新課第03講向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積原卷版

新課第03講：向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積考點(diǎn)一：向量的數(shù)乘運(yùn)算 考點(diǎn)二：平面向量的混合運(yùn)算考點(diǎn)三：向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用 考點(diǎn)四：三角形的心的向量表示考點(diǎn)五：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義 考點(diǎn)六：數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)七：數(shù)量積和模關(guān)系問(wèn)題 考點(diǎn)八：向量夾角的計(jì)算考點(diǎn)九：垂直關(guān)系的向量表示 考點(diǎn)十：向量投影問(wèn)題考點(diǎn)十一：向量的數(shù)量積的綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)一向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.，當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a.知識(shí)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識(shí)三向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.知識(shí)四兩向量的夾角與垂直1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.知識(shí)五：向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.知識(shí)六投影向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cosθe.知識(shí)七平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.知識(shí)八平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【題型歸納】題型一：向量的數(shù)乘運(yùn)算1．（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡(jiǎn)為（）A． B．C． D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知m、n是實(shí)數(shù)，、是向量，對(duì)于命題：①②③若，則④若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是：（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．題型二：平面向量的混合運(yùn)算4．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（）A． B． C．2 D．35．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）在中，是的中點(diǎn)，在上且，記，，則（）A． B．C． D．6．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的邊的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E在所在平面內(nèi)，且，若，則（）A．7 B．6 C．3 D．2題型三：向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用7．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．8．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．題型四：三角形的心的向量表示10．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”為“點(diǎn)為重心”（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要12．（2022下·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）A．內(nèi)心 B．垂心 C．外心 D．重心題型五：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義13．（2023下·陜西咸陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．414．（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期中）已知，為非零向量，且，則（）A．，且與方向相同 B．，且與方向相反C． D．，無(wú)論什么關(guān)系均可15．（2023下·福建福州·高一福州三中?？计谀┰谥?，已知，向量在向量方向上的投影向量為，，則（）A．12 B．8 C．6 D．4題型六：數(shù)量積的運(yùn)算16．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎?，且，的夾角為，則（）A．1 B． C．2 D．17．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（）A． B． C． D．18．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則（）A． B．16 C． D．9題型七：數(shù)量積和模關(guān)系問(wèn)題19．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知平面向量，且與的夾角為，則（）A． B．4 C．2 D．020．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．21．（2023下·吉林·高一東北師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)向量滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．向量和的夾角為C． D．題型八：向量夾角的計(jì)算22．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．23．（2023下·湖北·高一安陸第一高中校聯(lián)考期末）已知平面向量滿足且對(duì)，有恒成立，則與的夾角為（）A． B． C． D．24．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．題型九：垂直關(guān)系的向量表示25．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知平面向量的夾角為，若，則（）A． B． C． D．26．（2023下·四川自貢·高一?？计谥校┤绻蛄浚瑵M足，，且，則和的夾角大小為（）A． B． C． D．27．（2023下·貴州黔西·高一校考階段練習(xí)）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形題型十：向量投影問(wèn)題28．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．29．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是直角斜邊的中點(diǎn)，且，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．30．（2023下·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．題型十一：向量的數(shù)量積的綜合問(wèn)題31．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀﹩挝幌蛄?，滿足.(1)求與夾角的余弦值：(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.32．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，設(shè).(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.33．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【雙基訓(xùn)練】一、單選題34．（2023下·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，記，則（）A． B． C． D．35．（2023下·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，則（）A． B． C． D．36．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①；②“”等價(jià)于“存在實(shí)數(shù)，使得”；③A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)37．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的有（）A．若，，則．B．向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上C．D．滿足的四邊形ABCD是正方形38．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（）A． B． C． D．1239．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（）A． B．3 C．9 D．1340．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若向量與向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影向量是（）A． B． C． D．41．（2023下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（）A．1 B．2 C． D．二、多選題42．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┤鐖D在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．43．（2023下·陜西西安·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（）A．已知均為非零向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．若向量共線，則點(diǎn)必在同一直線上C．若且，則D．若點(diǎn)為的重心，則44．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）若向量滿足，，則（）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為45．（2023下·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．若，則C．，有恒成立 D．若，則三、填空題46．（2023下·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）已知是的邊上的點(diǎn)，且，設(shè)，則.47．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，則的最大值是，最大值是．48．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知平面向量滿足，則實(shí)數(shù)的值為．49．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為.四、解答題50．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，試求(1)；(2).5