2022-2023學(xué)年山東省濟南市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

2022-2023學(xué)年山東省濟南市普通高校對口

單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

一次拋擲二枚骰子（每枚骰子的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6）,則向上的數(shù)

字之和為6的概率等于《〉

A.1/6

B.1/12

C.5/18

D.5/36

2.

設(shè)/（x）為連續(xù)的偶函數(shù),且F（x）=//（，）市，則F（-C等于

).

A.F(x)

C.OD.2F(x)

3.

下列等式不成立的是

A.lim(l+?+5=eB.lim(l-?f=e'1

rt→*nΛ→<x>fl

C.Iim(I+J)"=eD.lim(l--U"=I

"→-n

<g?χ=*in(√).PM?PT().

a/

??c√-B.-∕cos(x∕)C.√sin(Λ)?,)D.~CM

設(shè)f(χ)①,則Ir(X)dx]'=

X

COSXB.包UC.2+CD.?C

XXXX

ln(l÷t)?

6獷「()

A.∞B.0C.lD.1/2

7設(shè)f(x)=xa+d,+lnα,(α>()且α≠l的常數(shù))，則/'(1)=

??α(l+lnα)

Bɑ(l-?nɑ)

C.Hna

β+-

D.a

8.

設(shè)函數(shù)y=f(工)在χ=l處可導(dǎo),且

Hmf(l+3Aa)-f(D=1

Δx'**'03

則，(1)等于

?-?b?i

C?-?D?-?

4X->∣2?

設(shè)函數(shù)/(x)=<X2-4、在x=2處連續(xù)，則α=

9.ΑJC=2Oo

1

1

B.M

1

CF

1

D.動

已知函數(shù)f(x)在x=2處可導(dǎo)，且Iim/(2+2)W⑵=L則/⑵=

IOΔ<→O?r2

A.A.-1∕4B.-1/2C.l/4D.1/2

11.函數(shù)y=lnx在(0,1)內(nèi)()。

A.嚴(yán)格單調(diào)增加且有界B.嚴(yán)格單調(diào)增加且無界C.嚴(yán)格單調(diào)減少且有

界D.嚴(yán)格單調(diào)減少且無界

12.

過曲線y=x+lnx上MO點的切線平行直線y=2x+3,則切點M)的坐標(biāo)是

OO

A.(h?)

B(e，e)

c(I.e+l)

D(e,c+2)

13.若在(a,b)內(nèi)F(x)>0,f(b)>O,則在(a,b)內(nèi)必有()。

A.f(x)>OB.f(x)<OC.f(x)=OD.f(x)符號不定

14.函數(shù)曲線y=ln(l+χ2)的凹區(qū)間是

A.A.(-1,1)B.(-∞,-l)C.(l,+∞)D.(-∞,+∞)

∫'ι(2+xln(l+√)]ck=

A.4B.2C.OD.-2

16.已知/(x)=InarcCotx,則/'(】)=()0

2

A.R

2

B.π

X

C.2

π

D.2

17設(shè)函數(shù)N=ln(1+3。,則dy=.

18.當(dāng)XTO時，下列變量是無窮小量的是【】

A.sinx/xB.ln∣x∣C.x∕(l+x)D.cotx

19.

兩封信隨機地投入標(biāo)號為1,2,3,4的4個郵筒，則1,2號郵筒各有一封信的概率

等于

設(shè)U(X)是可導(dǎo)函數(shù)，且U(X)≠(),則[Ind(X)]'=

∕rU?\

U

A.u

/

U

B.11

2√

C.m

D.2W"'

已知函數(shù)/U)=x?則Iim八12)7⑴=

21.AiZ()o

A.-3B.0C.lD.3

22.已知/⑺=」.則∫>'(*)dx等于()?A.I∕2B.1C.3/2D.2

設(shè)/(x)=xlnX,則/S)(X)(〃22)=

(-1)"(〃-1)!

χ"^l

A.A.

B.Xn

(T)A2(〃-2)!

C.x"^2

(一(id)!

24.

下列各式中存在極限的是

2B.iim

?,?(x+Dx-?+??JC

C.Iim-??D.Iim??

jr-*O

設(shè)z=e'，則典=

25.衣力()o

A.2x(l+χ2y)e'y

R2x(1+X2)eχ2y

JO?

2χ2y

r2xy(l+x)e

V.z?

2?y

Dxy(l+x)e

已知點(5.2)為函IU=Jy+。+§的極值點,則分別為

A.-50.-20B.5020

“C20,50D.2O.5O

27.設(shè)內(nèi)。)二階可導(dǎo)，且廣⑴=0,r'(l)X),則必有

A.A./(l)=θ

BJ(I)是極小值

r/(1)是極大值

點(1,〃1))是拐點

28.若隨機事件A與B互不相容，且P(A)=O.4,P(B)=0.3,則P(A+B)=

OO

A.0.82B.0.7C.0.58D.0.52

29.

設(shè)/(x)=x(x+l)(x+2)(x+3),則尸X)=

A.3B.2C.1D.O

∫∣e∣inx∣dx

30.；

∫∣Inxdx+JJnxdx

A.A.?

∫∣Inxdx-∫*Inxdx

-J；Inxdx÷∫*Inxdr

C.C

-∫∣Inxdx-??Inxdx

D.e

二、填空題(30題)

31.

設(shè)/(X)=sin2?，則/d)=.

Xπ

32.

若f(x)=de3貝∣J/"(X)=.

已知J∕(x)dx=α+χ2)arctanx+C.則f'(x)=?

33.

「?$=￥,則α=________________.

la2

λ44+x8

35.

設(shè)2∕(J?)COSJ=?-[/(?)]??/(0)=1,則/(?)=

ɑ?

Λ.eos?B.2-eos?C.1÷sin?D.I-sin?

36.函數(shù)y=lnx,則嚴(yán))o

37.岬βin(x-15^------------

洶

?z=arcsin(xv)?則?-?-=____________?

38.9

r

39.

40.

已知函數(shù)/(2x-l)的定義域為[0.1].則函數(shù)/(?)的定義域為

A.Q-y,1]H.[-1.1]C.[θ?1]D.[-1.2]

41.

j-÷√i≡7

設(shè)Z=JE，則dz=

42.Vv

43.

函數(shù)曲線y=xe'的凸區(qū)間是

44.

不定積分1p?∞s-<iχ=

45.

若Γ---ι=τL=dχ=----arcsin2Λ+C?則G(X)=

JJl-9(x)in2

“設(shè)V=InX-X2,求dy.

fcτ?*?

.設(shè)y=/1+ln(?*E+11則y*≈

47.

48.

若f(N)=Sin(12+z+l),則f(?)=

49.

設(shè)z=∕3,v)?"=exy,v=ln(x2+?2),/是可微函數(shù)，則生三

?x

50.

c

∫ιd[∫dlnx]=

52.設(shè)函數(shù)y=xll+2n,貝!ly?(I)=。

53.

已知(COtX)'=f(x),則JXf'(x)dx=.

阿O

nfc??

已知/(x)=InX,則∫2∕,(e4)dx=.

55.

56.

Iim嗎Ξ二&=

IX—1

A.1B.0C.2D.?

57.設(shè)y=sin(lnx),則y")=_.

58.

.分2Z

設(shè)Z=e"aτcosy,則不一=__________

?y?x

59.設(shè)函數(shù)/(，)=/+1，則/(口的極小值為

60.

若函數(shù)y=/(?)在點?.處不可導(dǎo).則函數(shù)y=/(?)在點X9處

A.無定義B.不連埃C沒有切歧D.不可微

三、計算題(30題)

O求函數(shù)Z=-y+工、'的全部二階偏導(dǎo)數(shù)?

計算jj/dxdy,其中D為ffll∕+y=1及/+y=9所圍成的環(huán)形區(qū)域.

計算］］（√p+爐-Q）CLrd.v?其中D為一+y≤L

63.

設(shè)施數(shù)u?=/Q—/可做.樽窗.票

64.

設(shè)函數(shù)y=κ?∏?求/

65.

設(shè)函數(shù)Z=α'+y')e-E"，求Az與嘉?

66.

67.j√^<l+χ）

68.①求曲線y=x2(x≥0),y=l與x=O所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

69設(shè)z=∕(*y)是由方程XZ=)+/所確定,求M

7。.計算F/??公

71.設(shè)函數(shù)Z=/(e，Siny.3z?),且f(u,v)為可微函數(shù).求dz.

0≤J-≤1,

求［八H)d?,其中/(?)

72.J÷l.1≤?≤2.

73.求微分方程2y'—3y=J?e'的通解.

74.求?分方程3x,÷5χ-5√-O的通解.

求不定積分］―?——.

75.J1+，3—Jr

計算定枳分I/2+2cos2zdz.

76.

77計算定枳分j]n(G+ndr?

I(arctan∕)2dj

求極限Iim

78.**hb√rr+l

求曲線/''在點(l.一2.1)處的切線方程fθ法平面方程.

79.13x+2y+l≡0

求極限啊!??1-e一】)cos}}

改變積分fd?[∕G0)dy+F(lj?∫1∕(H.Wdy的積分次序.

82.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

83.求二元函數(shù)f(x,y)=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

求定積分，-^χ(l∏.r)2djr.

84.J'6

85設(shè)函數(shù)之=(2/+y尸；.求dz.

86.

計算二重積分∕=g∣?<i?rdy.其中D為由曲線y=?-?*與y=工，-1所圍成的區(qū)域?

??stn-??≠0?

x的導(dǎo)數(shù)?

(0?X=O

設(shè)/+y：+2ι-2A=C,確定函數(shù)C=zG,Q,求生,生.

88.e??y

求不定積分[ln(ι+√ΓΓPr)dj.

90.若曲線由方程工+e"=4-2e"確定.求此曲線在H=1處的切線方程.

四、綜合題（10題）

91.

過曲線N=r'Q>0）上某點A作切線.若過點A作的切線?曲線）=>及/軸圍成

的圖形面積為士.求該圖形繞/軸旋轉(zhuǎn)一冏所得旋轉(zhuǎn)體體枳V.

92.討論函數(shù)/（.r）=3工一二的單調(diào)性.

93證明I當(dāng)OVHV■1時,co*V[一1+1.

「—1—dz=O在區(qū)間（0.D內(nèi)有唯一的實根?

Jo?+t'

過點P<1.0>作Ii物線y=/E的切線，液切線與上述幄物線及，軸圉成一平面圖

95.心.求此用即廢r軸艇用一網(wǎng)所成的箕轉(zhuǎn)體的體根.

證明：方程］??d/=?在（0.1）內(nèi)恰有一實根.

97.證明方程<r=2'在［0」］上有且只有一個實根.

QQ求由曲線》=r,4與y=所圉成的平面圖形的面積.

設(shè)平面圖形D是由曲線y=c',直線y=c及y軸所圍成的?求：

<1）平面圖形D的面積I

99.（2）平面圖形“繞N軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

100.

設(shè)函數(shù)）=αr,-6or*+6在［-1,2］上的最大值為3,最小值為-29,又a>0?求a,6.

五、解答題（10題）

曲線y=∕（x）過原點，且在點X處的斜率為4x,求Iim冬.

JT→0X4

101.

∫arcsin?d?.

（本班清分io分）

（?）求曲線y=/（XAO）,y=l與X=O所四成的平面圖形的面積

S;

（2）求（I）中的平面圖形繞ySi旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

104.

設(shè)y=2x3arccosjc÷(?2—2)八一心,求dy.

［

計算L±±L?t.

1U3.I?

106’7慶分X分」tBI.?n：.an?dr.

107討論/(x)=J；red的單調(diào)性、極值和拐點?

108.

求函數(shù)z=2??+3寸在1=10,y=8,?x=0.2,Ay=0.3時的全增量與全微分.

109.

上半部為等邊三角形下半部為矩形的窗戶

（如圖所示），其周長為12m,為使窗戶的面積人達(dá)到最大,

寬/應(yīng)為多少米？

計算嗎也dx

110.

六、單選題（0題）

111.

,Q/(Λ:÷2?x)-/(x).>、

及函數(shù)/(*)=/,則llim〃---------—~等λλ于()?

a-。?χ

QOB.2xsC.6/D.3x'

參考答案

1.D

2.B

答應(yīng)選B.

提示利用/(7)=/(M)及F(7)=作變量代換，=-U.則F(-X)

,?-u)d(-u)=-?*/(u)du=-F(w).所以應(yīng)選B.

3.C解析：

利用第二個重要極限易判定：

A.lim(l÷?)^5=Iim(1+-)n(1÷?)5=e

“TOHΛ→°Onn

B.?im(l-?)"=[?im(l÷-γn]-l=e-?

∏→βonΛ→o0—n

11π21

C.lim(l+-)π=lim[(l+-)]"=e°=l

n→o°nτlΛ→o°Hτ2

11_?2_L

n

D.lim(l--τ)=lim[(l+—r)/〃=e°=1

n→°o∏2∏→oβ一〃'

故選C.

4.D

答應(yīng)選I).

提示：對X求偏導(dǎo)時應(yīng)將,視為常?數(shù).則在

?

?*≡cos(x?')?V*?~y=-y*?i∏(xy*)?),*≡-J'sin(x>)?

Λx?x

?人選I).

5.B解析：由不定積分的性質(zhì)可得.

6.D

7.A

f(X)=(X°)'+(α')'+(Ina)'=ΛX"JT+α'Ina

所以∕y(l)=α+αlnα=tt(l+lnα).選A.

8.B

9.B

因為=Iim--------------J=——L=—1=

xτ2X2-4*→2(x-2)(x+2)(√x+√2)8√2

10.C

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式可知

./(2+2Ax)-/(2)_1

1Ilm--------------------------2/(2)--

Δ*→OAx2

≡4

11.B

12.A

本題將四個選項代入等式，只有選項A的坐標(biāo)使等式成立.

事實上y'=J+'=2得JC=I,所以y=I

13.D

14.A

2x〃—2(l+f)-4-2(1-X2)

因為y'=TT√,)(l+x2)2

(1+Λ2)2

y〃>0的區(qū)間為l-d>O,W-Kx<l所以選A

I解析］因為Xln(I+，)是奇函數(shù)

.「A所以「［2+xln(l+x2)］dx=2「2dx=4

15.AJTj0

16.B

因為/'(力=—?—(一—二］，所以"D=-2.

arcCOtxk↑+x2)n?2)π

4

3_Jn3

17.1÷3

18.C經(jīng)實際計算及無窮小量定義知應(yīng)選C.

.Iim=1.Iimln1?!=—∞,limz—7—=O,IimcoLr=∞.

z-*0X*7>z-*<lIJX

19.C

20.C

(lnu2)z=(2Inu),≡

u

21.A

Iim⑴=Iim&二")-⑴.(-1)

AXTO?XΔx→0—?X

,

=∕(1)(-1)=(3√)∣^1*M)=-3

22.B本題考查的是導(dǎo)函數(shù)的概念和定積分的分部積分法.

?√,(x)<lx=JXdy(X)=xf(x)Ie^?/(x)dx=He［：-Le0=tt'^x_1)|?=1'

23.D

因為ra)=InX+1，/"(X)=L，P(X)=~，

XX

嚴(yán)")=*=坐，…心幻=(-％2)!(心2)

XXX

24.A

25.A

χ2y

因為^=e-2xy

OX

所以?r-=(2Xye八Y=(2X+2xyx2)eχ2y=2x(1+x2y)cxy

?x?y

26.B

27.B

利用極值的第二充分條件可知應(yīng)選B.

28.B

29.D解析：

因為/(x)是X的4次多項式，所以/(5)(X)=O

30.C

-Inxl≤x≤l

由IInXI="e

Inx

I<x≤e

所以?f∣lαr∣dx=-∫∣Inxdx+「Inxdx.

31.π2

π2

由∕,(x)=COS-?(----y)所以f?-)=:COS-J-=K2

XX兀(與21

ππ

f'(x)=2xe4÷x2e4

32.(2+4x+x2)ex(2+4x+x2)ex解析：/(x)=(2+2r)eτ+(2Λ+√)er=(2+4x+√)e*

C2x

2arctanx+------r

l+x2

［解析I因為/(x)=2XarCIanx+1

所以∕,(x)=2arcIanK+-----W

33.1+廠

2

［解析］因為「~^x,i??arctan?=?(?-arctan-)≈-

ia

4+√22β2228

aπ

arctan-=-

24

所以—=I.a=2

34.2

35.C

(-D"(〃-D!(-D'("-D!

36.?"x'

37.應(yīng)填2.

【解析】利用重要極限1求解.

吧??r岬^?τ?("∣)=2?

38.

39.

40.A

41.π∕3π∕3解析：

.1I-X5

因為?i?÷^τd-r

Wl-X，

x

T彳I?-d?-fit

-1Vl-X2^IVl-X2

=2f2-=J=dx(根據(jù)奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分性質(zhì))

Jo√Γ7

?|1-1ππ

=2arcSinxH=2x—=—

lo63

J2(ydx-Xdy)(VdX-Xdy)

42.2.?2xy'"λ

43.(-∞2)

(-8,2)

x

因為yn=(2-χ)e<0,得x<2,即(一8,2)

—sin工+C—sin工+C

44.?工

45.4x4x解析

I*11

由(---arcsin2*)=---------.-(2-t∕

1∏2In27

21

In22'

In2Jl-4,

T_2x

根據(jù)不定積分定義可知，有

√1-4JΓJl-奴工)

故0(X)=4'

解y/=--2xdy=(—2x)dx

46.XX

ZrZr

47.7?VTTI

48.(2N+1)COS(X2+H+1)(2N+1)COS(∕+H+1)

49.

2xf,

x1^-,y1Jv解析:

?z?z?u?z?v?z?z1

-------+-------=—exyvy+×2x

?xeu?x?v?x?u?vX2+y2

Oy

3個中￡'

50.1

Id(Jdinx)=?dInX=InM：=1

52.

XX

--------2----COtN+C------2----COtN+C

53.sinXsinX解析

j∕Q)dx=∫.rd∕(x)=√(-r)-∫∕(x)<k

-xf(x}-f(COtX)Ck=-----?-------cotx+C

Jsinx

54.e

e^1-e^2

［解析］因為f'(x)=L,則八e')=e-jt

X

22

所以f∕z(ex)dx=-e^jt=e-1-e^2

55.*'

56.D

57.1

［解析］y=cos(InX)(Inx)z--cosInr.ι?,(l)=-!-cosInxi=1.

XX1,?'

58.-esinxcosxsiny

由Z=e'2cosy,則靠=—e"nrsiny,=—e,,axeos?sinj.

59應(yīng)填L

本題考查的知識點是函數(shù)?(X)的極值概念及求法.

因為f'(x)=2x,令f'(x)=0,得z=0.又因為f"(x)∣x=0=2>0,所以

f(O)=l為極小值.

60.D

因為

s1

za=4xy÷2xy^?之>=2?r'y+3ι'y'?

所以

U=12√√+2√?

%=2x,+6∕y?

2

zl9≡8J>>÷6xy?

61≡>?=8x,y+6x>2.

因為

11i2

za=4j-y+2?ry'?a=2?r'y+3jy?

所以

￡“二12J：2y2+2yi?

J=2JJ÷6√>.

zn≡8*'y+6?ry'.

,

z9t=8J>+6J?>?

62.

畫出區(qū)域D如圖所示.由枳分區(qū)域的對稱性及被積

函數(shù)關(guān)于.7軸和y軸都是偶函數(shù)?故有

jj?^dxd?=4jJ.rxdxd>?.

υl

其中口為區(qū)域D在笫一象限的部分,即

Di=M?r,y)II≤M+y'≤9.工≥0,?≥OL

利用極坐標(biāo)變換.Q可表示為0≤8≤≤r≤3.故

(rcosβ)2?rdr

畫出區(qū)域D如圖所示.由積分區(qū)域的對稱性及被積

函數(shù)關(guān)于.7軸和y軸都是偶函數(shù)?故有

JJrWy=4jJ√jd∕dy?

/?D,

其中Dl為區(qū)域D在第一象限的部分.即

2

D,=<(?t,v)I1≤x÷>*≤9?J≥0t,y≥0>.

利用極坐標(biāo)變換?小可&示為0≤8≤羨I≤r≤3.故

UMdxdy=(reose):?rdr

=r,dr

≡20∫fL±好印此

=20?y[β÷γsin2^]∣*

因此=40Meb*dy≡20x.

?

63.

根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點,該二重積分用極坐標(biāo)計算比用直角坐標(biāo)計

算簡便.

積分區(qū)域Qrti??+/≤1化為l?0≤8≤2n?故

(√?τr÷yr—?v)d?dv(r-rtcos0sintf)rdr<W

=?de?3-rjcos5sintf)dr

=Jq-ycosβsintfJJd0

=；夕|一??sin0dsin0

根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點,該二重積分用極坐標(biāo)計算比用直角坐標(biāo)計

算簡便.

積分區(qū)域/，由/+丁≤】化為r&1.0≤8≤2八故

<*J￡+y'-??r)drdv(rr?coMSind)rdrd"

11d"j3―，coMsintf)dr

=p[y-ycosβsin0∣Jdff

；夕1jSinfthind

∣π-ψi∏^∣^={κ.

令“y=u9jryz=1;?則/(w)≡/(J?U?V).

.?.棗=亞+〃.且+亞.亞=亞+亞.y+〃?*

??d??ud??v?????u?v

%=也.如+幽?包=冬.工+冬.??.

?y?u?y?v?y?u?υ

t,

—3u=-d-u--:?---?-υ=3—u?JfV.

64.?z?υ?z?v?y

令JryUU?J>X=，?則/(w)N/(J?U?V).

.?.迦=亞+〃.且+〃.電=亞+亞?y+更?1

?????u?χ?v?????w?v

ι

??w-=?-≤w--??-uT1--?--u-----3υ=?UJ?工十.—?U?J???.

Qy?u?y?vσyσu?υ

du，3u??υ?uf

—=?-?r-≡?-??j-

?z?υ?z?v

=]=______1、

??2÷4x+32(?÷I?÷3/

y=-∣?C<-1XJ+1)2-(-1)(X÷3)-*.],

￡?

y=4^<-1>C(-2)<J+D-1-(-2)(z+3)T]

￡?

=y(-l)<-2)[(-r+l)-3-(j÷3)j],

Z=?(-l)(-2)[(-3)(x+l)4-(-3)(x÷3)-?]

=y(-l)(-2)(-3)[(j÷l)^4-(j÷3)^1],

*

故y?*=4√-i)”!}z+1廣*>一(工+3尸11

65.

?,=?—=Iz-I____L-?

yV十41+32(z+lJ-+3/

y=-∣-C<-l)(?+D2-(-1)(J?+3)1.],

y=?∣?(-l)[(-2)G+l)7-(-2)(z+3)T]

￡?

=-∣-(-1)<-2)[(Λ?+1)~J-(J+3)?,

Z=?(-1)(-2)[(-3)(J+1)4—(-3)(z+3)τ]

=?(-1)(-2)(-3)[(J÷1)-4-(J+3)-1].

(Λ

*

*

故√β,=4?(一D"”![(?r+DTf'-(z+3)τ-"]?

66.

V至=2je?re,,^^-(√+y2)eUn吟.

??

2ye"'M-(?2+y1)e*rtw^?[?∕1?(?)

?+(2jr-j)e?n,*÷

?y

ΓCU

=E?"^[(2J+y)<Lr÷(2y-j)d>].

匹=e

????r

S=2ye

e.P[(2?r+y)d?r+(2y-?r)dy],

輸亡

eβrr,βn<一(2x+>)e*trtaβ?J)=

?????,JTxl+y

67.

令/F=，，則工=J?d?2cdι,故

dz2I=2arctan/÷C=2arctan√Cr÷C.

√T(1÷x)m?)=

令石=，，則工=.d?=2∕d∕,故

√F(i+x)=?-2I∏?

=2arctanZ+C=2arctan√Cr+C.

68.①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

S=∫?l-√)dχχ(x4)卜宗

②旋轉(zhuǎn)體的體積

匕=Mdy="dy*L

69.解法1直接求導(dǎo)法.

在用直接求導(dǎo)法時一定要注意：等式兩邊對工（或y）求導(dǎo)時，應(yīng)將y（或X）看成常數(shù)，而式中

的：應(yīng)視為X與，的二元函數(shù)，最后再解出或弟）即可.

等式兩邊對X求導(dǎo).得

"擊嚕解得導(dǎo)W

解法2公式法.

設(shè)情助函數(shù)F（*,y.*）=?-y-?-等式兩邊對X求導(dǎo)時.式中的y與N均視為常數(shù),用一元函

數(shù)求導(dǎo)公式計算.對y或：求導(dǎo)時,另外兩個變?t也均視為常數(shù)，即

aF,?',

—=fc.=x*-≈fcr,≈×-el,

?xOX

??F：Z?

所以■=————'—S,

?xF：x-e,e*-x

解法3求全微分法.

直接對等式兩邊求微分.求出&的表達(dá)式.由于dκ*<k+3dy,所以dx（或dy）前面的表達(dá)

式就是票或9?

因為d(??)=dy+d(ct),

即zdx?x(iz=dy+e,<k.

則d?=-?-dx----7~~dy?

e-Xe-X

d?2

所以—g.?.

Ax#?*-T

用換元積分法.令?r=tan/.則

r

71*——ser/dz

?tanw∕?sec/

esc/?co"d∕

?=39-2々

?

70.3

用換元積分法.令Z=tan/.則

產(chǎn)1A戶1

--;—,ci.r=-----i------------sec^∕d∕

J?χt?√14-?1Jftan`z?secz

=?:esc/?COtzdz

,93√2-2√3

=-CSC/.=-----------.

?3

71.

t

令I(lǐng)Siny=u93xy=*,則有z=f(u,υ).

利用微分的不變性得?

,

dz=∕w(α.v)du+(u^v)dυ

t

=//d(e'siny)+f1∕d(3xy)

=f∕(e,sinjd?+ejcosjdy)+f∕(6jrydx+3xtdy}

2f

=(Isiny/.'÷e??r/,/)d?+(e?cosyf∕+3xfv)dy.

2

令I(lǐng)Siny=u.3τy=τ/,則有z=/(utv).

利用微分的不變性得,

z

dz=∕w(u?v)dtt+(u9v)dv

,2

=∕wd(e*sinjr)+∕t,d(3x>)

tj

=f∕(es?nydjc+ecosjdy)+∕l∕(6zyd?r+3?τ"dy)

2,

=(ISiny/「÷6xj∕t∕)d?+(e?cosyf∕+3xfv^dy.

￡八外&=f;?L+f3+】)業(yè)

≡^(T?7A?！??X1÷X)L

=arctane,∣+-∣?

15Tr

72.=arcane+--?.

。⑺d?-J：^τ<Lr÷∫*(x÷l)<Lr

≡=arctane*∣+?

I5π

=arc<ane+?—

73.

相應(yīng)的齊次方程為

y,-2y'—3y≈O.

其特征方程為r1-2r-3=0.

得特征根為C=3.r,=-1.故齊次方程的通解為

jj1

y=C1e+Cie(C,,C1為任意常數(shù)).

由于自由項〃工)=?re'.A=-1是特征單根.故可設(shè)原方程的特解為

y,=H(Ar+B)e1

將*代入原方程,得

-8Ar+2A4B=?.

有一8A=1?2A-4B≈O

得A—-J.B=-1

o10

故原方程的特獻(xiàn)為

y?=?(-??-?)e*-i(2x+l)e-

所以原方程的通解為

y=Cle*?+Cre?-?(2^+?)e-(C,.Cl為任意常數(shù)).

相應(yīng)的齊次方程為

y"-2?'-3y=O?

其特征方程為r1-2r-3=O?

得特征根為方=3.r,=-1.故齊次方程的通解為

u

y≡C∣e+C1e-<qC為任意常數(shù)).

由于自由項八ι>=?e?a=-ι是特征單根,故可設(shè)原方程的特價為

y?≡x(Ar÷B)e-4?

將V代入原方程?得

-8Ar+2A4B=≡?t

有一8AN1?2A—4B=O

得A=-J.B=-1

o10

故原方程的特獻(xiàn)為

>,β4f(~i?^?)e"—?<2x÷1

所以原方程的通解為