.在三棱錐尸-ABC中，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=#,則該棱錐的體積為（）

A.1B.√3C.2D.3

【命題意圖】

本題考察證明AB/平面PEC找高，分割體積法求體積，難度：一般

【答案】A

【詳解】取AB中點(diǎn)E,連接PE,CE,如圖，

ιΛβC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,

:.PE1AB,CE±AB,又PE,CEu平面PEC,PECE=E,

.:AS/平面PEC,

又PE=CE=2x與=邪,PC=娓,

故PC-=PE2+CE2,即PELCE,

所以V=+匕-PEC=gSAPEC?A8=；X；XGXQX2=1

【知識(shí)鏈接】

一、直線與平面垂直

1.定義:如果直線/與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么宜線/與平面a垂直.

2.判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a,bUa,、

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直a∩b=0,

}=>∕!α

線都垂直,則該直線與此平面垂直11a,

Ilb，

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平

行

二、柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積和體積

幾何體表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S表面稅=SM+2S底V=Sf&h

錐體（棱錐和圓錐）_______STiifnK=S網(wǎng)+SKV=?JSΛ

∣卜+下

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）Ssιt∣?=5m+S∣,+SτV=(SI-.+5JSjSM

球S=4π7?2

㈤

11.己知函數(shù)/(x)=e-(*f.記4=/,b=9，c=于,則（）

2J

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.oa>b

【命題意圖】

本題考察指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用作差法比較自變量的大小，難度：較難

【答案】A

【詳解】令g(χ)=-(χ-l)2,則g(x)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為X=1,

因?yàn)槭?1-1一4=J，Ifii(5/6+5/3)2-42=9÷6V∑-16=6Λ∕2-7>0,

\7

en,l√61(l√6+√34,?1,√3

^2(2)2222

由二次函數(shù)性質(zhì)知g(4)<g(1g),因?yàn)槔頣-(J曰〉卡;應(yīng)一；而

22

(√6+^^)-4=8+4√3-16=4λ^-8=4(√3-2)<0,

即乎-1<1-李，所以g(等)>g(2∣),

綜上,g(曰)<g(乎)<g(乎)，

又y=e”為增函數(shù)，故α<c<b,^b>c>a.

【知識(shí)鏈接】

1、比較大小的常用方法

⑴作差法:①作差;②變形;③定號(hào);④得出結(jié)論.

(2)作商法:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

圖象在X軸上方，過(guò)定點(diǎn)(0,1)

特征當(dāng)X逐漸增大時(shí),圖象逐漸上升曰XW漸增天時(shí),圖象逐漸下降

定義域R

值域(0,+∞)

單調(diào)遞增_]—單調(diào)遞減

單調(diào)性

質(zhì)

當(dāng)X=O時(shí)，y=l

函數(shù)值變

當(dāng)x<0時(shí),O<y<l;當(dāng)x<0時(shí),y>l;

化規(guī)律

當(dāng)x>0時(shí),y>l當(dāng)x>0時(shí),0<y<1

12.函數(shù)y=∕(χ)的圖象由y=cos°x+向的圖象向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則y="χ)的圖象與直線

y=∕χ-g的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【命題意圖】

本題考察三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得F(X)=Tin2x,再作出"x)與y=；X-T的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)

處/(x)與y=gχ-g的大小關(guān)系，從而精確圖像，難度：困難

【答案】C

【詳解】因?yàn)?時(shí)2h3向左平移2個(gè)單位所得函數(shù)為y=c0s[2[x+看)+弓=COS(2x+￡|=-sin2x,

所以f(x)=-sin2x,

【知識(shí)鏈接】

函數(shù)y=sinX的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(cox+φ)(A>0,3>0)的圖象的步驟如下:

步

驟

1

的圖象

sin4

畫(huà)出y=

的圖象

in4

y=s

畫(huà)出

步

--

索卜