2023年湖北省部分名校高考數(shù)學(xué)二模試卷

2023年湖北省部分名校高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)4L、42、A3、…、人7是均含有2個(gè)元素的集合,且Ain47=0Mi∩Λ+1=0(i=1,2,3,...,6),

記B=&U&U&U...U&，則B中元素個(gè)數(shù)的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

2.設(shè)(I-2x)2°19=α°+ɑ/+C?χ2+…+。2019%2°19,則考■+^^--的值為()

A.2B.0C.-1D.1

3.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)和中心中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐的概率為()

A—B—C-D-

rt,63d,63-3u?7

4.過(guò)點(diǎn)(1,2)可作三條直線與曲線/(%)=乂3-3%+￡1相切，則實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍為()

A.(1,2)B,(2,3)C.(3,4)D,(4,5)

5.魯班鎖是我國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中的樣卯結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部的凹凸部分

嚙合十分精巧.圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖.它的表面由八個(gè)正三角形和六個(gè)正八邊

形構(gòu)成，其中每條棱長(zhǎng)均為2.若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)(忽略摩擦)，則此正方體

表面積的最小值為()

A.96+48√7B.120+72√^^2C.144+96√^^2D.168+96√^

6.已知定義在R上的函數(shù)/0)是奇函數(shù)，且滿足/(3-x)=∕(x),/(-1)=3,數(shù)列｛c?｝滿

足的=1且αr,=n(αnl-an)(n∈N*),則/(。36)+f?37)=()

A.-2B.-3C.2D.3

7.已知拋物線G：丫2=4%和圓。2；(>-1)2+丫2=1,直線y=k(χ-l)與G，Q依次相交

于4(%ι,yι),B(x2,y2)'C(X3,%)，D(X4，丫4)四點(diǎn)(其中Xi<<%4)，則/B∣?∣CD∣的值

為()

a?1b?2c?τD”

8.設(shè)函數(shù)f(x)=9—t(InX+x+1)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

?-(-Wb?(∣-+∞)

c?(M)uS^+∞)d(-∞4］U信+8)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.關(guān)于函數(shù)f(%)=sin∣x∣+ICOS有下述四個(gè)結(jié)論，則()

A./(%)是偶函數(shù)B.f(x)的最小值為一1

C./(無(wú))在［-2兀,2兀］上有4個(gè)零點(diǎn)D./(x)在區(qū)間&兀)單調(diào)遞增

10.如圖，在AABC中，48=2,AC=3,4B4C=60。，若。為AaBC

外接圓的圓心，且而=4而+〃而，(λ,μ∈/?),則()Ilγ?\

A.AO-AB=4λ+3μ-----

B.AO-AC=I7—/

C.△/!BC夕卜接圓的面積為2ττ

D.2λ+3μ=l

11.如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工,

是唐代金銀細(xì)作的典范.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：≡∣-4=l(α>0,h>0)

的右支與直線X=0,y=-2,y=4圍成的曲邊四邊形48MN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,

若該金杯主體部分的上口外直徑為竺?，下底外直徑為空，雙曲線C與坐標(biāo)軸交于。，E,

則()

A.雙曲線C的方程為9一4=1

7

B.雙曲線勺一/=1與雙曲線C共漸近線

C.存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)

D.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D,E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3

12.已知數(shù)列｛a"滿足%=O,eα"+ι+α"=ea∏+l(n∈N*),前n項(xiàng)和為%,則下列選項(xiàng)中正

確的是(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693,ln3≈1.099)()

A.an+an+1≥ln2

B.S202o<666

3

C.In-≤an≤ln2(n≥2)

D?｛(?n-ι｝是單調(diào)遞增數(shù)列，82丸｝是單調(diào)遞減數(shù)列

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知直角三角形ABC中，直角邊AC=6,點(diǎn)。是邊AC上一定點(diǎn)，CD=2,點(diǎn)P是斜邊4B

上一動(dòng)點(diǎn)，CPlBD,則△?!PC面積的最大值是_(1)_；線段Z)P長(zhǎng)度的最小值是_(2)_.

14.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知曲線6、C2、C3依次為'=21。。2%、7=?θg2x`V=

IdOg2式卜為常數(shù),0<k<l).曲線Cl上的點(diǎn)4在第一象限，過(guò)A分別作X軸、y軸的平行線交曲

線Cz分別于點(diǎn)B、D,過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交曲線C3于點(diǎn)C.若四邊形力BCD為矩形，貝味的值

是.

15.已知函數(shù)y=f(x),對(duì)任意XeR,都有f(x+2)?/(x)=k(k為常數(shù))，且當(dāng)x6[0,2]Π寸，

f(x)=x2+l,則/(2021)=.

16.已知不等式出nx-^+e^-xa≥0在色接]上恒成立，則實(shí)數(shù)ɑ的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)C的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知1一sin4cos4=1—CosZBsiMb

(1)判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)求a?c2_5a4ccosB的最小值.

18.(本小題12.0分)

在三棱柱4BC-4'B'C'中，AB=BC=CA=44,側(cè)面LCCW1底面ABC,D是棱BB'的中點(diǎn).

(1)求證：平面D&C，平面4CC'A';

(2)若乙4%C=60°,求二面角A-BC-B'的余弦值.

19.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-2；數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為〃，且滿足九=1,

。，

2—2τ,-n-+-1-70--n-+-2-

(1)求數(shù)列｛6｝、｛勾｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)n,使得誓架?恰為數(shù)列｛b｝中的一項(xiàng)？若存在，求所有滿足要求的垢；

an-σn+lτι

若不存在，說(shuō)明理由.

20.(本小題12.0分)

新冠疫情在西方國(guó)家大流行，國(guó)際衛(wèi)生組織對(duì)某國(guó)家進(jìn)行新型冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查.在

某地抽取n人，每人一份血樣，共n(n∈N*)份，為快速有效地檢驗(yàn)出感染過(guò)新型冠狀病毒者，

下面給出兩種方案：

方案甲：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)Tl次；

方案乙：混合檢驗(yàn)，把受檢驗(yàn)者的血樣分組，假設(shè)某組有k(keN*,/c≥2)份，分別從k份血

樣中取出一部分血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說(shuō)明這k個(gè)人全部為陰性，因而

這k個(gè)人的血樣只要檢驗(yàn)這一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k個(gè)人中究竟哪些人

感染過(guò)新型冠狀病毒，就要對(duì)這k個(gè)人的血樣再逐份檢驗(yàn)，因此這k個(gè)人的總檢驗(yàn)次數(shù)就為k+

1.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人中，每個(gè)人血樣檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是相互獨(dú)立的，且每個(gè)人血樣

的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性的概率為P(O<p<l)?

(I)若n=5,p=0.2,用甲方案進(jìn)行檢驗(yàn)，求5人中恰有2人感染過(guò)新型冠狀病毒的概率；

(∏)記彳為用方案乙對(duì)k個(gè)人的血樣總共需要檢驗(yàn)的次數(shù).

①當(dāng)k=5,p=0.2時(shí)，求E(f);

②從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，P在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)？

(參考數(shù)據(jù)：0.84=0.41,0.85=0.33,

0.86=0.26)

21.(本小題12.0分)

已知橢圓c：W+'=l(ɑ>h>0)過(guò)點(diǎn)(1,y),過(guò)其右焦點(diǎn)尸2且垂直于X軸的直線交橢圓C于

A,B兩點(diǎn)，且IABl=亨.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線Ay=Zcx與橢圓C交于E,尸兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為Q,在y軸上是否存在定點(diǎn)P,

使得4EQP=2/EFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=±W+∕nx(其中α>0,e≈2.7).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(IJ(I))點(diǎn)處的切線方程;

(2)若函數(shù)f(X)在區(qū)間[2,+8)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍;

(3)求證：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n,都有mn*+[+..+￡.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解；TaIC、7=。，AinAi+1=0。=1,2,3,...,6）,

?A?=43=45，^2=^4=46，AI豐46-0*474Ehf,

B中元素個(gè)數(shù)最少，最小值是2+2+2=6,

故選:B.

先得到4=4=45，A2=A4=A6,&≠4且4≠4ι時(shí)，B中元素個(gè)數(shù)最少，求解即可.

本題主要考查集合的基本屬于，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

χ219

【解析】解：設(shè)（1—2x）2°i9=α0+%x+ɑ2/-I------Fα2oi9°>令X=0，可得劭=1.

再令X=可得O=I+3■+墨+…+翳居，

.ɑl,a2,,@2019_1

??y÷√÷??,÷√oi9--1，

L乙L

故選：C.

在所給的等式中，令X=0,可得的=1；再X=I可得0=1+:+墨+???+黜，由此求得號(hào)+

弟+…+黃彩的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過(guò)給二項(xiàng)式的X賦值，

求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

先利用組合的方法求出任取4個(gè)點(diǎn)的所有取法，再對(duì)所選4點(diǎn)是否包含正方體中心進(jìn)行分類討論，

利用組合計(jì)數(shù)原理計(jì)算出滿足條件的三棱錐的個(gè)數(shù)，最后利用古典概型的概率公式可求得所求事

件的概率.

本題依托正方體的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，考查古典概型的概率求解，考查運(yùn)算能力和空間想象能

力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)和中心中任取4個(gè)，有M=Cl=126個(gè)結(jié)果，

4個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐分兩種情況：

①?gòu)恼襟w的8個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)，共有4=70個(gè)結(jié)果，在同一個(gè)平面的有rn=6+6=12個(gè)，

構(gòu)成三棱錐有70-12=58個(gè)；

②從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中取3個(gè)與中心構(gòu)成三棱錐有6或+8=32個(gè)，

故從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)和中心中任選4個(gè)，

則這4個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為58+32=90,

故所求概率P=的=?.

IZo/

故選：D.

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為(曲,際-3q+α),

則切線方程為y-(%o-3?+α)=(3xθ-3)(%-x0),

???切線過(guò)點(diǎn)(1,2),???2-(xθ-3x0+Q)=(3XQ-3)(1-x0),

???過(guò)點(diǎn)(1,2)可作三條直線與曲線/(%)=%3-3x+Q相切，

a=2xl-3%o+5有三個(gè)不等根.

令g(%)=2x3—3X2+5，則g'(x)=6%2—6%,

令g'(X)=則％=?；?=1,

當(dāng)％<0或X>1時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)0<%<1時(shí)，g'(%)<0,

???g(x)在(一8,0)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在((U)上單調(diào)遞減，

???9?極大值=9(°)=5,g8極小值=g⑴=4，

由α=2xθ-3%o+5有三個(gè)不等根，

可知函數(shù)y-α與y=2XQ-3就+5有三個(gè)交點(diǎn)，則4<a<5,

???ɑ的取值范圍為(4,5).

故選：D.

切點(diǎn)為(X0,就一3x0+α),求出切線方程，再切線過(guò)點(diǎn)(1,2),求出ɑ,然后根據(jù)過(guò)點(diǎn)(1,2)可作三

條直線與曲線/(X)=X3-3x+α相切，求出ɑ的范圍即可.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線方程和極值，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔

題.

5.【答案】D

(解析］解:將魯班鎖補(bǔ)成正方體ABC。-A1B1C1D1,

然后以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以AB、AD.44ι所在直線分別為x、y、Z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

在魯班鎖所在幾何體上任取一個(gè)頂點(diǎn)P(0,-2,2+

2√^).

觀察圖形可知，P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的

距離的最大值在：

?PE?.?PF?,∣PG∣,?PH?,?PM?,?PN?,?PR?,IPSl中

取得，

結(jié)合圖形可知E(√N(yùn),0,0)?F(2+√^2,0,0),

G(2+2ΛΓ2,ΛΛ2,0).W(2+2?r2,2+?Γ2,0)>

M(2+?r^,2+2√7,0),N(S,2+2C,0),

R(0,2+<7,0),S(O,√^Xθ),

所以∣PE∣2=4+(2+20=16+8Λ∏,?PF?2=(2+√^2)2+2+(2+2√^7)2=20+

12。，IPGI2=2(2+2√^)2=24+16ΛΓ2,?PH?2=2(2+2√7)2+4=28+16「，=

(2+2C)2+2×(2+√^7)2=24+16√7,∣P∕V∣2=2+(2+√^^2)2+(2+2√7)2=20+

12H，∣PR∣2=4+(2+2θ=16+8√^7,∣PS∣2=(2+2θ=12+8。，

比較可得,|PE|、IPF|、|PG|、?PH?,IPM|、IPN|、?PR?,IPSl中最大值為IPHl=J28+16，Z

所以P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值為J28+16「，

若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)(忽略摩擦)，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)的最小值為α,

則α=√28+16√7?

所以該正方體的表面積為S=6a2=168+96√^2.

故選：D.

將魯班鎖補(bǔ)成正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求出魯班鎖某個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的最大值，即可

求解.

本題考查新定義，坐標(biāo)法的應(yīng)用，分割補(bǔ)形法的應(yīng)用，屬中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：?.?函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且滿足f(3-x)=/(X),/(-1)=3,

/(X)=/(3-X)=-/(%-3),

即f(x+3)=-f(x),則f(x+6)=-/(%+3)=/(x),

即函數(shù)/(x)是周期為6的周期函數(shù)，

由數(shù)列｛αn｝滿足%=1且αjl=n(αn+1-an)(neN*),

則ατ,=nan+1-nan,

即(1+n)αn=nan+1,

則％±1=也，

ann

則也=2,?=?W=

,,

人JalΓα22"αn.ιn-Γ

等式兩邊同時(shí)相乘得?-≡...-^=γ×∣×....?

Qla2an-l1乙Tl-1

即餡=n,即czn=παl=n,

即數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為即=n，

則/36)+/?37)=/(36)+∕?(37)=/(O)+/(1),

?；f(X)是奇函數(shù)，；,f(O)=0,

??"(-l)=3,?-f(l)=3,

即f(l)=-3,

則/(。36)+/(α37)=/(36)+/(37)=/(0)+/(1)=0-3=-3.

故選：B.

根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期是6,利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式以

及函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，求出函數(shù)的周期以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行

轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：y2=4久，焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線石：X--1.

yiD

由定義得：?AF?=XA+1,

又?.?|4尸|=?AB?+1,?AB?=XA,

同理：?CD?=XD,

由題意可知直線1的斜率存在且不等于0,

則直線，的方程為:y=fc(x-1)代入拋物線方程,得:I/一(2/+4)X+

k2=0,

XAXD=1>則∣4B∣??CD?=1.

綜上所述，∣4B∣?∣CD∣=1,

故選：A.

利用拋物線的定義和∣4F∣=∣4B∣+1,得出|48|=/，同理可得：?CD?=XD,由題意可知直線/的

斜率存在且不等于0,設(shè)出直線方程,將直線的方程代入拋物線方程,利用根與系數(shù)關(guān)系求得答案.

本題主要考查拋物線的定義、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：函數(shù)/Q)=W-

2

t(lnx+%+-),X∈(0,+∞),e

3

??√,ω=?f-t?+ι-

1

-

??_e”(x-l)T(%-Da+2)_2

x2^x2

O-l)[ex-t(z+2)]--------------------------------7----->

,UX

,?,函數(shù)/(x)=y-t(lnx+X÷

$恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，.??方程

f(x)=0恰有兩個(gè)正根，

顯然X=1時(shí)方程/'(%)=0的一個(gè)正根，

二方程e'-t(x+2)=0有唯一正根，即方程W=t有唯一正根,

等價(jià)于函數(shù)g(x)=梟與函數(shù)y=t在(0,+8)上只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不等于1,

???g'(χ)=*魯鏟=詈崇>0,???函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又?：g(0)=P9(1)=I，

CΛJ

函數(shù)g(%)的圖象如圖所示：，

:?t>粗￡≠2，

L?

故選：C.

先求出導(dǎo)函數(shù)r(x),因?yàn)楹瘮?shù)/co=9-￡("》+》+；)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程f'(x)=0恰有

兩個(gè)正根，即方程提=C有唯一正根，等價(jià)于函數(shù)g(x)=磊與函數(shù)y=t在(0,+8)上只有一個(gè)

交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不等于1，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，即可求出t的取值范

圍.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，是中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查了三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值及三角函數(shù)零點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

利用奇偶性定義可判斷4

由周期的定義/(x+2π)=sin∣(x+2π)∣+∣cos(x+2π)∣=sin∣x∣+∣cosx∣=f(x),確定2τr為函數(shù)

/(x)的一個(gè)周期，求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的最小值，可判斷8；

由于函數(shù)人幻為偶函數(shù)，故研究x∈［0,2兀］時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)情況，從而可得［-2歷2兀］函數(shù)零點(diǎn)情況,

可判斷C；

確定&兀)上函數(shù)的解析式，可判斷D?

【解答】

解：對(duì)于4函數(shù)定義域?yàn)镽,

/(—x)=sin∣-%|+∣cos(-x)∣=sin∣x∣÷∣cosx∣=/(%),

所以/(x)為偶函數(shù)，故A正確；

對(duì)于8,f(x+2π)=Sinl(X+2τr)∣+∣cos(x+2τr)∣=sin∣x∣÷∣cos%∣=f(x),

所以2兀是函數(shù)f(%)=sin∣x∣+ICoSxl的一個(gè)周期，

當(dāng)％∈［0,且時(shí)，f(x)=Sinx+COSX=√-2sin(x+^),此時(shí)f(%)的最小值為1,

當(dāng)%eC］時(shí)，f(x)=sinx~cosx=，攵Sin(X-》，此時(shí)f(x)的最小值為-1,

當(dāng)％∈卷,2幾］時(shí),/(x)=sinx+Cosx=√^2sin(x+此時(shí)f(》)的最小值為-1,

所以f(%)的最小值為-1,故8正確；

sinx+cosx,0≤%≤

對(duì)于C,當(dāng)％∈［—2τr,2τr］時(shí)，/(x)=sinx-cosx,<x≤?,

..3τr,,c

sinx+cosx,—<X≤2π

?L

令f(χ)=O,可得X=季」,

又/(X)為偶函數(shù)，

所以f(x)祖-2兀,2兀］上有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于。，當(dāng)X∈(］,兀)時(shí)，sin∣x∣=sinx,∣cosx∣=—cosx,

貝∣J∕(x)=sinx—Cosx=√-2sin(x-9，

當(dāng)X∈-,∈G片)，

所以函數(shù)/(x)在6,萬(wàn))上不具備單調(diào)性，故。錯(cuò)誤.

故答案選：ABC.

10.【答案】ABD

【解析】解：AO-AB=^?AB?2=λAB2+μAB-AC,

^AO-AB=2=4A+2?3×∣μ=4λ+3μ,A正確；

AO-AC=^?^AC?λ=λAB-AC+μAC2,

9

:?-=3λ÷9μ,

f4Λ+3μ=2

解葭+y得

4,

μ=9

AO?AC=?+4=B正確；

在^ABC中，AB=2,AC=3,?BAC=60°,根據(jù)余弦定理得:

BC2=AB2+TlC2-2AB-AC-cos600=4+9-6=7,

:,BC=√^7,

???根據(jù)正弦定理，=苧=2R，???R=J9

????48C外接圓的面積為ττR2=lπ,C錯(cuò)誤；

i'4=：,〃=［，24+3〃=；+.=)。正確.

O7???

故選：ABD.

根據(jù)。為外接圓的圓心，可得出布?荏=Tl南『=A而2+〃四?痔進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可

得出而?四=2=44+3的從而判斷A正確；同理可求出方?前=?=34+9〃，聯(lián)立上式即

可求出入〃的值，從而判斷出BD的正誤；根據(jù)余弦定理可求出BC的值，根據(jù)正弦定理可求出△ABC

的外接圓半徑，從而可判斷C的正誤.

本題考查了正余弦定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，三角形外接圓圓心的定義，考查了計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：該金杯主體部分的上口外直徑為W下底外直徑為彗曳,

則M(浮,4),N(穿,一2)，

將M、N代入雙曲線C：胃一與=l(a>O,b>O),

Z

(16=

即JI?b29

S)-4

SI-P=

對(duì)于4雙曲線方程為§一卷=1，故A正確；

對(duì)于B：雙曲線9一普=1的漸近線方程為y=±Cχ,又雙曲線1-χ2=1的漸近線方程為y=

±y∏x,故B正確，

對(duì)于C:由雙曲線的性質(zhì)可知，過(guò)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，此時(shí)與雙

曲線有一個(gè)交點(diǎn)，

故不存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于0：=1，則0(-C,0),E(√3θ),設(shè)P(xo,yo)(%o4士√1W)為雙曲線上任意一點(diǎn)，

則苧—4=1,即M=3%Q—9,

y。y。__zL-3(羔-3)_

Ii的￡一而F-2-3-_3,

PDχX2-3

.?.雙曲線C上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)（不與D、E重合），使它與D,E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3,故。正確,

故選：ABD.

由題意可得M（亨,4）,N（粵,-2），代入雙曲線方程可求出a，b,從而可求出雙曲線方程，逐一

分析選項(xiàng)，即可得出答案.

本題考查雙曲線的應(yīng)用和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查待定系數(shù)法，考查邏輯

推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算能力和推理

能力，屬于較難題.

對(duì)于4：由已知得ecιn+ι=++l(τιeN*),令bn=ecιn,有即=伉匕，%+ι=1+5，由%6

[l,2],bn+1bn=(1+bn)∈[2,3],由此可判斷;對(duì)于B：由On+an+1≥Zn2,^S2020≥IOlOIn2,

由此可判斷；對(duì)于C：由0≤αn≤m2,1∏2≤an+αn+1≤ln3,得∕n3≤αll+bι2,由此可判斷；

對(duì)于。：令%+】—當(dāng)I=守(%-土手)，則有匕+】一竽與勾—巨尹異號(hào)，兒+2-子

1

與心-岑同號(hào)，從而得打心1一竽<0,b2n-^ψ->0,n€N*,再得%+2-垢=

二SL字)(?-岑?,得出b2n+2-∕?l<°，b2n+1-b2n^>0,由此可判斷.

1+bn

【解答】

解：對(duì)于4：由e%+ι+αn=e%+l(n∈N*),

1

得e<n+ι=?+l(n∈N*),

c

令bn=eS即Qn=Inbn9

則以1+T=1+高

又的=0,所以瓦=1,

則y=I+：在（O,+8）上單調(diào)遞減,

所以％∈[1,2],bn+1bn=(1+bn)∈[2,3],

所以仇2≤αn+αn+ι=Inbn+∕nbn+1=lnbnbn+1<∕n3,故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)镼n+an+1≥ln2f

s2Q20=(QI+。2)+(ɑ?+。4)+…+(ɑ2019+02020)

≥1O1OZ∏2≈699.93>666,故B不正確；

對(duì)于C：因?yàn)榧?Inbn,所以0≤an≤∕n2,ln2≤an+an+1≤∕n3,

所以仇3≤Qn+Ln2,BPln∣≤αn,

所以lnm≤Q∏≤伍2（幾≥2）,故C正確;

對(duì)于D：因?yàn)闉?ι=I+*,%6[1,2],

l+λΓ5l-√3z,1+<5、

令bn+ι一(%----^―)，

22bn

所以匕+1-竽與“一1+C異號(hào),

2

bn+2~1+^~5與%一l+√^5同號(hào),

2

1+%Γ51-^ΓS

因?yàn)橥?1,所以瓦一<0,

22

所以無(wú)一竽>0,

即「-竽<。，

1+ΛΓ5

b2n~>0，九∈N*,

2

因?yàn)閎+1=1+*，

所以%+2=1+±=1+氏=鬻，

o∏

一略+b+l_（版」；,）（限」+；）.

所以32*=鬻*=rι5

1十〃九1+航1+^M

所以修+2-?n=-跖-專際-修<0'b2n+1-b2n.1=-⑷，T-寵）（%T嚀>0,

1+02n1+02n-l

所以｛Bn.l｝是單調(diào)遞增數(shù)列，｛尻"是單調(diào)遞減數(shù)列，

所以｛。2吁1｝是單調(diào)遞增數(shù)列，｛的n｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故。正確.

故選ACD

13.【答案】

【解析】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系,

可得4(0,6),D(0,2),設(shè)B(α,O),α>0,

直線4B的方程為6x+ay-6a=0,

BO的斜率為-，可得直線CP的方程為y=≡x,

聯(lián)立直線AB和直線CP,解得P(J授,τg*),

?APC面積為S=??AC?-7??=Tl豈

21112+αz12+αz

二_36中/3用6_=Qr"-^

當(dāng)且僅當(dāng)α=2，與時(shí)，△APC的面積為最大值3vr3;

1Uα4-3α2+36

IDPI2=（擊?A+（磊-2）216…瓦；斯罷

可設(shè)12+α2=t（t>12）,可得M=t—12,

可得∣DP∣2=16.產(chǎn)-2；；+216=16（竿一￥+1）,

當(dāng);=一E2，即為t=16,NP/取得最小值￡

LLΛXNa1.。乙

可得IDPl的最小值為了.

故答案為：3g等.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，Gl所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，可得4(0,6),D(0,2),設(shè)B(α,O),α>0,

求得AB的方程，BD的斜率和直線CP的方程，解得P的坐標(biāo)，由三角形的面積公式和基本不等式可

得所求最大值；由兩點(diǎn)的距離公式和換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值，可得DP的最小值.

本題考查三角形的面積公式的運(yùn)用，以及坐標(biāo)法的運(yùn)用，考查兩點(diǎn)距離公式和基本不等式和二次

函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.【答案】?

【解析】

【分析】

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)方程，屬于中檔題.

22

設(shè)A(t,2log2t)(t>1)，^?B(t,2log2t'),Z)(t,log2t)>C(t,2klog2t'),則有l(wèi)0g2t=2kk>g2t,解出

即可.

【解答】

解：設(shè)A(t,21092t)(t>1)，

由力B平行X軸得B(t2,2Z0g2t),由力。平行y軸得。(t,bg2t),

又BC平行y軸，.?.C的坐標(biāo)為?2,2口。92力

?.?四邊形ABCO為矩形，二有l(wèi)0g2t=2klog2t,

由于log2t>O,故2k=1,即k=

故答案為：?

15.【答案】2

【解析】解：因?yàn)閷?duì)任意x€R，都有/(x+2)"(X)=k為常數(shù)，

所以f(x+4)?f(x+2)=k,從而/(無(wú)÷4)=/(x),

即f(x)的周期為4,

所以f(2021)=((1)=2,

故答案為：2.

根據(jù)/(x+2)?∕(x)=k,求出/(x)是周期為4的周期函數(shù)，從而求出函數(shù)值即可.

本題考查了函數(shù)的周期性，考查函數(shù)求值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題.

16.【答案】

[1Il11

【解析】解：因?yàn)棣廖椋?-+e×-xa≥0=Inxa—xa+e×—lne×≥0,可得於-l∏e×≥xa-Inxaf

構(gòu)造函數(shù)/Q)=%一仇％,則/'(%)=1-：=號(hào),且f(《)≥fQa)，

當(dāng)O<xvl時(shí)，∕,(x)<0,此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，∕,(x)>0,此時(shí)函數(shù)/(%)單調(diào)

遞增，

因?yàn)榍驫的最小值，只需考慮Q<0的情形，

令g(%)=xlnx,其中X∈底則g'(X)=?+Inx<0,

所以,函數(shù)g0)在［，自上單調(diào)遞減，故g(χ)min=9&)=-

所以，i≤-?即邛≤0,解得一<≤α<o,

aeLaeL2

2

因此，實(shí)數(shù)ɑ的最小值為-

故答案為：一名

將不等式變形為e：一m嚏≥_In%。，構(gòu)造函數(shù)/(x)=X-ZnX,可得出f(e!)≥/(Xa)，只需考

慮α<0的情形，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/Q)的單調(diào)性，可得出;≤x》x,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)=xlnx

在白，自上的最小值，即可求得實(shí)數(shù)ɑ的最小值?

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)△力BC為鈍角三角形，

證明如下：由I-SE4=1-CoS2B=2SE∏2B=SEB,

cosAsin2BIsinBcosBcosB

則有COSB—SinAcosB=SinBcosA,

所以COSB=Sin(A+B),

因?yàn)?+B∈(0,7T),

所以CoSB=SinG4+8)>0,則B為銳角.

所以CoSB=SinG-B)=Sin(4+B),

所以-B=4+B或G-B)+(A+B)=π,

則A+2B=3或4=≡

由題意知COSa≠0,

所以力嗎，

所以A+2B=*

所以C=兀-4-B=]+B66,n)，故4ABC為鈍角三角形.

(2)由(1)知4+28=*C=^+B,

.∣7t,,.?壬甲有七一5α_sin。_5sin4一SinZ(J-ZB)_5si"(J-2B)一CoS22B_5cos2B

J???'c24ccosB~sin2C4sinCcosB~sir^g+B)4sin(^+B')cosB~~cos2β4cos2B

(2C°S2B-1)2_5(2c"2B-l)=4cos4B-4cos2B+l+」__工=+二-一

2

COs2β4COS2Bcos2β4COS2B24cosB2

2J4COS2B?4?-T=^Γ

當(dāng)且僅當(dāng)4cos2p時(shí)等號(hào)成立，由B為銳角，

則CoSB=?，所以當(dāng)B=熱取最小值一;.

【解析】⑴利用二倍角公式得到與鬻=黑,即可得到CoSB=Sin(A+B),即可得到B=A+

B或G-B)+(A+B)=兀，從而得到4+2B=與或4=》再說(shuō)明4H*即可得解；

(2)利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)(1)中的結(jié)論可得A-1'=4COS2B+??-^,再利用

C?eee/?D1CDCΛ

基本不等式計(jì)算可得.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】(1)證明：取AC,AC'的中點(diǎn)F,連接。F與4C交于

點(diǎn)E,連接DE,OB,B'F,

則E為OF的中點(diǎn)，OF“AA!/∕BB',OF=AA'=BB',；.BB'FO

是平行四邊形，

又。是棱BB'的中點(diǎn)，.?.DE〃OB,

側(cè)面44'C'C1底面ABC,BLOB1AC,：.OBJL平面4CC'4',

??.DE平面4CC'A.

X

又DEU平面D4C,.?.平面D4C_L平面力CC'A；

(2)解：連接40,

?.??A'AC=60o,.?.?44C為等邊三角形，

設(shè)AB=BC=AC=AA'=2,

故A1O1底面/BC,由已知4。=OB=<^3.

分別以O(shè)B,0C,04'所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,-1,0),B(Go,0),C(0,1,0).Λ,(0,0,λΓ3),

BC=(-√^3,l,0).蕭=府=(0,Lq)，

設(shè)平面BCC'B'的一個(gè)法向量為沆=(x,y,z),

m?BC=-?Γ^3x+y=0?,—

則—,L,取x=l,得記=(1,二,一1)；

.m-BB'=y+y∏z=0

又平面ABC的一個(gè)法向量為元=(0,0,1)，

.?.cos<沅,元>=房=一?.

二面角A-BC-8'為鈍角，故二面角4-BC-8'的余弦值為—一.

【解析】(1)取4C,4'C'的中點(diǎn)尸,連接OF與AC交于點(diǎn)E,連接DE,OB,B'F,由已知可得BB'FO是

平行四邊形，再由。是棱BB'的中點(diǎn)，得到DE〃OB,由側(cè)面44'C'C_L底面4BC,且OBJ.4C,得

到OB_L平面ACC'4',從而DE1平面4CC'4'.再由面面垂直的判定可得平面。A'C1平面力CC%'；

(2)連接A'。，由已知得A44C為等邊三角形，設(shè)AB=BC=AC=44'=2,可得4。，底面ABC,

分別以O(shè)B,0C,OA所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面BCC'B'與平面ABC

的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-BC-夕的余弦值.

本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間

角，是中檔題.

19.【答案】解：(1)由S71=2αrι-2,則當(dāng)n≥2時(shí)，Sn.1=2αn,1-2,

兩式相減得：an=2an-2αn-1,則αn=2αn.1,

由Sl=2a1—2,則%=2,

???數(shù)列｛αn｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,則αn=2%

由工-=?

ω,

7n+lbn+2?

一”上一"樂(lè)

HIllLI9Z?—e?9r∏-ι_3-1%_

則兀一月'τ3-b4τ4~b5τn-bn+1'τn+ι^bn+2

以上各式相乘，盒=燃公，則2〃=心垢+「

當(dāng)n≥2時(shí)，2Tn^1=bnτbn,兩式相減得:2bn=bn(bn+1-6n>1),EPfen+1-6n.1=2,

數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)歹∣J,

=

由%=W則以=72=瓦+82=3,h1+b32b?,

，數(shù)列｛%｝是以瓦=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

，數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式Z?=71；

⑵當(dāng)Al時(shí)，,無(wú)意義，

知+既+12π+n+l

an,(九≥2,71∈N*),

n-bn+12-(∏+l)

rιrιn

πl(wèi)l∣__2+l+τι+2_2+?+l_______f?2+l________

cn+1nn+1n

、n+l-%—2-(n+2)^2-(π+l)^[2-(n+2)][2-(π+l)]<，

即Cn>cn+1>1,

rιn

顯然2+π+l>2-(n+l),則c2=7>c3=3>C4>->1,

,

???存在Tl=2,使得力7=。2，b3=C3

下面證明不存在C2=2,否則，C=2周;：；)=2,即27l=3(n+l),

yl

此時(shí)右邊為3的倍數(shù)，而2九不可能是3的倍數(shù)，故該不等式成立，

綜上，滿足要求的bn為歷，b7.

【解析】⑴由當(dāng)九≥2時(shí)，Sn.1=2αn.1-2,Qn=Sn-Sn.ι,即可求得αn=2θ?τ則數(shù)列｛αn｝

是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；由白=3?.采用“累乘法”即可求得當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1-

bnτ=2,數(shù)列｛bn｝的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成立等差數(shù)列，b3=T2=b1+b2=3,b1+b3=2%

數(shù)列｛%｝是以瓦=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列｛4J、｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cn=*里=*?,作差比較大小，c“>crt+1>1,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可求得存

在n-2,使得厲=?2，b3=c3.

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查等比數(shù)列及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及證明，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，

考查轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

20.【答案】解：(I)對(duì)5個(gè)人的血樣進(jìn)行檢驗(yàn)，且每個(gè)人的血樣是相互獨(dú)立的，設(shè)事件4為“5個(gè)

人的血樣中恰有2個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性”，

貝IJP(A)=CWX0.22X0.83=0.2；

(Il)①當(dāng)A=5,p=0.2時(shí)，5個(gè)人的血樣分別取樣再混合檢驗(yàn)，結(jié)果為陰性的概率為0.85,總共

需要檢驗(yàn)的次數(shù)為1次；

結(jié)果為陽(yáng)性的概率為1-0.85,總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)為6次；

所以f的分布列為：

ξ16

P0.851-0.85

所以E(J)=IX0.85+6×(1-0.85)=4.35.

②當(dāng)采用混合檢驗(yàn)的方案時(shí)EG)=l×(l-p)k+(∕c+1)[1-(1-p)fe]=fc+l-fc(l-p)fe,

根據(jù)題意，要使混合檢驗(yàn)的總次數(shù)減少，則必須滿足E(f)<k,

即k+l-k(l-p)k<∕c,

化簡(jiǎn)得O<p<l-?

所以當(dāng)P滿足O<p<1一田，用混合檢驗(yàn)的方案能減少檢驗(yàn)次數(shù).