2024高考數(shù)學基礎知識綜合復習優(yōu)化集訓17正弦定理余弦定理

優(yōu)化集訓17正弦定理、余弦定理基礎鞏固1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2bsinA=3a,則B=()A.π6 B.πC.π3 D.2.在△ABC中,若sin2A=sinB·sinC且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則該三角形的形狀是()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形3.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的三條邊分別為a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,則a∶b∶c=()A.1∶1∶4 B.1∶1∶2C.1∶1∶3 D.1∶1∶34.設a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,若a=1,b=3,則“A=30°”是“B=60°”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.在△ABC中,a=3,b=1,A=60°,則B=()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知csinC-(2a+b)sinB=(a-b)sinA,則C=()A.π6 B.π3或2π37.(2023浙江浙北G2聯(lián)盟)在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,則cosC的值為()A.-12 B.0 C.23 D8.(2023浙江溫州新力量聯(lián)盟)已知△ABC的三邊分別為a,b,c,且a2+b2=c2,則△ABCA.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定9.(多選)(2023浙江杭州六縣九校)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,下列說法正確的有()A.若A>B,則cosA<cosBB.若A=30°,b=5,a=2,則△ABC有兩解C.若cosAcosBcosC>0,則△ABC為銳角三角形D.若a-c·cosB=a·cosC,則△ABC為等腰三角形或直角三角形10.(多選)(2023浙江錢塘聯(lián)盟)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,下列說法正確的有()A.若A=60°,a=3,則△ABC外接圓的半徑等于1B.若cos2A2=C.若a=3,b=4,B=π6,D.若△ABC是銳角三角形,則sinA+sinB>cosA+cosB11.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,b=5,sinA=13,則sinB=,其外接圓的半徑為.12.若滿足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一個,則邊AB的取值范圍是.

13.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,則cosC=;當BC=1時,△ABC的面積等于.

14.(2023浙江余姚中學)在銳角三角形ABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,△ABC的面積S=312(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btanB,則c的最小值是.15.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若B=π3,且(a-b+c)(a+b-c)=37(1)求cosA的值;(2)若a=5,求b的值.16.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosBcosC(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=5,求△ABC的面積.能力提升17.在銳角三角形ABC中,A=2B,B,C的對邊分別是b,c,則bb+c的取值范圍是A.14,13 B.1C.12,23 D.218.(2023浙江奉化)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c-b=2bcosA.若λsinA-cos(C-B)<2恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍為()A.-∞,533 B.-∞,533C.(-∞,22) D.(-∞,22]19.(多選)(2023浙江強基聯(lián)盟)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosC=b2a-12A.b>a B.ca∈C.C=2A D.tanC>320.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AB=AC,D為AC的中點,BD=1,則△ABC面積的最大值為.

21.在△ABC中,已知tanA=14,tanB=35,且△ABC最長邊的長為17,則△ABC的最短邊的長為22.(2023浙江麗水)在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,AD=2DC,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB).(1)求B;(2)當2a+c取最大值時,求△ABC的周長.

優(yōu)化集訓17正弦定理、余弦定理基礎鞏固1.D2.D解析由正弦定理知,若sin2A=sinB·sinC,則a2=bc.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以該三角形是等邊三角形.故選D.3.D解析設A=x,則B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,則A=30°,B=30°,C=120°,則a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin30°∶sin30°∶sin120°=1∶1∶3.4.B解析當a=1,b=3,A=30°時,由正弦定理得,sinB=bsinAa=3sin30°1=32,所以B=60°或120°,反之,當a=1,b=3,B=60°時,由正弦定理得,A=30°,故若a=1,b=3,則“A=30°5.A6.C解析依題意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,a2+b2-c22因為0<C<π,所以C=2π3.故選7.A解析∵a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,∴cosC=32+52-78.A解析設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,因為a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.在△ABC中,由余弦定理得cosC=a+b-c2a·b>0,所以角C是銳角,9.ACD解析對于A,∵π>A>B>0,函數(shù)y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減,∴cosA<cosB,故A正確.對于B,由正弦定理可得asinA=bsinB,∴sinB=bsinAa=5對于C,∵cosAcosBcosC>0,角A,B,C為三角形的內(nèi)角,∴cosA>0,cosB>0,cosC>0,可知A,對于D,∵a-c·cosB=a·cosC,∴由正弦定理可得sinA=sinAcosC+sinCcosB,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,因此sinBcosC+sinCcosB=sinAcosC+sinCcosB?sinBcosC=sinAcosC,∴bcosC=acosC,∴(b-a)cosC=0,∴b=a或cosC=0,即三角形為等腰三角形或直角三角形,故D正確.故選ACD.10.ABD解析設△ABC外接圓的半徑為R,根據(jù)正弦定理,2R=asinA=33則△ABC外接圓的半徑等于1,故A正確.cos2A2所以2sinC+2cosAsinC=2sinB+2sinC,所以cosAsinC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=0,在三角形中,sinA>0,所以cosC=0,所以C=π2,則此三角形為直角三角形,故B正確因為a=3,b=4,B=π6,所以asinB=32,所以asinB<a<b,則此三角形只有一解,故C因為△ABC是銳角三角形,所以0<C<π2,所以π2<A+B<所以0<π2-B<A<π2,所以sinπ2-B<sinA,即cosB<sinA,同理,cosA<sinB,則sinA+sinB>cosA+cosB,故D正確.故選ABD11.5992解析設△ABC的外接圓的半徑為R,由a∴313=5∴sinB=59,R=912.{1}∪[2,+∞)解析∵滿足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一個,∴如圖,AB⊥AC,或AB≥2,∴AB=1或AB≥2,∴邊AB的取值范圍是{1}∪[2,+∞).13.-1431516解析設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a∵在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,∴a∶b∶c=2∶3∶4,設a=2k,則b=3k,c=4k,k>0,∴cosC=a2+b當BC=1時,AC=32,∴△ABC的面積S=12×1×32sin14.233解析由面積公式得12absinC=312(a2+b即sinC=33所以sinC=33cosC,tanC=3因為C∈0,π2,所以C=π6.24(bc-a)=btanB變形得到c=tanB因為B∈0,π2,所以tanB>0.由基本不等式得c=tanB24+12tanB+32≥2tanB24·12tanB+15.解(1)由(a-b+c)(a+b-c)=37bc可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=37bc即a2=b2+c2-117bc,即b2+c2-a2=117由余弦定理可得cosA=b2(2)由(1)及三角函數(shù)的基本關系式,可得sinA=1-cos2A=5143,在△ABC中,16.解(1)由題意及正弦定理得,cosBcosC即2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC,則2sinAcosB=-(sinBcosC+cosBsinC)=-sin(B+C)=-sinA.∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴cosB=-12∵B∈(0,π),∴B=2π(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB,即13=(a+c)2-2ac-2accos2π3=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=∴S△ABC=12acsinB=6sin2π3=能力提升17.B解析∵0<A<π2,0<C<π2,A=2B,∴π6<B<π4,cosB∈22,32,cos2sinC=sin(π-A-B)=sin(π-3B)=sin3B=sin(B+2B)=sinBcos2B+cosBsin2B=sinB(2cos2B-1)+2sinBcos2B=4cos2BsinB-sinB=4(1-sin2B)sinB-sinB=3sinB-4sin3B,所以由正弦定理可知bb+c=sinBsinB18.B解析因為c-b=2bcosA,所以sinC-sinB=2sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,sinAcosB-sinB=sinBcosA,sinAcosB-sinBcosA=sinB,sin(A-B)=sinB.又因為A,B,C均為銳角,所以A-B∈-π2,π2,所以A-B=B,A=2C=π-A-B=π-3B,所以cos(C-B)=cos(π-4B)=-cos4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1.因為0<A=2B<λsinA-cos(C-B)<2恒成立,即λsin2B-(2sin22B-1)<2?-2sin22B+λsin2B+1<2?2sin22B-λsin2B+1>0恒成立,其中B∈π6,π因為B∈π6,π4,所以2B∈π3,π2,sin2B∈3設t=sin2B,t∈32,1,則有2t2-λt+1>0在32,1內(nèi)恒成立,則有λ<2t+1t對t∈32,1恒成立.又當t∈32,1時,2t+1t>533,所以故選B.19.ACD解析∵△ABC為銳角三角形,∴cosC=b2a-12>0,即b2a>由正弦定理可知,2cosC=sinBsinA-1,即2sinAcosC+sinA=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA∴sinA=sin(C-A),又三角形為銳角三角形,∴C-A=A,即C=2A,故C正確.由C知,0<C=2A<π∴π3<C=2A<π∴3<tanC,故D正確.∵ca=sinCsinA=sin2A∴2cosA∈(2,3),故B錯誤.故選20.23解析由題意易知23<b<2.在△ABD中,由余弦定理可得cosA=b2+14∴△ABC的面積S=12b2sinA=12b2·1-(54-1b2)

2=21.2解析在△ABC中,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=14+因為tanB>tanA,所以角A所對的邊最小.由tanA=14可知sinA=17由正弦定理可知asinA=csinC,所