四邊形與新定義綜合問(wèn)題 -2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)（教師版含解析）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專(zhuān)題32四邊形與新定義綜合問(wèn)題

典例剖析“

【例1】2022?匯川區(qū)模擬）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：

四邊形ABC。中，若∕A+∕C=180°或/8+/。=180°,則四邊形ABC。是“對(duì)補(bǔ)四

邊形

【概念理解】（1）如圖1,四邊形ABCO是“對(duì)補(bǔ)四邊形”.

①若N4：NB：NC=3：2：1,則ND=90度.

②若NB=90°.且AB=3,AO=2時(shí).則CD2-CB2=5.

【類(lèi)比應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形ABCZ）中，AB=CB,BO平分/AOC.求證：四邊形

ABe。是“對(duì)補(bǔ)四邊形”.

【分析】（1）①設(shè)/A=3x°,則N8=2Z,/C=x°,利用“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義列出

方程，解方程即可求得結(jié)論；

②連接4C,利用“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義和勾股定理解答即可得出結(jié)論；

⑵在。C上截取OE=D4,連接8E,利用全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

和“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義解答即可.

【解答】（1）解：①NB：ZC=3：2：I,

二設(shè)NA=3x°,則NB=Zr°,NC=X°,

四邊形ABCo是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，

ΛZΛ+ZC=180°,

.?.3x+x=18O,

,x=45°.

ΛZB=2x=90o.

：四邊形ABCo是“對(duì)補(bǔ)四邊形”,

ΛZB+ZD=180o,

.?.∕O=90°.

故答案為：90；

②連接AC,如圖,

VZB=90°,

：.AB2+BC1=AC2.

?.?四邊形A8C。是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，

ΛZB+ZD=l80o.

ΛZD=900.

ΛAD2+CD2=AC2.

.?AB2+BC1=AD2+Cb1,

.'.CD1-CB2=AB2-AD1,

VΛB=3,AD=2,

.".CD2-CB2=32-22=5.

故答案為：5；

(2)證明：在。C上截取DE=D4,連接8E,如圖,

?.?8。平分乙4。。，

二ZADB=NEDB.

在AAOB和aECB中，

,AD=ED

<ZADB=ZEDB.

DB=DB

.?.∕?ADB^ΛEDB(SAS),

LNA=NDEB,AB=BE,

"：AB=CB,

LBE=BC,

：.ZBEC=ZC.

Λ:ZDEB^ZBEC=ISOO,

，NDEB+NC=180°,

ΛZA+ZC=180o,

，四邊形ABC。是“對(duì)補(bǔ)四邊形”.

【例2】(2022?贛州模擬)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：

如圖1,NB=NC,則四邊形ABC。為等鄰角四邊形.

(1)定義理解：已知四邊形ABCO為等鄰角四邊形，且NA=I30°,N5=120°,則ND

=55度.

(2)變式應(yīng)用：如圖2,在五邊形ABeQE中，ED//BC,對(duì)角線(xiàn)BD平分NABC.

①求證：四邊形A80E為等鄰角四邊形；

②若NA+NC+NE=300°,NBDC=NC,請(qǐng)判斷aBCD的形狀，并明理由.

(3)深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形ABC。中，ZB=ZBCD,CELAB,垂足為E,

點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PNLCD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)P的

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷尸M+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)遷移拓展：如圖4,是一個(gè)航模的截面示意圖.四邊形ABCD是等鄰角四邊形，ZΛ

=∕ABC,E為A8邊上的一點(diǎn)，EDA.AD,ECLCB,垂足分別為￡＞、C,AB=2yfl3dm,

AD=3dm,BD=yf37dm.M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接。M、CN,求ADEM與

△CEN的周長(zhǎng)之和.

A

【分析】(1)由等鄰角四邊形的定義和四邊形內(nèi)角和定理可求解；

⑵①由角平分線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得NEQB=NA8。，可得結(jié)論；

②由三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理可求∕C=60°,即可求解；

(3)由面積關(guān)系可求解；

(4)由直角三角形的性質(zhì)可得AM=OM=ME,EN=NB=CN,由勾股定理可求DG=1,

BG=6,即可求解.

【解答】(1)解：：四邊形ABC。為等鄰角四邊形，NA=130°,ZB=120°,

ΛZC=ZD,

.?.NQ=55°,

故答案為：55；

⑵①證明：???8。平分NABe

ΛZABD=ZDBCf

*：ED〃BC,

."EDB=NDBC,

：.ZEDB=ZABDf

???四邊形ABDE為等鄰角四邊形；

②解：48DC是等邊三角形，理由如下：

?：/BDC=NC,

：?BD=BC,ZDβC=180o-2ZC,

VZA+Z￡+ZABD+ZBD￡=360°,

：.ZA+ZE=360o-2/ABD,

VZΛ+ZC+ZE=300o,

Λ300o-NC=360°-2(180o-2ZC),

ΛZC=60o,

又?：BD=BC,

???△BDC是等邊三角形；

(3)解：PM+PN=CE,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)84,CD交于點(diǎn)H,連接"P,

圖3

?：/B=NBCD,

.'.HB=HC,

?.?SABCH=SABPH+SACPH，

：.—×BH×CE=-×BH×PM+-×CH×PN,

222

：.CE=PM+PN；

(4)解：如圖，延長(zhǎng)AO,BC交于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)B作BGLAH于G,

?'ED±AD,ECLCB,M、N分別為AE、BE的中點(diǎn),

：.AM=DM=ME,EN=NB=CN,

'：AB2=BG2+AG2,BD2=BG2+DG2,

Λ52-(3+OG)2=37-DG2,

.".DG=?,

.?.BG=YDB2-DG2=6,

山(3)可得DE+EC=BG=6,

：.△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和=ME+DM+DE+EC+EN+CN=AE+BE+BG=AB+BG=

(6+2√13W?i.

【例3】(2022?常州二模)定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱(chēng)為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的

夾邊稱(chēng)為鄰余線(xiàn).

(1)如圖/,在aABC中，AB=AC,Ao是AABC的角平分線(xiàn)，E,F分別是B。，A。上的

點(diǎn).求證：四邊形ABM是鄰余四邊形；

(2)如圖2,在5X4的方格紙中,A,B在格點(diǎn)上,請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABER

使AB是鄰余線(xiàn)，E,F在格點(diǎn)上；

(3)如圖3,己知四邊形ABCD是以AB為鄰余線(xiàn)的鄰余四邊形，AB=15,AD=6,BC=3,

ZADC=135°,求CO的長(zhǎng)度.

【分析】(1)根據(jù)鄰余四邊形的定義證明結(jié)論即可：

(2)連接48,在NA+N8=90°的基礎(chǔ)上選擇合適的E點(diǎn)和廠(chǎng)點(diǎn)連接作圖即可;

(3)鄰余四邊形的定義可得∕H=90°,由勾股定理可求解.

【解答】(1)證明：:AB=AC,A。是AABC的角平分線(xiàn)，

：.ADlBC,

ΛZADB=90o，

ΛZDΛB+ZDβA=90",

,NFAJgNEBA互余，

.?.四邊形ABEF是鄰余四邊形;

（圖2）

???四邊形ABCQ是以AB為鄰余線(xiàn)的鄰余四邊形，

ΛZA+ZB=90o,

VZADC=I35°,

.?ZHDC=45σ,

：.NHDC=NHCD=45°,

ΛCH=DH,

'JAB2=AH2+BH2,

：.225=(6+DH)2+(3+D//)2,

.?.O"=6(負(fù)值舍去)，

ΛCD=6√2.

［例4］(2022?工業(yè)園區(qū)模擬)［理解概念］

如果一個(gè)矩形的一條邊與一個(gè)三角形的一條邊能夠重合，且三角形的這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)

恰好落在矩形這條邊的對(duì)邊上，則稱(chēng)這樣的矩形為這個(gè)三角形的“矩形框”.如圖①，矩

形ABDE即為AABC的“矩形框”.

(1)三角形面積等于它的“矩形框”面積的_￡_；

(2)鈍角三角形的“矩形框”有1個(gè);

【鞏固新知】

(3)如圖①，A4BC的“矩形框”ABOE的邊A8=6cm,AE=Zcm,則AABC周長(zhǎng)的最小

值為(6+2λ∕^j^^)_cm；

(4)如圖②，己知AABC中，ZC=90o,AC=4cm,BC=3cm,求AABC的“矩形框”

的周長(zhǎng)；

【解決問(wèn)題】

(5)如圖③，銳角三角形木板ABC的邊AB=I4a〃，AC=?5cm,BC=↑3cm,求出該木板

的''矩形框"周長(zhǎng)的最小值.

圖①圖②圖③

【分析】(1)利用同底等高的面積關(guān)系求解即可；

(2)根據(jù)鈍角三角形垂線(xiàn)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；

(3)作A點(diǎn)關(guān)于Z)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)凡連接BF,則AABC周長(zhǎng)2AC+8F,求出8F+AC即可求

解；

(4)以三角形三邊分別為矩形的一邊作“矩形框”，分別求出周長(zhǎng)即可；

(5)以三角形三邊分別為矩形的一邊作“矩形框”，分別求出周長(zhǎng)，取最小值即可.

【解答】解：(1)：SAABC=￡X48XAE,S矩形A8DE=ABXAE,

?*?SAABC="^~S矩形48OE，

2

故答案為：?:

2

(2)由定義可知，鈍角三角形以鈍角所對(duì)的邊為矩形一邊，能夠構(gòu)造出一個(gè)“矩形框”，

故答案為：1；

(3)如圖①，作A點(diǎn)關(guān)于OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)片連接8凡

CF=AC,

J.AC+BC^BF,

：./XABC周長(zhǎng)^AB+AC+BC^AC+BF,

?*AB=6cmfAE=2ctn,

在RtZ?A8∕?、中，βF=2√13.

∕?ABC周長(zhǎng)的最小值(6+2)cm,

故答案為：(6+205)；

(4)如圖②-1,以AB邊為矩形一邊時(shí)，作“矩形框”A8DE,

VZC=90°,AC^4cm,BC=3cτπ,

??√48=5cm,

?.?S?ΛBC=工×3×4=—×5×AE,

22

19

,-.AE=-,

5

如圖②-2,以BC邊為矩形一邊時(shí)，作“矩形框"8CAR

二矩形BCAF的周長(zhǎng)=2X(3+4)=14(c?m);

同理，以AB為矩形一邊時(shí)，“矩形框”的周長(zhǎng)為14c〃?；

綜上所述：ZXABC的“矩形框”的周長(zhǎng)為工全Cm或14c?m;

5

(5)如圖③-1,以AB為一邊作“矩形框”ABDE,過(guò)點(diǎn)C作CGLAB交于G,

.,.CG1=AC2-AG2=BC2-BG2,AG+BG=AB,

又?.?48=14c”?,4C=15CTO,BC=13CW,

，AG=z9an,BG=5cm,

?*?CG=126777,

“矩形框”ABDE的周長(zhǎng)=2X(14+12)=52cm;

如圖③-2,以8C為一邊作“矩形框”BCNM,過(guò)點(diǎn)A作LeB交于從

,/SAABC=-×CG×AB=-×↑2×↑4=-×AH×BC,

222

13

...“矩形框”BCMW的周長(zhǎng)=2X(13+儂■)=旦2的；

1313

如圖③-3,以AC為矩形一邊，作“矩形框”ACTS,過(guò)點(diǎn)B作BK,AC交于點(diǎn)K,

,.?SAABC=-×CG×AB=-×↑2×14=工×BK×AC,

222

5

，“矩形框"ACTS的周長(zhǎng)=2X（15+^9）—262〉加；

55

..672々0—262

?------?ZJ?■,

135

.?.該木板的“矩形框”周長(zhǎng)的最小值為旦2?！?

c

一.解答題（共20題）

1.（2022?羅湖區(qū)模擬）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角

為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形.

根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題:

⑴如圖1,正方形ABCD中E是Co上的點(diǎn)，將48CE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，

此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在D4的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則四邊形BEDF是（填“是”或“不是”）

“直等補(bǔ)”四邊形；

⑵如圖2,已知四邊形ABCZ）是''直等補(bǔ)"四邊形，AB=BC=IO,CZ）=2,AD>AB,

過(guò)點(diǎn)B作BElADTE.

①過(guò)C作CF,B尸于點(diǎn)F,試證明：BE=DE,并求BE的長(zhǎng)；

②若M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求aBCM周長(zhǎng)的最小值.

圖I圖2備用圖

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/ABF=NCBE,BF=BE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得/ABC=

NO=90°,可得出NEBF=/0=90°,即可得出答案；

（2）①首先證明四邊形Cf）EF是矩形，貝∣JOE=CF,EF=CD=2,再證AABE絲ABCF,

根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得BE=C凡AE=BF,等量代換即可得BE=OE;由AE

=BF,EF=C0=2可得AE=BE-2,設(shè)8E=x,根據(jù)勾股定理求出X的值即可；

②延長(zhǎng)Co到點(diǎn)G,使OG=C。，連接BG交AO于點(diǎn)M',過(guò)點(diǎn)G作GHLBC,交BC

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)”，證明aABEsaCGH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出C4、“G的值，在

RIABHG中,根據(jù)勾股定理求出8G,即可求解.

【解答】解：（1）；將48CE繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，8C與BA重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在/）4的延長(zhǎng)

圖1

ΛZABF=ZCBE,BF=BE,

???四邊形ABC。是正方形，

ΛZABC=ZD=90o,

ΛZABE+ZCBE=90o,

.?.NABE+NAB77=9O°,即N"/=NO=90°,

ΛZEBF+ZD=180°,

?：NEBF=90°,BF=BE,

???四邊形BE。尸是“直等補(bǔ)”四邊形.

故答案為：是；

(2)①證明：Y四邊形ABC。是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=W9CE>=2,AD>ABf

：.ZABC=90o,NABC+NO=180°,

ΛZD=90o,

9

JBELADfCF±BEf

:?∕DEF=90°,ZCFE=90o,

???四邊形COEb是矩形，

：.DE=CFfEF=CD=2,

?.?NABE+NA=90°,NABE+NC8E=90°,

???ZA=ZCBFf

VZAEB=ZBFC=90o,AB=BC,

：.ΛABE^ABCF(AAS)9

：.BE=CFfAE=BFf

*：DE=CF,

：.BE=DE；

???四邊形COEb是矩形，

：.EF=CD=I,

?：AABEQ4BCF,

：.AE=BFf

J.AE=BE-2,

設(shè)BE=K,則4E=x-2,

在RtZ?A8E中，/+(X-2)2=1()2,

解得：x=8或X=-6(舍去)，

???8七的長(zhǎng)是8；

②β.?ABCM周長(zhǎng)=BC+BM+CM,

：.當(dāng)BM+CM的值最小時(shí)，ABCM的周長(zhǎng)最小，

如圖，延長(zhǎng)Co到點(diǎn)G,使。G=C。，連接BG交AO于點(diǎn)M',過(guò)點(diǎn)G作G//L3C,

交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)”，

A

E

BCH

VZADC=90Q,

...點(diǎn)C與點(diǎn)G關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，

ΛBM+CM=BM+MG^BG,即BM+CM*Λ∕'+M'C,

，當(dāng)點(diǎn)M與重合時(shí)，BM1+M'C的值最小，即ABCM的周長(zhǎng)最小,

在Rt?ABE中，AE={AB2-BE2~√102~82~6,

Y四邊形ABC。是“直等補(bǔ)”四邊形，

ΛZA+ZFCD=180°,

"：ZBCD+ZGCH=ISOo,

.?.NA=NGCH,

；NAEB=NH=90°,

4ABESACGH,

.BEAEAB105pπ88-25

GHCHCG42GHCH2

ΛGH=-H1C//=—,

55

：.BH=BC+CH=10-J^-=—,

55

βc-√BH2-KJH2(?)2+(?)2=2TI-

...△BCM周長(zhǎng)的最小值為2√ZI+10.

2.(2022?越秀區(qū)校級(jí)模擬)有一組對(duì)邊平行，一個(gè)內(nèi)角是它對(duì)角的兩倍的四邊形叫做倍角梯

形.

(1)己知四邊形ABCC是倍角梯形，AD//BC,ZA=IOOo,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的

ND的度數(shù)；

(2)如圖1,在四邊形A8C。中，NBA。+/8=180°,BC=AD+CD.求證：四邊形A8CZ)

是倍角梯形；

(3)如圖2,在(2)的條件下，連結(jié)AC,當(dāng)AB=AC=A0=2時(shí)，求JSC的長(zhǎng).

【分析】(1)由題意得出NO=2∕8或∕B=2N?；騈A=2NC,根據(jù)梯形的性質(zhì)可得出

答案；

⑵過(guò)點(diǎn)/)作/)E〃48,交BCT點(diǎn)、E,證明四邊形ABED為平行四邊形，得出AD=BE,

NB=NDEC=NADE,證出∕AZ)C=2N3,則可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)E作AE〃。C交BC于點(diǎn)E,由等腰二角形的性質(zhì)求出∕B=NAC8=36°,證明

ΔABE^?CBA,由相似三角形的性質(zhì)得出金殳型，設(shè)AE=BE=CO=X,得出方程2?

BCAB

=X(X+2),求出X=F-I,則可得出答案.

【解答】解：(1)?.?AC"BC,

ΛZΛ+ZB=180o,

VZA=IOOo,

ΛZB=80°,

?.?四邊形ABCD是倍角梯形，

NO=2/8或N8=2∕D或NA=2NC,

若NO=2/8,則NO=I60°；

若NB=2ND,則/0=40°,

若∕A=2∕C,則∕C=50°,

ΛZD=130°,

故所有滿(mǎn)足條件的/。的度數(shù)為160°或40°或130°；

(2)證明：過(guò)點(diǎn)。作OE〃A8,交8C于點(diǎn)E,

.,.AD//BC,

'：DE//AB,

：.四邊形ABED為平行四邊形，

：.AD=BE,/B=NDEC=/ADE,

?：BC=BE+CE,

/.BC=AD+CEf

又?.?BC=AD+CD,

：.CE=CD,BC>AD,

：?ZCDE=ZDEC9

：.ZADC=ZADE+ZCDE=2ZB,

???四邊形ABCQ是倍角梯形；

(3)過(guò)點(diǎn)E作AE//DC交BC于點(diǎn)E,

工/B=NACB,

'.'AD=AC9

：?ZACD=ZDt

9JAD//BC,

：.ZACB=ADAC,

設(shè)NB=α,則NQ=2α,

VZDΛC+ZD+ZΛCD=180°,

Λα+2α+2α=180°,

Λa=36o,

ΛZB=ZACB=360,

：.ZBAC=ZAEB=108°,

VZfi=ZB,

Λ?ABE^ΔCBA,

?ABBE

??n一,

BCAB

設(shè)AE=BE=CD=X,

貝IJ8C=2+x,

Λ22=X(X+2),

.?.χ=√5-1(負(fù)值舍去)，

ΛCZ)=√5-1.

ΛBC=ΛD+CD=2+√5-1=√5+1.

3.(2022?嘉祥縣一模)定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱(chēng)為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾

邊稱(chēng)為鄰余線(xiàn).

(1)如圖1,在AABC中，AB=AC,4。是aABC的角平分線(xiàn)，E,F分別是8。，AD±

的點(diǎn).求證：四邊形A8EF是鄰余四邊形.

(2)如圖2,在⑴的條件下，取EF中點(diǎn)M,連接。M并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)°,延長(zhǎng)EF交AC

于點(diǎn)M若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE,QB=3,求鄰余線(xiàn)AB的長(zhǎng).

【分析】⑴由等腰三角形的三線(xiàn)合一定理先證AOL8C,再證∕ZMB+∕OBA=90°,由

鄰余四邊形定義即可判定；

(2)由等腰三角形的三線(xiàn)合一定理先證8/)=CD,推出CE=58E,再證明4DBQs∕?ECM

推出&殳=毀=2,即可求出NC,AC,AB的長(zhǎng)度.

NCCE5

【解答】(1)證明：???A8=AC,AO是AABC的角平分線(xiàn)，

：.ADLBC,

：.ZADB=90o,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

,NFBA與NEBA互余,

???四邊形ABE尸是鄰余四邊形；

(2)解：?.?AB=AC,AD是△4?C的角平分線(xiàn),

：?BD=CD,

VDE=2BE,

：?BD=CD=3BE,

：?CE=CD+DE=5BE,

NE=90°,點(diǎn)M是石戶(hù)的中點(diǎn)，

：?DM=ME,

：.NMDE=NMED,

uJAB=AC,

,/B="

：./\DBQsAECN,

.QB=BD=3

,NCCE^5

.?Q8=3,

'.NC=5,

:AN=CN,

?AC=2CN=?0,

'.AB=AC=IO.

4.(2021?任城區(qū)校級(jí)三模)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做'’等鄰角四邊形”

(1)概念理解：

請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子：矩形或正方形；

(2)問(wèn)題探究；

如圖1,在等鄰角四邊形ABCQ中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂線(xiàn)恰好交于AB邊

上一點(diǎn)P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與BO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)應(yīng)用拓展：

如圖2,在RtBC與RtΔ14BO中，NC=/0=90°,BC=BD=3,AB=5,將Rt△

ABo繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°VNaVNBAC)得到RtAAB'￡>'(如圖3),當(dāng)凸四邊

形40'BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積.

【分析】(1)矩形或正方形鄰角相等，滿(mǎn)足“等鄰角四邊形”條件；

(2)結(jié)論：AC=BD,證明AOPB(SAS);

(3)分兩種情況考慮：I、當(dāng)∕AO'B=ND'8C時(shí)，延長(zhǎng)AO',CB交于點(diǎn)E,如圖1,

由S四邊彩AcBD=SAACE-SABED,求出四邊形ACB。'面積;

0

11、當(dāng)/。'BC=ZACB=W時(shí)，過(guò)點(diǎn)。'作￡>'ELAC于點(diǎn)E,如圖2,由SIMja)KACBD

=SΛAED+sECBD.求出四邊形AC80'面積即可.

【解答】解：(1)矩形或正方形是一個(gè)等鄰角四邊形.

故答案為：矩形，正方形：

(2)結(jié)論：AC=BD,

理由：連接P力，PC,如圖1所示:

?.?PE是A。的垂直平分線(xiàn)，PF是BC的垂直平分線(xiàn)，

.'.PA=PD,PC=PB,

：.ZPAD=ZPDA,NPBC=ZPCB,

：.NDPB=2NPAD,NAPC=2NPBC,即N∕?O=NP8C,

，ZAPC=ZDPB,

：.AAPgADPB(SAS),

：,AC=BD-,

(3)分兩種情況考慮：

⑺當(dāng)NA。'B=ZD'8C時(shí)，延長(zhǎng)A。'，CB交于點(diǎn)E,

如圖3⑺所示，

.?ZED'B=ZEBD',

；.EB=ED',

設(shè)EB=ED'=x,

由勾股定理得：42+(3+X)2=(4+X)2,

解得：x=4.5,

過(guò)點(diǎn)。'作O'FLCE于F,

：.D'F//AC,

：./\ED'FSXEIC

zyZ

.DFEDBIIDF_4.5

ACAE`44+4.5

解得：D1F=-,

17

?SAACE=-AC×EC=—×4X(3+4.5)=15；SMED?=工義BEXD'F=-×X4.5×-^-

222217

=81

17

81_174

!?JSKiHK.ACBD=SAACE-SABED'=15-^17~YΓ

(汾當(dāng)N?！?C=NACB=90°時(shí)，，過(guò)點(diǎn)￡>'作O'E_L4C于點(diǎn)E,

如圖3(,7)所示,

.?.四邊形ECBD'是矩形，

：.ED'=BC=3,

在RtZ?AEO'中，根據(jù)勾股定理得：AEr小呼=H

???S?4ED=工XAEXEO'=A×√7X3="——~~■—，SECBD=CEXCB=(4-√7)X3

222

=12-3√7.

貝I]SITO形ACBo=S?AEO+sS.?ECBD=3盧+12^3√7=12-'R.

22

5.(2022春?曾都區(qū)期末)定義：我們把對(duì)角線(xiàn)相等的凸四邊形叫做”等角線(xiàn)四邊形

(1)在己經(jīng)學(xué)過(guò)的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角線(xiàn)四

邊形”的是②④(填序號(hào)):

(2)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CO上，且EC=。凡連接E尸，

AF,求證：四邊形ABE尸是等角線(xiàn)四邊形；

(3)如圖2,已知在AABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,0為線(xiàn)段AB的垂直平分

線(xiàn)上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A,B,C,O為頂點(diǎn)的四邊形是等角線(xiàn)四邊形，求這個(gè)等角線(xiàn)四邊形

【分析】(1)由矩形和正方形的性質(zhì)可宜接求解；

(2)由“S4S”可證AA8E<ZS,BCF,可得AE=B凡可得結(jié)論;

(3)分兩種情況討論，由勾股定理求出。E的長(zhǎng)，即可求解.

【解答】(1)解：：矩形、正方形的對(duì)角線(xiàn)相等，

，矩形和正方形是“等角線(xiàn)四邊形”，

故答案為②④；

(2)證明：連接AE,BF,

：四邊形ABeO是正方形,

：.AB=BC=CD,NABC=/BCO=90°,

*：EC=DF,

.".BE=CF,

∕?ABE^LBCF(SAS),

：.AE=BF,

：.四邊形ABEF是等角線(xiàn)四邊形;

(3)當(dāng)點(diǎn)。在AB的上方時(shí)，如圖,

「OE是A8的中垂線(xiàn)，

：.AE=BE=2,

VZΛBC=90o,48=4,BC=3,

?'.AC=5,

???四邊形ABCD為等角線(xiàn)四邊形，

.?AC=zBD=5,

DE=√ββ2-βE2=√25-4=V21，

?'?S四邊彩AβCD~S^ABD^^SI^BCD~~XA8XDE+—XBCXBE-2√21+3；

22

當(dāng)點(diǎn)。在AB的下方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)。作。FLBC,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于凡

???四邊形ACBD為等角線(xiàn)四邊形,

.?.8A=CZ)=4,

"：DEYAB,NABF=90°,DFVCF,

.?.四邊形OEBF是矩形，

：.BE=DF=2,DE=BF,

?/7-√CD2-DF2=416-4=2Vs,

ΛβF=2√3-3,

,S四邊%AD8C=SΔA8C+SAA8Z)=^-X4><(2Λ/^-3)+-∣?×4×3=4Λ∕3,

綜上所述：這個(gè)等角線(xiàn)四邊形的面積為4√5或2&I+3.

6.(2022春?南海區(qū)期末)定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做

等腰梯形.

【性質(zhì)初探】如圖1,已知，^ABCD,/8=80°,點(diǎn)E是邊AO上一點(diǎn)，連結(jié)CE,四

邊形ABCE恰為等腰梯形.求NBCE的度數(shù)；

【性質(zhì)再探】如圖2,已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF,BF

=CE,連結(jié)BE、CF.求證：BE=CF;

【拓展應(yīng)用】如圖3,回ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、8。交于點(diǎn)O,AB=2,NABC=45°,過(guò)

點(diǎn)。作AC的垂線(xiàn)交8C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連結(jié)。G.若∕CZ)G=90°,求BC的長(zhǎng).

【分析】【性質(zhì)初探】過(guò)點(diǎn)A作AGlBC交于G,過(guò)點(diǎn)E作EHLBC交于H,證明Rt?

ABG^RtΛECG(HL),即可求解；

【性質(zhì)再探】證明aBFC絲Z?CEB(SAS),即可求解;

【拓展應(yīng)用】連接AC,過(guò)G點(diǎn)作GMLAD交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,分別證明aACG是等腰三

角形，4CDG是等腰直角三角形，ADGM是等腰直角三角形，從而可求AG=2√2,

GM=DMy]21在RtZ?AGM中，用勾股定理求出Ao的長(zhǎng)即為所求BC的長(zhǎng).

【解答】【性質(zhì)初探】解：過(guò)點(diǎn)4作AG_L8C交于G,過(guò)點(diǎn)E作E"_LJBC交于“，

?：團(tuán)ABCD,

：,AE〃BC,

：.AG=EH,

?.?四邊形ABCE恰為等腰梯形，

YAB=EC,

：.Rt?ABG^Rt?ECG(WL),

；?NB=NECH,

-：ZB=SOo,

：.ZBCE=SOo；

【性質(zhì)再探】證明：Y四邊形ABCO是矩形，

:?AE〃BC,

???四邊形BCE尸是等腰梯形，

LBF=CE,

山(1)可知，NFBC=NECB,

MBFgACEB(SAS),

：?BE=CF；

【拓展應(yīng)用】解：連接AC,過(guò)G點(diǎn)作GMLAo交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

??.。是AC的中點(diǎn)，

VGOLAC,

：.AC=CGf

?aAB∕∕CD,NABC=45°,

Z.ZDCG=45o,

ΛZCDG=90o,

ΛCD=DG,

：.BA=DG=2,

VZCDG=90o,

ΛCG=2√2,

ΛΛG=2√2,

?'N4OC=NOCG=45°,

，NCQM=135°,

ΛZGDΛ∕=450,

：.GM=DM=?，

在RtZ?AGM中，(2&)2=(ΛD+√2)2+(√2)2,

ΛAD=Λ∕6-V2，

ΛBC=√6-√2.

7.(2022春?長(zhǎng)汀縣期末)在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)p(α,份滿(mǎn)足α+l>6且。+1>“，則

稱(chēng)點(diǎn)P為“自大點(diǎn)”：如果一個(gè)圖形的邊界及其內(nèi)部的所有點(diǎn)都不是“自大點(diǎn)”，則稱(chēng)這

個(gè)圖形為“自大忘形”.

(1)判斷下列點(diǎn)中，哪些點(diǎn)是“自大點(diǎn)”，直接寫(xiě)出點(diǎn)名稱(chēng)；pι(l,0),p2(√5,√E),

-

P3(^1>Vδ)?

(2)如果點(diǎn)N(2X+3,2)不是“自大點(diǎn)”，求出X的取值范圍.

(3)如圖，正方形ABC。的初始位置是4(0，6),8(0,4),C(2,4),DQ,6),現(xiàn)在正方

形開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下0,軸負(fù)方向)平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(f>0),當(dāng)正方

形成為“自大忘形”時(shí)，求f的取值范圍.

H

6」

--------------------------------A

0X

【分析】(1)利用“自大點(diǎn)”的定義解答即可；

(2)利用“自大點(diǎn)”的定義列出不等式組解答即可；

(3)用f表示出平移后的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用(2)中的方法求得平移后的正方形

的三個(gè)頂點(diǎn)不是“自大點(diǎn)”時(shí)的r的范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)尸2；理由：

；點(diǎn)P(a,6)滿(mǎn)足a+?>bS,b+?>a,則稱(chēng)點(diǎn)P為“自大點(diǎn)”，

：.a,6滿(mǎn)足-l<6-αVl,

VP1(1,O),O-I=-I,

.?.Pι(l,0)不是“自大點(diǎn)”；

v

P2(√2,√3)--1<V3-V2<1>

Λ

P2(√2,√ξ)是“自大點(diǎn)”；

Vp3(-1,-√5)--√5-(-l)=l-√5,

P3(T,)不是"自大點(diǎn)”，

綜上，三個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)尸2是“自大點(diǎn)”；

(2)如果點(diǎn)N(2X+3,2)是“自大點(diǎn)”,

f2x+3+l>2

：.<、,

I2+l>2x+3

解得：-l<x<0,

，當(dāng)XW-I或時(shí)，點(diǎn)N(IX+3,2)不是“自大點(diǎn)”，

.??x的取值范圍是XW-1或xNO；

(3)；正方形ABCD的初始位置是A(0,6),8(0,4),C(2,4),D(2,6),

，平移之后的坐標(biāo)分別為(0,6-/),B(0,4-/),C(2,4-t),。(2,67),

當(dāng)A點(diǎn)平移后的點(diǎn)是“自大點(diǎn)時(shí)”，-1<6-∕<1,

解得：5<t<l,

故4點(diǎn)平移后的點(diǎn)不是“自大點(diǎn)時(shí)”，0VfW5或r27,

同理，當(dāng)8點(diǎn)和。點(diǎn)平移后的點(diǎn)不是“自大點(diǎn)時(shí)"，0<fW3或

同理，當(dāng)C點(diǎn)平移后的點(diǎn)不是“自大點(diǎn)時(shí)”，OVfWl或/23,

.?.當(dāng)平移后的正方形邊界及其內(nèi)部的所有點(diǎn)都不是“自大點(diǎn)”時(shí)，O<fWl或者f27或f

=3或5.

.?.當(dāng)正方形成為“自大忘形”時(shí)，f的取值范圍為：O<W1或者注7或者/=3或5.

8.(2022春?江北區(qū)期末)定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四

邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這

個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形

概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是D.

A,平行四邊形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

性質(zhì)探究：如圖1,四邊形A8CO是“中方四邊形”，觀察圖形，寫(xiě)出關(guān)于四邊形ABCz)

的兩條結(jié)論：

①AC=BQ；

②4C_LB￡>.

問(wèn)題解決：如圖2,以銳角的兩邊AB,AC為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形ABQE

和正方形ACFG,連結(jié)8E,EG,GC.求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；

拓展應(yīng)用：如圖3,己知四邊形48CD是“中方四邊形”，M,N分別是AB,C。的中點(diǎn)，

(D試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑵若AC=2,求AB+CD的最小值.

圖I圖2圖3

【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；

性質(zhì)探究：由四邊形ABC。是“中方四邊形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H會(huì)

別是AB、BC、CD、AQ的中點(diǎn)，利川三角形中位線(xiàn)定理即可得出答案；

問(wèn)題解決：如圖2,取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為尸、Q、R、L并順次連接成四邊形

MNRL,連接CE交A8于P,連接8G交CE于K,利用三角形中位線(xiàn)定理可證得四邊形

MNRL是平行四邊形，再證得aEAC絲Z∑84G(SAS),推出固MNRL是菱形，再由/LWN

=90°,可得菱形MNRL是正方形,即可證得結(jié)論；

拓展應(yīng)用：(1)如圖3,分別作A。、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EMNF、FM、ME,可

得四邊形ENFM是正方形,再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)如圖4,分別作40、8C的中點(diǎn)E、尸并順次連接EN、NF、FM.ME,連接8。交AC

于O,連接。M、0N,當(dāng)點(diǎn)。在KV上(即M、0、N共線(xiàn))時(shí)，OM+0N最小，最小值為

MN的長(zhǎng)，再結(jié)合(1)的結(jié)論即可求得答案?

【解答】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四

邊形”，理由如下：

因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線(xiàn)相等且互相垂直，

故選：。：

性質(zhì)探究：?AC=BD,②ACj

理由如下：如圖1,

Y四邊形ABCO是“中方四邊形”，

二EFG”是正方形且E、F、G、”分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，

：.NFEH=90°，EF=EH,EH//BD,EH=-BD,EF//AC,EF=-AC,

22

：.ACLBD,AC^BD,

故答案為：ACLBD,AC=BD-,

問(wèn)題解決：如圖2,取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形

MNRL,連接CE交A8于P,連接BG交CE于K,

：四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L,

：.MN、NR、RL、LW分別是48CG?ΔCEG>ABGE、Z?CE8的中位線(xiàn)，

：.MN//BG,MN=-BG,RL//BG,RL=-BG,RN//CE,RN=-CE,ML//CE,ML

222

=-CE,

2

：.MN〃RL,MN=RL,RN//ML//CE,RN=ML,

：.四邊形MNRL是平行四邊形，

Y四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，

：.AE=AB,AG=AC,ZEAB=ZGAC=90o,

又：ZBAC=ZBAC,

：.ZEAB+ZBAC^ZGAC+ZBAC,

即NEAC=NBAG,

在AEAC和48AG中，

,AE=AB

<ZEAC=ZBAG)

AC=AG

Λ?EΛC^?BΛG(SΛS),

.,.CE=BG,ZAEC=ZABG,

又?.?RL=LBG,RN=-CE,

22

LRL=RN,

：,⑦M(jìn)NRL是菱形，

VZEAB=90o,

ΛZAEP+ZAPE=90o.

又?/ZAEC=NABG,NAPE=NBPK,

：.ZABG+ZBPZC=90°,

：,/BKP=驕,

又?：MN〃BG,ML//CEf

：.ZLMN=90Q,

???菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；

拓展應(yīng)用：(1)MN=返4C,理由如下：

2

如圖3,分別作A。、8C的中點(diǎn)E、尸并順次連接￡W、NF、FM、ME,

?；四邊形ABCo是“中方四邊形”，M,N分別是AB,CQ的中點(diǎn)，

/.四邊形ENFM是正方形，

.?FM=FN,NMFN=90°,

MN=JFM2+FN2=V2FM2=近FM,

'：M,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，

：.FM=-AC,

2

JMN=√=2AC;

2

(2)如圖4,分別作A。、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME,

連接8。交AC于0，連接OM、ON,

當(dāng)點(diǎn)。在MN上(即M、0、N共線(xiàn))時(shí)，OM+0N最小，最小值為MN的長(zhǎng),

.?.2(0M+ON)破小=2MM

由性質(zhì)探究②知：ACYBD,

又YM,N分別是A8,CC的中點(diǎn)，

：.AB=2OM,CD=ION,

.?.2(OM+CW)=A8+CQ,

.?(AB+C。加小=2Λ∕N,

由拓展應(yīng)用(1)知：MN=與AC；

又?.NC=2,

：.MN=也,

/.(ΛB+CD)?∕∣×=2y[2,.

G

9.（2022春?銅山區(qū)期末）新定義；若四邊形的一組對(duì)角均為直角，則稱(chēng)該四邊形為對(duì)直四邊

形.

（1）下列四邊形為對(duì)直四邊形的是②④（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）；

①平行四邊形；②矩形；③菱形，④正方形.

（2）如圖，在對(duì)直四邊形ABeO中，已知NABC=90°,。為AC的中點(diǎn).

①求證：8。的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；

②若48=6,BC=8,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全四邊形ABC。，使四邊形ABCC的面積取得最大

值，并求此時(shí)8。的長(zhǎng)度.

（備用圖）

【分析】（1）由對(duì)直四邊形的定義可求解；

（2）①由直角三角形的性質(zhì)可得BO=。。，可得結(jié)論；

②由“4S4”可證/ZsOCB,可得DE=DB,AE=BC=S,由等腰直角三角形的性

質(zhì)可求解.

【解答】（1）?.?矩形和正方形的四個(gè)角都是直角,

...矩形和正方形是對(duì)直四邊形，

故答案為：②④；

ΛZABC=ZADC=90c3,

?.?。為AC的中點(diǎn).

：.BO=DO.

??.8Q的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；

②四邊形ABCD的面積=S“8C+5ΔACD,S^ΛBC是定值,

???SΔΛCD有最大值時(shí)，四邊形ABCD的面積有最大值,

TAC是定長(zhǎng)，

；?當(dāng)OCAC時(shí)，SΔACD有最大值.

如圖，過(guò)點(diǎn)。作。ELBD交JBA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E

?'AO=OC=OD,ODA-AC,

：.AD=CD1

VDE±BD,

ΛZfDB=ZΛDC=90o，

,NEDA=NBDC,

VZABC=ZADC=9Qo,

ΛZDAB+ZDCB=180°,

?.?∕OAB+∕D4E=180°,

，ZDCB=ZDAE,

.?ΛDAE^∕?DCB(ASA),

.?DE=Dβ,AE=BC=S,

.?.AOEB是等腰直角三角形，BE=14,

ΛDB=7√2?

10.(2022春?鹽田區(qū)校級(jí)期末)給出如下定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱(chēng)為“鄰余四

邊形”，這兩個(gè)角的夾邊稱(chēng)為“鄰余線(xiàn)”.

(1)如圖1,格點(diǎn)四邊形ABCO是“鄰余四邊形”，指出它的“鄰余線(xiàn)”；

(2)如圖2,在aABC中，AB=AC,AQ是aABC的角平分線(xiàn)，E,F分別是BD,AD±

的點(diǎn).求證：四邊形ABEF是''鄰余四邊形”；

(3)如圖3,四邊形48C。是“鄰余四邊形”，AB為“鄰余線(xiàn)”，E,尸分別是A8,8的

中點(diǎn)，連接E兄AD=4,BC=6.求E尸的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)鄰余四邊形的定義得出答案即可；

(2)根據(jù)鄰余四邊形的定義證明結(jié)論即可；

(3)連接并延長(zhǎng)到G,使EG=DE,連接8G,CG,先得出Eo絲ZXBEG,再利用勾

股定理得出GC的長(zhǎng)，最后利用三角形中位線(xiàn)定理得出結(jié)果.

【解答】⑴解：

ΛZA+ZB=90o,

二它的“鄰余線(xiàn)”是AB;

(2)證明：AB=AC,是AABC的角平分線(xiàn),

：.ADLBC,

：.ZADB=90o，

.,.ZDAB+ZDBA=90°,

.?.NΛ4B與/E8A互余，

，四邊形ABE尸是鄰余四邊形；

(3)解：如圖，連接。E并延長(zhǎng)到G,使