2023年高考第三次模擬考試卷-數(shù)學(xué)（北京B卷）（解析）

2023年高考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷

高三數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求

的一項。

1.已知集合A={x∣-2<x<2},B={Λ∣0<X≤3},則AUB=()

A.{x∣-2<x≤3}B.{x∣0<x<2}C.{x∣-2<x≤0∣D.{x∣2<x<3}

【答案】A

【分析】根據(jù)并集的運算，計算即可得出答案.

【詳解】根據(jù)并集的運算可知，AuB={x∣-2<x<2}u{x∣0<x≤3}={x∣-2<x≤3},

故選：A.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(l+2i)z=5i,則Iw=()

A.?B.坦C.√5D.5

22

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算得到z=2+i,再根據(jù)模長公式求解即可.

【詳解】因為(l+2i)z=5i,

5/5z(l-2z)

所以Z-=z(l-2z)=2+z,

1+2/5

所以IZl=石,

故選：C.

3.在數(shù)列｛““｝中，?i=2,2α,,+∣-2α,,=l,貝IJan）I的值為（）

A.52B.51C.50D.49

【答案】A

【分析】由題判斷出函數(shù)為等差數(shù)列，即可求出.

【詳解】由題意，數(shù)歹∣J｛q｝滿足2a,,tl-2為=1,即an+l-?=∣,

又由4=2,所以數(shù)列｛4,,｝為首項為2,公差為T的等差數(shù)列，

所以—=4+100d=2+100x；=52.

故選：A.

4.在卜的二項展開式中，χ2的系數(shù)是（）

A.8B.-8C.10D.-10

【答案】D

【分析】利用二項式定理的通項公式，直接求出一的系數(shù).

rr2frv

【詳解】卜的二項展開式的通項公式為：7；tl=C^-（-2）χ-=C；（-2）√-,

要求χ2的系數(shù)，只需5-3r=2,解得：廠1.

所以f的系數(shù)是：￠（-2/=-10.

故選：D.

TT1

5.iiθ=-+2kπ,%∈Z''是"sine=—”的（）

62

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)，結(jié)合充分必要條件的概念即可判斷.

【詳解】9=工+24萬，A:eZ時，sin0=sin∣2kπ+?∣=sin?=?

6V6762

θ-~+2kπ,&eZR寸，sin，=Sin（2%乃+?^）=sin至=，，

6V6J62

JT1

所以“夕=?+2版■,kwZgsinθ=]”的充分而不必要條件，

故選:A.

6.已知拋物線C:V=4x的焦點為F，拋物線C上一點尸到點F的距離為3,則點尸到原點的距離

為()

A.2B.3C.2√2D.2√3

【答案】D

【分析】由拋物線的定義，將拋物線C上一點P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，列方程求出點P

的坐標，進而得出點P到原點的距離.

【詳解】拋物線C:y2=4x的準線為后-1,

由題意，設(shè)P(標九)，PF=3=?-(-l),??.?=2,P(2,±2√2),

則點P到原點的距離為√4+8=2√3,

故選：D

7.已知圓C：(x-3)2+y2=9,過點(1,2)的直線/與圓C交于A,B兩點,貝∣1弦長度的最小值

為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由題意，可得當直線/垂直于過圓心C與定點O(1,2)的直線C。時，弦,卻長度取得最小

值.

【詳解】解：由題意，因為(1-3),+22=8<9,所以點。(1,2)在圓C內(nèi)，

因為直線/過點0(1,2)與圓C交于A,B兩點,

所以當直線/垂直于CD時弦IABl長度取得最小值，

22

因為?CD?=λ∕(3-l)+(0-2)=2√2,

所以IABL,=27Z^2^∣C0∣2=2收兩=2，

故選：B.

8.明朝早起，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海,

形成了一套先進的航海技術(shù)——“過洋牽星術(shù)”，簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰

在填空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷水位.其采用的主要工具是牽星板，其由12塊

正方形模板組成，最小的一塊邊長約2cm(稱一指)，木板的長度按從小到大均兩兩相差2cm,最大

的邊長約24cm（稱十二指）.觀測時，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約

為72cm,使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對著所觀測的星辰依高低不

停替換、調(diào)整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是

幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板,

則sin22約為（）

11

12U

一12-

A.B.3-6-D.

3537

【分析】根據(jù)題意得到六指，進而得到tanc,再結(jié)合二倍角的正弦公式和商數(shù)關(guān)系求解.

【詳解】由題意知：六指為2+5x雷5,

所以tanα=乜=L

726

所以sinIa=2sinacosa=、呼'。。，：

sin^a+cos^a

2tanα2×j_12

tan2α+I(Ij?37'

故選：D

9.雙曲線C：*一衛(wèi)=1（a>0,6>0）的左、

右焦點分別為B、F,過B的直線與雙曲線C的右支

ab2

在第一象限的交點為A,與y軸的交點為B,且AABB為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.√2B.￡C.√2+lD.√3+l

【答案】B

【分析】為等邊三角形，則忸制=為，480=60。，故sinN"8O=E=且，得到離心率.

2a2

【詳解】聰為等邊三角形，則即|=2?,

VBFO中，/4Bo=60。，故SinNGBo=些J=工=且，故e=￡=百.

BFl?2a2a

故選：B

10.已知正方體ABC。-ABCl。的棱長為2,點P為正方形AB8所在平面內(nèi)一動點，給出下列三

個命題：

①若點P總滿足尸。1DCx,則動點P的軌跡是一條直線；

②若點P到直線BB,與到平面CDD1C1的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線；

③若點P到直線DDl的距離與到點C的距離之和為2,則動點P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.?C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體中的線面垂直以及線線垂直關(guān)系，即可確定滿足滿足PAG的動點尸的軌

跡，從而可判斷①；利用線線關(guān)系將點線距離轉(zhuǎn)化為點點距離，結(jié)合圓錐曲線的定義即可判斷動點P

的軌跡，即可得判斷②③，從而可得答案.

【詳解】對于①，如圖在正方體ABa）-A4CQ中，連接切入CA,

在正方體中，因為四邊形CDDC為正方形，所以。GLCR,

乂BC上平面CDDC,OGU平面COAG,所以BC，￡>G，

乂CACBC=C,,BCU平面BCDl,所以O(shè)G，平面BCD1,

平面BCDc平面ABCD=BC,Pe平面ABCD,點P總滿足PR1DCt,

所以Pe平面8CQ,所以PeBC,則動點尸的軌跡是一條直線，故①正確;

對于②，BBC平面ΛBCO=5,Pe平面438,則點P到直線BBi等于P到B的距離，

乂P到平面CDD1C1的距離等于P到DC的距離，

則P到B的距離等于尸到。C的距離，由拋物線的定義可知，動點P的軌跡是拋物線，故②正確:

對于③，點P到直線OA的距離等于尸到。的距離，所以P到。的距離與到點C的距離之和為2,

Q∣J∣PD∣+∣PC∣=2=∣DC^,則點P的軌跡為線段。C,故③不正確.

所以正確的命題個數(shù)是2.

故選：C

第二部分(非選擇題共IlO分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

II.函數(shù)/(X)=Ig(X+1)+」7的定義域為_____________.

X-I

【答案】(T』)(1,用)

【分析】根據(jù)題意，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)因X)=Ig(X+1)+—、

X-I

[x+l>0,

則｛1八，解得x>T且"1

x-l≠0

所以函數(shù)的定義域為(-1,1)(1,”)

故答案為：(1,M)

,,2兀,

12.已知q/是夾角為彳的兩個單位向量，右向量α=3e∣-Ze?,則4?q=.

【答案】4

【分析】直接由數(shù)量積的定義計算即可.

【詳解】依題意得，e2=Ilcos?=--,于是α?e∣=(3e∣-Ze?)。=3eJ-2e∣?e?=3+1=4.

故答案為：4

13.袋子中有7個大小相同的小球，其中4個紅球，3個黃球，每次從袋子中隨機摸出1個小球,

摸出的球不再放回，則在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率是.

【答案】

【分析】利用條件概率的公式計算即可.

［詳解】記事件A=｛第1次摸到紅球),事件8=｛第2次摸到紅球｝,

第1次摸到紅球的事件種數(shù)MA)=4x6=24,

在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的事件種數(shù)〃(AB)=4x3=12,

?

則小)=嚅ν2

故答案為：?.

Tr

14.在ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,"c,若c=3,C=-,SinB=2sinA,貝IJa=

【答案】√3

【分析】由正弦定理得到b=2α,再由余弦定理求出。的值.

【詳解】由正弦定理得：b=2a,

5a2-C2_5a2-9_1

再有余弦定理得…。=

2×2a?a4a22

解得：a=?∣3.

故答案為：B

15.對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(X),存在一個點%,使得/(x0)=Λ0,那么我們稱該函數(shù)為“不

動點”函數(shù)，而稱%為該函數(shù)的一個不動點，現(xiàn)新定義：若占滿足/(%)=-%,則稱%為了(%)的

次不動點，有下面四個結(jié)論

①定義在R上的偶函數(shù)既不存在不動點，也不存在次不動點

②定義在R上的奇函數(shù)既存在不動點，也存在次不動點

③當I≤α4?∣時，函數(shù)/(X)=Iogz(4'-α?2"+l)在［0,1］上僅有一個不動點和一個次不動點.

④不存在正整數(shù)根，使得函數(shù)/(x)=JeX-gX-加在區(qū)間［0,11上存在不動點,其中，正確結(jié)論的序

號為.

【答案】②③

【分析】舉反例偶函數(shù)/(X)=V，利用"不動點”、"次不動點”的定義即可判斷①；

對于②結(jié)合奇函數(shù)定義及性質(zhì)即可判斷;

對于③首先利用''不動點''定義得到4'-a-T+l=2'及利用"次不動點'’的定義得4'-4?2,+1=5，再

分離變量，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得?的取值范圍；

對于④利用“不動點”得到Je，-L-α=x,分離變量后得至∣Jα=e'-9-χ2,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點

問題即可求解.

【詳解】對于①:取函數(shù)/(X)=/(0)=0,。既是“X)的不動點，又是“X)的次不動點，故①

錯誤；

對于②:定義在R上的奇函數(shù)滿足/(0)=0,故②正確；

對于③:當Iog2(4'-a2+l)=x時，.?.4Λ-Ω?2Λ+1=2S即α=2jt+∕-L

令2<=f,fe［l,2］,.??ɑ=f+1-l在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，α=2'+/7在［0,1］上單調(diào)遞增，滿足

log2(4=a-2*+l)=x有唯一解;

當log2(4Λ-67?2V+1)=-X時，.?.4v-α?2x+l=!即α=z^?-?.

令2』，PL2］,.?.α=r+1T在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，α=2*+5-∕?在［0,1］上單調(diào)遞增，滿

足l°g∣(4'-a2+l)=x有唯一解；綜上l≤q≤］時函數(shù)/(x)在［0,1］上僅有一個不動點和一個次不動

點，故③正確；

對于④:假設(shè)函數(shù)/(X)=P呆=在區(qū)間［0,1］上存在不動點，則/(X)=X在［0,1］上有解，即

a=e*-；X-X2在［(),1］匕有解，令ZM(X)=e*-gx-χ2,則/(x)=e*-g-2x,再令“(x)=e*-g-2x,

則"'(x)=e*-2,令〃'(x)=0,解得X=In2,所以〃(x)在Qln2)上單調(diào)遞減，在(In2,l)上單調(diào)遞增，

所以"(x)mM="(ln2)=2-J-21n2=g-21n2=lne5-ln4=ln√7-ln√^>0,

所以機(x)>0在［0,1］上恒成立，所以MX)在［0/上單調(diào)遞增，

3

所以"(x)m?=m(0)=l,w(x)πm=%⑴=e-］,

a

所以實數(shù)。滿足IMaWe-授，存在正整數(shù)“=1滿足條件，故④錯誤：

故答案為：②③

【點睛】本題考查的是函數(shù)的新定義問題，試題以函數(shù)和方程的有關(guān)知識為背景設(shè)計問題，難度較

大.已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(I)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決：

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.在“IBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,J已知匕SinA=√L?cosB.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得A3C存在且唯一確定，求

,ABC的面積.

條件①：a=4,b=3；

條件②：c-a=?,b=x∕l;

條件③：c=3,COSC=?^?.

14

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(Db=]

(2)見解析

【分析】(1)由正弦定理的邊化角公式得出角8的大??；

(2)選①：由余弦定理以及判別式求解即可；選②：由余弦定理得出《J進而求出面積；選③：

由正弦定理得出b,進而由余弦定理得出即可得解..

【詳解】(1)因為bsin(=WacosB,所以SinBSinA=正SinACoS8,

又SinAN0,所以tanB=月.

因為Be(Om),所以B=1.

⑵選①：由余弦定理"=/+<?-24ccosB可得，9=l6+c2-8c×^.

即C2-4C+7=0,1?時A=16-28<0,無解，不合題意.

I7—∕^t2IC~_aC

選②：由余弦定理可得^~,整理得/+〃_6=0,

?c-a=ι

解得〃=2或a=—3(舍)，即c=3.

滿足一ABC存在且唯一確定，貝ILABC的面積為LCSinβ=l×2×3×-=—.

2222

選③：SinC=JlJ也T=返,由正弦定理可得b=*g=:7套=".

V114J14SinC3√21

14

由余弦定理A2=∕+c2-2αccos8可得，7=∕+9-3α,BPa2-3a+2=0.

解得α=l,α=2,

當α=l時，CoSC=工^~~7==--,不合題意;

2×1×√714

所以α=2,滿足A4?C存在且唯一確定，

則“A6C的面積為LaCSinB='x2χ3X且

2222

17.如圖，在四棱錐P—ASCD中，D4_L平面ABCr>,AB//CD,AB±AD,AB=I,

PA=AD=CD=I.E為棱PC上一點、,平面ABE與棱尸Q交于點尸.再從條件①、條件②這兩個條

件中選擇一個作為己知，完成下列兩個問題

(2)求二面角B-Q-P的余弦值.

條件①：BEHAF-,

條件②：BELPC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析

⑵立

7

【分析】(1)若選條件①，利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理即可得出四邊形AfiE尸為平行四邊形,

又AB=；C。即可得E尸為.PS的中位線即可得出證明；若選條件②，利用勾股定理可得E為PC

的中點，再利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理即可得8〃即，即可得出證明；

(2)建立以A為坐標原點的空間直角坐標系，求出平面BCT7的法向量為〃7=(2,-1,3),易知AF是

平面PS的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角與二面角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)選條件①：BE//AF

因為45∕∕CD,ABg平面PC。，CDU平面PC￡),

所以AB〃平面PCZ)

因為平面ABEFC平面PCD=EF,

所以A3〃所

又BEIIAF,所以四邊形ABE尸為平行四邊形.

所以AB〃所且AB=砂.

因為AB//C。且AB=LC￡>,所以EFHCD且EF=[cD.

所以EF為APCD的中位線.

所以尸為PO的中點.

選條件②：BE±PC.

因為PAL平面ABC￡>,48,AOU平面ABCD,所以％，AB,PAL4).

在RLPAB中，PB-^AB2+AP2=√5.

在直角梯形ABC。中，

由A3=l,AD=CD=2,可求得BC=石，所以依=BC.

因為5E"LPC,所以E為尸C的中點.

因為ABCD,ABa平面PC。，8U平面PCD,所以AB〃平面PCD.

因為平面ABEFC平面尸Cr)=EF,所以AB〃防.

所以CD〃所,

所以尸為PD的中點；

(2)由題可知因為∕?L平面ABCZ),所以Λ4?LAB,PA_LAD.

又ABL4),所以A&4ZAP兩兩相互垂直.

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-XyZ,

Z

Bx

則A(0,0,0),8(1,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),D(0,2,0),F(O,1,1).

LlLU

所以BC=(1,2,0),βF=(-1,1,1).AF=(OJJ).

ih?BC=O[x+2λy=0,

設(shè)平面BCF的法向量為M=(X,y,z),則，g∣Ja

m?BF=0[-x+?+Z=O.

令y=T,貝IJX=2,z=3.于是質(zhì)=(2,T,3).

因為AB-Z平面PA￡),且A8〃C￡),所以C￡>_L平面尸Ar>,

又AFU平面240,所以AF_LC￡>.

又∕?=AD,且尸為PD的中點，所以AFl.PD.CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

所以AFJ_平面Pa)，所以AF是平面PC。的一個法向量.

山題設(shè)，二面角B-FC-P的平面角為銳角,

所以二面角8-FC-P的余弦值為五.

18.網(wǎng)購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對本小區(qū)三月份參與網(wǎng)購生鮮蔬菜

的家庭的網(wǎng)購次數(shù)進行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別

記為A組和B組，這20戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜的次數(shù)如下圖：

/組

98

8753

478

359

假設(shè)用頻率估計概率，且各戶網(wǎng)購生鮮蔬菜的情況互不影響?

(1)從一單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20

的概率；

(2)從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜

次數(shù)大于20的戶數(shù)為X,估計X的數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)從A組和B組中分別隨機抽取2戶家庭，記。為A組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)

大于20的戶數(shù)，乙為8組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，比較方差

。信)與。值)的大小.(結(jié)論不要求證明)

【答案】⑴、3

(2)1

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；

(2)由題可知，X的可能取值為0,1,2,再分別求出對應(yīng)的概率，由期望公式即可求出;

(3)根據(jù)方差公式計算可知,D(?)=D(?).

【詳解】(1)設(shè)“該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20”為事件C,在A組10戶中超過20次的有3

3

戶，由樣本頻率估計總體概率，則P(C)=三.

(2)由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網(wǎng)購家庭隨機抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次

37

概率為本二單元參與網(wǎng)購家庭隨機抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為木，X的可能

取值為0,1,2,所以,

P(X=O)=I得?'P(X=D4“729

x1+1X—=—，

-??-?1050

3721212921

P(χ=2)=-×-=——,E(X)=Ox——÷1×-+2×-=1.

101010010050100

(3)依題可知，3的可能取值為0，1，2,且芻，么服從超幾何分布,

P侑=1)=等='，^.=2)=f-=?

*=°)=3W'b-zl()??jo

Pe=O)=署=［，2?=1)=等=(C_7

P?=2)=C^=15

jo??C∣0??

3377

因為EK)=2x而=1,E(?)=2×-=-,所以,

28

75

鶴)=所以，D(?)=D(?2).

19.已知/(x)=；x2-In(X+1)+Or(αeR).

⑴當a=2時，求函數(shù)”x)在點(0,0)處的切線方程;

(2)求證：??2+x≥ln(x+l)；

⑶若/(x)≥0在Xwo,4w)恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(I)V=X

(2)證明見解析

⑶[L+∞)

【分析】(I)當a=2時，求出了'(O)的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；

(2)當α=l時，利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)min=f(0)=0,即可證得結(jié)論成立；

(3)分析可知對任意的x≥0,/(Λ)≥∕(0)=0,對實數(shù)。的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函

數(shù)f(x)在[0,+e)上的單調(diào)性，驗證/(x)≥0對任意的x≥0能否恒成立，綜合可得出實數(shù)。的取值范

圍.

【詳解】(1)解：Ilja=2時，?(?)=—A,^—Jn(x+1)+2x,則/'(x)=x------+2,

則A。)=。，r(o)?i,

所以，函數(shù)/(χ)在點(0,0)處的切線方程為y=x.

(2)解：當。=1時，/(x)=∣√+x-ln(x+l),該函數(shù)的定義域為(T,+∞),

則rα)=χ+ι--L=(*+ι)τ=χ(*+2),

v,x+lx+lx+1

當T<x<0時,f'(x)<O,此時函數(shù)"x)單調(diào)遞減,

當X>o時，∕qχ)>o,此時函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

所以，/(x)>∕(0)=0,即gχ2+χ≥in(χ+l).

(3)解：/(x)???2+αx-ln(x+l),則尸(X)=X+”——!?,??(O)=0,

由題意可知，對任意的x≥0,/(x)≥∕(0)=0.

令g(x)=x+α-^j,其中x≥0,則g，(X)=I+(,+］1>0,

所以，函數(shù)g(x)在［。,+8)上單調(diào)遞增，所以，g(x)mjιι=g⑼=α-l.

①當α-l≥0時,即當時,∕,(x)>∕,(0)=α-l≥0,

此時函數(shù)/(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

故當x≥0時,/(x)≥∕(0)=0,合乎題意；

②當a—1<0時，即當a<1時，由r(x)=0可得X+”=占，即d+(α+l)x+α-l=0,

此時A=(α+l)2-4(α-l)=∕-2α+5>0,

解得X=2α+5,X=-(。+1)+LJ2α+5,則不<左，

1222

由書達定理可得Xι??=α-l<0,必有看<0<々，

當0<x<W時，Γ(x)<O,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，則/(Λ2)</(O)=0,不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［l,+∞).

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(χ)>g(χ)(或/(χ)<g(χ))轉(zhuǎn)化為證明“X)-g(x)>O(或

/(x)-g(x)<O),進而構(gòu)造輔助函數(shù)MX)=/(x)-g(x);

(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮：二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

22

20.已知橢圓C:2+京=im>∕7>0),點A((U)為橢圓C的上頂點，設(shè)直線/過點E(TO)且與橢

圓C交于P,Q兩點，點只。不與C的頂點重合，當尸X軸時，IPQI=

(1)求橢圓C的方程:

(2)設(shè)直線A2A。與直線x=3的交點分別為AAN,求IMNl的取值范圍.

【答案】⑴二+產(chǎn)=1

4

(2)￥，3卜(3，+8)

【分析】(1)利用橢圓上的點求橢圓方程；

(2)分類討論，設(shè)直線/的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，設(shè)P,Q兩點坐標，得直線4RA。的方程,

得M、N兩點的坐標，借助韋達定理和二次函數(shù)的性質(zhì)，求解IMM的取值范圍.

【詳解】(1)點4(0,1)為橢圓C的上頂點，；.6=1,

當尸QLX軸時，點P,。關(guān)于X軸對稱，不妨設(shè)點尸在X軸上方，

又因為此時IPQI=G,點E(TO)在線段PQ上，所以，點P坐標為\,日),

13

故-?+==l,解得α=2,

a4

所以橢圓C的方程為三+y2=l.

4'

(2)當直線/不存在斜率時，則直線/的方程為x=-l,

不妨設(shè)點P在X軸上方，Q在X軸下方，

則(闈，2卜,制，

所以，直線AP的方程為y=l-?X+1,當χ=3時，解得點M的縱坐標為yιw=4-±叵，

k/2

同理，解得點N的縱坐標為％=4+孚，

所以∣Λ17V∣=M—洞=3√5.

當直線/存在斜率時，設(shè)其方程為y=Mχ+l),點R。與橢圓C的頂點不重合，則ZKO且女#±1,

y=R(x+l)

由M消y并整理得,(1+4?2)X2+8?2X+4?2-4=0,易得△>(),

——+y=l

14

設(shè)P(XI，，1)，。(均％)，則?i+x2=]+必2,J"?=]+二2

xχ2

lι-2∣=y∣(xl+x2)-4xlx2=4—

y.—l

又直線AP的方程為?=+1,

當x=3時，解得點M的縱坐標為W=3（/二1）+]=N+3”-3:

王演

同理，解得點N的縱坐標為%=N也1）+1=&+3%-3,

MX?

x∣+??j—3%+3%—3

所以，IMM=M-y7J=

,

(xlx2+3>1X2-3X2)-(x2x1+3xiy2-3x1)3∣1-A?∣∣x1-x2?

2

3,I4√1+3ΛJ______I______

=即一⑷1+4〃=3/+3%2=31+37

4無2-4∣Λ+1∣?(∕c+l)2

l+4p^

∣3(k+l)2-6(k+l)+4Γ~46

=T07i?=√(Γκi7-二

令f=J;,貝∣Jr≠1目JH1,

+1≥苧且PVfiVIW3.

所以IMNl=344/-6/+3=3.

綜上，IMVl的取值范圍是

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達定理解決

相應(yīng)關(guān)系，其中的計算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.

21.對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A嗎、%、L、氏，定義變換7；,刀將數(shù)列A變換成數(shù)列工（可:〃、

q-1、a2-KL?α,,-1.對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列8訥、%、L、bm,定義變換心，1將

數(shù)列8各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列（（3）；又定義

S（B）=2佃+2?++?）+?+?++?.設(shè)