滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 27.3垂徑定理（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

27.3垂徑定理（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）A．2 B．﹣1 C． D．42．(2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）下列命題中，①長度相等的兩條弧是等??；②不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④平分弦的直徑必垂直于這條弦，真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．(2023春·上海閔行·九年級(jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的個(gè)數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的??；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題4．(2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓心O在△ABC內(nèi)，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面積為_____cm2．5．(2023秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市徐匯中學(xué)校考期中）⊙O中，點(diǎn)C在直徑AB上，AC＝3BC，過點(diǎn)C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝________度．6．(2023春·上海浦東新·九年級(jí)上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形與圓心在上的圓交于點(diǎn)、、、，，，，則的長為_______cm．7．(2023秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在⊙中，弦的長為8，它所對(duì)應(yīng)的弦心距為4，那么半徑________．三、解答題8．(2023春·上?！ぞ拍昙?jí)上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，是的弦的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．9．(2023秋·上海楊浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的半徑長為，為的直徑，弦的長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求弦的長．10．(2023秋·上海黃浦·九年級(jí)上海民辦永昌學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知AB是⊙O的直徑，AB=16，點(diǎn)P是AB所在直線上一點(diǎn)，OP=10，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，PC交⊙O于點(diǎn)D，sin∠BPC=，求CD的長．11．(2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C、D三等分弧AB．（1）求CD的長；（2）已知點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE交邊CD于點(diǎn)F，求EF的長．12．(2023春·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的外接圓，AB長為4，，連接CO并延長，交邊AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且E為弧AB的中點(diǎn)，求：（1）邊BC的長；．（2）的半徑．【能力提升】一、單選題1．(2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列命題中，假命題是（

）A．如果一條直線平分弦和弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；B．如果一條直線平分弦所對(duì)的兩條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；C．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分弦，那么該直線平分這條弦所對(duì)的弧，并且垂直于這條弦；D．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對(duì)的?。⑻羁疹}2．(2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為_____．3．(2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個(gè)花壇的面積為_____．（結(jié)果保留）4．(2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，是的外接圓，交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，的延長線交于點(diǎn)F．如果，那么FC的長是_______．5．(2023秋·上海浦東新·九年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰诎霃綖?3cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長為24cm，另一條弦長為10cm，則這兩條弦之間的距離為_____cm．6．(2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長為_____．7．(2023秋·上海長寧·九年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)D．如果CD=4，AB=16，那么OC=_____．8．(2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，弦AC與半徑OB互相平分，那么∠AOC度數(shù)為_____度．9．(2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知⊙O中，直徑AB平分弦CD，且交CD于點(diǎn)E，如果OE=BE，那么弦CD所對(duì)的圓心角是_________度．三、解答題10．(2023春·上海·九年級(jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，平分的外角，，，垂足分別為點(diǎn)、，且．求證：11．(2023·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┤鐖D，已知的直徑，點(diǎn)P是弦上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，，求弦的長．12．(2023秋·上海浦東新·九年級(jí)校考期中）如圖，圓經(jīng)過平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)、、，且圓心在平行四邊形的外部，，為弧的中點(diǎn)，的半徑為，求平行四邊形的面積．13．(2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形中，，以上的一點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓，經(jīng)過點(diǎn)C，并交邊于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）．(1)當(dāng)時(shí)，求矩形對(duì)角線的長；(2)設(shè)邊，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(3)設(shè)點(diǎn)G是的中點(diǎn)，且，求邊的長．14．(2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，AB＝AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，E、F分別是OM、ON上的點(diǎn)．(1)求證：∠AOM＝∠AON；(2)如果AEON，AFOM，求證：．15．(2023·上海楊浦·校考一模）如圖，已知中，，，，過點(diǎn)A、C，交邊于點(diǎn)D，且，求的長．16．(2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知：如圖，AO是⊙O的半徑，AC為⊙O的弦，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，OF交AC于點(diǎn)E，AC=10，EF=3·(1)求AO的長；(2)過點(diǎn)C作CD⊥AO，交AO延長線于點(diǎn)D，求OD的長·17．(2023·上海楊浦·校考一模）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半徑長．18．(2023秋·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知⊙O的直徑AB=10，點(diǎn)P是弦BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的長．19．(2023秋·上海金山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知為的直徑，A、B為上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，連接，且．(1)求證：；(2)F、G分別為線段上兩點(diǎn)，滿足，連接，取中點(diǎn)H，連接，請(qǐng)猜測(cè)與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．27.3垂徑定理（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）A．2 B．﹣1 C． D．4答案:A分析：根據(jù)圓周角定理可知∠COE=30°，CE=OC=1，再由垂徑定理可知CE=CD，即可求出CD的長．【詳解】解：∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，半徑為2，∴CE=OC=1，∴CE=CD，∴CD=2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．(2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）下列命題中，①長度相等的兩條弧是等?。虎诓还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④平分弦的直徑必垂直于這條弦，真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:A分析：根據(jù)圓的相關(guān)概念，確定圓的條件，垂徑定理逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：①在同一個(gè)圓內(nèi)，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題為假命題；②不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，為真命題．③在同一個(gè)圓內(nèi)，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故原命題為假命題；④平分弦的直徑不一定垂直弦，兩條相交的直徑互相平分，但不垂直，故原命題為真命題．故真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)概念，確定圓的條件，垂徑定理，理解相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．(2023春·上海閔行·九年級(jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的個(gè)數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓．A．1 B．2 C．3 D．4答案:A分析：根據(jù)垂徑定理，圓的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧，說法錯(cuò)誤；②在等圓中，如果弦相等，但它們所對(duì)的弧不一定相等，說法錯(cuò)誤；③等弧所對(duì)的圓心角相等，說法正確；④過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，說法錯(cuò)誤綜上所述，正確的說法有1個(gè)．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓的基本性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．(2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓心O在△ABC內(nèi)，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面積為_____cm2．答案:108分析：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂徑定理即可求出OM的值，從而可知AM的值，進(jìn)而面積可求.【詳解】如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，連接OC，AB=AC且BC=12cm．BM=CM=BC=6cm．∵圓的半徑等于10cm．cm．cm．cm．cm2．故答案為108【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.5．(2023秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市徐匯中學(xué)校考期中）⊙O中，點(diǎn)C在直徑AB上，AC＝3BC，過點(diǎn)C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝________度．答案:120分析：設(shè)圓的半徑為a，由AC＝3BC可求出OE=OB=2OC，因此∠OEC=30°；再根據(jù)垂徑定理便可解答；【詳解】解：如圖，設(shè)圓的半徑為a，則2a=AC+BC=4BC，BC=a，∴OC=BC=a，∵OE=OB=2OC，∠OCE=90°，∴∠OEC=30°，∴∠COE=60°，由垂徑定理可得：∠EOF=2∠COE=120°，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形；垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．6．(2023春·上海浦東新·九年級(jí)上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形與圓心在上的圓交于點(diǎn)、、、，，，，則的長為_______cm．答案:6分析：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)矩形的對(duì)稱性質(zhì)及圓的垂徑定理，即可求出線段的長．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)則四邊形、四邊形、四邊形、四邊形是矩形矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是，且是直徑，與是對(duì)稱線段，則由垂徑定理得，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，．故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)以及圓的垂徑定理，準(zhǔn)確的作出輔助線及熟練應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．(2023秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在⊙中，弦的長為8，它所對(duì)應(yīng)的弦心距為4，那么半徑________．答案:分析：根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理及勾股定理解答即可．【詳解】如圖，，，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計(jì)算的問題，常把半弦長，半徑，圓心到弦的距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過勾股定理求解．三、解答題8．(2023春·上海·九年級(jí)上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是的弦的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．答案:見解析分析：連結(jié)OP，因P為弦AB的中點(diǎn)，利用垂徑定理得OP⊥AB結(jié)合證△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性質(zhì)得即可．【詳解】連結(jié)OP，因P為弦AB的中點(diǎn)，則OP⊥AB，又，∠PCA=∠OPA=90o，∠PAC=∠OAP，△PAC∽△OAP，，，P為弦AB的中點(diǎn)，AP=PB，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握垂徑定理與相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)利用解決問題是解題關(guān)鍵．9．(2023秋·上海楊浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，的半徑長為，為的直徑，弦的長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求弦的長．答案:分析：連接并延長，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論可得，，在中，勾股定理求得，進(jìn)而得出，在在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點(diǎn)，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．10．(2023秋·上海黃浦·九年級(jí)上海民辦永昌學(xué)校校考期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=16，點(diǎn)P是AB所在直線上一點(diǎn)，OP=10，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，PC交⊙O于點(diǎn)D，sin∠BPC=，求CD的長．答案:CD=4．分析：過O作OE⊥CD于E，由垂徑定理得到CD=2CE，解直角三角形得到OE=OP×sin∠BPC=6，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：過O作OE⊥CD于E，∴CD=2CE，∵AB是⊙O的直徑，AB=16，∴OC=8，∵sin∠BPC=，OP=10，∴OE=OP×sin∠BPC=6，∴CE=，∴CD=2CE=4．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．(2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C、D三等分弧AB．（1）求CD的長；（2）已知點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE交邊CD于點(diǎn)F，求EF的長．答案:（1）5；（2）分析：（1）通過點(diǎn)C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD為等邊三角形，CD可求；（2）由點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF長度，通過OE﹣OF＝EF得出答案．【詳解】解：（1）連接OC,OD,∵AB為直徑，點(diǎn)C、D三等分弧AB,∴.∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．∵OC＝OD,∴△OCD為等邊三角形．∴CD＝OD＝AB＝5．（2）連接OE,交DC于點(diǎn)F,∵點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，∴OF⊥CD,DF=FC=CD.∵OC＝OD，∴∠DOF＝∠DOC＝30°．在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．∴OF＝OD?cos∠FOD＝5×＝．∵OE＝OD＝5,∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)定理，熟練掌握在同圓中，等弧所對(duì)的弦相等，圓心角相等，以及垂徑定理的應(yīng)用，在題目中看到弧或者弦的中點(diǎn)，要連接圓心的中點(diǎn)，得出垂直.12．(2023春·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的外接圓，AB長為4，，連接CO并延長，交邊AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且E為弧AB的中點(diǎn)，求：（1）邊BC的長；．（2）的半徑．答案:（1）4；（2）．分析：（1）根據(jù)垂徑定理證明點(diǎn)C在AB垂直平分線上，即可解題；（2）連結(jié)BO，先證明是等邊三角形，再結(jié)合已知可證，繼而根據(jù)余弦的定義解題．【詳解】證明：（1）∵E為中點(diǎn)，OE為半徑∴OE垂直平分AB∴C在AB垂直平分線上∴（2）連結(jié)BO∵∴是等邊三角形∴∵，又∵∴∴又∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、余弦等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．(2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列命題中，假命題是（

）A．如果一條直線平分弦和弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；B．如果一條直線平分弦所對(duì)的兩條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；C．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分弦，那么該直線平分這條弦所對(duì)的弧，并且垂直于這條弦；D．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對(duì)的?。鸢?C分析：利用垂徑定理及其推論逐個(gè)判斷即可求得答案．【詳解】A．如果一條直線平分弦和弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦，正確，是真命題；B．如果一條直線平分弦所對(duì)的兩條弧，那么這條直線一定經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦，正確，是真命題；C．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分弦，那么該直線不一定平分這條弦所對(duì)的弧，不一定垂直于這條弦，例如：任意兩條直徑一定互相平分且過圓心，但不一定垂直．錯(cuò)誤，是假命題；D．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對(duì)的弧，正確，是真命題．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及其推論，對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說如果一條直線具備下列，①經(jīng)過圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧，五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè)．二、填空題2．(2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為_____．答案:##分析：如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時(shí)，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，再證明經(jīng)過圓心，，分別求解AC，BC，CF，設(shè)的半徑為再分別表示再利用勾股定理求解半徑r即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時(shí)，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，過圓心O，，設(shè)的半徑為∴整理得：解得：不符合題意，舍去，∴當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，弦，弧，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．3．(2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個(gè)花壇的面積為_____．（結(jié)果保留）答案:400π【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，連接OB，如圖，∵AC=11，BC=21，∴AB=AC+BC=32，∵OD⊥AB于D，∴AD=BD=AB=16，∴CD=AD-AC=5，在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD==12,在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB==20，∴這個(gè)花壇的面積=202π=400π，故答案為：400π．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓的面積，熟練掌握垂徑定理與勾股定理相結(jié)合求線段長是解題的關(guān)鍵．4．(2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，是的外接圓，交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，的延長線交于點(diǎn)F．如果，那么FC的長是_______．答案:10分析：由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位線，OE是三角形AFC的中位線，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑即可．【詳解】∵OE⊥AB，∴AD=BD=AB=×8=4，∵OA=OC，∴OD為三角形ABC的中位線，∴OD//BC，又∵OD=3，∴∴OE=OA=5，∵OE∥CF，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，∴AE：EF=AO：OC=1，即E為AF中點(diǎn)，∴OE是三角形ACF的中位線，∴CF=2OE=2×5=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋·上海浦東新·九年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰诎霃綖?3cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長為24cm，另一條弦長為10cm，則這兩條弦之間的距離為_____cm．答案:7或17分析：分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF-OE=7cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AF=12cm，CE=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=12cm，OF=5cm，∴EF=OF+OE=17cm．故答案為：7或17．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計(jì)算．6．(2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長為_____．答案:分析：根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，進(jìn)而利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F，連接OA，則AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函數(shù)值，垂徑定理是解題的關(guān)鍵，特殊角的函數(shù)值是解題的基礎(chǔ)．7．(2023秋·上海長寧·九年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)D．如果CD=4，AB=16，那么OC=_____．答案:10分析：根據(jù)垂徑定理求出AD的長，設(shè)半徑OC=OA=r，則OD=r-4，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，解出即可得出OC的長．【詳解】設(shè)半徑OC=OA=r，則OD=OC-CD=r-4半徑OC垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)D，AB=16∴AD=AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案為10.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.8．(2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、B、C在圓O上，弦AC與半徑OB互相平分，那么∠AOC度數(shù)為_____度．答案:120．分析：首先根據(jù)垂徑定理得到OA=AB，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求出∠AOC的度數(shù)．【詳解】解：∵弦AC與半徑OB互相平分，∴OA=AB，∵OA=OC，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，故答案為120．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△OAB是等邊三角形，此題難度不大．9．(2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知⊙O中，直徑AB平分弦CD，且交CD于點(diǎn)E，如果OE=BE，那么弦CD所對(duì)的圓心角是_________度．答案:120．【詳解】連接OC，∵直徑AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∵OE=BE，∴OE=，在Rt△OCE中，OE=，∴cos∠COE=，∴∠OEB=60°，∴弦CD所對(duì)的圓心角是60°×2=120°.故答案為120.三、解答題10．(2023春·上?！ぞ拍昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，平分的外角，，，垂足分別為點(diǎn)、，且．求證：答案:證明見解析分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，則，利用垂徑定理證明，進(jìn)而證明，則．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，證明是解題的關(guān)鍵．11．(2023·上海·上海市婁山中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知的直徑，點(diǎn)P是弦上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，，求弦的長．答案:6分析：過作于，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，設(shè)，則根據(jù)垂徑定理得出，再個(gè)勾股定理求出即可．【詳解】解：過作于，則，，，，設(shè)，直徑，，，過圓心，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，（不符合題意，舍去），即，即．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．12．(2023秋·上海浦東新·九年級(jí)校考期中）如圖，圓經(jīng)過平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)、、，且圓心在平行四邊形的外部，，為弧的中點(diǎn)，的半徑為，求平行四邊形的面積．答案:分析：連接，交于點(diǎn)，連接，由為弧的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到垂直于，為的中點(diǎn)，在直角三角形中，由的值，得到，設(shè)，則有，由半徑為，得到，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，確定出與的長，利用平行四邊形的面積公式即可求出面積．【詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，即，在中，，設(shè)，，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：舍去或，，，，則．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．13．(2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形中，，以上的一點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓，經(jīng)過點(diǎn)C，并交邊于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）．(1)當(dāng)時(shí)，求矩形對(duì)角線的長；(2)設(shè)邊，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(3)設(shè)點(diǎn)G是的中點(diǎn)，且，求邊的長．答案:(1)(2)(3)分析：（1）連接CE，AC，由勾股定理可求出答案；（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，連接CE，由矩形的性質(zhì)得出AB=EH=x，AE=5-y，由勾股定理可求出答案；（3）當(dāng)點(diǎn)G在弧CF上時(shí)，設(shè)EF與AC的交點(diǎn)為M，連接CE，求出∠DEC=30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；當(dāng)點(diǎn)G在弧AF上時(shí)，則點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不合題意．（1）解：連接，AC．∵，∴．在中，由勾股定理得．在中，同理得，∴AC=（2）過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)H．由垂徑定理可得．那么．由四邊形為矩形，得．那么．在中，由股定理得：．化簡得；（3）①當(dāng)點(diǎn)G在弧上時(shí)，設(shè)與的交點(diǎn)為M．∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴．由，得．∵∴．同理得．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，．∴CE=2CD∴．解得,(不合題意，舍去)即邊的長為．②當(dāng)點(diǎn)G在弧上時(shí)，則點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．(2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，AB＝AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，E、F分別是OM、ON上的點(diǎn)．(1)求證：∠AOM＝∠AON；(2)如果AEON，AFOM，求證：．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)垂徑定理的推論，得出，，再證Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出結(jié)論；（2）連接EF，交AO于點(diǎn)P．先證四邊形AEOF是平行四邊形，再證四邊形AEOF是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，．然后證．得，代入即可得出結(jié)論．(1)證明：∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，OM、ON過圓心，∴，．又∵，∴．∵在Rt△AOM和Rt△AON中，，∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），∴．(2)解：連接EF，交AO于點(diǎn)P．∵，，∴四邊形AEOF是平行四邊形．∵，∴，∵，∴．∴，∴四邊形AEOF是菱形．∴，．∵，∴．∵，∴．∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，證四邊形AEOF是菱形是解題的關(guān)鍵．15．(2023·上海楊浦·校考一模）如圖，已知中，，，，過點(diǎn)A、C，交邊于點(diǎn)D，且，求的長．答案:4分析：如圖，連接AC，延長AO交BC于點(diǎn)E．根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性質(zhì)證得AE是CD的中垂線，AE⊥CD，且CD＝2CE，在Rt△AEB中根據(jù)，，求得線段AE的長度，再根據(jù)

求出EC的長度，進(jìn)而來求出線段CD的長度．【詳解】解：如圖，連接AD，連接AO并延長AO交BC于點(diǎn)E．∵，∴AD＝AC，∴△ADC是等腰三角形∵過點(diǎn)A、C，交邊于點(diǎn)D，∴是△ADC的外接圓∴AE是CD的中垂線∴AE⊥CD，且CD＝2CE．∴∠AEB＝∠AEC＝90°在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，，∴AE＝AB×sin45°＝×＝4．∵tanC＝2，∴，∴AE＝2CE，∴CD＝AE＝4，即線段CD的長度是4．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、垂徑定理、三角形外接圓、圓心角、弧、弦間的關(guān)系等知識(shí)．證明AE是線段CD的中垂線是解題的關(guān)鍵．16．(2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知：如圖，AO是⊙O的半徑，AC為⊙O的弦，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，OF交AC于點(diǎn)E，AC=10，EF=3·(1)求AO的長；(2)過點(diǎn)C作CD⊥AO，交AO延長線于點(diǎn)D，求OD的長