2023年河北省衡水市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考預(yù)測(cè)試題(含答案帶解析)

2023年河北省衡水市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考預(yù)測(cè)試題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

-、單選題（30題）

三!?X）dx≡sin2,則Ixf（x^）d-t等于（）?

JQJO

JI.L

Hf2B.2sin2C.v*in20?Vsin'?~

1L/

KNaZ、5x-2(X≠l)~、

設(shè)函數(shù)/(x)=,.S?JIim/(x)

21(x=I)1

A.A.0B.1C.2D.3

3.

廣義積分?「■誓YdX等于().

Jl1+?

A.~τB.—qyjC——

1632vJ32

4.設(shè)U=U(x),V=V(X)是可微的函數(shù),則有d(uv)=

A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu

5.

設(shè)/(?)是可導(dǎo)函數(shù)，且Iim/Q。+2?一■/(&)=1,則/(?o)=

Λ-On

[]

A.lB.0C.2D.1∕2

6.

甲、乙、丙三人獨(dú)立地向目標(biāo)射擊一次,其命中率依次為050.6,07則目標(biāo)被擊中的攝

率是（）

A.0.94B.0.92C.0.95D.0.9

7.

設(shè)"（*）.在*=處可導(dǎo),且"（（）））（）

1，（￥）0=]."，（0）=I.r（0=2./0=2.4

IimdnMX）-2

?7X

A?-?B.0C.2D4

設(shè)函數(shù)t=(gy)c,則及等于(、

?dn?r)??1

B.(IrLy)Tniny

C.)＜【門3OQInlny

8Γλ?(lnfcy)?0Inlnv

（）

9」5P÷2dr=

A.lB.3C.5D.7

10.以下結(jié)論正確的是（）.

A.函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是f（x）的極值點(diǎn)

B.若xθ為函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)，則xθ必為?（X）的極值點(diǎn)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xθ處有極值，且f'(XO)存在，則必有f'(XO)=O

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xθ處連續(xù)，則f'(χθ)一定存在

設(shè)/(*)的一個(gè)原函數(shù)是XlnX,則/(口的導(dǎo)函數(shù)是(

A.I+InX

下列結(jié)論中不正確的是()

A.若/(zo)=0,[(J?)=O,則不能確定點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)

B.若N=Zo是函數(shù)義])的極值點(diǎn)，則∕zCr0)=O或∕G?)不存在

C.函數(shù)/(l)在區(qū)間(α")內(nèi)的極大值一定大于極小值

12.D.，Gro)=O及外工。)不存在的點(diǎn)工=工。,都可能是人工)的極值點(diǎn)

設(shè)函數(shù)/(X)=七』(x≠l),WJfim∕(x)=

13.XTJ()。

A.0B.-lC.lD.不存在

14J(SinX+&)”=()o

3:

-cosx+-Xj+C

3-

cosx+-x,+C

B.4

COSX-Xi+C

D.

已知函數(shù)/⑶在x=2處可導(dǎo),且四—匕②$則"2)=

曲線y=a-(x-b)i

A.上凹，沒(méi)有拐點(diǎn)B.下凹，沒(méi)有拐點(diǎn)

C.有拐點(diǎn)(ɑ,b)D.有拐點(diǎn)S,a)

sin2j?

RrO,

設(shè)函數(shù)/(?)=X在z=O處連續(xù)，則α=

X=O

[]

A.-lB.lC.2D.3

18.設(shè)函數(shù)/⑴T)也,則/(χ)有(極大值1/2B.極大值-1/2C.極小

值1/2D.極小值-1/2

19.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)間［a,b］連續(xù)，則曲線y=f(x)與直線x=a,x=b及X軸所

圍成的平面圖形的面積為

A.∫*∕(j)dj/(?)d?CjI?(?)I<LrD.Ocr)Arl

已知[[/(J)]=，，則八I)=

20.dxx2X2

1

A.A.6

B.-l

C.2

D.-4

設(shè)函數(shù)/(x)=√,則IimZLr+2γL∕(z)等于

A.0

K2V

C6/

22.

設(shè)函數(shù)）=人工）的導(dǎo)函數(shù)y'=/'G）的困像如圖4-I所示.

賽K列結(jié)論肯定正確的是（）.

IX=-I是駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)B.X=-I不是駐點(diǎn)

CX=-I為極小值點(diǎn)D.N=-1為極大值點(diǎn)

圖4-1

設(shè)函數(shù)/Q)在點(diǎn)了處連續(xù).則下列結(jié)論自定正確的是()

兒㈣，空滬必存在

Bjlmf(x)=O

LF

C當(dāng)1f.，時(shí)?/(1)-/(WJ不是無(wú)窮小盤

23.∣)?當(dāng)Tfr時(shí)J(X)一/")必為無(wú)窮小城

下列等式成立的是

.sιrur'

?fIim—p-

x

l.tanx

B.'

.SIrkr

1hm—r-

r→X

∣.sιι‰r.

nIim-----≡1

24.d?

函數(shù)/Q)-1τ?-2的定義域是()

A.(-?,-2)(-2,+?)

B.(-κ.1)(1,+?)

C.(-*,-2)(-2,1)(1,+?)

25.D?b00,-2)

??設(shè)z=e”,則W等于().

26.?x?y

A.(l+Xy)e"

B.%(l+y)e”

Cr(i+χ)e”

D.W

27.設(shè)㈣導(dǎo)事啊"?等于()?A.10∕3B.5/3C.l/3D.2/15

28.

Iim/(?)=Iim/(x)=α是函數(shù)八外在點(diǎn)工=工。處連續(xù)的

LjrjL?*°+

A.充分條件B.必要條件

C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件

29.設(shè)函數(shù)y=sin(x2-l),則dy等于().

A.cos(x2-l)dxB.-cos(x2-l)dxC.2xcos(x2-l)dxD.-2xcos(x2-l)dx

曲線y=?rsinj()

A.僅有水平漸近線B.既有水平漸近線又有錯(cuò)直漸近線

30.C.僅有銀宜漸近線D.既無(wú)水平漸近線又無(wú)鉛直漸近線

二、填空題(30題)

31.

32.

e

Inzdi=

e

H設(shè)y=lnx-χ2,求dy.

OJ?

34.

設(shè)k苧,則"Im=----------'

設(shè)/(χ)=χ2,g(X)=COSX.則一/(g(?))=

35.

36.

iim(l+')"=e,則k=_______.

χ→∞X

，

y______________?

37.y=arctanex,貝!]

38.若F(I)=O且f"(l)=2,則f(l)是________值。

_ICIim?n(l+√>=.

40.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(l-x)，則f"(1)=

42.

43.

設(shè)函數(shù)人］)=則，(D=

4十工

44.

(2f—1)df=6,則?r=.

設(shè)Z=x1y1，則自

…sin(?)

47.設(shè)y=3?x,貝IJy'o

0

48,設(shè)/Cr)=W?r+I)',則∫/Ukk=.—.

49.

若［∕Sdχ=?+C

j?

B.一+C

C.?ln?--4-c

設(shè)Z=χ2y+y2,則dz=.

設(shè)函數(shù)/(力在x=4處連續(xù)且可導(dǎo)，且/'(4)=2,則Iim△、)二八4)=

*→4x-4

設(shè)y=~τ~?貝IJy,-_____________.

X?

52.

53.已知P(A)=O.8,P(B?A)=0.5,貝IJP(AB)=

函數(shù)y=√ΓZ在區(qū)間卜1,1］上的最大值是

57.設(shè)z=x2y+y2,貝!jdz=_.

58.

設(shè)函數(shù)y=2/，則其單調(diào)遞增區(qū)間為

59.

曲線y=2X2+3x-26上點(diǎn)M處的切線斜率是15,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

6o.?Hy=一→(κ2)'的拐點(diǎn)坐標(biāo)毫

三、計(jì)算題(30題)

6］設(shè)/G)是連續(xù)函數(shù),且［'/⑺&=j?.求"7).

62.設(shè)函數(shù)∕<-r>=?(l-?)5÷?∣?∫7(?r)d?r,求/(工).

63.求函數(shù)f(x,y)=χ2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

(arctan∕)2dx

求極限IimJ。

64.r?'m7T

65.求∫jin(lru?)dz.

66.設(shè)函數(shù)y=y(z)由方程y=(ln?/?工hu確定,求y'.

67.汁味

/Q設(shè)z=∕(x,y)是由方程xx=y+e,所確定,求經(jīng)

OO.n?

69.求函數(shù)/(X)=r-：的單兩區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)?

計(jì)算二重身分口￡<Lrd>.其中D是由真線.r=2?y-?r與雙曲線工>

?所留成

70.的區(qū)域?

71.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶(如圖所示)，其周長(zhǎng)為

12m,為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

72設(shè)N=W(I)+?rg(∕?).其中/(M).χ(υ)分別為可微函數(shù),求毒?祟.

求極限Im巫否-

73.

74'_3y=/e，的通解.

求極限lπn"??

75.…I-√l-x,

設(shè)函數(shù)/U)=(?r-α)q(?r),其中小才)在點(diǎn)工=α處連續(xù).求/(α).

77.求值分方程、業(yè)十4Tjr>dy≡°的通”

78.計(jì)叱M

79.京■分方■J?+3/-?的通解.

80.求微分方程y"-2y'-3yue，的通解.

Ql計(jì)算不定枳分工旌kTir?

ol?J

82.啊（告一占卜

求不定枳分［工??rct>ιtr<lr.

83.

求極限Iim「啜~r^9------（e，—]）cos~T

8s,n3j

84…L?J

85.

已知二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)特解分別為“=3in2?r,*=cos2?r.求相應(yīng)

的微分方程.

求極限IImCOtJ?∕」------

“?sin?Jr

86.

計(jì)算,r'ydxdy,其中D由雙曲線>一y，=1及直線N=O.y=|所圍成的平面區(qū)域.

87.

設(shè)/十y：+2ι-2κ=e，確定函數(shù)？=wCr?y).求生，也.

88.dxdy

RQ求函數(shù)Z=Jjy?+工'才的全部二階偏導(dǎo)數(shù)

求l：ve"drdv,其中區(qū)域D由y==2,xHl及1=2所圍成.

90.方?

四、綜合題(10題)

C證明：當(dāng)?r>0時(shí),ln(l+ι)>.

91.1+r

ff/(?)在［α.61上連續(xù),存在m.M兩個(gè)常數(shù).且淌足“≤4<，，W"證明：恒有

92.m(?:z∣></<??∕<J>■??(??-?j-

id明［當(dāng)，■，時(shí)?彳1I'In"

93.一'?

S求由曲線y?H+4與y=所Bl成的平面圖形的面枳.

7fc?I?

95.證明方程41=2'在［0.1］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

96.

設(shè)/(?)在區(qū)間［α,瓦I上可導(dǎo)，且/(α)=fib)=0.證明：至少存在一點(diǎn)SSQ?6).使得

/($)+3ξs∕(f)=0.

97.

過(guò)曲線y-x:(j>0)上一點(diǎn)M(1.1)作切線/.平面圖形D由曲線V=M.切線I及

Jt軸圍成.

求：(1)平面圖形D的面積，

(2)平面圖形。維I軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

求函數(shù)/(?)?-?J?÷+?的單求區(qū)間和極值?

98.

設(shè)平面圖形D是由曲線y=e'.直線y=c及、軸所圍成的，求；

(1)平面圖形D的面積I

99.(2)平面圖形。繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

IM證明:當(dāng)OVXV號(hào)"時(shí).?ɑs?<?—?-÷1?

JLUU.-bL

五、解答題(10題)

101.

討論f(χ)=J；re-電的單調(diào)性、極值和拐點(diǎn).

102.

求由方程［ddz+J；，出+j：COWdz=O所確定的隱函數(shù)之=/(工,山的全微分出.

103求函數(shù)z=f+y+可在條件?r+y=ι的極值。

104.(本題滿分10分)

設(shè)■■F(*)≡/(*)一/(-Jr)?且∕(-r)可，.SE*B

(∣)F(x)為傷函數(shù)，(2)Fr(Jr)為偶函IL

若期:C?若)=8,求A的值.

105.

106.

求極限Iim工(￡—I).

X—B

107.甲、乙二人單獨(dú)譯出某密碼的概率分別為0.6和0.8,求此密碼

被破譯的概率.

108.已知函數(shù)/(x)Px3-bf+cx在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)是奇函數(shù).

且當(dāng)x=l時(shí),/(x)有極小值,求另?個(gè)極值及此曲線的拐點(diǎn).

109.

求函數(shù)/(x)=2x2-lnx的單調(diào)增減區(qū)間.

計(jì)算

110.5

六、單選題(0題)

111.

若函數(shù)/(?)=Or'+Ar在J?N1處取得極值2.則α=.A=.

參考答案

LC

答應(yīng)選C.

汁所：?E弓作的知識(shí)點(diǎn)是定視分的慨念和定枳分的換元枳分法.換元時(shí)根分的上、下限

-V后換.

勺「/(*).lr?MΠ2更廣義的理解應(yīng)為，/(”)du=Vn2,所以

(叭/)d*≡-∣-∫5/(√)d(*j)≡=-φ?f(u)Λu=?-uin2.

以選C.

2.D

Iim/(x)=Iim(5x-2)=3.

Hl→ι

3.B

答應(yīng)選B.

提示本題考杳的知識(shí)點(diǎn)是廣義積分在換元時(shí)，其積分限也應(yīng)一起換?

設(shè)u=arctanN.貝∣J*=1時(shí)速=:逐T+∞時(shí)■,所以

4Z

atanvi

ffV.jγ=farctanxd(arctanx)=?(arctanx)I=?*?

JtI+%Ji2I-?32

選B.

4.C

由乘枳導(dǎo)數(shù)公式媽=IrV+u∕,

dx

有d(ι∕v)≡v(u,dx)÷w(v,dx)?即d(uv)≈ι∕dv÷vd<∕.

5.D

7?id/=SinGF?(?/=2jsinτl.

(WO

6.A

7.D

答r≥≤D.

分千J't,?.W?二；；仔4二生2求低果的方法以及乘積的導(dǎo)致公式.

＜：一=I—?=|所上匚少)魯田r'")=tt,(O)MO)+U(O)J(O)

■■,?eI

=1?2+I?2=4.

所以送D.

8.C

9.B

10.C

本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)、可導(dǎo)的概念，駐點(diǎn)與極

值點(diǎn)等概念的相互關(guān)系，熟練地掌握這些概念是非常重要的.要否定

一個(gè)命題的最佳方法是舉一個(gè)反例，

例如：

y=∣xI在x=0處有極小值且連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)，排除A和D.

y=x3,x=0是它的駐點(diǎn)，但x=0不是它的極值點(diǎn)，排除B,所以命題

C是正確的.

11.C

答應(yīng)選C.

提示根據(jù)原函數(shù)的定義及導(dǎo)函數(shù)的概念,則有

/(x)=(XInXV=InX+1,則/'(X)=：,

聽(tīng)以選C.

12.C

13.D

先去函數(shù)的絕對(duì)值，使之成為分段函數(shù)；然后，運(yùn)用困數(shù)在一點(diǎn)處極

限存在的充分必要條件進(jìn)行判定.

由/(X)=弁

x>l

因?yàn)镮im/(X)=Iim(-D=-I,

ι→Γ*→r

Iim/(x)=Iim1

<→ι4x→lφ

Iimf(x)≠Iim/(x)，

*-?ΓM→l*

所以lim∕(X)不存在.故選D.

14.A

［解析］根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式可知

Hlnf(2+237(2)」

3?JC2

Λ2),=7

15.A4

1解析］函數(shù)的定義域?yàn)椋?F,+8).

∕="∣(χ-?)3

2--

y'=-(χ-b)3

當(dāng)X=b時(shí)，不存在.因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在X=b點(diǎn)處連續(xù)，且

當(dāng)x<b時(shí)，y”<0,曲線y下凹：當(dāng)x>b時(shí)，y”>0,曲線y上凹.

所以X=b是曲線y的拐點(diǎn)橫坐標(biāo).y(b)=a.

16.D故曲線的拐點(diǎn)為：S，α)?

17.C

/(?)在l=0處建集，則/(?)在Z=O處既左連線又右連續(xù)，所以Iim/(?)=Iim/(?)=

x-?0x-*0

lim?(?)=Iim=2=/(0)=a,Hia=2.

J→OLoX

18.D本題主要考查極限的充分條件.

本題可以先積分,求出/(χ),然后再求其極值.最簡(jiǎn)捷的方法是利用變上限定積分先求出

∕,(X)=X-IJ>(X)=l>O,所以/(*"j極小值/⑴=。-l)d,=y(<-I)J?=-十，所

以選D.

19.C

20.B

所以

因?yàn)閃(∕??∕G)G)'彳43+

21.C

22.C

答應(yīng)選C

分析本題主要考行極值的充分條件及駐點(diǎn)的概念?由/'(X)的圖像可E?三「一：L.

一二。K=-I為駐點(diǎn).排除B.而當(dāng)XV-I時(shí)，(工)<O：*>-I匯」二室：.二’

i"可妞X=-I為函數(shù)的極小值點(diǎn).所以選C?

本造也可以由,'(.C的圖像而得、'=X+I.則原函數(shù)為>=5+K+C.從而很容易得知選項(xiàng)

C是正確的.

對(duì)于這種由函數(shù)導(dǎo)數(shù)的圖像來(lái)分析和研究函數(shù)特性的方法建議考生多做練習(xí).熟練掌握.如

果本期換一種提法則可以得到另外兩個(gè)選擇圖.

(I)設(shè)函數(shù)y=/(K)的導(dǎo)函數(shù)y'=r(工)的圖像如圖4-I所示,則函數(shù)>=/(X)的單調(diào)遞增

區(qū)間為

A.(-8.1)B.(-X.+∞)C.(-?.+?)D.(O.+8)(C)

(2)設(shè)函數(shù)y=/(X)的導(dǎo)函數(shù)W(X)的圖像?1圖4-I所示.則下列結(jié)論力定正賄的是

A.在(-8.-I)內(nèi).曲線y=∕(x>是凸的

B在(-8.+8)內(nèi),曲線>=/(K)是凹的

C.在(-8.+8)內(nèi).曲線>=/(*)是凸的

D.在(-8.+8)內(nèi),曲線y=∕(*)是直線(B)

由于y'=χ+l.則有,"=I>0.從而可以判定曲線y=∕(χ)住(-8.+8)內(nèi)是凹的.所以

選B.

23.D

24.B

25.D

【提示】先求9再求］俘)?

?x?y??χ∣

“A因?yàn)楹?ye",*g=e"+xye?所以選A.

26.Aθxa八?χ∣

【■新】本也學(xué)我的知見(jiàn)點(diǎn)是效象函IlrV一型微限存在的?念及Je義

27A注意即"“里：?S=T?所以造A?

//.A?■A?一??Y*■

28.B

29.Cdy=y,dx=cos(x2-l)(x2-l),dx=2xcos(x2-l)dx

30.A

31.

32.e2

產(chǎn)J∣√?e2

ln?d?=?ln?-X?—dx=2e2-e-x=2e2-e-e2+e=e2.

JeeJeJCe

解y,=--2xdy=(-^--2x)dx

33.XX

34.1

35.

36.1/2

1

e?,令1=0?則y'j

由y=2

37.1/21+(C-)IT-O

38.極小極小

39.

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)處的極限.

由于連續(xù)函數(shù)的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，注意到/(H)=ln(l+，)在其定義區(qū)間

(-8,+8)內(nèi)是連續(xù)的，所以必有Iimy(Z)=/(0),BPIimln(1+xi)≡ln1=0.

40.0

41.

π

因?yàn)?/p>

dx（根據(jù)奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)）

ππ

2

X-=-

63

=arcSinX-JI-/+C

43.

44.-2或3

45.

x,yx-'(x+ylnx)

46.

因?yàn)閟in(--)------(XTO)(Λ→0)

XX

sin(-?)-?3

所以Iim——--=Hm——=—

χ→o.,X、X→OX2

sm(-)—

33

47.3SinXin3*c0sx

48.

?x+l)tt-?χ÷Dn+C

49.D

50.2xydx+(x2+2y)dy

因?yàn)閦?=2xy,z?,=x2+2y

所以dz=z,djc+z：d>=2xydx+(Λ2+2y)dy

51.2

-Ax

22

，x+l√ZX-1+2√Z,.2√-4x

［解析1yKz)=?L=α+m=g?

52.

53.應(yīng)填0.4.

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是乘法公式.

P(AB)=P(A)P(B?A)=0.8x0?5=0.4.

54.3

55.11解析

Iim("-DS:2)5+3)=Hm(I+1)(1+-)(1+-)=1

i

"->8n”T8nnn

56.-(3⑵

57.

［解析］因?yàn)閦*≈2xy,z?=X2+2yF

所以dr=z：dx+r*dy=2.vydr+(x'+2.v)dy.

58.(0+∞)

(3,1)

［解析)因?yàn)楱M=4x+3=15

解得%=3又y(3)=2×32+3×3-26=1

故點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,1)

60.應(yīng)填(2,1).

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拐點(diǎn)的定義及求法.

?

因?yàn)閥?=6(χ-2)=0,得,=2.當(dāng),=2時(shí).y=l.

t

當(dāng)?<2B4,y<0i當(dāng)*>2時(shí),/>0.所以點(diǎn)(2.1)姥曲線yMy÷(jr-2),的拐點(diǎn).

等式兩邊對(duì),求導(dǎo)得

/(xi-D.3x,-1.W/(x1-1)

令1=2.得〃7)=?.

等式兩邊對(duì)，求導(dǎo)得

f(jr,-1)?3?rl=1.即/(J,-D=?,

w.<

令i=2,得八7)=?.

等式兩邊從0到1積分得

?/(?)d?≡=J?(1—?),clr+??/(j-)cix?

,

∕(^)dτ=2?(1-?)'d?

r5(1-1)<k=—

故/(?)=*《】—1>+75.

等式兩邊從0到1枳分得

?/(?)d?=J?(1—?)d?÷??/(?)d?t

/(?)d?=2?(l-?)'d?

∕5(1-1)d/s≡—

故?(?)=?(?-+)?

63.解設(shè)F(x,y,λ)=X2+y2+λ(2x+3y-l),

令

F>2x÷2A-0,

令

尸；=2y+3Λ"0,

尸:=2x+3y-l===0,

消去A.解得χ=?y=A，則《春尉=E為極值?

?J1???I?I?/J，

(arctan∕)2d∕(arctan∕)2d∕

Iim二X

√xr+T+y∕xi+1

=Iim(aretan?)?

,一**■

64.V

(arctan∕)2d∕(arctan∕)tdz

―L__=Iim?

√rr+T√7yVl

=Iim(aretan?)2

V

l?sin(ln?)d?e?sin(ln?)]∣-J?dsin(?n?)

esinl-?eos(lrvr)d?

=esinl-[?eos(ln?)J+?deos(ln?)

esinl-ecosl+1—?sin(ln?)d?*

sin(?n?)d?=《[e(sinl-cosl)+11?

65.II

[?sin(ln?)]∣∣-J

sin(ln?)d??dsin(?n?)

esinl-?eos(lrvr)d?

=esinl-[?eos(ln?)]+?deos(ln?)

=esinl-ecosl+I—?sin(ln?)d?e

sin(?n?)d?=?[e(sinl-cosl)+11?

y≡[(ln?)叮'?J?MU+(lnx),?(Jr2)'

=[e"i>y.產(chǎn)+(∣αr)≡?(ef'

=e*'b",u'r∣n(lιu)+????j,?r"+(ln?)'?c^'?2lnz??

tatarl

ln(ln?)+?l.j-*+2(lnx)f?x^.

66.InxJ

y==[(ln?)*]'?JrIIIr+(ln?)<?(”)’

r

=[廣—了?.皿+(∣nj).(e->'

=ej?u,l,wrIn(Ior)÷x????pχlnz÷(InJ/?C?2lαr??

≡(lru,)j?「In(IrU?〉+亡]??rbu+2(lru?)f?H一

用換元積分法.令?r=tan/.則

------?--d?=廣---」------sec2∕d∕

J?2.√ΓTJTtan"?sec/

csc∕?cotzdr

=-csc∕

67.

用換元積分法,令1=tan∕?則

—2------------see2∕dr

tan"/?sec/

cotzd∕

?_3√Σ-2々

f3(

68.解法I直接求導(dǎo)法.

在用直接求導(dǎo)法時(shí)一定要注意：等式兩邊對(duì)H或y）求導(dǎo)時(shí).應(yīng)將y（或工）科成常效，而式中

的：應(yīng)視為X與y的二元函數(shù),最后再解出普（或；；）即可.

等式兩邊對(duì)X求導(dǎo),得

8zd?4、,z∏HzZ

i+xS=eλ點(diǎn)'解得瓦=工'

解法2公式法.

設(shè)輔助函數(shù)F（x,y,x）=xs-y-e.等式兩邊對(duì)X求導(dǎo)時(shí)，式中的y與工均視為常數(shù),用一元函

數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算.對(duì)y或：求導(dǎo)時(shí),另外兩個(gè)變址也均視為常數(shù)，即

解法3求全微分法.

宜接對(duì)等式兩邊求微分.求出&的表達(dá)式.由于d:=空<k+3dy?所以北(或d,)前面的表達(dá)

?x?y

式就哨嘲?

i

因?yàn)閐(w)≡dy÷d(c)t

即zdx÷xdz=dy+e*<k,

則dz≈--<k———dy,

e-Xe-X

a

所以T?x-?r--??

69?f(x)的定義域?yàn)?-8,0),(0,+∞),且

∕,(x)=2x+-?√-(x)=2-?

XX

令/'(χ)=0.得χ=-∣;令"(X)=O.得X=修.

列表如下：

X(-8,-I)-I(-1.0)(0⑶(探/8)

∕?(χ)-0??

-0?

∕ω、接小值3拐點(diǎn)（蘇,0）Z

由上表可知,函數(shù)/（x）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8.-1）,單網(wǎng)增加區(qū)間為（-1,0）和（0,+8）；

A-I）=3為相小值;

函數(shù)/C）的凹區(qū)間為（-8,0）和（蘇,+8）,凸區(qū)間為（O,］）;

拐點(diǎn)坐標(biāo)為（/.0）?

/1≤x≤2.

先沿y方向積分,區(qū)域D可表示成」11則

—≤y≤-r?

J(業(yè)dy=J；dxJ；^dy

11VA.r

??,1T\1'27

Tr÷T2J?)l.=64?

70.

,1≤x≤2.

先沿y方向積分,區(qū)域D可表示成」1J則

I&y&ι?

Jqd?rdy=J；CLri

x^^?,?)dj

,

l√.k1^η∣=27

612Jli64,

窗戶的面積4=仍+亨

/和A滿足2A+3∕≈12,f?Λ=6-?JtΛ4,JI∣J?

Λ=6Z-∣∕,+^∕J,

*6-3/+多工0.

.4(6+√T)

得

-Ti^~,

由于實(shí)際問(wèn)題只有唯一的駐點(diǎn)，可知/=逛"31

(m)為所求

Il

?

?J?！白??；+4力+/(曲?(一方

z(>)÷β(f)^f?*v),

?e6)+"(力(-手HOW

72./?，(0+%)?

S=W俘).卜+8(0+//廿)?(一3)

≡/(r)+*(f)-f?*,(f)?

g=∕(f)+>ηf)?(-^)+^(f)??

e/(7)'7，z(7)+/(x)-

2

原式=Iim221紅=Iim=?-

??-<ILs√T+2J?3

73.2-Jx

2

后十_|；2>∕I4-2x_1；2y/x-4

J尿式—Iim-------------------Iim..?—

-]I√T+Σr3

2√7

74.

相應(yīng)的齊次方程為

y-2y'—3y=O.

其特征方程為r1-2r-3≈0.

得特征根為b=3.rt=-1.故齊次方程的通解為

lji

y=C,e+Qe(C1,G為任意常數(shù)).

由于自由項(xiàng)=?re'.A=-1是特征單根.故可設(shè)原方程的特解為

y,=j(Ar+B)e^,

將/代人原方程,得

-8Ar+2A-4B=?.

有-8A=1.2A—4B=0

故原方程的特解為

/=，（一?—奈產(chǎn)一出2工+]….

所以原方程的通解為

ft

y=Cle*?+Cte-?<2j?+De(C,.Ct為任意常數(shù)).

相應(yīng)的齊次方程為

y-2y'—3y≈0,

其特征方程為r,-2r-3=0.

得特征根為C=3.r,=-1.故齊次方程的通解為

jj

y=C,e+C2e-(C,,Cl為任意常數(shù)).

由于自由項(xiàng)/(?r)=?e,.λ=-1是特征單根.故可設(shè)原方程的特解為

y'=j?(Ar÷B)e-*(

將V代人原方程.得

-8Ar+2A4B=?*

有-8A=??2A—4B=0

故原方程的特解為

=j'(^??r-?)e^^?(2x+l)e?

所以原方程的通解為

u

y=C,e+Cte-?(2x+l)e?(C∣,C1為任意常數(shù)).

75.

g(?)在I=α處連續(xù)?于是IinV<(z)=g(α).

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.知

Iirn加=3=Iim.=Sg)-O=∣img(j-)=g(α)存在.

-jr-a，一?1—0

76.故/(工)在?r="處可導(dǎo)且/'(α)=g(a).

g(?)在.r=α處連續(xù).于是Iimg(工)=fζ(a).

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義?知

Iim￡3)一/⑷=Iitn@二1=?img(?)=屋0)存在，

-X-aL??-a-

故/(?)在?r=“處可導(dǎo)且/'(α)=g<α).

√?-+^=0,

X—4JTy

即

T(7÷4-7)dj÷^=o?

兩邊積分得

?(?nI?—4I—?nI?I)+InI?I=C.

4

故原方程的通解

(?—4)√=Cr,

77.其中特解y=O包含在通解之中.

-?+力=°，

1—4Jry

即1

;(±T)dj?+,=°，

兩邊積分得

?(?nI?—4|—?n∣JrI)+ln∣y∣=C

4

故原方程的通解

(?—4)y4=Cr■

其中特解?=0包含在通解之中.

78.

根據(jù)題意.先做出枳分區(qū)域.如圖所示.然后在極坐標(biāo)

系下進(jìn)行計(jì)算.

rdr

JOJOJ(IJO

根據(jù)題意，先做出積分區(qū)域.如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系下進(jìn)行計(jì)算.

['?-f7'`√xi+√dx=pdtffr.rdr

JOJeJQJO

=f??riL=f?

根據(jù)求導(dǎo)經(jīng)驗(yàn),直觀看出原方程可寫為

(e?,,y)*=x?

兩端積分有

e,*y=?jr*+C.

所以原方程的通解為

y=??*e^χ,+Ce''.

79.

根據(jù)求導(dǎo)經(jīng)驗(yàn),直現(xiàn)看出原方程可寫為

(e^*y)z=x?

兩端積分有

=-?-?*+C.

所以原方程的通解為

y≈??*e~**+Ce'

80.

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為