中考數(shù)學壓軸題輔導練習（十大類型 ）附答案解析

中考數(shù)學壓軸題輔導（十大類型）57頁附答案解析

目錄

動點型問

題...........................................................................

.................................................................................3

幾何圖形的變換（平移、旋轉、翻折）...................................6

相似與三角函數(shù)問題............9

三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）...........................13

與四邊形有關的二次函數(shù)問題...........................................16

初中數(shù)學中的最值問題.................................................19

定值的問題............................................................22

存在性問題（如：平行、垂直，動點，面積等）...........................25

與圓有關的二次函數(shù)綜合題............................................29

其它（如新定義型題、面積問題等）...................................??33

參考答案.36

中考數(shù)學壓軸題輔導（十大類型）

數(shù)學綜壓軸題是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的，集中體現(xiàn)知識的綜合性和方

法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。

函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標系和兒何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進行圖形的研究，

求點的坐標或研究圖形的某些性質(zhì)。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關鍵是求

點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。

幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進行計算，然后有動點（或動線段）

運動，對應產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對應的（未知）函數(shù)的解析式，求函數(shù)的自變量的

取值范圍，最后根據(jù)所求的函數(shù)關系進行探索研究。一般有：在什么條件下圖形是等腰三角

形、直角三角形，四邊形是平行四邊形、菱形、梯形等，或探索兩個三角形滿足什么條件相

似等，或探究線段之間的數(shù)量、位置關系等，或探索面積之間滿足一定關系時求X的值等，

或直線（圓）與圓的相切時求自變量的值等。求未知函數(shù)解析式的關鍵是列出包含自變量和

因變量之間的等量關系（即列出含有X、y的方程），變形寫成y=f（X）的形式。找等量

關系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。

求函數(shù)的自變量的取值范圍主要是尋找圖形的特殊位置（極端位置）和根據(jù)解析式求解。而

最后的探索問題千變?nèi)f化,但少不了對圖形的分析和研究,用幾何和代數(shù)的方法求出X的值。

解中考壓軸題技能：中考壓軸題大多是以坐標系為橋梁，運用數(shù)形結合思想，通過建立

點與數(shù)即坐標之間的對應關系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借

助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。關鍵是掌握幾種常用的數(shù)學思想方法。

一是運用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程或方程組求其解

析式、研究其性質(zhì)。

二是運用分類討論的思想。對問題的條件或結論的多變性進行考察和探究。

三是運用轉化的數(shù)學的思想。由已知向未知，由復雜向簡單的轉換。中考壓軸題它是對

考生綜合能力的一個全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數(shù)學思想方法也較全面。因此，

可把壓軸題分離為相對獨立而又單一的知識或方法組塊去思考和探究。

解中考壓軸題技能技巧：

一是對自身數(shù)學學習狀況做一個完整的全面的認識。根據(jù)自己的情況考試的時候重心定

位準確，防止“撿芝麻丟西瓜”。所以，在心中一定要給壓軸題或幾個“難點”一個時間

上的限制，如果超過你設置的上限，必須要停止，回頭認真檢查前面的題，盡量要保證選擇、

填空萬無一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。

二是解數(shù)學壓軸題做一問是一問。第一問對絕大多數(shù)同學來說，不是問題；如果第一小

問不會解,切忌不可輕易放棄第二小問。過程會多少寫多少，因為數(shù)學解答題是按步驟給分

的，寫上去的東西必須要規(guī)范，字跡要工整，布局要合理；過程會寫多少寫多少，但是不要

說廢話，計算中盡量回避非必求成分；盡量多用幾何知識，少用代數(shù)計算，盡量用三角函數(shù)，

少在直角三角形中使用相似三角形的性質(zhì)。

三是解數(shù)學壓軸題一般可以分為三個步驟。認真審題，理解題意、探究解題思路、正確

解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點、結構，以利

于解題方法的選擇和解題步驟的設計。解數(shù)學壓軸題要善于總結解數(shù)學壓軸題中所隱含的重

要數(shù)學思想，如轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想及方程的思想等。認識條件和結論

之間的關系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結構特征的關系，確定解題的思路和方法.當

思維受阻時，要及時調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，

既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。

中考壓軸題是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的題目，其特點是知識點多，覆蓋

面廣，條件隱蔽，關系復雜，思路難覓，解法靈活。所以，解數(shù)學壓軸題，一要樹立必勝的

信心，要做到：數(shù)形結合記心頭，大題小作來轉化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，分

類討論要嚴密，方程函數(shù)是工具，計算推理要嚴謹，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。

一、動點型問題：

例1.(基礎題)如圖，已知拋物線y=χ2-2x-3與X軸從左至右分別交于A、B兩點，與y

軸交于C點，頂點為D.

(1)求與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式；

(2)若線段AD上有一動點E,過E作平行于y軸的直線交拋物線于F,當線段EF取得最大

值時，求點E的坐標.

2

變式練習：(杭州模擬)如圖，已知拋物線y=a(χ-l)+3√^(a≠Q(mào))經(jīng)過點A(-2,

0),拋物線的頂點為D,過O作射線OM√AD.過頂點D平行于X軸的直線交射線OM于點C,

B在X軸正半軸上，連接BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若動點P從點0出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P運動的時間

為t(s).問：當t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=OB,動點P和動點Q分別從點0和點B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2

個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設它

們運動的時間為t(s),連接PQ,當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值.

(4)在(3)中當t為何值時，以0,P,Q為頂點的三角形與AOAD相似？(直接寫出答案)

蘇州中考題：（蘇州）如圖，在矩形ABCD中，ΛD^acm,AB^bcm（a>?>4）,半徑為2cm

的。。在矩形內(nèi)且與46、4。均相切.現(xiàn)有動點/^從4點出發(fā)，在矩形邊上沿著∕∣f8~C-0

的方向勻速移動，當點尸到達〃點時停止移動；。。在矩形內(nèi)部沿4〃向右勻速平移，移動

到與切相切時立即沿原路按原速返回，當。?；氐匠霭l(fā)時的位置（即再次與/8相切）時停

止移動.已知點尸與。。同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）.

（1）如圖①，氤P仄AfBfCfD,全程共移動了CR（用含a、A的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，已知點戶從｛點出發(fā)，移動2s到達6點，繼續(xù)移動3s,到達8C的中點.若

點尸與。。的移動速度相等，求在這5s時間內(nèi)圓心0移動的距離；

（3）如圖②，已知a=20,?=10.是否存在如下情形：當。。到達。Q的位置時（此時圓心

Q在矩形對角線砂上），以與Oa恰好相切？請說明理由.

（圖①）（圖②）

（第28題）

二、幾何圖形的變換(平移、旋轉、翻折)

例2.(遼寧省鐵嶺市)如圖所示，己知在直角梯形曲比中，AB//OC,SULx軸于點GA

(1,1)、6(3,1).動點尸從。點出發(fā)，沿X軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過

尸點作收垂直于率線M垂足為0.設一點移動的時間為t秒(0<?<4),△oW與直角

梯形處附重疊部分的面積為S.

(1)求經(jīng)過。、46三點的拋物線解析式；

(2)求S與t的函數(shù)關系式；

(3)將△陽繞著點尸順時針旋轉90°,是否存在t,使得△。偌的頂點?；?在拋物線上？

若存在，直接寫出力的值；若不存在，請說明理由.

_3

變式練習：如圖1,在平面直角坐標系XOy中，直線1：y=±x+m與X軸、y軸分別交于

4

點A和點B(0,-1),拋物線y=?∣χ2+bχ+c經(jīng)過點B,且與直線1另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式：

(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t(0<t<4).DE〃y軸交直線1于點E,點F

在直線1上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求P與t的函數(shù)

關系式以及p的最大值；

(3)M是平面內(nèi)一點，將aAOB繞點M沿逆時針方向旋轉90°后，得到AAQB,點A、0、

B的對應點分別是點兒、0,>B1.若AAQB的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點Al

的橫坐標.

.3

蘇州中考題：(高新區(qū))如圖1,在平面直角坐標系XOy中，直線J：y=，x+m與X軸、y

4

軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y='χ2+bx+c經(jīng)過點B,且與直線/的另一個交

2

點為C(4,n).

(D求n的值和拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t(0<t<4).DE〃y軸交直線/于點E,點F在

直線/上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求P與t的函數(shù)關系

式以及P的最大值；

(3)將AAOB在平面內(nèi)經(jīng)過一定的平移得到AAQB,點A、0、B的對應點分別是點兒、

0l.B1.若AAQB的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點Al的橫坐標為.

三、相似與三角函數(shù)問題

例3.(四川省遂寧市)如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點仇0,卷有)，且頂點，的橫坐標為

4,該圖象在X軸上截得的線段18的長為6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)在該拋物線的對稱軸上找一點只使必+必最小，求出點〃的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點。，使AQW與4/18C相似？如果存在，求出點。的坐標；如果

不存在，請說明理由.

(1)OC的長為；

(2)D是OA上一點，以BD為直徑作OM,OM交AB于點Q.當。M與y軸相切時，sinZ

BOQ=；

(3)如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度，從點0沿線段OA向點A運動；同時動點

D以相同的速度，從點B沿折線B-C-O向點0運動.當點P到達點A時，兩點同時停止運

動.過點P作直線PE〃0C,與折線O-B-A交于點E.設點P運動的時間為t(秒).求當

以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標.

蘇州中考題：（28題）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=IOcm,BC=12cm.點E,F,

G分別從A,B,C三點同時出發(fā),沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動,點E的運動速度為ICm∕s,

點F的運動速度為3cm/s,點G的運動速度為L5cm/s.當點F到達點C（即點F與點C

重合）時，三個點隨之停止運動.在運動過程中，AEBF關于直線EF的對稱圖形是4EB'F,

設點E,F,G運動的時間為t（單位：s）.

（1）當t=S時，四邊形EBFB'為正方形；

（2）若以點E,B,F為頂點的三角形與以點F,C,G為頂點的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

y=∣X2-j（b+l）x+j（b是實數(shù)目b>2）

面積與相似：（蘇州，29）如圖，已知拋物線444與

X軸的正半軸分別交于點點6（點/1位于點6的左側），與y軸的正半軸交于點C

⑴點6的坐標為,點C的坐標為（用含b的代數(shù)式表示）；

⑵請?zhí)剿髟诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點R使得四邊形"■龍的面積等于26,且是以點一

為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點尸的坐標；如果不存在，請說明理由；

⑶請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點。，使得z?oaι和436中的任意兩個三

角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點0的坐標；如果不存在，請

說明理由.

四、三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）

例4.（廣東省湛江市）己知矩形紙片的8。的長為4,寬為3,以長出所在的直線為X軸，

。為坐標原點建立平面直角坐標系；點尸是0/邊上的動點（與點。）不重合），現(xiàn)將C

沿和翻折得到△月笫，再在46邊上選取適當?shù)狞c將△必〃沿如翻折，得到△月叨，使得

直線%/F重合.

（I）若點￡落在玄邊上，如圖①，求點只a〃的坐標，并求過此三點的拋物線的函數(shù)關

系式；

（2）若點￡落在矩形紙片的及7的內(nèi)部，如圖②，設LoP=X,A。=y,當X為何值時，y取得

最大值？

（3）在（1）的情況下，過點只C、〃三點的拋物線上是否存在點0,使△如。是以外為直

角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點。的坐標.

圖①圖②

變式.（廣東省深圳市）己知：RtZ?ABC的斜邊長為5,斜邊上的高為2,將這個直角三角

形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與X軸重合（其中0Λ<0B）,直角頂點C落在y

軸正半軸上（如圖1）.

（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關系式.

（2）如圖2,點D的坐標為（2,0）,點P（如n）是該拋物線上的一個動點（其中勿>0,

Λ>0）,連接DP交BC于點E.

①當aBDE是等腰三角形時，章琰寫出此時點E的坐標.

②又連接CD、CP（如圖3）,ACDP是否有最大面積？若有，求出aCDP的最大面積和

此時點P的坐標；若沒有，請說明理由.

蘇州中考題：（29題）如圖，已知拋物線y='/+bx+c（b,c是常數(shù)，且c<0）與X軸

2

分別交于點A,B(點A位于點B的左側)，與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(-1,

0).

(Db=,點B的橫坐標為(上述結果均用含C的代數(shù)式表示)；

(2)連接BC,過點A作直線AE〃BC,與拋物線y=工χ2+bx+c交于點E.點D是X軸上一

2

點，其坐標為(2,0),當C,D,E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，點P是X軸下方的拋物線上的一動點，連接PB,PC,設所得aPBC的面

積為S.

①求S的取值范圍；

②若aPBC的面積S為整數(shù)，則這樣的APBC共有個.

五、與四邊形有關的二次函數(shù)問題

例5.(內(nèi)蒙古赤峰市)如圖，Rt△力6C的頂點坐標分別為4(0,√3),——),

22

(7(1,0),NH6C=90°,寬與y軸的交點為。，。點坐標為(0,?-),以點〃為頂點、

y軸為對稱軸的拋物線過點B.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)將△/式■沿4C折疊后得到點8的對應點8',求證：四邊形力aZ'是矩形，并判斷點

B'是否在(1)的拋物線上；

(3)延長為交拋物線于點￡,在線段緲上取一點凡過P點作X軸的垂線，交拋物線于點

F,是否存在這樣的點區(qū)使四邊形必以是平行四邊形？若存在，求出點。的坐標，若不存

在，說明理由.

變式練習：（蘇州28題）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作

半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB,PC,PD.

（D如圖①，當PA的長度等于時，ZPΛB=60o；

當PA的長度等于時，APAD是等腰三角形；

（2）如圖②，以AB邊所在直線為X軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐

標系（點A即為原點0）,把APAD、ΔPAB,Z?PBC的面積分別記為，、S2>S3.坐標為（a,

b）,試求2S1S3—Sj的最大值，并求出此時a,6的值.

（圖①）

蘇州中考題：(29題)已知二次函數(shù)y=α(W-6x+8)(α>0)的圖象與X軸分別交于點A、

B,與y軸交于點C.點D是拋物線的頂點.

(1)如圖①，連接AC,將aOAC沿直線AC翻折，若點。的對應點0'恰好落在該拋物線的

對稱軸上，求實數(shù)a的值；

(2)如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是(4,4),(4,3),邊HG位于

邊EF的右側.小林同學經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“若點P是邊Ell或邊HG上的任

意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四

條線段不能構成平行四邊形).”若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也

成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

(3)如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標￡是大于3的常數(shù)，試問：是

否存在一個正數(shù)a,使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等(即

這四條線段能構成平行四邊形)？請說明理由.

（圖①）（圖②）

六、初中數(shù)學中的最值問題

例6.(海南)如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A(-1,O),C(0,5)兩點，與X

軸另一交點為B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+l,0),點P是第一象限內(nèi)的拋物線

上的動點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當a=l時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；

(3)若APCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說

明理由.

變式練習.(四川省眉山市)如圖，已知直線y=」x+l與y軸交于點4與X軸交于點，,

2

拋物線y=L∕+"+c與直線y=Lχ+l交于4、E兩點,與X軸交于從C兩點，且8點

22

坐標為(1，0).

(1)求該拋物線的解析式：

(2)動點〃在X軸上移動，當△乃史是直角三角形時，求點一的坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上找一點弘使|加/-,團的值最大，求出點”的坐標.

蘇州中考題：(江蘇蘇州，27,8分)如圖，已知半徑為2的。。與直線,相切于點力，點〃

是直徑47左側半圓上的動點，過點P作直線/的垂線，垂足為GPC與。。交于點、連接

”,,,.?,%(2<%<4)

PA、PB,設/T的長為<

5

X=-

(1)當2時，求弦為、心的長度;

PD.CD

⑵當X為何值時，的值最大？最大值是多少？

CA

七、定值的問題

例7.(湖南省株洲市)如圖，已知△力比■為直角三角形，ZTJCS=90o,AC=BC,點、A、C

在X軸上，點6的坐標為(3,πi)(ffl>0),線段四與y軸相交于點〃，以以1,0)為頂點的拋

物線過點反D.

(1)求點4的坐標(用力表示)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)設點0為拋物線上點一至點占之間的一動點，連結閭并延長交比■于點連結80并

延長交4C于點E試證明：用儲。+￡。為定值.

變式練習：(江蘇蘇州，28,9分)如圖，正方形力靦的邊力〃與矩形哥行/的邊網(wǎng);重合，

將正方形4版以lcm∕s的速度沿用方向移動，移動開始前點/與點尸重合.在移動過程中，

邊他始終與邊尸。重合，連接CG,過點/作偌的平行線交線段陽于點P,連接PD.已知正

方形/用力的邊長為1cm,矩形EFGH的邊FG、0/的長分別為4cm、3cm.設正方形移動時間為

X(S),線段〃的長為y(cm),其中°≤%≤2?5

⑴試求出y關于X的函數(shù)關系式，并求出y=3時相應X的值；

⑵記△呼的面積為另，△徽7的面積為$2,試說明又一52是常數(shù)；

⑶當線段如所在直線與正方形/時的對角線/C垂直時，求線段劃的長.

蘇州中考題：（蘇州）如圖，二次函數(shù)尸a（f-2勿X-3必2）（其中a,卬是常數(shù)，且a>0,

m>0）的圖象與X軸分別交于點力、6（點4位于點6的左側），與y軸交于C（0,-3）,

點。在二次函數(shù)的圖象上，CD//AB,連接4〃，過點4作射線交二次函數(shù)的圖象于點￡,

AB平分NDAE.

（1）用含皿的代數(shù)式表示a；

（2）求證：期為定值；

AE

（3）設該二次函數(shù)圖象的頂點為凡探索：在X軸的負半軸上是否存在點G,連接葩以

線段GKAD./￡的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要

求的點G即可，并用含0的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由.

八、存在性問題(如：平行、垂直，動點，面積等)

例8、(浙江省紹興市)將一矩形紙片。鉆C放在平面直角坐標系中，0(0,0),A(6,0),

C(0,3).動點。從點。出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動!■秒時，

動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿4。向終點。運動.當其中一點到達終點時，另一點也

停止運動.設點P的運動時間為，(秒).

(1)用含f的代數(shù)式表示OP,OQ-,

(2)當，=1時，如圖1,將AOns沿PQ翻折，點。恰好落在CB邊上的點。處，求點。

的坐標；

(1)連結AC,將AOPQ沿PQ翻折，得到AEPQ,如圖2.問：PQ與AC能否平

行？PE與AC能否垂直？若能，求出相應的f值；若不能，說明理由.

變式練習：如圖，已知拋物線y=aχ2+bx+3與X軸交于A(1,O),B(-3,0)兩點，與y

軸交于點3拋物線的頂點為P,連接AC

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點D,使得DC與AC垂直，且直線DC與X軸交于點Q,求直線DC的解

析式；

(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M,使得SAmP=2梟m？若存在，求出M點的坐標；若不

存在，請說明理由.

蘇州中考題：(蘇州?本題滿分10分)如圖，已知二次函數(shù)y=*+(i—m)χ-m(其中

0<ffl<l)的圖像與X軸交于4、8兩點(點4在點8的左側)，與P軸交于點C,對稱軸為

直線/.設。為對稱軸/上的點，連接必、PC,PA=PC.

(1)/48C的度數(shù)為°；

(2)求P點坐標(用含加的代數(shù)式表示)；

(3)在坐標軸上是否存在點Q(與原點0不重合)，使得以Q、B、C為頂點的三角形與△

Λ4C相似，且線段00的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點0的坐標；如果不存

在，請說明理由.

(第27題)

模擬試題：在如圖的直角坐標系中，已知點A(1,O)、B(0,-2),將線段AB繞點A按

逆時針方向旋轉90°至AC,若拋物線y=-L?+bx+2經(jīng)過點C.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q(0,-2)作不平行于X軸的直線交拋

物線于E、F兩點，問在y軸的正半軸上是否存在一點P,使APEF的內(nèi)心在y軸上？若存在,

求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

(3)在拋物線上是否存在一點M,使得以M為圓心，以叵為半徑的圓與直線BC相切？若

2

存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

九、與圓有關的二次函數(shù)綜合題：

例9.如圖，己知二次函數(shù)y=-∕+bx+c的圖象與X軸交于點A、B,與y軸交于點C,其頂

點為D,且直線DC的解析式為y=x+3.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求aABC外接圓的半徑及外心的坐標；

(3)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大值.

變式練習：如圖，已知拋物線y=a(X-2)2+1與X軸從左到右依次交于A、B兩點，與y軸

交于點C,點B的坐標為(3,0),連接AC、BC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若P為拋物線的對稱軸上的一個動點，連接PA、PB、PC,設點P的縱坐標表示為m.

試探究：

①當m為何值時，IPA-PCl的值最大？并求出這個最大值.

②在P點的運動過程中，/APB能否與/ACB相等？若能，請求出P點的坐標；若不能，請

說明理由.

中考題訓練：（黔南州）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4,-1）的拋物線交y軸于

A點，交X軸于B,C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0,3）.

（1）求此拋物線的解析式;

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請

判斷拋物線的對稱軸1與OC有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A,C兩點之間，問：當點P運動到什么位置

時，^PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和aPAC的最大面積.

蘇州中考題：（27題）如圖，已知二次函數(shù)y=f+（l一m）》一加（其中0<wVl）的圖像

與X軸交于4、8兩點（點/在點6的左側），與y軸交于點G對稱軸為直線/.設P為對

稱軸/上的點，連接必、PC,PA=K.

（1）N4?7的度數(shù)為▲°；

（2）求。點坐標（用含0的代數(shù)式表示）；

（3）在坐標軸上是否存在點Q（與原點。不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△

必C相似，且線段圖的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點。的坐標；如果不存

在，請說明理由.

（第27題）

十、其它(如新定義型題、面積問題等)：

例10.定義：若拋物線的頂點與X軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物

線就稱為：“美麗拋物線”.如圖，直線1：y」x+b經(jīng)過點M(0,-?),一組拋物線的頂

34

點Bl(1,yι),B2(2,y2),B3(3,y3),???B,l(n,yn)(n為正整數(shù))，依次是直線1

上的點，這組拋物線與X軸正半軸的交點依次是：Ai(xι,0),A2(X2,0),A3(x3,0),???

An+1(xtl+1,0)(n為正整數(shù)).若XLd(OVdVl),當d為()時，這組拋物線中存

在美麗拋物線.

A.至或-LB.

12121212121212

變式練習：

L在平面直角坐標系中，拋物線y=x'2x-3與X軸交于A、B兩點，(點A在點B左側).與

y軸交于點C,頂點為D,直線CD與X軸交于點E.

(1)請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點的坐標；

(2)將直線CD向左平移兩個單位，與拋物線交于點F(不與A、B兩點重合),請你求出F

點坐標；

(3)在點B、點F之間的拋物線上有一點P,使aPBF的面積最大，求此時P點坐標及APBF

的最大面積；

(4)若平行于X軸的直線與拋物線交于G、H兩點，以GH為直徑的圓與X軸相切，求該圓

半徑.

2.練習：(河池)我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如

圖，直線，：y=fcr+4后與“軸、y軸分別交于/、B,NA4比30°,點一在X軸上，OP

與/相切，當尸在線段》上運動時，使得OO成為整圓的點戶個數(shù)是()

A.6B.8C.10D.12。

蘇州中考題：(26題)如圖，已知/1〃是a∕8C的角平分線，。。經(jīng)過4、B、D三點,過點5

作跖〃49,交G)。于點￡,連接印.

(1)求證：ED//AC-,(2)若BD=2CD,設△板的面積為S∣,△月人的面積為S2,且

2

S1-16S2+4=0,求△四C的面積.

模擬試題：如圖所示，在平面直角坐標系中，OM過點0

且與y軸、X軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x'bx+c經(jīng)

過A、B兩點，點C與點M關于X軸對稱，己知點M的坐標

為⑵-2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線OC與C)M的位置關系，并證明；

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線OC上的動點,判斷是否存在以點P、Q、A、0

為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應的Q點的坐標；若不存在，請說明

理由.

參考答案：

例1.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)根據(jù)X等于零時，可得C點坐標，根據(jù)y

等于零時，可得A、B的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率，根據(jù)平行線的斜率相

等，可得平行BC的直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個交點，可得直線與拋物線聯(lián)立所

得的一元二次方程有一對相等的實數(shù)根，可得判別式等于零；(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得

直線AD的解析式，根據(jù)E點在線段AB上，可設出E點坐標，根據(jù)EF〃y軸，F(xiàn)在拋物線上，

可得F點的坐標，根據(jù)兩點間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案.

2

【解答】解：⑴當y=0時,X-2x-3=0,解得XI=-1,x2=3,即A(-1,0),B(3,0).

當x=0時，y=-3,即C(0,-3).設直線BC的解析式為y=kx+b,直線BC經(jīng)過點B,點C,

得J3k+b=°,解得Ik=I,設平行于βc且與拋物線只有一個交點的直線解析式為y=χ+b,

b=-31b=-3

y=x+b①,>

由題意，得：，②-①，得：x!-3x-3-b=0,只有一個交點，得：Δ=

.y=J-2χ-3②

(-3)2-4×(-b-3)=0,解得b=-&,與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直

4

線解析式y(tǒng)=x-21；

4

2

2_4ac-b44XlX(-3)-(-2)

(2)y=x-2x-3,當X=-電=-----=1時，y

2a2×1^~4×1

(—k+b=O①

-4,即D(l,-4),設直線AD的解析式是y=kx+b,AD的圖象過點A、D,得，

k+b=-4②’

υ--9

解得4，直線AD的解析式是y=-2x-2,線段AD上有一動點E,過E作平行于y軸

b=-2

的直線交拋物線于F,設E點坐標是(x,-2x-2),F點坐標是(x,χ2-2x-3),-1≤

x≤1,

EF的長是：y=(-2x-2)-(x2-2x-3)=-x2+l,,當x=0時，EF及大=1,即點E的坐標是

(0,-2),當線段EF取得最大值時，點E的坐標是(0,-2).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的

判別式，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強.

變式練習：【考點】二次函數(shù)綜合題?！緦ｎ}】壓軸題.

【分析】(1)將A的坐標代入拋物線y=a(X-1)2+3√E(a≠0)可得a的值，即可得到拋

物線的解析式；(2)易得D的坐標，過D作DNLOB于N；進而可得DN、AN、AD的長，根

據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關系表示出來，并求解可得答案;

(3)根據(jù)(2)的結論，易得AOCB是等邊三角形，可得BQ、PE關于t的關系式，將四邊

形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得PQ的長.(4)分

別利用當^A0Ds∕?0QP與當4A0DsZ?0PQ,得出對應邊比值相等，進而求出即可._

【解答】解：(1)?.?拋物線y=a(x-1)2+3√3(a≠0)經(jīng)過點A(-2,0),Λ0=9a+3√3,

?-.√3.-.√3

??ɑa———,??yv----(x^1)'+3Λ∕3;

33

(2))①ID為拋物線的頂點，.?.D(1,3√3),過D作DNLOB于N,貝IJDN=加，AN=3,

；.M)=4呼+(3我)2=6,ΛZDA0=60o.VOM√AD,

①當AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形，.?.0P=6,.?.t=6.

②當DPLOM時，四邊形DAoP是直角梯形，過0作OH_LAD于H,A0=2,則AH=I(如果沒求

出NDAO=60°可由RtAOHAsRtZkDNA(求AH=I)ΛOP=DI1=5,t=5,

③當PD=OA時，四邊形DAoP是等腰梯形，易證：4AOH絲aCDP,.?.AH=CP,

ΛOP=AD-2ΛH=6-2=4,Λt=4.

綜上所述：當t=6、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；

(3);D為拋物線的頂點坐標為：D(1,3√3),過D作DN_LOB于N,則DN=3√2AN=3,

AD=√32+(3√3)2=6,???NDA°=60°'ΛZC0B=60o,OC=OB,Z?OCB是等邊三角形.貝∣]

0B=0C=AD=6,OP=t,BQ=2t,Λ0Q=6-2t(0<t<3)

過P作PE_LoQ于E,則t，ΛSC^×6×3√3--∣×(6-2t)X

B1爭

考(L日)2垮序當

,SlWQ的面積最小值為

當則些應!，

(4)4A0DsaOQP,VA0=2,ΛD=6,Q0=6-2t,OP=t,''2.6

QOOP6-2t7

解得：t=型，當AAODsaOPQ,則旭辿，即N■」一，解得:_6

+L------，

7OPQOt6-2t5

故或墓時以0,P,Q為頂點的三角形與aOAD相似.

57

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角

梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題是考

查重點.

蘇州中考題：解：(1)如圖①，點P從全程共移動了a+26cm(用含a、6的

代數(shù)式表示)；

(2)：圓心。移動的距離為2(a-4)cm,由題意，得：a+2占2(a-4)①，

：點P移動2秒到達B,即點Pls移動了bcm,點、戶繼續(xù)移動3s到達歐的中點，

1

即點小秒移動了工acm..?.且2—②由①②解得Ia=24,

223[b=8

點戶移動的速度為與。。移動速度相同，移動的速度為旦&4cm(CWS).

22

這5秒時間內(nèi)。。移動的距離為5X4=20(Cffl)；

(3)存在這種情況，

設點尸移動速度為HcWs,OQ移動的速度為"Cws,由題意，得

Vl-a+2b=20+2XIO=5

V22(a-4)2(20-4)4，

B7pC

4:CΓ~\

T\

?--->,-、J?H

?h二二"……y-電丸卜

如圖：乂圖①D幺圖②GD

設直線OQ與46交于C點，與CD交于F點,。。與4〃相切于G點，

若如與Oa相切，切點為〃則Q伍Q"

易得ADag∕?D(λH,：.AADB=ΛBDP.

'：BC//AD,：.4ADB=NCBD,：.NBDP=NCBD,：.BF^DP.

設Bp=XCn1,貝IJZVztXe0，PC=(20-x)cm,在Rt叢PCD中,由勾股定理，得

PC+CgP廿,即(20-%)2+lθW,解得產(chǎn)生此時點產(chǎn)移動的距離為10+壟里(。加，

2,22

EolRFEOiQ

'：EF//AD,；.△頌S△胡〃，.?____二犀，即_L=_2_,Ea=I6cm,Ooi=I4cm.

ADBA2010

①當。。首次到達。。的位置時，。。移動的距離為14cm,

45

此時點。與。。移動的速度比為2=更，；義≠王,此時如與。Q不能相切；

1428284

②當。。在返回途中到達。。位置時，。。移動的距離為2(20-4)-14=18c?,

45

.?.此時點〃與OO移動的速度比為2=至王，此時Λ9與Oa恰好相切.

18364

點評：本題考查了圓的綜合題，(1)利用了有理數(shù)的加法，(2)利用了。與。。的路程相

等，速度相等得出方程組是解題關鍵，再利用路程與時間的關系，得出速度，最后利用速度

乘以時間得出結果；(3)利用了相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，

等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關鍵.

例2.【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題；動點型.

【分析】(1)設拋物線解析式為y=ax'bx,把已知坐標代入求出拋物線的解析式.

(2)求出S的面積，根據(jù)t的取值不同分三種情況討論S與