實(shí)變函數(shù)課件

第二節(jié)對(duì)等與基數(shù)集合定義1：設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合，若依照對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)X中的每個(gè)x，均存在Y中唯一的y與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則

f是從X到Y(jié)的一個(gè)映射，記作f:X→Y或：設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合，f是X×Y的子集，且對(duì)任意x∈X，存在唯一的y∈Y使(x,y)∈f，則f是從

X到Y(jié)的一個(gè)映射注：集合，元素，映射是一相對(duì)概念略：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射（雙射）１映射的定義[]例注：模糊集：參見：《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》，L.A.Zadeh2、實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算+:R×R→R(群,環(huán),域)1、定積分運(yùn)算為從[a,b]上的可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射(函數(shù),泛函,算子,變換)3、集合的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定）稱為集A的特征函數(shù)，證明的過程略2集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（像集）集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（原像集）注：6），7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為單射，7）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為滿射證明的過程略3對(duì)等與勢(shì)1）設(shè)A,B是兩非空集合，若存在著A到B的一一映射（既單又滿），則稱A與B對(duì)等,注：稱與A對(duì)等的集合為與A有相同的勢(shì)（基數(shù)），記作勢(shì)是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣記作約定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能。例Galileo在17世紀(jì)最先考慮自然數(shù)與自然數(shù)平方的多少,1870Cantor開始系統(tǒng)考慮.基數(shù)的大小比較

4Bernstein定理例：由可知，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。Bernstein定理的證明fλBernstein定理的證明證明:ABgfBernstein定理的證明ABggfffABfgffgBernstein定理的證明Bernstein定理的證明此處都是關(guān)于映射g,如果不是同一映射,則不一定成立.第三節(jié)可數(shù)集合集合注：A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

A可以寫成無窮序列的形式{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}

與自然數(shù)集N對(duì)等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為１可數(shù)集的定義2）[0,1]中的有理數(shù)全體

={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}假設(shè)這是一個(gè)無限集M我們可以取出其中一個(gè)點(diǎn)a1顯然M\{a1}還是無限集在M\{a1}中可以取出一點(diǎn)a2顯然M\{a1，a2}還是無限集我們可以取出一個(gè)可數(shù)子集{a1,a2,a3,...}

任何無限集合均含有可數(shù)子集（即可數(shù)集是無限集中具有最小勢(shì)的的集合)２可數(shù)集的性質(zhì)（子集）可數(shù)集的子集或?yàn)橛邢藜驗(yàn)榭蓴?shù)集推論

可數(shù)集的性質(zhì)（并集）有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}當(dāng)集合有公共元素時(shí)，不重復(fù)排。假設(shè)A，B，C兩兩不交，則A∪B={b1,b2,b3,…,bn

，a1,a2,a3,…}可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集有限個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集C={c1,c2,c3,c4,c5,c6,…}B={b1,b2,b3,…,bn}A∪C={c1,a1,c2,a2,c3,a3,…}當(dāng)Ai互不相交時(shí)，按箭頭所示，我們得到一個(gè)無窮序列;當(dāng)Ai有公共元時(shí)，在排列的過程中除去公共元素；A1A2A3A4可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并

仍為可數(shù)集的證明說明:與Hilbert旅館問題比較;如何把無限集分解成無限個(gè)無限集合的并?首先[0,1]中的有理數(shù)全體={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}是可數(shù)集，例全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集[][][][][][]-2-101234所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）說明:有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(diǎn)(對(duì)等意義下).有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集設(shè)A，B是可數(shù)集，則A×B也是可數(shù)集從而A×B也是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個(gè)乘積的情形3可數(shù)集的性質(zhì)（卡氏積）x固定，y在變例平面上以有理點(diǎn)為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集證明：平面上的圓由其圓心(x,y)和半徑r唯一決定,從而r(x,y)對(duì)上例的說明特殊情形：

[0,1]~(0,1)R~R-Q{1/2,1/3,?,1/5,…}{0,1,?,1/3,1/4,…}整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)成為超越數(shù)。由代數(shù)基本定理知任意整系數(shù)多項(xiàng)式至多有有限個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立.設(shè)P是整系數(shù)多項(xiàng)式全體所成之集,P(n)是n次整系數(shù)多項(xiàng)式全體例代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集假設(shè)這是集合A從中可以取出可數(shù)子集M很容易將M一分為二M1,M2，使得兩個(gè)都是可數(shù)集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}M1

={a1,a3,a5,…}M2={a2,a4,a6,…}取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可例說明：由此我們可得任一無限集一定存在它的一個(gè)真子集與它有相同多的元素個(gè)數(shù)問:為什么不直接令A(yù)*=A\M?第四節(jié)不可數(shù)集集合1不可數(shù)集的存在性(區(qū)間[0,1]是不可數(shù)集)[][][]01/32/31證明：假設(shè)［0,1］是可數(shù)集,則[0,1]可以寫成一個(gè)無窮序列的形式：[][][]01/32/31數(shù)的進(jìn)位制簡(jiǎn)介十進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]十等分二進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]二等分三進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]三等分說明：對(duì)應(yīng)[0,1]十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如0.2000000…0.1999999…（十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)不可數(shù)集的存在性的另一種證明證明：假設(shè)（0,1）是可數(shù)集,則（0,1）可以寫成一個(gè)無窮序列的形式：把每個(gè)數(shù)寫成正規(guī)小數(shù)（不能以0為循環(huán)節(jié)）令x=0.a1a2a3a4…其中則得到矛盾，所以

(0,1)是不可數(shù)集。定義：與[0,1]區(qū)間對(duì)等的集合稱為連續(xù)勢(shì)集，其勢(shì)記為，顯然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2連續(xù)勢(shì)集的定義2）無理數(shù)集為連續(xù)勢(shì)集（無理數(shù)要比有理數(shù)多得多，同理超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多）3連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（卡氏積）（1）有限個(gè)、可數(shù)個(gè)連續(xù)勢(shì)的卡氏積仍為連續(xù)勢(shì)集1874年Cantor考慮R與Rn的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并企圖證明這兩個(gè)集合不可能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，過了三年，他證明了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是存在的，從而說明Rn具有連續(xù)基數(shù)，他當(dāng)初寫信給Dedekind說：“我看到了它，但我簡(jiǎn)直不能相信它”.推論平面與直線有“相同多”的點(diǎn)

連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（并集）連續(xù)勢(shì)集的（有限個(gè)，可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢(shì)個(gè)）并仍為連續(xù)勢(shì)集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny4無最大勢(shì)定理從而說明無限也是分很多層次，且不存在最大的集合.此證為對(duì)角線方法，與(0,1)是不可數(shù)集的證明比較。

盡管Cantor在1883年就證明了這個(gè)定理，但直到1899年Cantor才發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定理本身與他給出的集合的定義有矛盾，即所謂的Cantor的最大基數(shù)悖論.

因此Cantor在1899年給Dedekind的一封信中曾指出,人們要想不陷于矛盾的話,就不能談?wù)撚梢磺屑纤M成的集合.集合悖論證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故2N

與{0,1}N對(duì)等；下證：說明：相當(dāng)于把對(duì)應(yīng)到一個(gè)三進(jìn)制小數(shù)5可數(shù)勢(shì)與連續(xù)勢(shì)思考：為什么不用二進(jìn)制。N上的特征函數(shù)全體第一節(jié)度量空間,n維歐氏空間點(diǎn)集⒈度量空間定義：設(shè)X為一非空集合，d:X×X→R為一映射，且滿足⑴d(x,y)≥0，d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y（正定性）⑵d(x,y)=d(y,x)（對(duì)稱性）則稱(X,d)為度量空間.⑶d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）例：⑶C[a,b]空間(C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上實(shí)值連續(xù)函數(shù)全體),其中

⑴歐氏空間（Rn,d）,其中

⑵離散空間(X,d)，其中鄰域

點(diǎn)列收斂距離與直徑距離：直徑：

有界點(diǎn)集區(qū)間開區(qū)間：左閉右開區(qū)間：左開右閉區(qū)間：閉區(qū)間：第二節(jié)聚點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)點(diǎn)集１．歐氏空間中各類點(diǎn)的定義P0為Ec的內(nèi)點(diǎn):P0為E的內(nèi)點(diǎn)：P0為E的外點(diǎn)：P0為E的邊界點(diǎn)：P0為E的聚點(diǎn)：P0為E的孤立點(diǎn)：注：內(nèi)點(diǎn)、孤立點(diǎn)一定屬于E；外點(diǎn)一定不屬于E，聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)不一定屬于E，

例（1）令E=Q，則（2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},則對(duì)一切1/k(k=1,2,3,…)均為E的孤立點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)、邊界點(diǎn)與聚點(diǎn)的關(guān)系結(jié)論：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)，邊界點(diǎn)有可能是聚點(diǎn)，也有可能是孤立點(diǎn).開核與閉包的關(guān)系例設(shè)p0是E的聚點(diǎn),

證明p0的任意鄰域內(nèi)至少含有無窮多屬于E而異于p0的點(diǎn).證明：由條件知P0δPn

2.聚點(diǎn)的等價(jià)描述證明：顯然，下證定理1：下列條件等價(jià)：

(1)p0為E的聚點(diǎn)

(3)存在E中互異的點(diǎn)所成點(diǎn)列{pn},使得P0δPn定義：稱點(diǎn)列{pn}收斂于p0,記為：(2)點(diǎn)p0的任意鄰域內(nèi)，含有無窮多個(gè)屬于E而異于p0的點(diǎn)設(shè)p0是E的聚點(diǎn)，證明存在E中的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列{pn}使則上述取出的點(diǎn)列Pn是互異點(diǎn)列,且證明：由聚點(diǎn)的定義知保證收斂保證點(diǎn)列互異3.開核，導(dǎo)集，閉包的性質(zhì)定理2若，則定理3若，則定理3的證明：由于，由定理2立得?，F(xiàn)設(shè)，則對(duì)任意，，從而含或中點(diǎn)，由定理1，知存在一串互異的點(diǎn)，使

中必有無窮多個(gè)都屬于或都屬于，不妨設(shè)，則由，知。如果有無窮多個(gè)在中，則將會(huì)有，總之。從而。綜上。證畢。第三節(jié)開集,閉集,完備集點(diǎn)集1：開集與閉集的定義一開集與閉集證明:1)證明：設(shè)E為開集，即2:開集與閉集的對(duì)偶性a.空集，Rn為開集;b.任意多個(gè)開集之并仍為開集；c.有限個(gè)開集之交仍為開集。注：無限多個(gè)開集的交不一定為開集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如：E=[0,1)AB3:開集,閉集的性質(zhì)1）開集的性質(zhì)2）閉集的性質(zhì)a.空集，Rn為閉集；b.任意多個(gè)閉集之交仍為閉集；c.有限個(gè)閉集之并仍為閉集。注：無限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=[0,1-1/n]二完備集，疏朗集1：自密集與完備集注：自密集就是沒有孤立點(diǎn)的集合例：全體有理數(shù)組成的集合是自密集.注：完備集就是自密閉集，也就是沒有孤立點(diǎn)的閉集2：疏朗集例：全體正整數(shù)組成的集合就是疏朗集⑴Bolzano-Weierstrass定理：

若E是Rn中的一個(gè)有界的無限集，則E至少有一個(gè)聚點(diǎn).

點(diǎn)列{a1,a2,a3,a4,…}

a1=(a11,a12,a13,…,a1n)

a2=

(

a21,a22,a23,…,a2n)

a3=

(

a31,a32,a33,…,a3n)……三

R中有關(guān)緊性的兩個(gè)結(jié)論⑵Heine-Borel有限覆蓋定理

設(shè)F為有界閉集，若開集簇覆蓋F（即），

則中存在有限個(gè)開集U1

，U2，…,Un，它同樣覆蓋F

注：比較下面幾種不同的證法周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)p-36尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)p-52熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義p-202教材p-42注：Heine-Borel有限覆蓋定理的逆命題也成立第四節(jié)直線上開集閉集的構(gòu)造點(diǎn)集一直線上的開集構(gòu)造

定理：直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并。()()()()(注：n(n>1)維歐氏空間中的開集一般不能表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并，但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的半開半閉區(qū)間之并.定理：直線上的閉集或是全直線，或是從直線上挖去有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間所得之集.注：直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開區(qū)間的公共端點(diǎn)；但并不意味無孤立點(diǎn)的閉集定為互不相交的閉區(qū)間之并。()()()()(推論：直線上完備集就是沒有相鄰接的余區(qū)間的閉集.二直線上的閉集構(gòu)造對(duì)[0,1]區(qū)間三等分，去掉中間一個(gè)開區(qū)間，然后對(duì)留下的兩個(gè)閉區(qū)間三等分，各自去掉中間一個(gè)開區(qū)間，此過程一直進(jìn)行下去，最后留下的點(diǎn)即為Cantor集三Cantor集第n次去掉的開區(qū)間留下的閉區(qū)間12n⑴定義：令稱P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc

為Cantor集⑵Cantor集的性質(zhì)a.分割點(diǎn)一定在Cantor集中

Cantor集P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc為閉集注：第n次共去掉2n-1個(gè)長(zhǎng)為1/3n的開區(qū)間b.P的“長(zhǎng)度”為0，去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和c.P沒有內(nèi)點(diǎn)()x-εxx+ε第n+1次等分去掉的區(qū)間第n次等分留下的區(qū)間但由Cantor集的作法知，我們要對(duì)繼續(xù)三等分去掉中間一個(gè)開區(qū)間，從而內(nèi)至少有一點(diǎn)不屬于P，所以x不可能是P的內(nèi)點(diǎn)。證明：對(duì)任意x∈P,x必含在“去掉手續(xù)進(jìn)行到第n次”時(shí)留下的2n個(gè)長(zhǎng)為1/3n的互不相交的某個(gè)閉區(qū)間中d.P中的點(diǎn)全為聚點(diǎn),從而沒有孤立點(diǎn)從而x為P的聚點(diǎn)，當(dāng)然不為孤立點(diǎn)。

證明：對(duì)任意x∈P，只要證：

由Cantor集的作法知而的兩個(gè)端點(diǎn)定在P中，第n次等分留下的區(qū)間()x-δxx+δ數(shù)的進(jìn)位制簡(jiǎn)介十進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]十等分二進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]二等分三進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]三等分說明：對(duì)應(yīng)[0,1]十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如0.2000000…0.1999999…（十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)e.P的勢(shì)為（利用二進(jìn)制，三進(jìn)制證明）證明思路：把[0,1]區(qū)間中的點(diǎn)都寫成三進(jìn)制小數(shù)，則Cantor集的作法中去掉的點(diǎn)為小數(shù)位出現(xiàn)1的點(diǎn)的全體，從而Cantor集為小數(shù)位只是0,2的點(diǎn)的全體，作對(duì)應(yīng)注:Cantor集中除了分割點(diǎn)外,還有大量其他點(diǎn).說明：三等分的端點(diǎn)有必要特殊考慮，因?yàn)樗袃煞N表示，如0.1000000…=0.0222222…（三進(jìn)制小數(shù)）0.2000000…=0.1222222…第一節(jié)外測(cè)度測(cè)度理論一.引言

其中積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi1.Riemann積分回顧（分割定義域）達(dá)布上和與下和Riemann積分xi-1xi達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達(dá)布上和的極限上積分（外包）2.新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“長(zhǎng)度”問題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積概念推廣?

二．Lebesgue外測(cè)度為E的Lebesgue外測(cè)度。1.定義：，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)是非空的，因而定義有意義.2.Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)（2）單調(diào)性：（3）次可數(shù)可加性(1)證明:(1)顯然成立.(2):因而(3)：對(duì)任意的ε>0,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)An都有一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得注：外測(cè)度的次可數(shù)可加性的等號(hào)即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測(cè)集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。若d(A,B)>0,則例:證明參見教材p-56思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣對(duì)任意區(qū)間，有三零集1.零集的定義外測(cè)度等于零的集合稱為零集.證明：例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測(cè)度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()

2.平面上的x軸的外測(cè)度為0思考：１.設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體，則E的外測(cè)度為0例：Cantor集的外測(cè)度為0。證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為2.零集的性質(zhì)定理:(1)零集的任意子集還是零集；

(2)至多可數(shù)個(gè)零集的并還是零集.證明:(1)由外測(cè)度的單調(diào)性即得；

(2)由外測(cè)度的次可數(shù)可加性即得.第二節(jié)可測(cè)集合測(cè)度理論一.可測(cè)集的定義EEcT∩ET∩Ec（Caratheodory條件），則稱E為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集，此時(shí)E的外測(cè)度稱為E的測(cè)度，記作，可測(cè)集的全體記作例：零集E必為可測(cè)集即E為可測(cè)集。二.Lebesgue可測(cè)集的性質(zhì)證明：(充分性）(必要性)令定理1：集合E可測(cè)（即）即可測(cè)集類關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運(yùn)算封閉；注:上式由前面可測(cè)集的等價(jià)刻畫立刻可得(4)若A,B可測(cè)，則有可減性也可測(cè)。若可測(cè)已證明，則易知易知Ac可測(cè)證明：由可測(cè)集的定義：(1)(2)(3)(4)ＴBA下面證明若A,B可測(cè)，

則可測(cè)下面證明若Ai兩兩不交，則注：左邊的極限是集列極限，而右邊的極限是數(shù)列極限，

(b)中的條件不可少(a)若An是遞增的可測(cè)集列，則(b)若An

是遞減的可測(cè)集列且如An=(n,+∞)（

n三.單調(diào)可測(cè)集列的性質(zhì)注：若An是遞減集列，若An是遞增集列，第三節(jié)可測(cè)集類測(cè)度理論注：開集、閉集既是型集也是型集；

有理數(shù)集是型集，但不是型集；

無理數(shù)集是型集，但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開集與閉集互換）注：零集、區(qū)間、開集、閉集、型集（可數(shù)個(gè)開集的交）、型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）、Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。證明見書本p66例區(qū)間是可測(cè)集，且一可測(cè)集的實(shí)例

二.可測(cè)集與開集、閉集的關(guān)系即：可測(cè)集與開集、閉集只相差一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并。定理：證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知取F=Gc，則F為閉集

證明:(1)當(dāng)mE<+∞時(shí)，由外測(cè)度定義知從而（這里用到mE<+∞）對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果(2)當(dāng)mE=+∞時(shí)，這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集的并：例證明：對(duì)任意的1/n，例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E只相差一小測(cè)度集的開集和閉集。例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E*只相差一小測(cè)度集的開集和閉集。

開集:(0,1)

閉集：開集：閉集：空集三.可測(cè)集與集和集的關(guān)系

可測(cè)集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可測(cè)，則存在型集H,使(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使定理：(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使(2).若E可測(cè)，則存在型集H,使證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知取H=Oc，則H為型集，且(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使證明：對(duì)任意的1/n，

例：例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E*只相差一零測(cè)度集的型集或型集。設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E只相差一零測(cè)度集的型集或型集。注：上面的交與并不可交換次序類似可證：證明:由外測(cè)度定義知第四節(jié)不可測(cè)集存在不可測(cè)集（利用選擇公理構(gòu)造，教材p73;1970，R.Solovay證明不可測(cè)集存在蘊(yùn)涵選擇公理）存在不是Borel集的可測(cè)集（利用Cantor函數(shù)和不可測(cè)集構(gòu)造）參見：《實(shí)變函數(shù)》周民強(qiáng),p87第一節(jié)可測(cè)函數(shù)的定義及其性質(zhì)可測(cè)函數(shù)一.可測(cè)函數(shù)定義定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)(可取)，若可測(cè)，則稱f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)

注(2):在可測(cè)函數(shù)作用下,可測(cè)集的原像還是可測(cè)集.(2)簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)注：Dirichlet函數(shù)是簡(jiǎn)單函數(shù)01若(Ei可測(cè)且兩兩不交），f(x)在每個(gè)Ei上取常值ci，則稱f(x)是E上的簡(jiǎn)單函數(shù)；例(1)零集上的任何函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。（3）可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)必為可測(cè)函數(shù)

對(duì)比：設(shè)f(x)為(a,b)上有限實(shí)函數(shù)，()()()設(shè)f(x)為E上有限實(shí)函數(shù)，稱f(x)在處連續(xù)結(jié)論：可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)定為可測(cè)函數(shù)

證明：任取x∈E[f>a],則f(x)>a,由連續(xù)性假設(shè)知，()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa則G為開集，當(dāng)然為可測(cè)集，且⑷R中的可測(cè)子集E上的單調(diào)函數(shù)f(x)必為可測(cè)函數(shù)。aIax1x2由f單調(diào)增知下面的集合為可測(cè)集證明：不妨設(shè)f單調(diào)增，對(duì)任意a∈R二.可測(cè)函數(shù)的等價(jià)描述證明：利用（1）與（4），（2）與（3）互為余集，以及⒈定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，則

f(x)在E上可測(cè)

對(duì)前面等式的說明([a-1/na([aa+1/n三.可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)定理1:可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)反之，若,f(x)限制在En上是可測(cè)函數(shù)，則f(x)在E上也是可測(cè)函數(shù)。即:若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù),可測(cè)，則f(x)限制在E1上也是可測(cè)函數(shù)；即:若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。a-g(x)rf(x)定理2：可測(cè)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉

類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則為可測(cè)集。證明中利用了Q是可數(shù)集和R中的稠密集兩個(gè)性質(zhì)a-g(x)rf(x)作業(yè)：若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)-g(x),f(x)/g(x)為E上的可測(cè)函數(shù)再利用f(x)g(x)={(f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2}/4即可首先f2(x)在E上可測(cè)，因?yàn)閷?duì)任意a∈R定理3:可測(cè)函數(shù)類關(guān)于確界運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉.

推論：可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù)（連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù)）。即若fn(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。對(duì)上式的說明：下確界：([a-1/na例：R1上的可微函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f`(x)是可測(cè)函數(shù)

利用了可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù).從而f`(x)是一列連續(xù)函數(shù)（當(dāng)然是可測(cè)函數(shù)）的極限，故f`(x)是可測(cè)函數(shù).

證明：由于gn(x)例設(shè){fn}是可測(cè)函數(shù)列，則它的收斂點(diǎn)全體和發(fā)散點(diǎn)全體是可測(cè)集.注意：函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于f之間的不同.證明：發(fā)散點(diǎn)全體為收斂點(diǎn)全體為再1：幾乎處處成立的命題四.可測(cè)函數(shù)與零集的關(guān)系例1：例2：注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響

函數(shù)的可測(cè)性證明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，則mE1=0從而g(x)在E1上可測(cè)，定理：設(shè)f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可測(cè)，則g(x)在E上也可測(cè)

另外f(x)在E2上可測(cè)，從而g(x)在E2上也可測(cè)，進(jìn)一步g(x)在E=E1∪E2上也可測(cè)。2：函數(shù)可測(cè)性與零集的關(guān)系五.可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系可測(cè)函數(shù)f(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限MmMmMmn0注：當(dāng)f(x)是有界函數(shù)時(shí)，上述收斂可做到一致收斂若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，而且還可辦到定理：例：設(shè)f(x)是R上連續(xù)函數(shù)，g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則f(g(x))是可測(cè)函數(shù)。

注：f(x)是R上可測(cè)函數(shù)，g(x)是R上連續(xù)函數(shù)，f(g(x))不一定是可測(cè)函數(shù)（利用Cantor函數(shù)構(gòu)造，參見：《實(shí)變函數(shù)》，周民強(qiáng)，p114)證明：要證f(g(x))是可測(cè)函數(shù)，只要證對(duì)任意a，m(E[fg>a])={x|f(g(x))>a}可測(cè)即可,由于f在F=R上連續(xù)，故F[f>a]為R中的開集，又直線上的開集可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并，故不妨令再由g可測(cè)，可知注：另證：若g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則g(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限因?yàn)閒(x)連續(xù)，故所以f(g(x))是簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限，故為可測(cè)函數(shù)第二節(jié)可測(cè)函數(shù)的收斂性可測(cè)函數(shù)一.幾乎成立的命題如：狄利克雷函數(shù)是幾乎連續(xù)的，但不是幾乎處處連續(xù).二.可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂定義⑵一致收斂:記作注：近似地說一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個(gè)控制近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個(gè)控制fn(x)=xn⑴點(diǎn)點(diǎn)收斂:記作⑶幾乎處處收斂:記作(almosteverywhere）即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂即：去掉某個(gè)小（任意?。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂⑷幾乎一致收斂:記作(almostuniformly)⑸依測(cè)度收斂:記作注：從定義可看出，幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂（除一零測(cè)度集外）依測(cè)度收斂并不指出函數(shù)列在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂，其要點(diǎn)在于誤差超過σ的點(diǎn)所成的集的測(cè)度應(yīng)隨n趨于無窮而趨于零，而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何不依測(cè)度收斂依測(cè)度收斂三.可測(cè)函數(shù)各種收斂之間的關(guān)系1.幾乎處處收斂與幾乎一致收斂的關(guān)系注:定理1表明幾乎一致收斂比幾乎處處收斂強(qiáng)證明：

例：函數(shù)列fn(x)=xn在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測(cè)度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂收斂的聯(lián)系（葉果洛夫定理的引入）1-δfn(x)=xn定理2：(葉果洛夫(Egoroff)定理)證明：首先證明一個(gè)引理.引理：證明這個(gè)引理要用到下面的結(jié)論由于為零測(cè)度集，故不妨令fn

，f在E上處處有限，從而有：下面證明引理關(guān)于N單調(diào)減小下證Egoroff定理注：如：結(jié)合定理1和定理2，我們有下面結(jié)論結(jié)論：注：這個(gè)結(jié)論也為后面的L積分與極限交換只要求函數(shù)列幾乎處處收斂提供了理論基礎(chǔ)，也進(jìn)一步說明L積分比R積分優(yōu)越.2.幾乎一致收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系證明：注:定理3表明幾乎一致收斂比依測(cè)度收斂強(qiáng)3.幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系定理4：(黎斯(Riesz)定理)注:黎斯定理只是說明依測(cè)度收斂的函數(shù)列存在幾乎處處收斂的子函數(shù)列，并不能保證整個(gè)函數(shù)列幾乎處處收斂，而且我們完全可以找到一個(gè)依測(cè)度收斂但不是幾乎處處收斂的函數(shù)列.如教材P92Riesz定理的證明證明：對(duì)Riesz定理證明的說明：其實(shí)從證明中的(*)式我們可看出從而可取得n1<n2<n3<…<nk<…，使得故對(duì)任意ε>0，,有定理5：（Lebesgue定理）證明：由定理2和定理3即得葉果洛夫逆定理(Egoroff定理)存在幾乎一致收斂的子列(Lebesgue定理)存在幾乎處處收斂的子列(Riesz定理)總結(jié)：三種收斂之間的關(guān)系，可以列出圖表如下：第三節(jié)可測(cè)函數(shù)結(jié)構(gòu)Lusin定理

可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限（當(dāng)可測(cè)函數(shù)有界時(shí)，可作到一致收斂）問：可測(cè)函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限？可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測(cè)函數(shù)魯津定理實(shí)變函數(shù)的三條原理（J.E.Littlewood）（1）任一可測(cè)集差不多就是開集（至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并）設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則使得m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)。（去掉一小測(cè)度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù)）即：可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù)（3）任一點(diǎn)點(diǎn)收斂的可測(cè)函數(shù)列集差不多就是一致收斂列（2）任一可測(cè)函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù)魯津定理的證明證明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)為有限函數(shù)(1)當(dāng)f(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)，當(dāng)x∈Ei時(shí)，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在上連續(xù)顯然F為閉集，且有對(duì)f(x)在F連續(xù)的說明若f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，則f(x)在上連續(xù)故對(duì)任意x`∈O(x,δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f連續(xù)Fi0()x證明：任取則存在i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，又Fi為兩兩不交閉集，從而x在開集中所以存在δ>0,使得說明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，從而可取x∈Fi足夠小的鄰域不含其他Fi

中的點(diǎn)函數(shù)在每一塊上為常值，故在每一塊上都連續(xù)，但函數(shù)在R上處處不連續(xù)條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：魯津定理的證明(2)當(dāng)f(x)為有界可測(cè)函數(shù)時(shí)，存在簡(jiǎn)單函數(shù)列{φn(x)}在E上一致收斂于f(x)，由{φn(x)}在F連續(xù)及一致收斂于f(x)

，易知f(x)在閉集F上連續(xù)。利用(1)的結(jié)果知?jiǎng)tg(x)為有界可測(cè)函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果（連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉）(3)當(dāng)f(x)為一般可測(cè)函數(shù)時(shí)，作變換注：(1)魯津定理推論魯津定理（限制定義域）（即：去掉某個(gè)小測(cè)度集，在留下的集合上連續(xù)）（在某個(gè)小測(cè)度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù)）若f(x)為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（對(duì)n維空間也成立）則及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)例對(duì)E=R1上的a.e.有限的可測(cè)函數(shù)f(x)，一定存在E上的連續(xù)函數(shù)列{fi(x)}使fi(x)→f(x)a.e.于E從而令，即得我們所要的結(jié)果。

證明：由魯津定理的推論知再由Riesz定理，存在{gn(x)}

的子列{gni(x)}使gni(x)→f(x)a.e.于E，對(duì)上例的說明（只能作到幾乎處處收斂）：說明：若fn→f于R，fn連續(xù)，則f的連續(xù)點(diǎn)集是R的稠密集（參見：實(shí)變函數(shù)，周民強(qiáng)，p-43）魯津定理的結(jié)論m(E-F)<ε不能加強(qiáng)到m(E-F)=0（參見：實(shí)變函數(shù)，周民強(qiáng)，p-116）雖然我們有但不存在R上的連續(xù)函數(shù)列fn使得fn→f于E設(shè)f(x)是E上a.e.有限的實(shí)函數(shù)，對(duì)δ>0，

存在閉集，使且f(x)在上連續(xù)，

則f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)

注：此結(jié)論即為魯津定理的逆定理從而f(x)在上可測(cè)，進(jìn)一步f(x)在上可測(cè)。

證明：由條件知，，存在閉集使且f(x)在En連續(xù)，當(dāng)然f(x)在En上可測(cè)，第一節(jié)Riemann積分積分理論其中積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi一.Riemann積分回顧

對(duì)[a,b]作分劃序列令（對(duì)每個(gè)i及n）Darboux上積分Darboux下積分xi-1xi1Darboux上、下積分作振幅函數(shù)列對(duì)[a,b]作分劃序列xi-1xi2.振幅函數(shù)

f(x)在[a,b]上Riemann可積3.Riemann可積的充要條件Riemann積分二Riemann積分的缺陷1.積分區(qū)域的限制只能考慮有限區(qū)間上的積分,雖然引進(jìn)廣義積分也可以考慮無限區(qū)間但還不能考慮一般集合上的積分.2.被積函數(shù)的限制只能考慮有界函數(shù)的積分,雖然引進(jìn)瑕積分也可以考慮無界函數(shù)但復(fù)雜的函數(shù)仍然難以處理3.微分和積分互為逆運(yùn)算的類函數(shù)太窄.當(dāng)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)，它滿足微分基本定理1881年Volterra舉了一個(gè)例子說明一個(gè)可微函數(shù)導(dǎo)函數(shù)雖然有界也不一定Riemann可積,這樣微分和積分就不能互逆4.積分與極限可交換的條件太嚴(yán).

所以應(yīng)用起來不方便第二節(jié)Lesbesgue積分的定義及性質(zhì)積分理論1.積分的定義

設(shè)是(Ei可測(cè)且兩兩不交）上非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，定義為在E上的Lebesgue積分例：對(duì)Dirichlet函數(shù)01⑴非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分⑵非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分為f(x)在E上的Lebesgue積分設(shè)f(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)，定義若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，而且還可辦到⑶一般可測(cè)函數(shù)的積分積分的幾何意義：注：當(dāng)有限時(shí)，稱f(x)在E上L可積（要求不同時(shí)為）為f(x)在E上的Lebesgue積分（有積分）

設(shè)f(x)為E上的可測(cè)函數(shù)，定義⒉積分的性質(zhì)⑴零集上的任何函數(shù)的積分為0⑵f(x)可積當(dāng)且僅當(dāng)|f(x)|可積（f(x)是可測(cè)函數(shù)）,且⑶單調(diào)性:⑷線形:(5)設(shè)f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)，，

證明

a.e.于E

證明：則En為可測(cè)集,即f(x)=0a.e.于E。([01/n用到了積分的可加性(6)若f可積，則f幾乎處處有限.證明：對(duì)每個(gè)n，有(7)積分的絕對(duì)連續(xù)性說明：若|f(x)|<M,則只要取δ=ε/M即可，所以我們要把f(x)轉(zhuǎn)化為有界函數(shù)。

若f(x)在E上可積，則及任何可測(cè)子集有即：當(dāng)積分區(qū)域很小時(shí)，積分值也很小.積分的絕對(duì)連續(xù)性的證明證明：由于f(x)可積，故|f(x)|也可積故對(duì)任意ε，存在E上的簡(jiǎn)單函數(shù)φ(x)

，使在E上由于φ(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)，故存在M，使得|φ(x)|<Myiyi-1分割值域Lesbesgue積分xi-1xi分割定義域Riemann積分⒊非負(fù)可測(cè)函數(shù)可積的等價(jià)描述設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的非負(fù)可測(cè)函數(shù),mE<+∞，在[0,+∞)上作分劃:則f(x)在E上可積當(dāng)且僅當(dāng)yk+!yk非負(fù)可測(cè)函數(shù)可積的等價(jià)描述的證明證明：yk+1yk例：若E1,E2,…,En是[0,1]中的可測(cè)集，[0,1]中每一點(diǎn)至少屬于上述集合中的k個(gè)(k≤n),則在E1,E2,…,En中必有一個(gè)點(diǎn)集的測(cè)度大于或等于k/n例設(shè)fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，用到了積分的可加性第三節(jié)Lesbesgue積分的極限定理積分理論1.Levi逐項(xiàng)積分定理只要證明大于等于，但一般而言fn(x)不會(huì)跑到f(x)上方,所以我們有必要先把f(x)下移一點(diǎn)。

f(x)cf(x)

fn(x)注意：當(dāng)fn(x)一致收斂f(x)時(shí)，

fn(x)才會(huì)整體跑到f(x)上方。若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，說明：小于等于顯然成立，因?yàn)閒n(x)總在f(x)的下方,Levi逐項(xiàng)積分定理的證明引理1：設(shè){En}是遞增集列，是Rn上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，則引理2：設(shè)f(x)是E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，A是E中可測(cè)子集，則證明：由條件知fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)遞增列，有定義，且從函數(shù)列的漸升性知道下證大于等于號(hào)Levi逐項(xiàng)積分定理的證明證明：令c滿足0<c<1，是Rn上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，且則{En}是遞增集列，由引理1知cφ(x)

f(x)

fn(x)φ(x)Levi逐項(xiàng)積分定理的證明再由的積分定義知于是從（應(yīng)用引理2）

f(x)φ(x)cφ(x)

fn(x)對(duì)Levi逐項(xiàng)積分定理的說明

f(x)fn(x)

fn+1(x)積分的幾何意義（函數(shù)非負(fù)）：若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，單調(diào)增集列測(cè)度的性質(zhì)2.Lebesgue逐項(xiàng)積分定理（級(jí)數(shù)形式）然后利用Levi逐項(xiàng)積分定理即可對(duì)應(yīng)于測(cè)度的可數(shù)可加性若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則對(duì)比:積分的線性(有限個(gè)函數(shù)作和)例試求

為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然為非負(fù)可測(cè)函數(shù)，定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可積，則f(x)在[a,b]上Lebesgue可積，且例從而結(jié)論成立則為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然為可測(cè)函數(shù)，從而由Lebesgue逐項(xiàng)積分定理知：3.積分的可數(shù)可加性然后利用Lebesgue逐項(xiàng)積分定理即可對(duì)應(yīng)于測(cè)度的可數(shù)可加性Lebesgue逐項(xiàng)積分定理是關(guān)于被積函數(shù)積分的可數(shù)可加性是關(guān)于積分區(qū)域

若f(x)在（En可測(cè)且兩兩不交）上非負(fù)可測(cè)或可積，則注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性推論：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值，不影響其可積性且積分值不變證明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，則mE1=0從而即：設(shè)f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可積，則g(x)在E上也可積且例設(shè)[0,1]上的函數(shù)f(x)在Cantor集P上定義為0，在Cantor集余集中長(zhǎng)度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間上定義為n(n=1,2,3，…)，求f(x)在[0,1]上的Lebesgue積分值

解：令Gn為Cantor集P的余集中長(zhǎng)度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間的并，由條件知f(x)是[0,1]上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，根據(jù)積分的可數(shù)可加性知4.Fatou引理然后利用Levi逐項(xiàng)積分定理即可

若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，Levi逐項(xiàng)積分定理：若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則注：嚴(yán)格不等號(hào)可能成立注：fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列且一致收斂到0.1/nn5.Lebesgue控制收斂定理

證明：顯然f(x)為E上可測(cè)函數(shù)（可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)是可測(cè)函數(shù)）設(shè)fn(x)為E上可測(cè)函數(shù)列，a.e.于E，且存在非負(fù)可積函數(shù)F(x)，使得|fn(x)|≤F(x)a.e.于E，且由|fn(x)|≤F(x)a.e.于E，知|f(x)|≤F(x)a.e.于E，所以fn(x)，f(x)都為E上可積函數(shù)則f(x)在E上可積且由|fn(x)|≤F(x)a.e.于E，知F(x)±fn(x)≥0a.e.于E，由Fatou引理知又F(x)可積，從而Lebesgue控制收斂定理的證明例試求則fn(x)為可測(cè)函數(shù)且從而Lebesgue控制收斂定理知：第四節(jié)Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系積分理論yiyi-1Lesbesgue積分

對(duì)值域作分劃xi-1xiRiemann積分

對(duì)定義域作分劃本節(jié)主要內(nèi)容:若f(x)Riemann可積，則f(x)在[a,b]上Lebesgue可積，且積分值相等f(x)Riemann可積當(dāng)且僅當(dāng)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集1.Riemann可積的內(nèi)在刻畫定理：有界函數(shù)f(x)在[a,b]上Riemann可積的充要條件是f(x)在[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集教材p-104有另一種證明證明：若f(x)Riemann可積,則f(x)的Darboux上、下積分相等，上述過程反之也成立。從而f(x)在[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集，引理：設(shè)f(x)是E上有限實(shí)函數(shù)，則f(x)在x0∈E處連續(xù)的充要條件是f(x)在x0處的振幅為0證明參照教材p-1022.Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系

(Lebesgue積分是對(duì)Riemann積分的推廣)

定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可積，則f(x)在[a,b]上Lebesgue可積，且

證明：f(x)在[a,b]上Riemann可積，故f(x)在[a,b]上幾乎處處連續(xù)，從而f(x)在[a,b]上有界可測(cè)，并且Lebesgue可積，Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系的證明其次，對(duì)[a,b]的任一分劃根據(jù)Lesbesgue積分的可加性，我們有Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系的證明對(duì)上式左、右端關(guān)于一切分劃各取上、下確界，即得xi-1xi例在有理點(diǎn)處不連續(xù)，在無理點(diǎn)處連續(xù)（參見：數(shù)學(xué)分析）Riemann函數(shù)Riemann可積處處不連續(xù)Dirichlet函數(shù)不Riemann可積01注：Lebesgue積分與廣義Riemann積分無必然聯(lián)系例：f(x)有無窮積分,但不Lebesgue可積.注：Lebesgue積分與廣義Riemann積分無必然聯(lián)系例：f(x)有暇積分但不Lebesgue可積1/5?1/3?1例設(shè)f(x)是[a,b]上Lebesgue可積函數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)c(0≤c≤1)總有

那么f(x)=0a.e.于[0,1]教材p122有另一種證明寫法：證明中用到了積分的絕對(duì)連續(xù)性從而有f(x)在F上幾乎處處為0所以f(x)=0a.e.于[0,1]證明（續(xù)）第五節(jié)Lesbesgue積分的幾何意義與Fubini定理積分理論重積分與累次積分重積分累次積分f(x,y)連續(xù)1.截口定理xEx證明參照教材p-136分六種情況討論：區(qū)間，開集，型，零集，有界可測(cè)集，一般可測(cè)集定理1設(shè)是可測(cè)集，則(1)對(duì)Rp中幾乎所有的x，Ex

是Rq中的可測(cè)集m(Ex)作為x的函數(shù)，它在Rp上幾乎處處有定義，且是可測(cè)函數(shù)；2.Lebesgue積分的幾何意義定理2：設(shè)A,B分別是Rp和Rq中的可測(cè)集，則A×B是Rp+q中的可測(cè)集，且m(A×B)=mA×mB證明參照教材p-139AB2.Lebesgue積分的幾何意義證明參照教材p-139則f(x)是E上可測(cè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G(E;f)={(x,y)|x∈E，0≤y<

f(x)}是Rn+1中的可測(cè)集;并且有定理3設(shè)f(x)為可測(cè)集上的非負(fù)函數(shù)，

f(x)3.Fubini定理證明參照教材p-140(1)設(shè)f(p)=f(x,y)在上可積，則對(duì)幾乎所有的x∈A,f(x,y)作為y的函數(shù)在B上可積，作為x的函數(shù)在A上可積,且先重積分后累次積分3.Fubini定理證明參照教材p-140(2)設(shè)f(x)是B上的可測(cè)函數(shù)，存在（即|f(x,y)|作為y的函數(shù)在B上可積，且作為x的函數(shù)在A上可積），則f(p)在A×B可積，且先累次積分后重積分第一節(jié)單調(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性

微分與不定積分基本內(nèi)容：一．導(dǎo)數(shù)定義問題：回憶微積分中導(dǎo)數(shù)的定義，如何判斷導(dǎo)數(shù)是否存在？從數(shù)學(xué)分析知道，上的函數(shù)在處的可導(dǎo)性等價(jià)于這也是我們討論函數(shù)可導(dǎo)性的一個(gè)常用的方法。因此，我們也給上面的左、右極限一個(gè)名稱，這就是定義3

設(shè)是上的有限函數(shù)，，記

左下、左上、右下、右上導(dǎo)數(shù)分別稱為f在點(diǎn)右上、右下、左上、左下導(dǎo)數(shù)。當(dāng)f在點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù)時(shí)，也稱

f在點(diǎn)可微。顯然，f在點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)(2)導(dǎo)數(shù)的存在性與可導(dǎo)性因此，當(dāng)時(shí)，我們稱f

在該點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)，而不說在該點(diǎn)是可導(dǎo)的，就是由于這個(gè)緣故。上述定義與數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)定義有一點(diǎn)差別。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)分析中，講導(dǎo)數(shù)通常都是指可導(dǎo)，也就是說，其導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有限數(shù)，此處則不同，導(dǎo)數(shù)值可以取∞.(3)導(dǎo)數(shù)值為∞的例子從這個(gè)例子不難看到，函數(shù)在一點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)并不意味著它在該點(diǎn)連續(xù)，上述函數(shù)在點(diǎn)就是間斷的。則例:

設(shè)定理4

設(shè)f

是[a,b]上的單調(diào)有限函數(shù)，則f在[a,b]上幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù)。二.單調(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性三．單調(diào)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的可積性定理5

設(shè)f

是上的單調(diào)增加有限函數(shù)，那么是上的Lebesgue可積函數(shù)，且

。

證明：將f

擴(kuò)充到上，對(duì)任意，令，并令，它是Riemann可積函數(shù)，而且。注意到由Fatou引理得證畢。第二節(jié)有界變差函數(shù)

微分與不定積分問題：[a,b]上單調(diào)函數(shù)除了跳躍度總和不超過，其任一分劃所對(duì)應(yīng)分點(diǎn)的函數(shù)值之差的總和是否必有限？一．有界變差函數(shù)的定義前面已經(jīng)看到，單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雖然可積但卻沒有類似的牛頓-萊布尼茲公式，或者說，單調(diào)函數(shù)不能通過其導(dǎo)數(shù)的積分還原。那么，何種函數(shù)能滿足牛頓一萊尼茲公式呢(

當(dāng)然，這里是相對(duì)于Lebesgue積分而言)？這正是下面要討論的問題。定義:

設(shè)是上的有限函數(shù)，對(duì)的任一分劃，記稱為f

關(guān)于分劃的變差。若存在常數(shù)M，使對(duì)一切分劃，都有，則稱為上的有界變差函數(shù)。令，其中取遍的所有分劃，稱為f

在上的總變差。由定義不難看出，上有限單調(diào)函數(shù)f

都是有界變差函數(shù)，且。性質(zhì)1

若f

是上的有界變差函數(shù)，則f必為有界函數(shù)。二.有界變差函數(shù)的性質(zhì)證明：若不然，則存在使，由f

是有界變差函數(shù)知對(duì)任意n，作的分劃,則由，得。這與矛盾，故必為有界函數(shù)，證畢。性質(zhì)2

若都是上的有界變差函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)也是上的有界變差函數(shù)，且。證明：設(shè)為的任一分劃，則所以，證畢。證明：由性質(zhì)1知存在M，使得，設(shè)為的任一分劃：性質(zhì)3