【高考大贏家·沖刺】成就學霸典題卷（拔高卷）（解析版）

絕密★啟用前【高考沖刺滿分】2022年高考數(shù)學名師押題預測全真模擬卷（全國乙卷）理科數(shù)學【高考大贏家·沖刺】成就學霸典題卷（拔高卷）（本卷共6頁，22小題，試卷滿分：150分，考試用時：120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務必填寫好自己的姓名、準考證考號等信息。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。1．設復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根據(jù)復數(shù)的運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)及復數(shù)的模即可求解.【詳解】解：，故.故選：B.2．若全集為R，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再根據(jù)補集交集的定義即可求出.【詳解】解：因為，，所以．故選：C．3．已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是真命題【答案】D【分析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】解：由題意，判斷得命題為真命題，命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：D4．若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A5．在正方體分別為的中點，則異面直線與所成角的大小為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、、，則∥∥，即為異面直線與所成角或其補角，根據(jù)等比三角形是等邊三角形即可求解.【詳解】解：連接、、、易知∥∥，即為異面直線與所成角或其補角，易知等邊三角形，故角為.故選：C.6．2022年北京冬季奧運會中國體育代表團共收獲9金4銀2銅，金牌數(shù)和獎牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高．獲得的9枚金牌中，5枚來自雪上項目，4枚來自冰上項目．某體育院校隨機調(diào)查了100名學生冬奧會期間觀看雪上項目和冰上項目的時間長度（單位：小時），并按，，，，分組，分別得到頻率分布直方圖如下：估計該體育院校學生觀看雪上項目和冰上項目的時間長度的第75百分位數(shù)分別是和，方差分別是和，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】分別計算出和，進行比較；由方差的意義比較和，即可得到答案.【詳解】解：由題意進行數(shù)據(jù)分析，可得：，解得：；，解得：；所以.比較兩個頻率分布直方圖可以看出：雪上項目的數(shù)據(jù)更分散，冰上項目的數(shù)據(jù)更分散，由方差的意義可以得到：.故選：A7．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)為偶函數(shù)，又當時，，即可求解．【詳解】解：顯然為偶函數(shù)，則排除C，又當時，，則排除B?D．故選：A．8．在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，設事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，分別求出對應的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】解：如圖所示：設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，其面積為．設事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B.【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準確求出事件對應的區(qū)域面積，即可順利解出．9．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)若，，得到ac和，代入求解即可.【詳解】解：因為，所以，即，又，所以，所以，故選：C10．如圖所示，在直角坐標系中（x，y軸未畫出）．已知O為原點，A，B均為函數(shù)的極值點，在點A，B之間，則函數(shù)圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)是否過原點，以及函數(shù)的和的導數(shù)判斷選項.【詳解】解：A.，，函數(shù)不過原點，與圖像不符，故A錯誤；B.，，函數(shù)不過原點，與圖像不符，故B錯誤；C.，，與圖像不符，故C錯誤；D.，滿足，，，與圖像相符，故D正確.故選：D11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點、，A為曲線、在第一象限的交點，且的面積為2，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】先由橢圓定義和余弦定理結(jié)合面積公式求出，再由雙曲線定義和橢圓定義找到a，的關(guān)系，代入目標式化簡可得.【詳解】解：記橢圓中的幾何量為a，b，c，雙曲線中的幾何量為，，則由橢圓和雙曲線定義可得…①，…②，兩式平方相減整理得記，則由余弦定理得…③①2-③得…④由面積公式可得，即，代入④整理得因為，所以，所以，得所以，即所以故選：B12．雪花曲線是在1906年由瑞典數(shù)學家科赫第一次作出.如圖所示，由等邊三角形ABC開始，然后把三角形的每條邊三等分，并在每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形（并去掉與原三角形疊合的邊）；接著對新圖形的每條邊再繼續(xù)上述操作，即在每條邊三等分后的中段，向外畫新的尖形.不斷重復這樣的過程，便產(chǎn)生了雪花曲線.雪花曲線的周長可以無限長，然而圍成的面積卻是有限的.設初始三角形ABC的邊長為a，不斷重復上述操作，雪花曲線圍成的面積趨于定值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次計算得到第次操作后面積，按照等比數(shù)列求和得到，再由時，得到結(jié)果即可.【詳解】解：由題意知，初始三角形的面積，第一次操作后，增加了3個邊長為的等邊三角形，此時面積；第二次操作后，增加了個邊長為的等邊三角形，此時面積；；第次操作后，增加了個邊長為的等邊三角形，此時面積，當時，，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線，過焦點F且斜率為的直線l交C于A，B兩點（其中點A在x軸下方），再過A，B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為D，C，設，分別為，的面積則______．【答案】【分析】設直線l的傾斜角為，且，則由拋物線的相關(guān)定理可得：，由拋物線定義可知，進而可得,計算可得結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，設直線l的傾斜角為，且，則由拋物線的相關(guān)定理可得：，又拋物線上的任意一點到焦點的距離等于到準線的距離，則，則，可理得則，,又，且，則，求得：，故答案為：14．已知向量，，若，則___________．【答案】##【分析】由可知，，代入坐標求解即可.【詳解】解：因為，所以，即，代入坐標得，解得，故答案為：.15．設，，分別為的內(nèi)角，，的對邊，已知，則的值為______.【答案】【分析】題設條件中用正弦定理“邊化角”即可求得，而要求值的式子可化為，代倍角公式即可求解【詳解】解：因為，所以則故答案為：16．如圖1，已知正方體的棱長為2，M，N，Q分別是線段上的動點，當三棱錐Q-BMN的正視圖如圖2所示時，三棱錐俯視圖的面積為_______________.【答案】##1.5【分析】根據(jù)三棱錐Q-BMN的正視圖確定M，N，Q的位置，從而得到其俯視圖為等腰三角形，再計算面積；【詳解】解：由題意得：點為的中點，點為中點，點與重合，其俯視圖為三角形，如圖所示，故答案為：三、解答題：本題共7小題，共70分。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-23題為選答題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（本題滿分12分）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017-2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年-2021年對應的代碼依次為1-5.年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；(2)已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率.參考數(shù)據(jù)：，，，其中.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)；(2)【分析】（1）結(jié)合回歸方程的求法，求得回歸方程.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】解：(1)設，則，，，，所以，.所以關(guān)于的回歸方程為.(2)因為中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，則選擇在品牌官方直播間購物的用戶為人，記作，不在品牌官方直播間購物的用戶為人，記作，從這人隨機抽取人，結(jié)果有：，共種，其中人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的結(jié)果為：，共種，所以這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率為.18．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點E在上，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，交于點F，連接，由，得到，再由，得到，進而得到，利用線面平行的判定定理證明；

（2）以D為坐標原點，分別以直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，求得平面PBC的一個法向量和平面CPD的一個法向量，由求解．【詳解】(1)解：證明：如圖，連接，交于點F，連接．由，，所以．

又，所以，故．又平面，平面，所以平面．(2)不妨設，則．

以D為坐標原點，分別以直線為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

所以．

設為平面的一個法向量，則有即可?。?/p>

設為平面的一個法向量，則有即可取，

所以．所以，所以二面角的正弦值為．19．（本題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，，，，且滿足：，其中且.(1)求.(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設，由得，又，再按照等比數(shù)列通項公式求解即可；（2）設，由，通過累加法求得，再通過分組求和及等比數(shù)列的求和公式求即可.【詳解】(1)記，當時，由得，，即.又因為，，，所以，，即.故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列.則.(2)由（1）知.記，故，當時，即.而也滿足，故對，均有.從而.20．（本題滿分12分）已知函數(shù)在處的切線斜率為（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求函數(shù)的最值；(2)設為的導函數(shù)，函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，無最大值；(2)或.【分析】（1）由題可得，然后利用導數(shù)即得；（2）當時，可得適合題意，當時，利用導數(shù)可求函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，進而可得，即得.【詳解】(1)∵，∴，由，得，∴，∴，由，可得或，由，可得，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，又，當時，，且，∴，無最大值；(2)由上可知，又，∴，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，所以滿足題意，當時，令，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，此時當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，當時，，當時，，所以需要，將代入，，構(gòu)造函數(shù)，∴，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，得到.綜上，實數(shù)a的取值范圍為或.【點睛】利用導數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導數(shù)硏究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.21．（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知．①求證：直線恒過x軸上一定點；②設和的面積分別為，求的最大值．【答案】(1)；(2)①證明見解析；②2【分析】（1）由題意列方程組求解（2）①設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由題意列方程通過韋達定理化簡求解②由面積公式與韋達定理化簡后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值【詳解】解：(1)由題意可得解得，所以橢圓C的方程為．(2)①方法一：第三定義轉(zhuǎn)化依題意，點，設，因為若直線的斜率為0，則點P，Q關(guān)于y軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯(lián)立整理得：，所以，且因為點是橢圓上一點，即，所以，所以，即因為，所以，此時，故直線恒過x軸上一定點．方法二：非對稱韋達依題意，點，設因為若直線的斜率為0，則點P，Q關(guān)于y軸對稱，必有，不合題意所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯(lián)立得：所以整理得：，所以，且依題意，，即．算法1：和積關(guān)系轉(zhuǎn)化法因為，所以，所以解得：．算法2：韋達定理代入消元因為，所以，所以解得：．方法三：分設兩線再聯(lián)立依題意，點，設，設，并設直線，直線，因為聯(lián)立直線與橢圓C得：所以整理得：，解得：．因為聯(lián)立直線與橢圓C得：所以整理得：，解得：．因為，且，此時，設直線與x軸