二項(xiàng)分布與超幾何分布（原卷版）

8.2.3&8.2.4二項(xiàng)分布與超幾何分布一、n重伯努利試驗(yàn)1、伯努利試驗(yàn)：我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；2、定義：將一個(gè)伯努利實(shí)驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利實(shí)驗(yàn)；3、特征：（1）同一個(gè)伯努利實(shí)驗(yàn)重復(fù)做n次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。二、二項(xiàng)分布1、二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為，.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～，且有，.注：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計(jì)算公式分別是與.2、確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟（1）明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；（2）確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；（3）設(shè)的次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則3、二項(xiàng)分布的增減性與最大值記，則當(dāng)時(shí)，，pk遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.故最大值在時(shí)取得（此時(shí)，兩項(xiàng)均為最大值；若非整數(shù)，則k取的整數(shù)部分時(shí)，最大且唯一）.三、超幾何分布定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為，，，，，.其中n，N，，，，，.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布..題型一n重伯努利試驗(yàn)【例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．設(shè)為重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則B．在重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響C．對(duì)于重伯努利試驗(yàn)，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同D．如果在次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在重伯努利試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率，【變式1-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是（）A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)【變式1-2】（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若事件A“試驗(yàn)成功”的概率為，則事件A在第k次實(shí)驗(yàn)中才首次發(fā)生的概率為B．集合A內(nèi)的元素個(gè)數(shù)不確定C．用X表示事件B：“得到”發(fā)生的次數(shù)，p為事件B發(fā)生的概率，則D．該n重伯努利實(shí)驗(yàn)共做了n次互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)【變式1-3】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有3個(gè)小組，每組3人，每人投籃1次，投中的概率均為，若1個(gè)小組中至少有1人投中，則稱該組為“成功組”，則這3個(gè)小組中恰有1個(gè)“成功組”的概率為（）A．B．C．D．題型二服從二項(xiàng)分布的概率最值【例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若X～B，則使P(X＝k)最大的k的值是（）A．2B．3C．2或3D．4【變式2-1】（2022春·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（）A．7B．8C．9D．10【變式2-2】（2022春·廣東云浮·高二統(tǒng)考期末）已知，若，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式2-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某人射擊一發(fā)子彈的命中率為，現(xiàn)他射擊19發(fā)子彈，理論和實(shí)踐都表明，這19發(fā)子彈中命中目標(biāo)的子彈數(shù)n的概率如下表，那么在他射擊完19發(fā)子彈后，其中擊中目標(biāo)的子彈數(shù)最大可能是（）n01…k…19……A．14發(fā)B．15發(fā)C．16發(fā)D．15或16發(fā)題型三求二項(xiàng)分布的分布列【例3】（2022春·福建福州·高二福州三中?？计谀榱吮Ｕ衔覈?guó)民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則等于（

）A．B．C．D．【變式3-1】（2022秋·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）從《唐宮夜宴》火爆破圈開始，河南電視臺(tái)推出的“中國(guó)節(jié)日”系列節(jié)目被年輕人列入必看節(jié)目之一.從某平臺(tái)“中國(guó)節(jié)日”系列節(jié)目的粉絲與游客（未注冊(cè)的訪客）中各隨機(jī)抽取200人，統(tǒng)計(jì)他們的年齡（單位：歲，年齡都在內(nèi)），并按照，，，，分組，得到粉絲年齡頻率分布直方圖及游客年齡頻數(shù)分布表如下所示.年齡/歲頻數(shù)1060504535（1）估計(jì)粉絲年齡的平均數(shù)及游客年齡的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）以頻率估計(jì)概率，從該平臺(tái)“中國(guó)節(jié)日”系列節(jié)目的所有粉絲與游客中各隨機(jī)抽取2人，記這4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列與期望.【變式3-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）一個(gè)暗箱里放著6個(gè)黑球?4個(gè)白球.（1）依次取出3個(gè)球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；（2）有放回地依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)的分布列和均值.【變式3-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是．（1）設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；（2）設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布；（3）求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．題型四求超幾何分布的概率【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則（）A．B．C．D．【變式4-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，記上珠的個(gè)數(shù)為X，則（）A．B．C．D．【變式4-2】（2022春·陜西延安·高二?？茧A段練習(xí)）從含有7件次品的20件產(chǎn)品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品個(gè)數(shù)，則表示（

）A．B．C．D．【變式4-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）在一個(gè)袋中裝有大小一樣的6個(gè)豆沙粽，4個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取4個(gè)粽子，設(shè)取出的4個(gè)粽子中成肉粽的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布D．題型五求超幾何分布的分布列【例5】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某校高一、高二的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生．推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．（1）求高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．【變式5-1】（2022春·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中共中央宣傳部主管，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)于2019年1月1日在全國(guó)正式上線．該平臺(tái)首次實(shí)現(xiàn)了“有組織、有管理、有指導(dǎo)、有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了互聯(lián)網(wǎng)條件下廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求．某市為了解居民每天關(guān)注“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)的情況，隨機(jī)抽取了200位居民，對(duì)他們每天關(guān)注“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻數(shù)分布表：關(guān)注時(shí)間/小時(shí)頻數(shù)102545505020（1）根據(jù)頻數(shù)分布表估計(jì)這200位居民每天關(guān)注“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)的平均時(shí)間；（2）為引導(dǎo)廣大居民積極利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP進(jìn)行理論學(xué)習(xí)，該市有關(guān)部門舉辦學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，從學(xué)習(xí)時(shí)間在和的居民中按分層抽樣的方法抽取7人參加交流會(huì)，已知這7人中有4名黨員，若需要從這7人中選出4人分享學(xué)習(xí)的心得體會(huì)，設(shè)選出的黨員的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式5-2】（2021春·天津薊州·高二?？计谀樘岣咛旖蚴械恼w旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識(shí)競(jìng)賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會(huì)，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游4名，其中高級(jí)導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨機(jī)選擇4人參加比賽.（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名高級(jí)導(dǎo)游，且這2名高級(jí)導(dǎo)游來自同一個(gè)旅游協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中高級(jí)導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式5-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）每年的4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6