（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題6 數(shù)列 44 數(shù)列的通項(xiàng)及求法 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)(1)求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法；(2)等差、等比數(shù)列知識(shí)的深化應(yīng)用.訓(xùn)練題型(1)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng).解題策略求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)構(gòu)造法.1．已知a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，則an＝________.2．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx，數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1＝1且an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________.7．(2015·廣東揭陽一中上學(xué)期期中)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)為________．8．已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，a2>a1，|an＋1－an|＝2n，若數(shù)列{a2n－1}單調(diào)遞減，數(shù)列{a2n}單調(diào)遞增，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值；(2)若p＝eq\f(1,2)，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．答案解析1.eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))解析由題意得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,3n－1)＝eq\f(1－\f(1,3n),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))．2.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))3．(－2)n－1＋1解析由已知可得an＋1－1＝－2(an－1)，所以數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為－2，故an－1＝(－2)n－1，即an＝(－2)n－1＋1.4．2eq\f(n2－n＋2,2)解析由題意得eq\f(an＋1,an)＝2n，所以eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝22，eq\f(a4,a3)＝23，…，eq\f(an,an－1)＝2n－1，累乘得an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝2eq\f(n2－n＋2,2).5.eq\f(1,n)解析由題意得f′(x)＝eq\f(1,x)，從而an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)＝eq\f(1,\f(1,an)＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以數(shù)列{eq\f(1,an)}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故eq\f(1,an)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq\f(1,n).6.eq\f(1,2)解析由已知得an＝1－eq\f(1,an＋1)，a8＝2，所以a7＝1－eq\f(1,a8)＝eq\f(1,2)，a6＝1－eq\f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq\f(1,a6)＝2，a4＝1－eq\f(1,a5)＝eq\f(1,2)，a3＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a2＝1－eq\f(1,a3)＝2，a1＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2).7．a(chǎn)n＝n(n∈N*)解析∵nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)，①∴當(dāng)n≥2時(shí)，(n－1)an＝2(a1＋a2＋…＋an－1)，②①－②得nan＋1－(n－1)an＝2an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(2,1)·…·eq\f(n,n－1)＝n.當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論也成立．∴an＝n.8．(3n－1)×2n－1解析在an＋1＝2an＋3×2n的兩邊同時(shí)除以2n＋1，得eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,2n)＋eq\f(3,2)，即eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,2)，所以數(shù)列{eq\f(an,2n)}是以eq\f(a1,2)＝1為首項(xiàng)、eq\f(3,2)為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)n－eq\f(1,2)，所以an＝(eq\f(3,2)n－eq\f(1,2))×2n＝(3n－1)×2n－1.9.eq\f(－2n－1,3)解析由題意得a1＝－1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a6＝21，……，然后從數(shù)字的變化上找規(guī)律，得an＋1－an＝(－1)n＋12n，則利用累加法即得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n2n－1＝eq\f(－1[1－－2n],1－－2)＝eq\f(－2n－1,3).10．解(1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝eq\f(1,3)或p＝0.當(dāng)p＝0時(shí)，an＋1＝an，這與{an}是遞增數(shù)列矛盾，故p＝eq\f(1,3).(2)由于{a2n－1}是遞增數(shù)列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①因?yàn)閑q\f(1,22n)<eq\f(1,22n－1)，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝(eq\f(1,2))2n－1＝eq\f(－12n,22n－1).③因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－(eq\f(1,2))2n＝eq\f(－12n＋1,22n).④由③④可知，an＋1－an＝eq\f(－1n＋1,2n).于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(