河北省淶水波峰中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

11O

1.設(shè)M,N為兩個(gè)隨機(jī)事件,給出以下命題：(1)若N為互斥事件,且P(M)=,P(N)=W,則P(憶N)=力；

⑵若P(M)=LP(N)=LP(MN)=L則”,N為相互獨(dú)立事件；⑶若=P(N)=L

23623

P(MN)=',則M,N為相互獨(dú)立事件；(4)若P(M)=；,P⑻=；,P(MN)=*,則",N為相互獨(dú)立事件;

(5)若P(M)=；,PM)=；,P(麗)=|,則KN為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.已知函數(shù)/(χ)=Mχ-lnχ)-C,若/(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是

X

A.(-e,+∞)B.(-∞,e)C.(-∞,e]D.(-∞,-]

e

2'皿，則/(2)=()

3.已知函數(shù)/(X)=，

J(X-3),x>0

11

A.32B.-C.16D.

232

4.已知直線分+y-l=。是圓￡一］2工一14,+60=0的對(duì)稱軸,則實(shí)數(shù)α=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中A、5、。三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位學(xué)生選修三

門，則每位學(xué)生不同的選修方案種數(shù)是()

A.70B.98C.108D.120

6.2019年6月7日，是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”。這天，小明的媽媽煮了7個(gè)粽子，其中3個(gè)臘肉餡，4個(gè)豆沙餡。

小明隨機(jī)抽取出兩個(gè)粽子，若已知小明取到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為臘肉餡的概率為()

1133

A.-B.-C.-D.—

73710

7.已知/(X)是定義域?yàn)?-∞,+8)的奇函數(shù),滿足/(l-?)=/(1+X).若/(1)=2,則

/(1)+/(2)+/(3)++/(50)=()

A.—50B.0C.2D.50

8.定義在R上的函數(shù)/(x)=(g)i∣-1為偶函數(shù)，記α=∕(logo52),b=∕(bg21.5),c=f"ι),則()

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<h<cD.c<h<a

9.拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A(5,3),尸為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線AE上，則ΔE4F周長(zhǎng)的最小值為

A.6B.8C.11D.13

Iog1Λ,0<X≤1

10.若函數(shù)/(無)=5,函數(shù)g(x)=/(X)一乙有3個(gè)零點(diǎn)，則#的取值范圍是()

—?(?-I)(X-3),x>l

A.(0,1)B.(θ,6-2√3)C.(θ,6+2√3)D.(6-2√3,6+2√3)

2

11.如果——=1+加(〃7∈∕?,i表示虛數(shù)單位)，那么加=()

1+z

A.1B.-1C.2D.0

12.世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線)，這16個(gè)隊(duì)按照確

定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為()

A.64B.72C.60D.56

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若圓柱的軸截面為正方形，且此正方形面積為4,則該圓柱的體積為

14.若圓柱的軸截面面積為2,則其側(cè)面積為一；

/??

15.已知函數(shù)/(光)=02，,則/匕卜

log—%,%>0

I2

16.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科(3門理科，3

門文科)中選擇3門學(xué)科參加等級(jí)考試，小李同學(xué)受理想中的大學(xué)專業(yè)所限，決定至少選擇一門理科學(xué)科，那么小李

同學(xué)的選科方案有種.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機(jī)的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學(xué)科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認(rèn)為：

網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對(duì)多數(shù)學(xué)生來講，容易產(chǎn)生依賴心理，對(duì)學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜

題在學(xué)生中的使用情況，某校對(duì)學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取

了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：

一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)區(qū)間男生頻數(shù)-女生頻數(shù)

[0,10]184

(10,20]108

(20,30]1213

(30,40]615

(40,50]410

將學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題”，不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)

絡(luò)搜題”.

(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列2x2列聯(lián)表(單位：人)中數(shù)據(jù)的填寫，并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提

下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)？

經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)兩~偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題合計(jì)

女生

言計(jì)

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一個(gè)人，抽取

4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

參考公式:其中n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+C)S+d)

參考數(shù)據(jù):

P(z2>m)0.0500.0100.001

m3.8416.63510.828

18.(12分)如圖，矩形ABCr)所在的平面與直角梯形COEF所在的平面成60的二面角，DEHCF,CDlDE,

AD=2,EF=36，CF=6,NCFE=45。.

(1)求證：BF//面ADE;

(2)在線段CF上求一點(diǎn)G,使銳二面角B—EG—。的余弦值為空.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=]/一α]riχ+l(αw/?).

(I)若函數(shù)/(x)在U,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍

(∏)若對(duì)任意不等式|/(王)一/(即歸加恒成立，求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

-2≤α<0,與,Λ2∈[1,2],

Illl]

20?⑴分)已知數(shù)列記審羔而…的前〃項(xiàng)和為S

n×(n+l)

(I)計(jì)算H，$2,S3,邑的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想S”的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中猜想的S“表達(dá)式.

21.(12分)如圖，在四棱錐P—A8C。中，底面ABC。是矩形，PA，平面ABCO,B4=AT>=2AB=2,E是

PB的中點(diǎn).

(1)求三棱錐P—ABC的體積；

(2)求異面直線EC和Az)所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

22.(10分)[選修4-5：不等式選講]

已知函數(shù)/(x)=∣x+4∣+∣x-2∣的最小值為〃.

(1)求〃的值；

(2)若不等式|x—α∣+∣x+4∣≥〃恒成立，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)互斥事件的加法公式，易判斷(1)的正誤；根據(jù)相互對(duì)立事件的概率和為1,結(jié)合相互獨(dú)立事件N的概率滿

定P(MN)=P(M)?P(N),可判斷(2)、(3)、(4)、(5)的正誤.

【詳解】

若MN為互斥事件，且P(V)=I,尸(N)=；,

119

則P(Ml7V)≈5+4=20'

故(1)正確；

若P(M)=!,P(N)="P(MN)=J

236

則由相互獨(dú)立事件乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事件,

故(2)正確；

若尸W)=；,P(N)=g,P(Λ∕N)=?,

則P(M)=I-PW)=g,P(MN)=P(M)-P(N)

由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事件,

故(3)正確;

若P(M)=；,P(R)=；,P(MN)=g,

_1121

當(dāng)M,N為相互獨(dú)立事件時(shí)，P(N)=I-P(N)=-,P(MN)^-×~=-

故(4)錯(cuò)誤；

若P(M)=P(N)=/回)=|

則P(MN)=P(Λ∕)?P(N)=:,P(^)=JPWN)

由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事件,

故(5)正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

由/(χ)=(X-I)("二,,),X∈(0,+8),令/'(X)=O,解得X=I或々=C,令g(χ)=C,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、

XXX

極值，得出結(jié)論.

【詳解】

/，/、1/1??e'(x-l)/(kx-ex)

f(X)=&(1—)-------2—二(X-11)-----2—,xw(0,+o0),

XXX

令/'(X)=O,解得X=I或左=4，

X

令g(x)=e,可得g，(X)=上口2，

XX

當(dāng)X=I時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值，g(i)=e9

所以當(dāng)Z<e時(shí)，令/'(X)=O,解得x=l,此時(shí)函數(shù)/(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)攵=e時(shí)，此時(shí)函數(shù)/(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)1,滿足題意，

當(dāng)Z>e時(shí)不滿足條件，舍去.

綜上可得實(shí)數(shù)女的取值范圍是(-8,e],故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、方程與不等式的解法、分類討論思想，屬于難題.

3、B

【解析】

根據(jù)自變量符合的范圍代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求得結(jié)果.

【詳解】

/(2)=/(2-3)=/(-1)=2-1

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由于直線是圓的對(duì)稱軸，可知此直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程中可求出"的值

【詳解】

解：圓r+j,^—12x—14y+60=0的圓心為(6,7),

因?yàn)橹本€以+丁-1=O是圓X2+V-12%一14丁+60=0的對(duì)稱軸，

所以直線依+丁一1=0過圓心(6,7),

所以6。+7—1=0,解得。=—1,

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用了圓的對(duì)稱性求解，屬于基礎(chǔ)題

5、B

【解析】

根據(jù)題意，分2種情況討論：

12

①、從A,B,C三門中選出1門,其余7門中選出2門,有C3C7=63種選法，

3

②、從除A,8,C三門之外的7門中選出3門,有C7=35種選法；

故不同的選法有63+35=98種；

故選：B.

點(diǎn)睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具

體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).

(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分

均勻分組.注意各種分組類型中，不同分組方法的求解.

6、B

【解析】

設(shè)事件A為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件3為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，計(jì)算P

(A×P(AB)的值,從而求得P(5∣A)的值.

【詳解】

由題意，設(shè)事件A為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，

事件B為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，

,、C；+C：3P(AB)=U

πzλ

貝”(A)=^-r-=~

P(AB)

P(BlA)=?

P(A)3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型和條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.

7、C

【解析】

分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.

詳解：因?yàn)?(X)是定義域?yàn)?Y,+8)的奇函數(shù)，且/(1-x)=∕(l+x),

所以/(1+X)=-f(X-1).?./(3+x)=-/(x+l)=∕(x-l).?.Γ=4,

因此/(D+/(2)+/(3)++/(50)=12［∕(1)+/(2)+/(3)+/(4)］+/(1)+/(2),

因?yàn)?⑶=T⑴，f(4)=-f(2),所以〃l)+"2)+”3)+∕(4)=0,

fQ)=/(-2)=-/(2).?.∕(2)=O,從而/(1)+/(2)+/(3)++/(50)=/(1)=2,選C.

點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變

量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

8、C

【解析】

分析：根據(jù)f(X)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=ψjtl-l,這樣便知道f(x)在［O,+oo)上單調(diào)遞減，根據(jù)

f(X)為偶函數(shù)，便可將自變量的值變到區(qū)間［O,+∞)±：∏=∕(∣log052∣),?=/(Iog21.5),c=∕(0),然后再

比較自變量的值，根據(jù)f(X)在［0,+8)上的單調(diào)性即可比較出a,b,c的大小.

詳解：(X)為偶函數(shù)，.?.f(-x)=f(x).

-1=-1??I-X-rn∣=∣x-m∣,

：?(-X-m)2=(x-m)2,

Λmx=0,Λm=0.

.?.f(x)=(∣)w-l

?f(X)在［0，+8)上單調(diào)遞減，并且α=/(Ilogoj2∣)=/(Iog22)=/(1),=/(log21.5),c=f(O),

.?0<log21.5<l

.?.α<∕7<c,故答案為C

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和

分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出函數(shù)f(X)=φw-l的單調(diào)性，此處利用了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x>0時(shí),

M=N是增函數(shù)，u=(g)"是減函數(shù)，，=吁1是增函數(shù)，所以函數(shù)/(為=(9兇—1是(0,m)上的減函數(shù).

9、C

【解析】

求AMAF周長(zhǎng)的最小值，即求IMAl+1MFl的最小值，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D,

根據(jù)拋物線的定義，可知IMFl=IMD

因此，IMAI+1MFl的最小值，即IMAI+1MDl的最小值.

根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D,M,A三點(diǎn)共線時(shí)IMAl+1MDl最小，

因此最小值為XA-(-1)=5+1=6,

22

VIAFI=λ∕(5-I)+(3-O)=5,

.?.△MAF周長(zhǎng)的最小值為IL

故答案為：C.

10、A

【解析】

畫出了(X)的圖像，g(x)=/(X)-乙有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(X)=a有3個(gè)交點(diǎn)。

【詳解】

g(x)=/(X)-丘有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(X)=近有3個(gè)交點(diǎn)

記Λ(x)=-x(x-l)(x-3)則過原點(diǎn)作A(X)的切線，g(x)=f(x)-質(zhì)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(x)=丘有3個(gè)交點(diǎn)

記h(x)=-x(x-l)(x-3)則過原點(diǎn)作/?(%)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(?,y0)

則切線方程為：y-h(x0)=h'(x0Xx-x0),又切線過原點(diǎn)，即∕7(x0)=∕z'(XO)X°,

,

將〃(Xo)=-Xo(XOT)(Xo-3),∕z(x0)=-3xθ+8x0-3,代入解得%=2,

所以切線斜率〃'(2)=-3片+8x0-3=l

所以0＜攵＜1

【點(diǎn)睛】

本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，屬于中檔題。

11、B

【解析】

分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軌復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為。+萬(。，的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出機(jī)即可

詳解：3=1+加

1+i

2-2i-2+2mi

解得加=一1

故選3

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相

等即可求出答案.

12、A

【解析】

分析：先確定小組賽的場(chǎng)數(shù)，再確定淘汰賽的場(chǎng)數(shù)，最后求和.

詳解：因?yàn)?個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，所以小組賽的場(chǎng)數(shù)為8C：=48

因?yàn)?6個(gè)隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場(chǎng)數(shù)為8+4+2+2=16

因此比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為48+16=64,

選A.

點(diǎn)睛：本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查基本求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2π

【解析】

根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知底面半徑和高，代入體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：：圓柱的軸截面是正方形，且面積為4,

.?.圓柱的底面半徑廠=1,高∕z=2,

二圓柱的體積V=πr2h=TtXFX2=2兀.

故答案為2".

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征和體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14、2π

【解析】

根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為2小高為〃的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解。

【詳解】

設(shè)圓柱的底面圓半徑為乙高為〃，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為2r，高為〃的矩形，所以2rx〃=2,即/?χ∕2=l.

所以側(cè)面積S=2兀r?h=2萬.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題

15、8

【解析】

8

/(?)?log,?=2,/(Iog2?)=(?)'?^=6,所以2+6=8

點(diǎn)睛：分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未

知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函

數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值.

16、19

【解析】

6門學(xué)科(3門理科，3門文科)中選擇3門學(xué)科可以分為全為理科，有理科有文科，全為文科，決定至少選擇一門理

科學(xué)科包括前兩種，考慮起來比較麻煩，故用間接法：用總數(shù)減去全為文科的數(shù)量.

【詳解】

根據(jù)題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科任選3門，

有C：=2()種選取方法，

其中全部為文科科目，沒有理科科目的選法有C；=l種，

所以至少選擇一門理科學(xué)科的選法有20—1=19種;

故答案為：19,

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合.方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時(shí)；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時(shí)，可以用此法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)列表見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)；(2)分布列見解析,

E(XY

【解析】

(1)根據(jù)樣本頻數(shù)分布表的數(shù)據(jù)即可完成列聯(lián)表，再利用列聯(lián)表求出觀測(cè)值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想解求解.

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布求出隨機(jī)變量X的概率，列出分布列即可求解.

【詳解】

(1)由題意得:

經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題合計(jì)

男生222850

女生381250

合計(jì)6040100

>?2100x(22xi2-38x28)^32%10667>6635

?X

60×40×50×503

.?.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān).

(2)依題意，X2

\4

P(X=O)=C16

625

296

P(X=I)=C

57625

F)V(IJ目嚷

P(χ=3)VdIJ嚏

、481

P(X=4)=C展2丫

VJ75?625

X的分布列為:

X01234

169621621681

P

625625625625625

312

E(X)=4x-=y

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、二項(xiàng)分布以及數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)見解析；(2)G為線段的中點(diǎn).

【解析】

(1)利用面面平行的判定定理證明出平面BC77/平面ADE,再利用平面與平面平行的性質(zhì)得出〃平面ADE；

(2)由CDLAO,CDA.DE,由二面角的定義得出NAr)E=60，證明出平面CQEL平面ADE,過點(diǎn)A在平

面AZ)E內(nèi)作Ao_LDE,可證明出A。_L平面COEE,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE、OA所在直線分別為V軸、Z軸

建立空間直角坐標(biāo)系。-型，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3,r,0)(-l≤r≤5),利用向量法結(jié)合條件銳二面角的余弦值為半

求出/的值，由此確定點(diǎn)G的位置.

【詳解】

(D在矩形ABC。中，BCHAD,又QAOu平面ADE,BC(Z平面AOE,

.?.BCH平面ADE＞同理可證CFH平面ADE,

QBCCCF=C,BC、CrU平面BCF平面BCfV/平面AZ)E,

MU平面BCF',.?.B/7/平面ADE；

(2)在矩形ABCD中，CD±AD,又CDLDE,則矩形ABCD所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平

面角為NADE，即NAZ)E=60.

又QADCDE=D,?CZ)A平面ADE,

作AO,OE于0,QAoU平面ADE,.?.AOLCZ),

又CDDE=D,CD、DEU平面CDEF,..AO，平面CDEE.

作EHLCF于H,QEF=36，NECF=45。，：.CD=EH=HF=3,

QCF=6,:.CH=DE=3,OD=I,OE=2.

以。為原點(diǎn)，OE、所在直線分別為V軸、Z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

Λ

則8(3,0,g)、E(0,2,0),設(shè)G(3∕O)(T<∕≤5).

則送=”,2,-G),BG=(0,Λ-√3),

r

,、BE-n,=O—3x+λy—?/?z=Or-

設(shè)平面BEG的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),則｛DL1一八，即｛',取y=3,則z=√^,x=2τ,

則平面BEG的一個(gè)法向量為片=(2τ,3,?).

uu/、∕iru∏?√3r??/

.又平面OEG的一個(gè)法向量為n?=(0,0,1),.?.CoSGi,2)=Jl=處

?-/√4r2-4z+137

解得f=2或f=一,(舍去).

此時(shí)，券=1'G［3?1J即所求點(diǎn)G為線段C尸的中點(diǎn)?

2

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面平行的證明，以及二面角的計(jì)算，解題時(shí)要注意二面角的定義，本題考查二面角的動(dòng)點(diǎn)問題，一

般要建立空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量進(jìn)行求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

19、(I)a≤l;(II)m≥?2.

【解析】

(I)將問題轉(zhuǎn)化為了'(X)NO對(duì)Vxe［1,2］恒成立，然后利用參變量分離法得出α≤(f)“而，于是可得出實(shí)數(shù)。的取

值范圍；

(II)由(I)知，函數(shù)y=∕(x)在［1,2］上是增函數(shù)，設(shè)lWx∣≤∕≤2,并設(shè)MX)=

/(%)+p得知y=%(x)在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為〃'(x)≤O在［1,2］上恒成立，利用參變量分離法得到

m≥^-ax,然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)=X3-冰在［1,2］上的最大值可求出實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍。

【詳解】

(I)易知/(X)不是常值函數(shù)，?.?∕(X)=］χ2-ainx+l在［1,2］上是增函數(shù),

.?./'(X)=X-4≥0恒成立，所以α≤f,只需α≤(M)而”1；

X

(II)因?yàn)?2≤α<0,由(I)知，函數(shù)/O)在［1,2］上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)l≤x∣42,

貝!J∣∕(Xj-?√(w)∣≤m'—-,可化為/(%2)+"^≤八%)+N

X］X?x2x}

設(shè)∕z(χ)=/(X)+'=LX2-αlnx+l+絲，則∕z(X］)≥〃(入2),

X2X

∩JTl

所以MX)為［1,2］上的減函數(shù)，即〃'(x)=X—F≤O在［1,2］上恒成立，

Xx^

等價(jià)于m≥V一以在［1,2］上恒成立，

設(shè)g(x)=χ3-or,所以加≥g(x)nm,

因—2≤α<0,所以g'(x)=3f-。>0,所以函數(shù)g(x)在［1,2］上是增函數(shù)，

所以g(x)milχ=g(2)=8-24<12(當(dāng)且僅當(dāng)α=-2時(shí)等號(hào)成立).

所以機(jī)≥12.即加的最小值為L(zhǎng)

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，對(duì)于函數(shù)雙變量不等式問題,

應(yīng)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性問題，難點(diǎn)在于利用不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，考查分析能力，屬于難題。

1234n

20、(1)S=-,S=-,S=-,S=-,S,,=--(2)見解析

12233445n+ι

【解析】

分析：(1)計(jì)算可求得S∣,S2,S3,S4,由此猜想S”的表達(dá)式；

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法，先證明當(dāng)〃=1時(shí)，等式成立，再假設(shè)當(dāng)〃=女伏∈N*)時(shí)，等式成立，即

Illl