貴州省遵義市2022-2023學年高二下學期第一次月考數(shù)學試題【含答案】

貴州省遵義市2022-2023學年高二下學期第一次月考數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知數(shù)列20,17,14,11,8,根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列的項中為正數(shù)的有

()

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】C

【分析】根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律寫出該數(shù)列接下來的項，即可求解.

【詳解】根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律可知，該數(shù)列接下來的項為5,2,-I,...

所以該數(shù)列的項中為正數(shù)的有20,17,14,11,8,5,2共7個.

故選：C

2.已知點P(2,m)在拋物線C：∕=8χ上，則點尸到C的焦點的距離為()

A.4B.6C.8D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得：

點尸到C的焦點的距離為％,+?^=2+2=4.

故選：A

3.如圖，已知四棱錐P-ABeD的各棱長均為2,則AP?BC=()

A.2√3B.√3C.1D.2

【答案】D

【分析】依題意可得底面四邊形A38為正方形，PBC為邊長為2的正三角形，根據(jù)

AP=AB+BP數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義計算可得.

【詳解】因為四棱錐P-AB8的各棱長均為2,則四棱錐P-ABCD為正四棱錐，

所以底面四邊形ABCD為正方形，_PBC為邊長為2的正三角形，

所以4B?8C=0,∣PB∣=,4=2且NPBC=60。，

因為AP=AB+BP，

所以AP8C=(A8+BP)?BC=A8?BC+BP?BC=0+2X2XL2.

故選：D

4.已知數(shù)列｛q,｝為等比數(shù)列，a2+a4=?0,嫉+。：=68,則4為=()

A.8B.IOC.16D.32

【答案】C

【分析】對%+α4=10平方求得/4=16,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為4+%=1。，所以(生+a4)2=100,G+2α2%+d=100,

又d+α==68,所以生％=16,

由數(shù)列｛a,,｝為等比數(shù)列可得4%=4%=>6.

故選：C

5.已知某質(zhì)點的位移X(單位：m)與時間f(單位：s)的關(guān)系式是χ=3產(chǎn)+2r,則

質(zhì)點在2s時的瞬時速度為()

A.14m∕sB.16m∕sC.7m∕sD.8m∕s

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的物理意義，該質(zhì)點的瞬時速度為質(zhì)點關(guān)于位移的導數(shù),求導代入r=2

即可.

【詳解】根據(jù)導數(shù)的物理意義，對運動方程X=3產(chǎn)+〃求導得x'=6f+2,

令1=2,得x'∣,=2=6x2+2=14,即質(zhì)點在2s時的瞬時速度14m∕s,

故選：A.

6.己知數(shù)列｛叫的首項為5,前〃項積為7.，見=1一1一("≥2),則加3=()

an-?

4

A.1B.5C.~D.—1

【答案】B

【分析】列出數(shù)列的前幾項，即可得到｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計算

可得.

【詳解】因為4=5,“?=1一」一(〃22),

an-?

i14111IIU

所以O(shè)2=I__=-,?3=1--=--,?4=1-----=5,

a｝5a24a3

所以｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，所以4出生=-1,又2023=3x674+1,

4674

數(shù)列｛為｝的前W項積為7.，所以T2023=(aya2a3f??,=(-l)×5=5.

故選：B

7.斜拉橋是縫梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.

如圖1,這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2,已

知拉索上端相鄰兩個錨的間距由《/(，=1,2,3,L,9)均為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間

距IAAJU=123,L,9)均為18m.最短拉索的錨耳,A滿足Q制=84m,IQIII=78m,

以編繪所在直線為X軸,所在直線為y軸，則最長拉索為卅。所在直線的斜率為

()

P10索塔

i5s∣5>

Sl

A.?

2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計算IoAoI，∣o%∣,再利用斜率的定義可解.

【詳解】如圖，以。為原點建系，

且山匕J(i=1,2,3,L,9)均為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距IAAJ('句29，9)均為

18m,

貝“圖o∣=∣31+∣AAOI=78+9x18=240m,即點4(240,0),

同理舔(-240,0),

又IOK)I=IoN+氏闈=84+9x4=120,即點RO(0,120),

所以&P=--------=—，

b'λ0+2402

即最長拉索所在直線的斜率為g?

故選：B.

1171

8.已知α=cos-,A=—,c=3sin-,則()

3183

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>c>aD.a>c>h

【答案】B

C1

【分析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)得出￡=3tan：〉l,即可得出設(shè)

a3

/(Λ)=COSΛ+1X2-1,X∈(0,+<Z>),根據(jù)導數(shù)得出在(O,y)上單調(diào)遞增，即可得出

/[∣)>∕(o)=o117

即CoS一一—>0,即得出α>b,即可得出答案.

318

【詳解】因為當Xe(O，時，x<tanr,

故￡=3tan?>3×-=1,

a33

故￡>1,所以c>a；

a

設(shè)/(x)=COSX+-l,x∈(θ,+8).

設(shè)g(x)=-sinx+x=>g(X)=I-CoSX≥0,

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(0)=0

貝IJ∕,(x)=-si∏Λ+x>O,

所以/(力在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故/(?>"0)=0,

117

所以CoSg-H〉o,

31o

所以“>〃，

所以c>α>b,

故選：B.

二、多選題

9.已知等比數(shù)列｛q｝的前“項積為Z,,則下列結(jié)論正確的是()

A.a4=1B.T2=T5

C.T1=7D.若q=1,則4=1

【答案】ABD

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)及前〃項積刀,的定義判斷各選項即可.

【詳解】對于A,因為生。4a5=婿=1，所以4=1，故A正確；

對于B,因為q%=q%%”√?,所以％=篤，故B正確；

對于C,T1=ata2a3a4a5aβa1=a｝=?,故C錯誤；

對于D,若4=1,則O?=旦=1,解得4=1,所以∕=qq=l,故D正確.

a?

故選：ABD.

10.己知函數(shù)"x)=-2(x-A)，、—α)的極小值點為b,則()

A.a>bB./(x)在(-∞∕)上單調(diào)遞減

C./(x)在(反+8)上單調(diào)遞增D?/(x)的最小值為0

【答案】AB

【分析】求導得r(x)=-2(x-6)(3x-2π-A),根據(jù)極小值點為人從而確定。<笥2,

進而可一一判斷各選項.

2

【詳解】S>3∕(x)=-2(x-?)(x-a),

則/'(x)=-4(x-0)(x-4)-2(x-b)~=-2(x-?)(3x-2α-?),

因為χ=b是f(x)的極小值點，

所以當x<b時，/'(x)<0j(x)單調(diào)遞減,

當6<x<義?時，/'(x)>0"(x)單調(diào)遞增.

所以言也，解得6<α?

對于A,b<a,即α>b,A正確；

對于B,/(x)在(FM上單調(diào)遞減，B正確；

對于C,“X)在用)上單調(diào)遞增，C錯誤；

對于D,/(x)在[-y-,+sJ上單調(diào)遞減，/(x)沒有最小值，D錯誤.

故選：AB

11.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(力的導函數(shù)為了'(X),且不等式?√?'(x)+2"x)>2恒

成立，則()

A.4≠(1)-∕[∣]>3B.4∕(2)-∕(l)<3

C.9/(3)-4/(2)>3D.16"2)-佃>15

【答案】ACD

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=χ2∕(x)-x2,x>0,求導后得到單調(diào)遞增，從而利用單調(diào)性可

以一一判斷各選項.

【詳解】令g(χ)=χ2∕(χ)-W,X>O,

則g'(X)=2獷(X)+X2f'(x)-2x=XH'(x)+2/(x)-2)

因為苗(x)+24x)>2,則礦(x)+2"x)-2>0,即g'(x)>O,

所以g(x)在(0,y)上單調(diào)遞增.

對于A,g(ι)>g(g),即/⑴

即”⑴所以A正確；

對于B,g(2)>g(l),即4/(2)_4>/(1)_1,4/(2)_/(1)>3,所以B錯誤；

對于C,g(3)>g⑵,即943)-9>4/(2)—4,9/(3)—4"2)>5>3,所以C正確;

對于D,g⑵即4/(2)_4>；/(；)_；,”(2)_；/(；)>，，

即16∕(2)-∕g]>15,所以D正確.

故選：ACD

【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，

以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

12.在棱長為6的正方體ABez)-A4G，中，E為的中點，P在棱BC上(不包括

端點)，則下列判斷正確的是()

A.存在點尸，使得ApL平面。RE

B.存在點P,使得三棱錐P-。。田的體積為45

C.存在點P,使得點P到0E的距離為5

D.當P為BC的中點時，三棱錐P-外接球的表面積為86%

【答案】AD

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量解決垂直問題，向量法求點到平面距離，求點

到直線距離，幾何法求外接球半徑.

【詳解】以2為原點，分別以AA，DC，。。的方向為X,y,Z軸的正方向，建立

空間直角坐標系，如圖所示.

因為AB=6,所以A(0,0,0),D(0,0,6),A(6,0,6),E(6,3,0),P(Λ6,6)(0<Z<6),

對于A：當尸是BC的中點時，P(3,6,6),AP=(—3,6,0),DlE=(6,3,0),Ar>=(0,0,6),

APD1E=O

■',所以AP_LZ)∣E,APID1P,D1EDtD=Dt,3∣E,Z)Qu平面。AE,

APD1D=O

所以APJ_平面。RE,則A正確.

對于B：由正方體的性質(zhì)可得DA，平面ASGR,則。口，?！?

因為AB=6,所以。。=6,β1E=3√5,則4DQE的面積S=Jχ6χ3石=9指.

由選項A可知，平面DqE的一個法向量"=gAP=(-l,2,0),Ap=(f,6,6),設(shè)點尸到

平面。AE的距離為/?,則〃=匕出==，

同小

由0<r<6,則罕<〃<?,從而三棱錐E的體積Ve(18,36),故B錯誤.

對于C：DE=(6,3,-6),DP=(z,6,0),則點P到。E的距離

、2

√5r2-24∕+288

DP2-DPDE

de?J3

因為0<t<6,所以坦叵Wd<6,5<約叵，則C錯誤；

55

對于D：如圖，分別取棱AB,BC的中點凡G,連接。F,EF,EG,DlG,PG,PD,

PF,則三棱錐P-DAE的外接球與三棱柱DFP-DtEG的外接球為同一個球.

由題意可得AE=AG=3a，EG=3√2.

由余弦定理可得cosZEDG=°山：］?GCIAG-=:，從而SinNEDlG=1,

i

2DlE?DlG55

EG

則DlEG的外接圓半徑廠="n/EDG=苧'從而三棱柱。Fp-AEG外接球的半徑

R滿足片=/+(與?J=曰+9=,,故其外接球的表面積5=4兀六=86兀，D正確.

故選：AD

【點睛】方法點睛：題中圖形為正方體，便于建立空間直角坐標系，關(guān)于垂直的證明，

求點到平面距離，求點到直線距離，利用空間向量法，比幾何法更方便簡潔.

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=ln(2x)+f'⑴，貝!∣∕(j=.

【答案】1

【分析】求解導函數(shù)，即可得r(ι)=ι,于是可得函數(shù)解析式，從而可求解的值.

【詳解】已知函數(shù)"x)=ln(2x)+r⑴，則r(χ)==x2=g,所以r(l)=l

則/(x)=In(2x)+1,故∕g)=lnl+l=l.

故答案為：1.

14.己知等差數(shù)列｛α,,｝的前“項和為S,,,若邑=2,S4=6,則七=.

【答案】12

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解

【詳解】由題意得S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列，

則Se-6+2=2x(6-2),得&=12

故答案為：12

15.己知球。的半徑為6,球心為。，球。被某平面所截得的截面為圓M,則以圓M為

底面，。為頂點的圓錐的體積的最大值為.

【答案】16√3π

【分析】設(shè)圓M的半徑為r,圓錐的高為〃，則產(chǎn)+加=36,圓錐的體積

V=lπ(36-∕ι2)A,利用導數(shù)求得圓錐的體積的最大值.

【詳解】設(shè)圓〃的半徑為「，圓錐的高為人則產(chǎn)+∕12=36.

圓錐的體積V=；ɑ2∕j=gπ(36-后”，

令函數(shù)/(/0=(兀(36_/?加，則/'(〃)=3(36_3力2)=兀(i2i)

當此(0,2月時，尸(/2)>0,/(〃)單調(diào)遞增；當Ae［2√J,6)時，/'(/7)<OJ(%)單調(diào)遞

減.

所以〃/7)4川2月=16氐，故圓錐的體積的最大值為16&.

故答案為：16#兀.

16.數(shù)列｛為｝依次為1,????????....其中第一項為1,

223334444

接下來兩項為T,然后三項為g,再四項為5,依次類推，設(shè)｛%｝的前〃項和為S“，則

§2048=---------------------.

【答案】63；

［分析］根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到2017≤n≤2080時％=，再利用并項求和法計

64

算可得.

【詳解】因為1+2+3++k=(--------,X.(-------)-----=2080,?-------)—=2016,

222

當〃=1時?！?1,當2≤"≤3時當4≤"≤6時a〃=l,當7≤"≤10時?！?L,

234

,當1954≤"≤2016時？=二，當2017≤“≤2080時％=上，

6364

所以SO48=lxl+2x—F3×—F+63X1X(2048—2017+1)

2236364

=63+^-×(2048-2017+l)=63∣.

故答案為：e??

2

四、解答題

17.已知公差大于0的等差數(shù)列｛q｝的前"項和為S“，%+%=4+3,且%，4，2%

成等比數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項公式及s.；

(2)設(shè)數(shù)列［彥］的前n項和為7；,求數(shù)列｛7；,｝中整數(shù)的個數(shù).

(?+1)/7

【答案】⑴％=〃，S,='2,

(2)3個.

【分析】(1)由條件轉(zhuǎn)化成基本量即可求解；

(2)裂項求出力,的表達式，再尋找使得刀,是整數(shù)的”的個數(shù)即可.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,則”>0,

所以由條件可得%44++5dd+)4=(+%4d+=2q")+x3d2+x3m+5d),解得隆［N=i1,

所以%=〃，J=也乎="見

⑵數(shù)列圖［3的〕通項公式為E3=而6旬=6不而6，

所以北=γ-→^^→...+---7=6,

1223n〃+1〃+1

要使得Z,為整數(shù)，只需”+1是6的約數(shù)即可，

故數(shù)列｛z,｝中整數(shù)為:工=3Z=4,η=5;

故數(shù)列｛1｝中的整數(shù)共3個.

18.已知函數(shù)"x)=gχ3+χ2+ar(aeR)在χ=ι處取得極值

⑴求。的值；

⑵若方程/(x)-加=()有3個實數(shù)解，求實數(shù)，*的取值范圍.

【答案】(1)。=一3；

【分析】(1)由f(x)在X=I取極值，可得/⑴=0,解方程可求出。=-3,再驗證即

可；

(2)由(1)得/(x)的解析式，關(guān)于X的方程/(x)-加=0有3個實數(shù)解，等價于函數(shù)

/(χ)的圖象與直線y=〃?有3個交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得實數(shù)

m的取值范圍.

【詳解】(1)由f(x)=%3+/+0r,則r(x)=x2+2x+4.

因在x=l時，"x)取到極值，

所以/"⑴=0,即l+2+α=0解得。=一3.

當α=-3時，f(x)???3+x2-3x,

則/"(x)=χ2+2X-3=(X-1)(X+3),

由f'(x)=O,解得x=l或x=-3?

由用x)>0,解得χ>l或χ<-3;

由/'(x)<0,解得-3<x<l.

.?.”x)的遞增區(qū)間為：(T?,-3)和(1,+w)：

〃x)遞減區(qū)間為:(-3,1).

故當x=l時，函數(shù)/(x)取得極值.

故α=—3.

(2)由(1)得f(x)=gχ3+χ2—3χ,

〃力的遞增區(qū)間為:(-8,-3)和(l,+∞);

/(x)遞減區(qū)間為：(-3,1).

又"-3)=9,/(1)=-∣,

由題意可得函數(shù)f(x)的圖象與直線V="?有3個交點，如圖,

故實數(shù)”的取值范圍為卜|,9).

19.已知數(shù)列｛q｝的前"項和為5”，且3S,+%=4.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)%數(shù)列｛g｝的前"項和為。，證明：

【答案】(1)““=，"；

(2)證明見解析

【分析】(1)利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式.

(2)利用錯位相減法求出數(shù)列的和，根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明方＜午.

【詳解】(1)當〃=1時，3S∣+q=4,解得S∣=q=l;

當〃22時，3S“+%=4,3S“T+《I=4,兩式相減得α,,=:”,,7；

所以｛q｝是q=1,4=；的等比數(shù)列，

故q,=""i=∕r?

H

(2)證明：因為=產(chǎn)，

所以事/+。+1++卻①

j?=l+4→Z++—>②

4n442434n

G小乙日3Tllll1n

440442434,1~4

T163/2+4,3n+4.16

所以可，=亍一甚產(chǎn)?m因2為坂不?。尽?，所以］，＜§?

20.如圖，在正三棱柱ABC-AAG中，D,E分別為棱AB,4G的中點，AB=Q..

⑴證明：OE〃平面ACGA；

（2）若三棱錐A-A。C的體積為正，求二面角。-AC-4的余弦值.

3

【答案】（1）證明見解析

⑵亞

【分析】（1）取AG的中點F,連接EF,AF,可得砂〃AD且防=AO,即￡7%。為

平行四邊形，從而得到AF〃￡>E,即可得證：

（2）首先根據(jù)錐體的體積公式求出A4,取AC的四等分點（靠近A）,連接DM,過

點用作MNLAC交AC于點N,連接DN,由面面垂直的性質(zhì)得到OM2平面

ACGA,即可得到N。VM為二面角。-AC-4的平面角，再利用銳角三角函數(shù)計算可

得.

【詳解】（1）取AG的中點/，連接EF,AF,因為￡>,E分別為棱AB,BC的中點，

且三棱柱ABC-ABe為正三棱柱，

所以EF∕∕At片且EF=gAg,ADlABl且A￡>=gA旦，

所以￡77/4。且EE=AD,

所以EEAZ）為平行四邊形，所以瓶/〃出，

因為OEz平面ACGA,AFU平面ACCM,

所以。E〃平面ACGA;

（2）因為ΛB=2,所以AD=1,DC=√2,所以S=gxlx^=*,

又在正三棱柱ABC-A1B1C,中AA?平面ABC,

所以匕=匕-ADC，所以

n-A∕5∣oZ√CV∕1∣ΛI√V=々TMI?S./ItAZ0VC=?M=2,

取AC的四等分點（靠近A）,連接ZW,過點M作MNLAC交AC于點N,連接DN,

因為ABC為等邊三角形，所以Z)MlAC且。M=也

2

又平面ACGA，平面ABC,平面力CGA平面ΛBC=AC,DWU平面43C,

所以DM上平面4CC∣A，AeU平面ACC∣A,

DMLA1C,又MNIAIC,DMMN=MQM,MNu平面DMN,

所以ACL平面DMN,所以ADNM為二面角D-A1C-A的平面角,

在平面ACGA中連接AG交AC于點。，因為四邊形ACcA為正方形,

所以AC，又MN,AIC,所以MN〃AO,又A為AC的四等分點，所以N為OC

的四等分點，

所以NM=-AO=-AC1=-×2?j2=^,

更

,,,/…/MN~Γ3√10

所rr以lcos4DNM==—‰=----,

DN叵10

~τ^

所以二面角Q-AC-A的余弦值為亞.

10

22

21.已知片,馬分別是橢圓E[+3=l(a>b>0)的左、右焦點，。是橢圓E的右頂點,

ab

優(yōu)α=ι,且橢圓E的離心率為

(1)求橢圓E的方程.

(2)過K的直線交橢圓E于A,B兩點、,在X軸上是否存在一定點P,使得

(\

p?PR

PF,=λJ+L,2為正實數(shù).如果存在，求出點尸的坐標；如果不存在，說明理由.

IIMI?PB1?)

【答案】⑴=+*=l

43

(2)存在，點P(To)

【分析】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,寫出瑪，Q點坐標，根據(jù)條件計算a，。的值，結(jié)合

Y+從=c?求出6,可寫出橢圓方程：(2)由條件可知P耳是NAPB的平分線，即

%+3=。，設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓和直線方程，計算%+%=0可求出點尸坐

標.

【詳解】(I)(I)設(shè)橢圓E的半焦距為c,則E(C,0),2(4,0),因為優(yōu)。=1,

所以α-c=l.

又因為橢圓E的離心率為:，所以￡=：,

2a2

Cl-C=1C?

Q=2,

聯(lián)立方程組J￡=[,解得C=I

a2

所以〃2=4—1=3,

22

橢圓E的方程為三十匕=1.

43

'DADD、

(2)設(shè)存在點P(M)),使得PE=2—；+—-,則尸K是NAPB的平分線，

IJPAlIPBU

所以A?+%j=0.顯然當AAB=()時一定成立.

當心f≠0時，設(shè)AB的方程為X=Wy-1,與橢圓E的方程三+￡=1聯(lián)立消去X,得

43

(+4)y2—6my-9=0.

設(shè)Aa,χ),B(x2,%),則y+%=￡3"1'y%=工9].

3機+43m÷4

因為勺％+勺>a=芝7+黃7=0,所以yl(χ2-z)+y2(χl-r)=O,

即y∣(wy2-1-?)+?,(myl-1-r)=0,所以2/ny%—(1+，)(*+>?)=0，

6/27(1+/)

所以以”行力