5.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算（原卷版）

5.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算TOC\o"13"\h\z\u題型1事件的包含與相等 3題型2事件運(yùn)算的含義 5題型3事件的和（并）與積（交） 6題型4互斥事件與對立事件 7題型5計(jì)算互斥事件、對立事件等的概率問題 9知識(shí)點(diǎn)一.事件的關(guān)系定義記法圖示包含關(guān)系一般地，如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”（或B“包含A”）A?B或相等關(guān)系如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時(shí)，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”記作A=B.A=B?A?B且B?A?A與B有相同的樣本點(diǎn)A=B互斥事件給定事件A，B，若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥，AB=?或A∩B=?對立事件給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對立事件AA∩A=?,知識(shí)點(diǎn)二.事件的運(yùn)算定義記法圖示事件A與事件B的并事件（和事件）事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中A∪B(或A+B)事件A與事件B的交事件（積事件）事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中A∩B(或AB)注意：（1）包含關(guān)系①不可能事件記作?，任何事件都包含不可能事件，即C??（C為任一事件）.②事件A也包含于事件A，即A?A.③事件B包含事件A，其含義就是事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，而事件B發(fā)生，事件A不一定發(fā)生.④A?B也可用充分必要的語言表述為∶A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件，B發(fā)生是A發(fā)生的必要條件.（2）相等關(guān)系①兩個(gè)相等事件總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生.②所謂事件A=B，就是說事件A，B是同一事件.③在驗(yàn)證兩個(gè)事件是否相等時(shí)，常用到相等事件的定義.④A=B?A?B且B?A，A=B也可用充分必要的語言表述為∶A發(fā)生是B發(fā)生的充要條件·（3）和事件①按照定義可知，事件A+B發(fā)生時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生.②不難看出，A?（A+B）且B?（A+B），因此P（A）≤P（A+B）且P（B）≤P（A+B），而且，直觀上可知P（A+B）與P（A）+P（B）的大小關(guān)系為P（A+B）≤P（A）+P（B）.（4）積事件①按照定義可知，事件AB發(fā)生時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B都發(fā)生.②P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).互斥與對立的理解①事件A與事件B互斥:表示事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，即A與B兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為0.②用集合的觀點(diǎn)來看，A是A在Ω中的補(bǔ)集，如果B=A，則稱A與B相互對立.知識(shí)點(diǎn)三.事件概率的計(jì)算1.互斥事件的概率加法公式當(dāng)A與B互斥（即AB=?）時(shí)，有P（A+B）=P（A）+P（B）。推廣∶一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P（An）。2.對立事件的概率公式每次隨機(jī)試驗(yàn)，在事件A與A中，有一個(gè)發(fā)生，而且只有一個(gè)發(fā)生。注意到必然事件的概率為1，因此P（A）+P（A）=1。變形P（A）=1P（A）。注意：在應(yīng)用互斥事件概率加法公式時(shí)，一定要注意其前提是涉及的事件是互斥事件。實(shí)際上，對于事件A，B有P（A+B）≤P（A）+P（B），只有當(dāng)事件A，B互斥時(shí)，等號(hào)才成立。知識(shí)點(diǎn)四.事件的混合運(yùn)算1.（AB）+（AB）表示AB與AB的和，實(shí)際意義是∶A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，也可以理解為A與B中恰有一個(gè)發(fā)生。2.事件的混合運(yùn)算律：求積運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)高于求和運(yùn)算，因此（AB）+（AB）可簡寫為AB+AB。題型1事件的包含與相等【方法總結(jié)】判斷事件間關(guān)系的方法（1）要考慮試驗(yàn)的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立，其發(fā)生的條件都是一樣的.（2）考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析.【例題1】（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）同時(shí)拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面”為事件M，“至少有一枚的向上面是正面”為事件N，則有（

）A．M?N B．M?N C．M=N D．M<N【變式11】1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）擲一枚骰子，觀察其向上的點(diǎn)數(shù)，可能得到以下事件：A=“出現(xiàn)1點(diǎn)”；B=“出現(xiàn)2點(diǎn)”；D=“出現(xiàn)4點(diǎn)”；E=“出現(xiàn)5點(diǎn)”；G=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”；H=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”；I=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；J=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.請判斷下列兩個(gè)事件的關(guān)系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.【變式11】2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）拋擲兩枚硬幣，事件A：至少有一個(gè)正面朝上，事件B：兩個(gè)正面朝上，則事件A、B的關(guān)系是.【變式11】3．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4={出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6={出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件【變式11】4．（2022上·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谀┮阎录嗀、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生C．事件A發(fā)生不一定導(dǎo)致事件C發(fā)生D．事件C發(fā)生不一定導(dǎo)致事件B發(fā)生題型2事件運(yùn)算的含義【例題2】（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高一階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（

）A．E∪F B．E∩F C．E∩F D．E【變式21】1．（2022·遼寧朝陽·）打靶3次，事件Ai表示“擊中i發(fā)”，其中i=0、1、2、3.那么A．全部擊中 B．至少擊中1發(fā)C．至少擊中2發(fā) D．以上均不正確【變式21】2．（多選）（2022·廣東·普寧市華美實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）(多選題)拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，事件B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)}，則下列成立的是（

）A．A?C B．A∩B＝?C．A∪B＝C D．B∩C＝?【變式21】3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)A，B是同一試驗(yàn)的兩個(gè)不同事件，用它們表示下列各事件：(1)僅A發(fā)生；(2)A，B都發(fā)生；(3)A，B均不發(fā)生；(4)A，B恰有一個(gè)發(fā)生；(5)A，B至少有一個(gè)發(fā)生.【變式21】4．（2022·吉林·長春十一高高一階段練習(xí)）擲一枚均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù).記事件A=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B=“點(diǎn)數(shù)大于4”，則事件A．“點(diǎn)數(shù)為3” B．“點(diǎn)數(shù)為4”C．“點(diǎn)數(shù)為5” D．“點(diǎn)數(shù)為6”題型3事件的和（并）與積（交）【例題3】（2023上·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期中）某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩次都投中”，事件B表示隨機(jī)事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系不正確的是（

）A．A?D B．B∩D=? C．A∪B=B∪D D．A∪C=D【變式31】1．（2023上·新疆·高二八一中學(xué)?？计谥校┻B續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時(shí)的點(diǎn)數(shù).記事件A={兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件B={兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件C={兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為4}，事件D={兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件C∩D，A∪B；(2)若事件E=1,3【變式31】2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，事件A={2,3,4}，B={3,4,5}，C={5,6,7}(1)A∪B；(2)A∩B；(3)A∩(4)A∩(B∩C【變式31】3.2023·全國·高一隨堂練習(xí)）盒中有標(biāo)號(hào)1~3的同樣白球各1個(gè)，標(biāo)號(hào)1~2的同樣黑球各1個(gè)，從中倒出3個(gè)，觀察結(jié)果，寫出樣本空間.(1)用集合A表示事件“3個(gè)都是白球”；(2)用集合B表示事件“至少2個(gè)白球”；(3)用集合C表示事件“至少1個(gè)白球”；(4)計(jì)算A∪B，A∩B，A\B，C\B（其中A\B表示屬于集合A，且不屬于集合B），并解釋它們的含義.【變式31】4．（2022·江西·上高二中）某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2019年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為概率依次為m，13，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為124，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為34A．12 B．23 C．3題型4互斥事件與對立事件【方法總結(jié)】互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別∶兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況∶①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生.而兩個(gè)事件A，B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè).（2）聯(lián)系∶互斥事件和對立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立.2.從集合的角度理解互斥事件與對立事件（1）幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.（2）事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.【例題4】（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機(jī)取出兩張，事件A=“取出的牌有兩張6”，事件B=“取出的牌至少有一張黑桃”，事件C=“取出的牌有一張大王”，事件D=“取出的牌有一張紅桃6”，則（

）A．事件A與事件D互斥 B．事件B與事件C互斥C．事件B與事件D互斥 D．事件A與事件C互斥【變式41】1．（2023上·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知事件M表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件N表示“3粒種子都不發(fā)芽”，則M和N（

）A．是對立事件 B．不是互斥事件C．互斥但不是對立事件 D．是不可能事件【變式41】2.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）A,B都不是不可能事件，也都不是必然事件，如果A，B是互斥事件，那么（

），并說明理由．A．事件A與B必不互斥 B．A∪C．A與B可能互斥 D．A∪B是必然事件【變式41】3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）從裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球（編號(hào)為1，2）和2個(gè)白球（編號(hào)為1，2）的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)隨機(jī)事件是（

），并說明理由．A．至少有1個(gè)白球，都是白球 B．至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球C．恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球 D．至少有1個(gè)白球，都是紅球【變式41】4．（2023上·廣西南寧·高二?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子中，放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)紅球，搖勻后，從中任意取出兩個(gè)球，下列說法與“取出的兩個(gè)球都是白球”是互斥但不是對立的事件是（

）A．取出兩球同色 B．取出的兩球異色C．取出的兩球至少有一個(gè)紅球 D．取出的兩球至少一個(gè)白球題型5計(jì)算互斥事件、對立事件等的概率問題【例題5】（多選）（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)）（多選）下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為B．三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為15，13，1C．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為1D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是【變式51】1．（2023上·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)事件A和B互斥，且PA∪B=0.8,PBA．0.8 B