高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章立體幾何初步單元測試2

(時間：100分鐘；滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)eq\a\vs4\al(1.)(2014·北京高一檢測)圓錐的側(cè)面展開圖是()A．三角形 B．正方形C．圓 D．扇形解析：選D.圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．eq\a\vs4\al(2.)一個簡單幾何體的主視圖、左視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：①長方形；②正方形；③圓．其中正確的是()A．①② B．②③C．①③ D．①②解析：選B.從所給的幾何體的主視圖，左視圖可知其俯視圖不可能是正方形和圓．eq\a\vs4\al(3.)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：選B.過l的平面γ交α于直線m，則l∥m.因為l⊥β，則m⊥β.又mα，所以α⊥β.eq\a\vs4\al(4.)已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(4\r(2),3) D.eq\f(4\r(3),3)解析：選D.由V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2.設(shè)正方體的棱長為a，則3a2＝(2R)2＝16.∴a2＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3).5．如圖是一個幾何體的三視圖．若它的體積是3eq\r(3)，則a＝()A．2eq\r(3) B.eq\r(6)C.eq\r(3) D．2eq\r(6)解析：選C.該幾何體是一個橫著放的三棱柱，由已知的數(shù)據(jù)可得eq\f(1,2)a×2×3＝3eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).eq\a\vs4\al(6.)(2014·濰坊高一檢測)過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積是球的表面積的()A.eq\f(3,16) B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：選A.設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，則r＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)R，S截面＝πr2＝eq\f(3,4)πR2，S球＝4πR2，eq\f(S截面,S球)＝eq\f(3,16).eq\a\vs4\al(7.)已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖都是由半圓和矩形組成，根據(jù)圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的體積是()A．2π B.eq\f(4,3)πC.eq\f(5,3)π D．3π解析：選C.由三視圖知，此幾何體下部為圓柱，上部為半球，且圓柱底面半徑均為1，圓柱高為1，所以這個幾何體的體積為V＝π·12×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π·13＝eq\f(5,3)π.eq\a\vs4\al(8.)正四棱錐(頂點在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12，底面對角線的長為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.由棱錐體積公式可得底面邊長為2eq\r(3)，高為3，在底面正方形的任一邊上，取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因為tanθ＝eq\r(3)，所以二面角為60°，選C.eq\a\vs4\al(9.)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離為()A.eq\f(8,3) B.eq\f(3,8)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：選C.利用三棱錐A1-AB1D1的體積變換：VA1-AB1D1＝VA-A1B1D1，則eq\f(1,3)×6×h＝eq\f(1,3)×2×4，h＝eq\f(4,3).eq\a\vs4\al(10.)(2014·濰坊高一檢測)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D.由題意，若a∥l，則利用線面平行的判定，可知a∥α，a∥β，從而a在α，β內(nèi)的射影直線b和c平行；若a∩l＝A，則a在α，β內(nèi)的射影直線b和c相交于點A；若a∩α＝A，a∩β＝B，且直線a和l垂直，則a在α，β內(nèi)的射影直線b和c相交；否則直線b和c異面．綜上所述，b和c的位置關(guān)系是相交、平行或異面，選D.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上)eq\a\vs4\al(11.)(2014·北京高一檢測)已知各面均為等邊三角形的四面體的棱長為2，則它的表面積是________．解析：四面體每個面的面積為S′＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，故四面體的四個面面積之和即為表面積S＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)eq\a\vs4\al(12.)(2014·北京高一檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________．解析：該幾何體是底面是直角梯形的直四棱柱，如圖所示，底面是梯形ABCD，高h＝6，V＝Sh＝[eq\f(1,2)×(2＋4)×2]×6＝36.答案：36eq\a\vs4\al(13.)如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填圖中的一條直線)．解析：因為AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點，所以BC⊥AC.因為PA垂直于⊙O所在的平面，所以BC⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，所以AF⊥BC.又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.答案：AFeq\a\vs4\al(14.)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，則這個三棱錐的體積為________．解析：因為PA，PB，PC兩兩相互垂直，所以VP-ABC＝VA-PBC.設(shè)S△APB＝S1，S△APC＝S2，S△PBC＝S3，因為eq\f(1,2)AP·PB＝S1，eq\f(1,2)AP·PC＝S2，eq\f(1,2)PB·PC＝S3，所以eq\f(1,4)AP2·PB·PC＝S1S2，所以AP2＝eq\f(2S1S2,S3)，所以AP＝eq\r(\f(2S1S2,S3))，所以VA-PBC＝eq\f(1,3)AP·S△PBC＝eq\f(1,3)eq\r(\f(2S1S2,S3))·S3＝eq\f(1,3)eq\r(2S1S2S3).答案：eq\f(1,3)eq\r(2S1S2S3)15．在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(2)，其余各棱長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為________．解析：取AC的中點E，取CD的中點F(圖略)，則EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，結(jié)合圖形知二面角A-CD-B的余弦值cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)三、解答題(本大題共5小題，共55分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)eq\a\vs4\al(16.)(本小題滿分10分)(2014·瑞安高一檢測)某幾何體的三視圖如圖，其中俯視圖的內(nèi)外均為正方形，邊長分別為2和4，幾何體的高為3，求此幾何體的表面積和體積．解：依題意得側(cè)面的高h′＝eq\r(（2－1）2＋32)＝eq\r(10)，S＝S上底＋S下底＋S側(cè)面＝22＋42＋4×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(10)＝20＋12eq\r(10)，所以幾何體的表面積為20＋12eq\r(10).體積V＝eq\f(1,3)(42＋22＋2×4)×3＝28.eq\a\vs4\al(17.)(本小題滿分10分)如圖，在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點．求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.證明：(1)在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又∵B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.eq\a\vs4\al(18.)(本小題滿分10分)(2014·呼和浩特高一檢測)已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上底面、下底面周長分別為8和16，高為eq\r(3).(1)求上、下底面面積；(2)求斜高及側(cè)面積；(3)求表面積．解：設(shè)上底邊長為a，下底邊長為b，斜高為h′.(1)因為4a＝8，所以a＝2，所以S上＝a2＝4.因為4b＝16，所以b＝4，所以S下＝b2＝16.故上、下底面面積分別為4、16.(2)由于上、下底邊心距eq\f(a,2)、eq\f(b,2)的差，高h，斜高h′構(gòu)成一個直角三角形，如圖．所以h′＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3＋1)＝2，即斜高為2.所以側(cè)面積為4×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝24.(3)該幾何體的表面積為側(cè)面積與上、下底面面積之和，所以表面積為4＋16＋24＝44.eq\a\vs4\al(19.)(本小題滿分12分)(2014·周口店高一檢測)如圖，圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P為SB的中點．(1)求證：SA∥平面PCD；(2)求異面直線SA與PD所成角的正切值．解：(1)證明：連接PO，因為P，O分別為SB，AB的中點，所以PO∥SA.因為PO平面PCD，SA平面PCD，所以SA∥平面PCD.(2)因為PO∥SA，所以∠DPO為異面直線SA與PD所成的角．因為AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O，所以CD⊥平面SOB.因為PO平面SOB，所以O(shè)D⊥PO.在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(1,2)SB＝eq\r(2)，所以tan∠DPO＝eq\f(OD,OP)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以異面直線SA與PD所成角的正切值為eq\r(2).eq\a\vs4\al(20.)(本小題滿分13分)(2014·無錫高一檢測)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點．(1)求證：EF∥平面ABC1D1；(2)求證：EF⊥B1C；(3)求三棱錐B1-EFC的體積．解：(1)證明：連接BD1，在△DD1B中，E，F(xiàn)分別為D1D，DB的中點，則EF∥D1B.因為EF∥D1B，D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1.(2)證明：因為B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB，BC1平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.又BD1平面ABC1D1，所以B1C⊥BD1.又因為EF∥BD1，所以EF⊥B1C.(3)因為CF⊥平面BDD1B1，所以CF⊥平面EFB1且CF＝BF＝eq\r(2)，因為EF＝eq\f(1,2)BD1＝eq\