預(yù)習(xí)04利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最大（?。┲担ò舜罂键c(diǎn)）（原卷版）

預(yù)習(xí)04利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最大（小）值一、函數(shù)的極值1.極值的概念：若函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作；極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求導(dǎo)函數(shù)求方程的根考查在方程的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值．二、函數(shù)的最值1.最值的概念：函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最小值，對(duì)于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.2.求可導(dǎo)函數(shù)最值的步驟：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．三、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系1.極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；2.在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個(gè)（或者沒(méi)有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或者沒(méi)有）；3.函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；4.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.考點(diǎn)01函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值的關(guān)系【方法點(diǎn)撥】（1）對(duì)于原函數(shù),要注意其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;（2）對(duì)于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零,在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零【例1】（多選）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．是函數(shù)的極值點(diǎn) B．3是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．1是函數(shù)的極小值點(diǎn)【例2】（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．在時(shí)取極小值 D．在時(shí)取極小值【變式11】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式12】（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上最多有4個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)【變式13】（多選）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，且函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值考點(diǎn)02求不含參函數(shù)的極值【方法點(diǎn)撥】求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟：①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);③令,求出全部的根;④列表:方程的根將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間,把在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi);⑤判斷得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在附近左正右負(fù),則在處取得極大值;若左負(fù)右正，則取得極小值.【例3】已知函數(shù)在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調(diào)區(qū)間，并求極值.【例4】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．(1)；(2)．【變式21】已知函數(shù)的極小值為（

）A． B． C． D．【變式22】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，，則（

）A．的極大值為，無(wú)極小值B．的極小值為，無(wú)極大值C．的極大值為，無(wú)極小值D．的極小值為，無(wú)極大值【變式23】已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.考點(diǎn)03求不含參函數(shù)的最值【方法點(diǎn)撥】求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值的步驟：①對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)的根是否在給定區(qū)間內(nèi)；②研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值；③比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值【例5】設(shè)函數(shù)(1)求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值．【例6】當(dāng).時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上取最小值.【變式31】已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的最值.【變式32】求下列函數(shù)的最值．(1)；(2).【變式33】已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．考點(diǎn)04已知函數(shù)的極值求參數(shù)【方法點(diǎn)撥】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的方程,從而求出參數(shù)的值.（2）導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件,所以必須對(duì)求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合函數(shù)取得極值的條件.【例7】已知函數(shù)在處有極值0，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【例8】若函數(shù)與函數(shù)有相等的極小值，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．【變式41】已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【變式42】已知函數(shù)在處取得極大值，求的值.【變式43】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有極小值，無(wú)極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)05利用極值研究方程根的方法【方法點(diǎn)撥】（1）研究方程根的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問(wèn)題.一般地,方程的根就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程的根就是函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便.【例9】已知函數(shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【例10】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式51】設(shè)函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式52】已知函數(shù)在處有極值0.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【變式53】已知三次函數(shù)的極大值是20，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.如圖所示.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求a，b，c的值；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.考點(diǎn)06已知函數(shù)的最值求參數(shù)【方法點(diǎn)撥】已知函數(shù)最值求參數(shù)的步驟：①求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.；②通過(guò)比較它們的大小,判斷出哪個(gè)是最大值,哪個(gè)是最小值；③結(jié)合已知求出參數(shù),進(jìn)而使問(wèn)題得以解決.注意分類討論思想的應(yīng)用.【例11】若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．4 D．【例12】（多選）函數(shù)，的最大值為，最小值為，則（

）A．或 B．若，則C．若，可得 D．或【變式61】如果函數(shù)在上的最大值是2，那么在上的最小值是.【變式62】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.【變式63】設(shè).當(dāng)時(shí)，在上的最小值為－，求在該區(qū)間上的最大值.考點(diǎn)07與函數(shù)最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】（1）不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化技巧：①或恒成立或；②或)恒有解或）；③恒成立其中）;④恒有解其中).（2）對(duì)于函數(shù),若存在,使得或成立,則或.【例13】已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【例14】已知函數(shù)在處有極值10．(1)求實(shí)數(shù)，的值;(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式71】若在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式72】已知不等式恒成立，則的取值范圍是．【變式73】已知函數(shù)，其中．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)a；(2)若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)08利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】①分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,找出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解方程;③比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小,最大(小)者為最大(小)值;④把所得數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到數(shù)學(xué)問(wèn)題中,看是否符合實(shí)際情況并下結(jié)論.【例13】已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【例14】已知函數(shù)在處有極值10．(1)求實(shí)數(shù)，的值;(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式71】若在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式72】已知不等式恒成立，則的取值范圍是．【變式73】已知函數(shù)，其中．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)a；(2)若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．一、單選題1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題錯(cuò)誤的是（

）A．是函數(shù)的最小值B．是函數(shù)的極值C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處的切線的斜率大于02．若函數(shù)在處取得極小值，則（

）A．4 B．2 C．2 D．43．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）A．0 B． C． D．4．如圖，某幾何體由兩個(gè)相同的圓錐組成，且這兩個(gè)圓錐有一個(gè)共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在處取得極值5，則（

）A． B． C．3 D．76．若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，C．處是函數(shù)的極值點(diǎn)D．時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于08．下列函數(shù)中，存在極值點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)的最大值為3，最小值為，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題10．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值