廣東省深圳市南山區(qū)哈爾濱工業(yè)大學（深圳）實驗學校2023-2024學年九年級下學期開學考試數學試題

哈工大（深圳）實驗學校2023-2024學年第二學期九年級數學開學測試試卷說明：1、本試卷滿分100分，考試時間為90分鐘；2、本試卷共22道大題，請同學們仔細審題，認真答題，祝你成功！一、選擇題（共10題，每題3分）1.如圖所示的幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，它的主視圖是()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據幾何體的主視圖的含義可直接進行判斷．【詳解】解：由題意可得：該幾何體的主視圖為；故選A．【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖的畫法是解題的關鍵．2.用配方法解一元二次方程，此方程可變形為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查用配方法解一元二次方程，利用配方法直接求解即可得到答案，熟記配方法解一元二次方程是解決問題的關鍵．【詳解】解：，配方可得，故選：A．3.如圖，三個頂點的坐標分別為，，，以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，得到，則點B的對應點為，則的坐標為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據位似變換的性質解答即可．【詳解】解：以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，，的坐標為或，即的坐標為或，故選：C．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．4.如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形面積為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得到答案．【詳解】解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B【點睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關鍵．5.在同一平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖像如圖所示、則當時，自變量的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察圖像得到兩個交點的橫坐標，再觀察一次函數函數圖像在反比例函數圖像上方的區(qū)段，從而可得答案．【詳解】解：由圖像可得：兩個交點的橫坐標分別是：所以：當時，，故選D．【點睛】本題考查的是利用一次函數圖像與反比例函數圖像解不等式，掌握數型結合的方法是解題的關鍵．6.如圖，在平行四邊形中，對角線和交于點，下列命題是真命題的是（）A.若，則平行四邊形是菱形B.若，則平行四邊形是矩形C.若，則平行四邊形是矩形D.若且，則平行四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】根據對角線相等的平行四邊形是矩形可判定A；根據，又由平行線性質年，從而得出，所以，則，所以平行四邊形是矩形，可判定B；根據，可得出，則平行四邊形是菱形，可判定C；根據且，則平行四邊形是菱形，可判定D．【詳解】解：A、∵平行四邊形，，，，∴平行四邊形是矩形；所以若，則平行四邊形是菱形上假命題，故此選項不符合題意；B、∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平行四邊形是矩形，∴若，則平行四邊形是矩形是真命題；故此選項符合題意；C、∵平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴平行四邊形是菱形，∴若，則平行四邊形是矩形是假命題，故此選項不符合題意；D、若且，則平行四邊形是菱形，所以若且，則平行四邊形是正方形是假命題，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查矩形、菱形、正方形的判定，命題真假的判定．熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關鍵．7.用長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使該場地的面積為，并且在垂直于墻的一邊開一個長的小門（用其它材料），若設垂直于墻的一邊長為，那么可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為可以得出平行于墻的一邊的長為．根據矩形的面積公式建立方程即可．【詳解】解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為可以得出平行于墻的一邊的長為，由題意得，故選：C．【點睛】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，矩形的面積公式的運用，正確尋找題目的等量關系是解題的關鍵．8.正方形網格中，如圖放置，則的值為()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】連接，，根據勾股定理可以得到，則是等腰三角形底邊上的中線，根據三線合一定理，可以得到是直角三角形．根據三角函數的定義就可以求解．【詳解】如圖，連接，，設正方形的網格邊長是，則根據勾股定理可以得到：，，在中，由等腰三角形三線合一得：，則，，故選：B．【點睛】本題考查銳角三角函數的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關鍵．9.下列函數中，y一定是x的二次函數的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數的一般式．熟練掌握，是解題的關鍵．根據二次函數的一般式進行判斷作答即可．【詳解】解：A中，當時，不是二次函數，故不符合要求；B中，是二次函數，故符合要求；C中，是一次函數，故不符合要求；D中，整理得，，一次函數，故不符合要求；故選：B．10.如圖，在正方形中，對角線和相交于點O，點E在上，連接，過點E作的垂線交于點F，連接，過點E作垂足為點H，以為邊作等邊三角形，連接交于點M，下列四個命題或結論：①；②；③；④若，則四邊形MEDG的面積是．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】如圖所示，過點E作于N，證明四邊形是正方形，得到，則，證明得到，即可判斷①；證明，推出，由三線合一定理即可判斷②；設交于T，證明四邊形是矩形，再證明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判斷③；如圖所示，以B為原點，以所在的直線為x軸，y軸建立坐標系，先求出直線的解析式為；再求出，，則，進一步求出，再根據求解即可判斷④．【詳解】解：如圖所示，過點E作于N，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，∵，∴，故②正確；設交于T，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，又∵，∴，故③正確；如圖所示，以B為原點，以所在的直線為x軸，y軸建立坐標系，∵，四邊形是正方形，∴，設直線解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；∵是等邊三角形，，∴，，∴，∵，即，∴，∴，∴，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴，∴，故④正確；故選D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質與判定，勾股定理，等邊三角形的性質，一次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．二、填空題（15分，每題3分）11.若，則_______________________．【答案】【解析】【分析】由，根據比例的性質，即可求得的值．【詳解】解：∵∴=．故答案為：．【點睛】本題考查了比例性質，此題比較簡單，注意熟記比例變形．12.為為了緩解中考備考壓力，增加學習興趣，李老師帶領同學們玩轉盤游戲．如圖為兩個轉盤，轉盤一被四等分，分別寫有漢字“中”“考”“必”“勝”；轉盤二被三等分，分別寫有漢字“我”“必”“勝”．將兩個轉盤各轉動一次（當指針指向區(qū)域分界線時，不記，重轉），若得到“必”“勝”兩字，則獲得游戲一等獎，請求出獲得游戲一等獎的概率為________．【答案】【解析】【分析】根據題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據題意畫圖如下：由圖可知，共有12種等可能的結果數，其中獲得游戲一等獎的有2種，則獲得游戲一等獎的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．13.如圖，中，，，以邊上的中線為折痕將折疊，使點落在點處，如果恰好與垂直，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】如圖，設交于G，先由直角三角形斜邊上的中線的性質得到，則，由三角形外角的性質得到，由折疊的性質得到，即可根據三角形內角和定理求出，則．【詳解】解：如圖，設交于G，∵是斜邊上的中線，∴，∴，∴∵將沿直線折疊，點落在點處，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了求角的正切值，折疊的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質等等，正確求出是解題的關鍵．14.雙曲線和如圖所示，是雙曲線上一點，過點作軸，垂足為，交雙曲線于點，連接，若的面積為2，則______．【答案】5【解析】【分析】本題考查反比例函數k值的幾何意義，根據反比例函數k值的幾何意義及其基本模型計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵反比例函數位于第一象限，∴，∴故答案為：5．15.如圖，中，，是邊上的一點，，，，則__________．【答案】【解析】【分析】過點C作交于點G，過點B作交的延長線于點E，取得中點F，連接，證明，列比例式計算即可．本題考查了特殊角的三角函數，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】過點C作交于點G，∵，，，∴，，；過點B作交的延長線于點E，取得中點F，連接，∴，∵，∴，，，∴，∴是等邊三角形，∴，，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，整理，得,解得，（舍去），∴，故答案為：．二、解答題（55分，其中16題4分，17題6分，18題9分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）16.計算：【答案】-3【解析】【分析】先將各項分別化簡，再作加減法.【詳解】解：==－3【點睛】本題考查了實數的混合運算和特殊角的三角函數值，解題的關鍵是掌握運算法則.17.解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可；（2）公式法解方程即可．【小問1詳解】解：，∴，∴或，∴，；【小問2詳解】，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵．18.2022年3月23日．“天宮課堂”第二課開講．“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站為廣大青少年又一次帶來了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學生的航天興趣，某校舉行了太空科普知識競賽，競賽結束后隨機抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計，按成績分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：．C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請結合統(tǒng)計圖，解答下列問題：（1）本次調查一共隨機抽取了名學生的成績，頻數直方圖中，所抽取學生成績的中位數落在組；（2）補全學生成績頻數直方圖：（3）若成績在90分及以上為優(yōu)秀，學校共有3000名學生，估計該校成績優(yōu)秀的學生有多少人？（4）學校將從獲得滿分的5名同學（其中有兩名男生，三名女生）中隨機抽取兩名，參加周一國旗下的演講，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）400名，D（2）見解析（3）1680人（4）見解析，【解析】【分析】（1）用C組的人數除以C組所占的百分比可得總人數，再用總人數乘以B組所占的百分比，可求出m，從而得到第200位和201位數落在D組，即可求解；（2）求出E租的人數，即可求解；（3）用學?？側藬党艘猿煽儍?yōu)秀的學生所占的百分比，即可求解；（4）根據題意，畫樹狀圖，可得共有20種等可能的結果，恰好抽中一名男生和一名女生的結果有12種，再根據概率公式計算，即可求解．【小問1詳解】解：名，所以本次調查一天隨機抽取400名學生的成績，頻數直方圖中，∴第200位和201位數落在D組，即所抽取學生成績的中位數落在D組；故答案為：400，D【小問2詳解】解：E組的人數為名，補全學生成績頻數直方圖如下圖：【小問3詳解】解：該校成績優(yōu)秀的學生有（人）；【小問4詳解】解：根據題意，畫樹狀圖如圖，共有20種等可能的結果，恰好抽中一名男生和一名女生的結果有12種，恰好抽中一名男生和一名女生的概率為．【點睛】本題主要考查了頻數直方圖和扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準確從統(tǒng)計圖中獲取信息是解題的關鍵．19.如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數在第一象限內的圖象相交于點.（1）求反比例函數的解析式；（2）將直線向上平移后與反比例函數圖象在第一象限內交于點，與軸交于點，且的面積為，求直線的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將A點坐標代入直線y=x中求出m的值，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例函數的解析式；（2）根據直線的平移規(guī)律設直線BC的解析式為y=x+b，由同底等高的兩三角形面積相等可得△ACO與△ABO面積相等，根據△ABO的面積為，列出方程OC?2=，解方程求出OC=，即b=，進而得出直線BC的解析式．【詳解】（1）（1）∵直線y=x過點A（m，1），∴m=1，解得m=2，∴A（2，1）．∵反比例函數y=（k≠0）的圖象過點A（2，1），∴k=2×1=2，∴反比例函數的解析式為y=；（2）連接AC，由平行線間的距離處處相等可得△ACO與△ABO面積相等，且△ABO的面積為，∴△ACO的面積=，∴∴直線的解析式【點睛】此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，三角形的面積求法，以及一次函數圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．20.2020年是脫貧攻堅的收官司之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網絡平臺進行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，經調查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如表所示．銷售單價x（元）304045銷售數量y（件）1008070（1）求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（2）銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤為800元？（3）銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y＝－2x＋160（2）銷售單價定為40元時，每天的銷售利潤為800元（3）銷售單價定為50元時，每天的利潤最大，最大利潤是1200元【解析】【分析】（1）設該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為，用待定系數法求解即可；

（2）根據每件的利潤乘以銷售量等于利潤800元，列出方程并求解，再結合單價不低于成本價，且不高于50元銷售，可得符合題意的答案；

（3）根據每件的利潤乘以銷售量等于利潤得出w關于x的二次函數，將其寫成頂點式，根據二次函數的性質及自變量的取值范圍可得答案．【小問1詳解】解：設y＝kx＋b把（30，100），（40，80）代入得解得：k＝－2b＝160∴y＝－2x＋160當x＝45，y＝70時也適合.所以y與x的一次函數關系式是y＝－2x＋160；【小問2詳解】解：根據題意，得800＝（x－30）（－2x＋160）整理，得解得∵30≤x≤50＝70（不合題意，舍去）∴銷售單價定為40元時，每天的銷售利潤為800元；【小問3詳解】解：由題意，得w＝（x－30）（－2x＋160）＝－2＝＋1250∵a＝－2＜，∴有最大值．∵≤≤50，當＜55時，隨的增大而增大，∴當x＝50時，有最大值，此時，w＝－2（50－55）＋1250＝1200答：銷售單價定為50元時，每天的利潤最大，最大利潤是1200元．【點睛】本題考查了二次函數和一元二次方程在銷售問題中的應用，明確成本利潤問題的基本數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．21.如圖，在中，是邊上一點．（1）當時，①求證：；②若，，求的長；（2）已知，若，求的長．【答案】（1）①見解析；②（2）【解析】【分析】（1）①根據相似三角形判定方法對應角相等證明即可；②利用相似三角形對應邊呈比例求解即可；（2）據相似三角形判定方法對應邊呈比例證明，由，，即可求解．【小問1詳解】①證明：∵，，∴；②解：∵，∴，即，∴；【小問2詳解】解：∵，∴.∵，∴，∴.，，∴【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質是解題的關鍵．22.（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作正方形，連接，，則與的數量關系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作矩形，且，連接，．