（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第5講 空間向量及其運(yùn)算練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1.空間直角坐標(biāo)系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是________.解析由題意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3，3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))沒有公共點(diǎn).∴AB∥CD.答案平行2.有以下命題：①如果向量a，b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么a，b的關(guān)系是共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空間的一個(gè)基底，則向量a＋b，a－b，c也是空間的一個(gè)基底.其中所有正確命題的序號(hào)是________.解析對(duì)①易知a，b與空間任何向量共面，所以a，b共線，①正確；②顯然正確；對(duì)③可結(jié)合平行六面體說明其正確性.答案①②③3.(2015·濟(jì)南月考)O為空間任意一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，P四點(diǎn)________(填序號(hào)).①一定不共面；②一定共面；③不一定共面；④無法判斷.解析∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1.∴P，A，B，C四點(diǎn)共面.答案②4.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ的值為________.解析由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案25.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于________.解析∵a，b，c共面，且顯然a，b不共線，∴c＝xa＋yb，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2x－y，①,5＝－x＋4y，②,λ＝3x－2y，③))由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，))代入③得λ＝eq\f(65,7).答案eq\f(65,7)6.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為________.解析如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.答案eq\f(1,4)a27.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________.解析由題意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝eq\f(b·c,|b|·|c|)＝eq\f(－18,12×\r(1＋4＋4))＝－eq\f(1,2)，∴〈b，c〉＝120°，∴兩直線的夾角為60°.答案60°8.(2016·徐州模擬)已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2，3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，1，2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值時(shí)，eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐標(biāo)是__________.解析∵點(diǎn)Q在直線OP上，∴設(shè)點(diǎn)Q(λ，λ，2λ)，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，即當(dāng)λ＝eq\f(4,3)時(shí)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(2,3).此時(shí)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))二、解答題9.已知空間中三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c.(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝eq\r(（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(（－1）2＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，即向量a與向量b的夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10).10.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，(1)試證：A1，G，C三點(diǎn)共線；(2)試證：A1C⊥平面BC1D.證明(1)eq\o(CA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，可以證明eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA1,\s\up6(→))，∴eq\o(CG,\s\up6(→))∥eq\o(CA1,\s\up6(→))，又eq\o(CG,\s\up6(→))與eq\o(CA1,\s\up6(→))有公共點(diǎn)C，即A1，G，C三點(diǎn)共線.(2)設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵eq\o(CA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝c－a，∴eq\o(CA1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此eq\o(CA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又BD與BC1是平面BC1D內(nèi)的兩相交直線，故A1C⊥平面BC1D.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.在四面體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示).解析eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)×(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c12.已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)是________.解析設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為x，y，z.則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①因?yàn)閜在{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，∴p＝4a＋2b＋3c，②由①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，,z＝3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，,z＝3，))即p在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(3，1，3).答案(3，1，3)13.(2016·北京西城區(qū)模擬)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，則eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范圍是________.解析由題意，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0，1]，eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1－λ∈[0，1].因此eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范圍是[0，1].答案[0，1]14.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)EG的長(zhǎng)；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值.解設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4)，(2)eq\o(EG,\s