《微積分》各章習(xí)題及詳細(xì)答案.doc

1、微積分各章習(xí)題及解答第一章 函數(shù)極限與連續(xù)一、填空題1、已知，則 。 2、 。3、時，是的 階無窮小。4、成立的為 。5、 。6、在處連續(xù)，則 。7、 。8、設(shè)的定義域是，則的定義域是_。9、函數(shù)的反函數(shù)為_。10、設(shè)是非零常數(shù)，則。11、已知當(dāng)時，與是等價無窮小，則常數(shù)。12、函數(shù)的定義域是_。13、。14、設(shè)，則_。15、=_。二、選擇題1、設(shè)是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，則 中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。（）；（）；（C）；（D）。2、，則當(dāng)時有 。（）是比高階的無窮??； （）是比低階的無窮?。唬–）與是同階無窮??； （D）。3、函數(shù)在處連續(xù)，則 。（）； （）； （C）； （D）。4、數(shù)列極限

2、 。（）； （）； （C）； （D）不存在但非。5、，則是的 。（）連續(xù)點(diǎn)；（）可去間斷點(diǎn)；（C）跳躍間斷點(diǎn)；（D）振蕩間斷點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中和相同的是（ ）（），； （），；（C），；（D），。7、 = （ ）（） 1； （） -1； （C） 0； （D） 不存在。8、 （ ）（） 1； （） -1； （） ； （） 。9、在的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的（ ）（）充分必要條件；（） 充分條件；（C）必要條件；（D）既不充分也不必要條件.10、 （ ）（） 1； （） 2； （C） ； （D） 0。11、設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有（ ）（A）對任意成立； （B）對任意成立；（C）極限不存在 ；

3、 （D）極限不存在。12、當(dāng)時，函數(shù)的極限（ ）（）等于；（）等于；（）為；（）不存在但不為。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限（1）； （2） ； （3）； （4） ； （5）； （6）； （7）； （8）。、試確定之值，使。、利用極限存在準(zhǔn)則求極限(1)。（2）設(shè)，且，證明存在，并求此極限值。5、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。6、設(shè)在上連續(xù)，且，證明在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。第一單元 函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題解答一、填空題1、 。 ， 。2、 。 。3、高階 。 ，是的高階無窮小。4、 。為有界函數(shù)，所以要使，只要，即。5、 。 。6、 。 ， ， 。7、 。8、 根據(jù)題意 要求，所以 。9、

4、，的反函數(shù)為。10、 原式=。11、 由（利用教材P58）與，以及，可得 。12、 由反三角函數(shù)的定義域要求可得 解不等式組可得 ，的定義域?yàn)椤?3、 。14、 ,令t=，所以x= 即：=。15、2 。二、選擇題1、選（） 令，由是上的偶函數(shù)，是 上的奇函數(shù)，。2、選（） （利用教材P58）3、選（A） （利用教材P58）4、選（） 5、選（） ， ， 6、選（） 在（A）中的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，故不正確在（B）的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，故錯在（D）中的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故錯7、選（） ，不存在8、選（） ， 9、選（） 由函數(shù)極限的局部有界性定理知，存在，則必有的某一去心鄰域使有界，而

5、在的某一去心鄰域有界不一定有存在，例如，函數(shù)有界，但在點(diǎn)極限不存在10、選（） （11、選（D） （A）、（）顯然不對，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)充分大時”的情況，不可能得出“對任意成立”的性質(zhì)。（）也明顯不對，因?yàn)椤盁o窮小無窮大”是未定型，極限可能存在也可能不存在。12、選（D） 當(dāng)時函數(shù)沒有極限，也不是。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限：（1）解：。（2）解：。（3）解：。（4）解：。（5）解：。（6）解：。（7）解：。（8）解：。、解：、（1）而 。（2）先證有界（數(shù)學(xué)歸納法）時，設(shè)時， 則 數(shù)列有下界，再證單調(diào)減， 且 即單調(diào)減，存在，設(shè)，則有 （舍）或，、解：先求極限 得

6、 而 的連續(xù)區(qū)間為為跳躍間斷點(diǎn).。、解：令， 則 在 上連續(xù)而 由零點(diǎn)定理，使即 ，亦即 。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題1、已知，則= 。2、存在，有，則= 。3、，則= 。4、二階可導(dǎo)，則= ；= 。5、曲線在點(diǎn) 處切線與連接曲線上兩點(diǎn)的弦平行。6、，則= 。7、，則= ，= 。8、若，則= 。9、曲線于點(diǎn)_處的切線斜率為2。10、設(shè)，則。11、設(shè)函數(shù)由方程確定，則。12、設(shè)則。二、單項(xiàng)選擇1、設(shè)曲線和在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則=（ ）。（）； （）； （C）； （）。3、函數(shù)，且，則（ ）。（） ； （） ； （C） ； （）。4、已知為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，則曲線在 處切線的方程是 。（

7、）；（）；（C）；（）。5、設(shè)可導(dǎo)，則= 。（） ； （） ； （C） ； （）。6、函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則= 。（）；（）；（C）；（）。7、若，則=（ ）（）； （）； （C）； （）。8、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在和，則是導(dǎo)數(shù)存在的（ ）（）必要非充分條件； （）充分非必要條件；（C）充分必要條件； （）既非充分又非必要條件。9、設(shè)則（ ）（）； （） ； （C）； （）。10、若可導(dǎo)，且，則有（ ）（）；（）；（C）；（）。11、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（ ）（A）在內(nèi)單調(diào)增加； （B）在內(nèi)單調(diào)減少；（C）對任意的有；（D）對任意的有。12、設(shè)在處可導(dǎo)，則（ ）（A） ； （B）為任意常數(shù)

8、；（C） ； （C）為任意常數(shù)。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題（1），求； （2），求；（3），； （4），求；（5），求；（6），求；（7），在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求；（8）設(shè)在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求。2、試確定常數(shù)之值，使函數(shù)處處可導(dǎo)。3、證明曲線與（為常數(shù)）在交點(diǎn)處切線相互垂直。4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到500米空中時，問觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)對任意實(shí)數(shù)有，且，證明。6、求曲線上過點(diǎn)處的切線方程和法線方程。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題解答一、填空題1、 2、 3、 4、 ，5、 弦的斜率 ，當(dāng)時，。6、7、， 8、

9、 9、 ，由 ，在點(diǎn)處的切線斜率為210、 2 ，11、 方程兩邊對求導(dǎo)得 解得 。12、 由參數(shù)式求導(dǎo)公式得，再對求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得。二、選擇題1、 選（） 由 交點(diǎn)為 ， 3、 選（） 由得 4、 選（A） 由切線方程為：即 5、 選（） 6、 選（） 設(shè)，則 7、 選（） 又， 8、 選（） 在處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。9、 選（） 另解：由定義，10、 選（） 11、由導(dǎo)數(shù)定義知，再由極限的保號性知 當(dāng)時，從而 當(dāng)時，因此C成立，應(yīng)選C。12、由函數(shù)在處可導(dǎo)，知函數(shù)在處連續(xù)，所以。又，所以。應(yīng)選C。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題（1）（2） ，（3）兩

10、邊對求導(dǎo)：（4） 設(shè)則（5）兩邊取對數(shù)：兩邊求導(dǎo)： （6）利用定義：（7） 又注：因在處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。（8）2、易知當(dāng)時，均可導(dǎo)，要使在處可導(dǎo)則 ， 且在處連續(xù)。即而 又 由3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則 對兩邊求導(dǎo)：曲線在處切線斜率又由曲線在處切線斜率又兩切線相互垂直。4、設(shè)分鐘后氣球上升了米，則 兩邊對求導(dǎo)：當(dāng)m時， 當(dāng)m時， （弧度/分）5、證明：6、解：由于，于是所求切線斜率為，從而所求切線方程為 ， 即 又法線斜率為 所以所求法線方程為 ，即 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、填空題1、_。2、函數(shù)在區(qū)間_單調(diào)增。3、函數(shù)的極大值是_。4、曲線在區(qū)間_是凸的。5、函數(shù)在處

11、的階泰勒多項(xiàng)式是_。6、曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是_。7、若在含的（其中）內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且_,則是在上的最大值。8、在內(nèi)有_個零點(diǎn)。9、。10、。11、曲線的上凸區(qū)間是_。12、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_。二、單項(xiàng)選擇1、函數(shù)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且則（ ）（）不存在 ； （）0 ； （）-1 ； （）-2。2、設(shè)則在內(nèi)曲線（ ）（）單調(diào)增凹的； （）單調(diào)減凹的；（）單調(diào)增凸的； （）單調(diào)減凸的。3、在內(nèi)連續(xù)，則在 處（ ）（）取得極大值； （）取得極小值；（）一定有拐點(diǎn)； （）可能取得極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則：在內(nèi)與：在 上之間關(guān)系是（ ）（）是的充分但非必要條件； （）是的必要但非充

12、分條件；（）是的充分必要條件； （）不是的充分條件，也不是必要條件。5、設(shè)、在連續(xù)可導(dǎo)，且，則當(dāng)時，則有（ ）（）； （）；（）； （）。6、方程在區(qū)間內(nèi)（ ）（）無實(shí)根； （）有唯一實(shí)根；（）有兩個實(shí)根； （）有三個實(shí)根。7、已知在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn) 處（ ）（）不可導(dǎo)； （）可導(dǎo)，且；（C）取得極大值； （）取得極小值。、設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（）（）是的極大值；（）是的極小值；（）是曲線的拐點(diǎn)；（）不是的極值點(diǎn)。9、設(shè)為方程的二根，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)（ ）（A）只有一實(shí)根； （B）至少有一實(shí)根； （C）沒有實(shí)根； （D）至少有2個實(shí)根。10、在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的

13、函數(shù)是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。11、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)是函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加的（ ）（A）必要但非充分條件； （B）充分但非必要條件；（C）充分必要條件； （C）無關(guān)條件。12、設(shè)是滿足微分方程的解，且，則在（ ）（A）的某個鄰域單調(diào)增加； （B）的某個鄰域單調(diào)減少；（）處取得極小值； （）處取得極大值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(1) ； (2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6)。2、證明以下不等式(1)、設(shè)，證明。(2)、當(dāng)時，有不等式。3、已知，利用泰勒公式求。4、試確定常數(shù)與的一組數(shù)，使得當(dāng)時，與為等價無窮小。5、設(shè)在上可導(dǎo)，試證存在，使。6、作半徑為的

14、球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積最小，并求出該體積最小值。7、若在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：在 內(nèi)至少存在一個，使。第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題解答一、填空題1、 2、 在上單調(diào)增3、20 令當(dāng)時，；當(dāng)時，極大值為 4、 ，當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，曲線在上是凸的5、 （見教材P13頁，泰勒公式）6、 ，令，當(dāng)時，；當(dāng)時而當(dāng)時，拐點(diǎn)為7、, 當(dāng)時，單調(diào)增加；當(dāng)時，單調(diào)減少8、1 ，在上單調(diào)增加又.在內(nèi)有1個零點(diǎn)。9、 原式。10、 原式=。11、 令，當(dāng)時，上凸，其它區(qū)間，上凹，故應(yīng)填入。12、 函數(shù)的定義區(qū)間為，在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且，因?yàn)樵趦?nèi)，所以函數(shù)在上單調(diào)增加。二、選擇

15、題1、選（） 2、選（） 當(dāng)時，又 在上單調(diào)減且為凹的。3、選（） ，則，是的拐點(diǎn)；設(shè)，則，而是的極值點(diǎn)。4、選（）由在內(nèi)的充分必要條件是在內(nèi)（為常數(shù)），又因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，所以，即在 上。5、選（）由單調(diào)減少，.6、選（） 令，則；當(dāng)時，單調(diào)增加，當(dāng)時，單調(diào)減少當(dāng)時，單調(diào)增加.而，在上有一實(shí)根，在上有一實(shí)根，在上有一實(shí)根。、選（） 利用極限的保號性可以判定的正負(fù)號：（在的某空心鄰域）；由，有，即在取極小值。8、選（） 由極限的保號性：（在的某空心鄰域）；由此（在的某空心鄰域），單調(diào)增，又由，在由負(fù)變正，由極值第一充分條件，是的極小點(diǎn) 。9、選（B）由羅爾定理保證至少存在一點(diǎn)使。10、選（C），A

16、選項(xiàng)在不連續(xù)，B選項(xiàng)在處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)。11、選（B），如在單增，但，故非必要條件。12、選（），由有，所以在處取得極小值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限（1）解： (2)解： 。(3)解： (4)解：(5)解： 。(6)解： 2、(1)證明：令 ，則在上連續(xù) 在上單調(diào)增加，得 ， 即(2)令在時 ，在上單調(diào)增，又， 即3、解： 麥克勞林公式而對比 的系數(shù)有：4、解： ，5、即證： 令，則在上滿足拉格朗日定理的條件，使即即 6、解： 設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，則有比例關(guān)系 令唯一駐點(diǎn)所以，當(dāng)時，體積最小，此時7、解： 由題設(shè)可知在上存在，又，由羅爾定理，使，又，可知在上滿足羅爾定理，于是，使，又，

17、對在上再次利用羅爾定理，故有，使得。第四章 不定積分一、填空題1、=_。2、=_。3、=_。4、=_。5、=_。6、=_。7、=_。8、=_。9、_。10、_。11、_。12、。二、單項(xiàng)選擇1、對于不定積分，下列等式中（ ）是正確的.（A）； （B） ；（C） ； （D） 。2、函數(shù)在上連續(xù)，則等于（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）。3、若和都是 的原函數(shù)，則（ ）（A） ； （B） ；（C）(常數(shù))； （D）(常數(shù))。4、若，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。5、設(shè)的一個原函數(shù)為，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。6、設(shè)，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。、（

18、 ）（A）； （B）；（C）； （D）。、若的導(dǎo)函數(shù)為，則的一個原函數(shù)是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、為可導(dǎo)函數(shù)，且，又，則=（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。10、（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。11、=（ ）（A）；（B）；（） ； （D）。12、=（ ）（）；（）；（）；（）。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 。2、設(shè)，當(dāng)時求。3、 設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時有，且，求。4、 確定A、B使下式成立5、設(shè)的導(dǎo)數(shù)的圖像為過原點(diǎn)和點(diǎn)的拋物線，開口向下，且的極小值為2，極大值為6，求。第四章 不定積分習(xí)題解答一

19、、填空題1、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、。9、 。10、11、令，則原式12、。二、選擇題 1、選（）。由，知（A）、（B）、（）選項(xiàng)是錯的，故應(yīng)選。2、選（）。由微分的定義知。3、選（）。函數(shù)的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)。4、選（B） 兩邊對微分得5、選（B） 原式6、選（C） 、選（D） 8、選（B）由題意知，的原函數(shù)為，取，故選B。9、選（C）由兩邊求導(dǎo)得，又，所以，所以，又因?yàn)?，所以?0、選（）。11、選（B）。12、選（）。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)解：；(2) 解：；(3) 解：；(4) 解： 令，則得 ；(5) 解：；(6) 解：。2、解： 3、解：對

20、兩邊積分：由知又得4、解：由整理得由不定積分的定義：有即對此導(dǎo)數(shù)：，（也可直接兩邊求導(dǎo)求解）5、解：設(shè) 由，.由令駐點(diǎn)，又，為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，而由第五章 定積分一、填空題1、=_。2、=_。3、。4、。5、。6、。7、設(shè)在上連續(xù)，則 。8、設(shè)在上連續(xù)，且，則 。9、 。 10、 。11、 。12、_，_。13、_。二、單項(xiàng)選擇1、（ ）（A） 0 ； （B） e ； （C） ln2 ； （D） 1 。2、若，則等于（ ）。（A） ； （B） ； （C） ； （D） 0 。3、定積分的值是（ ）。（A） 0 ； （B） 2 ； （C） 2e2+2； （D） 。4、設(shè)連續(xù)，已知，則n=（ ）

21、（A） 1/4 ； （B） 1 ； （C） 2 ； （D） 4 。5、若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則等于（ ）。（A）； （B） ； （C） ； （D） 。6、設(shè)，則有（ ）（A）； （B）；（C）；（D）。7、設(shè)則當(dāng)時，是的（A）等價無窮??；（B）同階但非等價無窮小；（C）高階無窮??；（D）低階無窮小。8、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。9、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程 在開區(qū)間內(nèi)的根有（ ）（A）0個； （B）1個； （C）2個； （D）無窮多個。10、設(shè)連續(xù)，則（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。11、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則=（ ）（A）； （B）；

22、 （）； （D）。12、=（ ）（）；（）；（）；（）。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)。2、 已知在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，求。3、設(shè)其中，求。4、證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個不同實(shí)根。5、已知在上連續(xù)，且，證明，其中。6、已知在上連續(xù)，定義，證明，并求。第五單元 定積分習(xí)題解答一、填空題1、 。2、 。3、 。4、 。5、 。6、 7、 兩邊求導(dǎo)：，令 得8、2 9、 10、0 11、 ， 12、 原式二、選擇題1、選（） 2、選（A）3、選（）4、選（） 令 得 5、選（）兩邊求導(dǎo) 6、選（D） 因?yàn)椋?、選（B） 8、選（A） 。9、選（B）

23、因?yàn)?，則有，又.可知是嚴(yán)格增的，由介值定理知存在唯一的一個，使。10、選（A）首先通過積分換元，把被積函數(shù)中的參變量“解脫”出來：由此， 原式=。11、選（A）設(shè)，則有恒等式。為求常數(shù)，兩邊取由到的積分得，解得。由此，。12、選（A） 三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1) 解： 令 得(2) 解：(3) 解：(4) 解：(5) 解：。(6) 解：。2、解：3、解： 4、解：令 則 令 駐點(diǎn) 在內(nèi)，單調(diào)增加.在內(nèi)，單調(diào)減少又 而在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)即 方程在內(nèi)有且僅有兩個不同實(shí)根5、解：證：其中6、解：即 而 第六章 定積分的應(yīng)用一、填空題1、由曲線及軸所圍成平面區(qū)域的面積是

24、_ 。2、由曲線及直線所圍成平面區(qū)域的面積是_。3、由曲線 所圍成平面區(qū)域的面積是_ 。4、由曲線與直線所圍成平面區(qū)域的面積是_ 。5、連續(xù)曲線直線，及軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積_，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積_。6、拋物線及直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_。7、漸伸線，上相應(yīng)于從0變到的一段弧長為_。8、曲線與軸所圍成的圖形的面積。9、界于之間由曲線所圍圖形的面積_。10、對數(shù)螺線自到的弧長。11、心形線和直線圍成圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_。二、選擇題1、曲線及軸所圍圖形的面積（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。2、曲線所圍面積（ ）。（A）； （B）

25、； （C）； （D）。3、曲線及所圍面積（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。4、曲線上一段弧長（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。5、雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。6、繞軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）（）；（）；（）；（）。、曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長度（ ）（）； （）；（）；（）。8、曲線的一個周期的弧長等于橢圓的周長的（ ）（）1倍；（）2倍；（）3倍；（）4倍。三、計(jì)算解答1、求拋物線及其在和處的切線所圍成圖形的面積。2、求雙紐線所圍圖形的面積。3、求由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積。4、求擺線的一拱及繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的

26、體積。5、求心形線的全長，其中是常數(shù)。6、求由曲線及所圍圖形的面積。7、計(jì)算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。第六單元 定積分的應(yīng)用習(xí)題解答一、填空題1、1 與及軸交點(diǎn)為，取微積分變量則2、 與交點(diǎn)為，取微積分變量則。3、 。4、 。5、由旋轉(zhuǎn)體體積公式知：，。6、 。7、 。8、 ，零點(diǎn)為則。9、 10、 由極坐標(biāo)弧長公式得所求的弧長11、 由得，時，由元素法。二、選擇題1、選（C）。以為積分變量，以為積分變量。2、選（D）。由極坐標(biāo)曲邊扇形面積公式，知。3、選（D）。4、選（B）。5、選（A）。由方程可以看到雙紐線關(guān)于軸、軸都對稱，只需計(jì)算所

27、圍圖形在第一象限部分的面積；雙紐線的直角坐標(biāo)方程比較復(fù)雜而極坐標(biāo)方程較為簡單：。其在第一象限部分的變化范圍是：。再由對稱性得。6、選（B）。繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。7、選（C）。從而弧長元素，所求弧長為。8、選（A）。設(shè)為曲線的一個周期的弧長，為橢圓的周長，顯然，將橢圓化成參數(shù)方程則從而有=。三、計(jì)算解答1、解：切線方程分別為和，其交點(diǎn)坐標(biāo)是，。2、解：由對稱性。3、解：。4、解：。5、解：由極坐標(biāo)系下的弧微分公式得，由于以為周期，因而的范圍是。又由于，心形線關(guān)于極軸對稱。由對稱性，。6、解：由于在處取極小值所以可得所圍圖形面積為。7、解：取固定直徑為軸，為積分變量且，過點(diǎn)且垂直于軸的立體截

28、面面積為于是。第七八章 多元函數(shù)微積分（以課件例題為主）第九章 微分方程一、填空題1、方程是 階微分方程。2、以函數(shù)為通解的微分方程是 。3、設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，則該曲線所滿足的微分方程為 。4、連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則= 。5、微分方程的通解 。6、以為特征根的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是 。7、判斷對錯：（填“正確”或“錯誤”）（1）所有微分方程都存在通解。 （2）微分方程的通解包含了所有的解。 （3）設(shè)為某二階微分方程的解，其中為任意常數(shù)，則此解是該方程的通解。 （4）若函數(shù)是一階線性微分方程兩個不相同的特解，則就是該方程的通解。 8、若是全微分方程，則函數(shù)應(yīng)滿足

29、 。9、已知是某二階非齊次線性微分方程的三個解，則該方程的通解為 。10、微分方程滿足初始條件的特解 。11、求方程的通解時可令，則 。12、微分方程的通解為 。二、選擇題1、下列方程中（ ）是常微分方程(A)；(B)；(C)；(D)。2、下列方程中（ ）二階微分方程(A)； (B)；(C)； (D)。3、微分方程的通解是（ ），其中均為常數(shù)(A)； (B)；(C)； (D)。4、一曲線在其上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于，這曲線是（ ）(A)直線； (B)拋物線； (C)圓； (D)橢圓。5、下列微分方程：（1），（2），（3）中，線性微分方程是（ ）(A)（1）； (B)（2）； (C)（3）；

30、 (D)（1）、（2）、（3）均不是。6、曲線經(jīng)過點(diǎn)，且滿足微分方程，則當(dāng)時，（ ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)4。7、已知微分方程有一特解，則此方程通解為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。8、設(shè)是方程的解，若，且，則在點(diǎn)（ ）(A)取得極大值； (B)取得極小值； (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增； (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減。9、若和是二階齊次線性方程的兩個特解，、為任意常數(shù)，則（ ）(A)是該方程的通解；(B)是該方程的特解；(C)是該方程的解；(D)不一定是該方程的解。10、曲線經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處切線與直線平行，而滿足方程，則曲線方程是（ ）(A)；(B)；(C) ；(D) 。

31、11、微分方程的特解的形式為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。12、微分方程的特解的形式為（ ）(A)； (B)； (C)； (D) 。三、計(jì)算解答1、驗(yàn)證由方程所確定的函數(shù)是微分方程的通解。2、求解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。3、設(shè)，為可微函數(shù)，求。4、已知，曲線積分與路徑無關(guān)，求函數(shù)。5、設(shè)都是方程的特解，且不恒等于常數(shù)，證明為方程的通解（其中為任意常數(shù)）。6、一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，從速度等于零時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系數(shù)為），試求

32、此質(zhì)點(diǎn)的速度和時間的關(guān)系。第九章 微分方習(xí)題解答一、填空題1、微分方程的階是指微分方程中含有未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，因此該方程是三階微分方程。2、該通解中含有兩個任意常數(shù)，可見其所對應(yīng)的方程應(yīng)是二階的，對分別求一階和二階導(dǎo)數(shù)得：，三個式子連立消去得，即為所求。另解，直觀看出是某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，而該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征根為，其對應(yīng)的特征方程為，從而對應(yīng)的微分方程是。3、設(shè)曲線為，則由題意有：即為所求。4、對兩邊求導(dǎo)得，解此微分方程得，即，又由可知，代入求得，從而。5、該方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為，解得特征根，從而通解為。6、以為根的一元二次方程

33、是，從而對應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是。7、（1）錯誤，例如微分方程，該方程只有解，顯然這不是通解。（2）錯誤，例如微分方程，易求得該方程的通解為，又知也是方程的解，顯然不包含在中。（3）錯誤，因?yàn)橹械牟皇窍嗷オ?dú)立的，事實(shí)上，可見該解中只含有一個任意常數(shù)。（4）正確，根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，由于不相等，所以線性無關(guān)且是對應(yīng)齊次方程的解，從而是對應(yīng)齊次方程的通解，因此就是該方程的通解。8、。9、根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，和是對應(yīng)齊次線性微分方程的解，又這兩個解是線性無關(guān)的，所以是對應(yīng)齊次線性微分方程的通解，從而是該非齊次線性微分方程的通解10、方程中不顯含未知函數(shù)，因此作變量代換令

34、，則，代入方程得，變量分離法解此方程得，即，代入初始條件得，于是，兩邊積分得，代入初始條件得，所以所求特解為。11、方程不顯含自變量，因此作變量代換時應(yīng)令，則。12、方程是三階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為，解得特征根，從而通解為。二、選擇題1、選(D)；由定義，含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程，而未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，可見，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，（C）中的未知數(shù)是多元函數(shù)。2、選(A)；所謂微分方程的階是指微分方程中含有未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，由此，(B)、(D)中方程是一階微分方程，而(C)中的方程是三階微分方程。3、選(C)；由通解的定義，含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)（相獨(dú)立）