3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質（精講）（解析版）

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（精講）考點一離心率與漸近線【例1-1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為雙曲線，所以，，所以，的離心率，故B，C，D錯誤.故選：A.【例1-2】（2022·高二課時練習）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知：該雙曲線的方程為故選：A【例1-3】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）設雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為：，又；故選：A.【例1-4】（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中學?？计谀┰O為雙曲線C：的左、右焦點，過左焦點的直線與在第一象限相交于一點P，若，且直線傾斜角的余弦值為，則的離心率為．【答案】【解析】設直線的傾斜角為α，則，由P在第一象限內，且，則，∴，由余弦定理可得，整理得，則，解得或（舍去）.

故答案為：【一隅三反】1．（2023·北京大興·校考三模）實軸長和虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】依題意可得等軸雙曲線中，則，所以離心率.故選：A2．（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎行脑谠c，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設雙曲線的方程為，因為，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.3．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習）（多選）已知點是雙曲線上任意一點，，是的左、右焦點，則下列結論正確的是（

）A． B．的離心率為C． D．的漸近線方程為【答案】AB【解析】在中，，，，，A正確；的離心率，B正確；由雙曲線的定義或，C錯誤；的漸近線方程為，即，D錯誤.故選：AB．4．（2023秋·高二課時練習）如果雙曲線右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，因為，F(xiàn)點坐標為，所以，又A在右支上且不在頂點處，所以，所以.故答案為：5．（2023秋·河南許昌·高二禹州市高級中學?？计谀┻^雙曲線右焦點作一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于兩點，為坐標原點，，的平分線交軸于點，且到漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為．【答案】/【解析】雙曲線的漸近線如下圖所示：由題意可知三角形OAB的內切圓圓心為M，過點M分別作于點N，于點T，由知四邊形為正方形，焦點到漸近線的距離為，得，又，所以，所以，所以，所以.故答案為：.

6．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，，直線過點與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點．若是的中點，且，則此雙曲線的離心率為（

）

A． B．2 C． D．【答案】B【解析】因為，則，所以是直角三角形，又因為是的中點，所以是直角斜邊中線，因此，而點是線段的中點，所以是等腰三角形，因此，由雙曲線漸近線的對稱性可知中：，于是有：，因為雙曲線漸近線的方程為：，因此有：，故選：B.考點二直線與雙曲線的位置關系【例2-1】（2023廣東潮州）討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．【答案】答案見解析【解析】聯(lián)立方程組，整理得，當時，即時，具體為：當時，；當時，；此時直線與雙曲線有一個交點；當時，即時，可得，由，即，可得且，此時直線與雙曲線有兩個交點；由，即，可得，此時直線與雙曲線只有一個交點；由，即，可得或，此時直線與雙曲線沒有交點；綜上可得：當時，直線與雙曲線有兩個公共點；當或時，直線與雙曲線有一個公共點；當時，直線與雙曲線沒有公共點.【例2-2】（2023·湖北武漢）直線與雙曲線的左支交于不同兩點，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由，消去整理得，因為該方程有兩個不等且小于的根，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【例2-3】（2022·全國·高三專題練習）求經(jīng)過點的雙曲線：的切線的方程．【答案】【解析】若直線斜率不存在，過點的直線方程為：，代入可得，與雙曲線有兩個交點，不是切線；若直線斜率存在，設的方程是：，即：，將它代入方程整理得：，由已知，即，解得：，故所求切線的方程為：，即：．【一隅三反】1．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點，則t的取值范圍是．【答案】【解析】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點，則直線與雙曲線的兩個交點橫坐標均為正，且不等，于是，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：

2．（2022·全國·高三專題練習）設雙曲線：上點．求雙曲線在點處的切線的方程．【答案】.【解析】由可得，根據(jù)題目條件，可知求曲線在點P處的切線的方程，∴曲線在點P處的切線斜率為∴曲線在點P處的切線方程為化簡得∴雙曲線C在點P處的切線的方程為．3．（2023秋·高二課時練習）已知雙曲線，討論直線與這條雙曲線的交點的個數(shù)．【答案】答案見解析【解析】由方程組，消去，可得（*），（i）當，即時，方程（*）為，此時直線與雙曲線僅有一個交點．（ii）當，即時，，①若，即且時，直線與雙曲線有兩個交點．②若，即時，直線與雙曲線只有一個交點．③若，即或時，直線與雙曲線沒有交點．由以上討論可知，當且時，直線與雙曲線有兩個交點；當或時，直線與雙曲線只有一個交點；當或時，直線與雙曲線沒有交點．考點三弦長及其應用【例3-1】（2023·江蘇南京）如圖，已知圓，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，設點M的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程：(2)過點A作傾斜角為的直線l交軌跡E于B，D兩點，求|BD|的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得在的延長線上，，在的延長線上，，軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線,軌跡的方程為.（2）設切線的方程為，代入，消元得.設兩點的坐標分別為，則所以.【例3-2】（2023秋·高二課時練習）已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點，點在雙曲線上．求：(1)雙曲線的方程；(2)；(3)的面積．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因為，所以可設雙曲線的方程為．因為過點，所以，即，所以雙曲線的方程為．（2）由（1）可得，所以，所以，因為點在雙曲線上，所以，即，所以．（3）的底，由（2）知，所以的高，所以．

【一隅三反】1．（2023春·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知，，又，則，所以雙曲線方程為.（2）由，得，則，設，，則，，所以.2．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線實軸長為2，左、右兩頂點分別為，，上的一點分別與，連線的斜率之積為3．(1)求的方程；(2)經(jīng)過點的直線分別與的左、右支交于M，N兩點，為坐標原點，的面積為，求的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題，不妨設點，，的方程為．因為在上，則，即有，則分別與，連線的斜率之積為，所以的方程為．

（2）由題知，直線的斜率存在，設為，則的方程為，聯(lián)立方程組消去，得，令，，則，因為直線分別交的左、右支于M，N兩點，則，，則，的面積，則，解得或（舍去），則，所以的方程為．

3．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中?？计谥校┮阎p曲線，及直線.(1)若與有且只有一個公共點，求實數(shù)的值；(2)若與的左右兩支分別交于A、B兩點，且的面積為，求實數(shù)的值.【答案】(1)或(2)【解析】（1）由，消去，得①，當，即時，方程①有一解，與僅有一個交點（與漸近線平行時）.當，得與也只有一個交點（與雙曲線相切時），綜上得的取值是或；（2）設交點，由，消去，得，首先由，得且，并且，又因為與的左右兩支分別交于A?B兩點，所以，即，解得，故.因為直線l與y軸交于點，所以，故.解得或.因為，所以.考點四中點弦及其應用【例4-1】（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則有，，兩式相減得到，又線段的中點坐標為，所以，得到，所以的斜率為.故選：B.【例4-2】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考期中）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗此時與雙曲線有兩個交點.故選：A【例4-3】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為直線，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點坐標為．設，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．故選：D【一隅三反】1．（2022秋·高二課時練習）已知雙曲線過點作一直線交雙曲線于A、B兩點，并使P為AB的中點，則直線AB的斜率為（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【解析】設，，則有與，兩式相減得：，即，又因為為AB的中點，所以，得到，即直線AB的斜率為6.故選：D.2．（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谀┮阎p曲線，過點作直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，且，由得：，即，為中點，，，，直線方程為：，即；由得：，則，滿足題意；直線的方程為：.故選：A.3．（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過雙曲線內一點且斜率為的直線交雙曲線于兩點，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，且，又因為，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.考點五雙曲線的實際應用【例5-1】（2023春·河南商丘·高二虞城縣高級中學校聯(lián)考開學考試）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當拱頂M到水面的距離為4米時，水面寬AB為米，則當水面寬度為米時，拱頂M到水面的距離為（

）A．4米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】根據(jù)題意：，，故，解得，即，當水面寬度為米時，即時，，拱頂M到水面的距離為.故選：D【例5-2】（2023·高二課時練習）人們在進行工業(yè)設計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質．如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．已知雙曲線的方程為，則當入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，，．設，則．所以，解得（舍去），所以，，，所以．故選：D．【一隅三反】1（2022秋·高二課時練習）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m【答案】A【解析】如圖，

以接報中心為原點，正東、正北方向為軸、軸正向，建立直角坐標系．設分別是西、東、北觀測點，則設為巨響為生點，由同時聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點比點晚聽到爆炸聲，故，由雙曲線定義知點在以為焦點的雙曲線左支上，依題意得故雙曲線方程為，將代入上式，得，即故.故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北距中心處．故選：A.2．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？茧A段練習）人利用雙耳可以判定聲源在什么方位，聽覺的這種特性叫做雙耳定位效應（簡稱雙耳效應）．根據(jù)雙耳的時差，可以確定聲源必在以雙耳為左右焦點的一條雙曲線上．又若聲源所在的雙曲線與它的漸近線趨近，此時聲源對于測聽者的方向偏角，就近似地由雙曲線的漸近線與虛軸所在直線的夾角來確定．一般地，甲測聽者的左右兩耳相距約為，聲源的聲波傳及甲的左、右兩耳的時間差為，聲速為，則聲源對于甲的方向偏角的正弦值約為（

）A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05【答案】D【解析】設兩耳所在雙曲線的實軸長為，焦距為，虛軸長為，則，，由題意，所以，所以．故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習）3D打印是快速成型技術的一種，通過逐層打印的方式來構造物體.如