2023年上海16區(qū)(浦東徐匯楊浦閔行等)數(shù)學(xué)高考二模匯編4 三角函數(shù)與解三角形含詳解

專題04三角函數(shù)與解三角形

一、填空題

1.（崇明）已知函數(shù)y=sin（2g+e）,3>0）的最小正周期為1,則⑷=.

-H

2.（楊浦）ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊是“、b、C,若α=3,b=rR,ZΛ=-,則NB=

3.（楊浦）若存在實(shí)數(shù)/，使函數(shù)/（x）=COS>0）在》<兀,3兀］上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則0的

取值范圍為

AΛ-C

4.（寶山）ZiABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若QSin-----=?sinA,則5=

2

2122

5.（奉賢）ZVWC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J若Z?ABC的面積為十"JC-,

4

則C=?

6.（奉賢）已知y=∕（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)XNO時(shí)，/（）=-+—ln（x+l）+-cos-x+α,則y=∕（x）的駐

Λ24π3

點(diǎn)為.

7.（虹口）已知X是第二象限的角，且cos（工-X）=』,則tan（x+^）=_____.

254

8.（虹口）在Z?ABC中，已知AB=2,AC=2√7,ZABC=12（）。，則8C=.

9.（黃埔）函數(shù)y=4cos2x+3的最小正周期為.

10.（黃埔）若函數(shù)y=f（x）的圖像可由函數(shù)y=3sin2x-GCOS2x的圖像向右平移夕（0<9<π）個(gè)單位所得到，

且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［0,夕上是嚴(yán)格減函數(shù)，則φ=.

11.（嘉定）函數(shù)y=sin2x的最小正周期為.

12.（嘉定）如圖，線段43的長(zhǎng)為8,點(diǎn)C在線段AS上，AC=2.點(diǎn)P為線段CB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A繞著點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).若它們恰重合于點(diǎn)O,則△CDP的面積的最大值為.

13.（金山）若函數(shù)y=sin［ftλx-?∣）（常數(shù)tυ>O）在區(qū)間（0,π）沒有最值，則0的取值范圍是

14.（浦東新區(qū)）在aABC中，角A、8、C的對(duì)邊分別記為a、b、c,若5。cosA=Z?CoSC+c8S8，則si∏2A=.

15.（浦東新區(qū)）已知G∈RG>0,函數(shù)y=V5sin3x-CoS3；在區(qū)間。2］上有唯一的最小值-2,則。的取值范圍

為.

16.(靜安)已知&e(0'%),且3cos2α-8COSa=5,則COSa=.

17.(靜安)已知C中，SilVJ=3sinAos8,且/1后2,則C面積的最大值為.

18.(普陀)函數(shù)，=852%-5畝2%的最小正周期為.

34371

19.(普陀)若乃＜6＜—且Sine=—,則tan(6--)—.

254

20.(普陀)設(shè)AABC的三邊a,"c滿足a:》：￠=7:5:3,且SM(C=I5g,則此三角形最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為?

21.(青浦)如圖所示，要在兩山頂M、N間建一索道，需測(cè)量?jī)缮巾斢?、N間的距離.已知兩山的海拔高度分別是

MC=100石米和NB=50√2米，現(xiàn)選擇海平面上一點(diǎn)A為觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角ZMAC=60,N

點(diǎn)的仰角NMA8=30以及NMAN=45，則MM等于米.

TT4

22.(松江)已知一＜Ov)，且COs，=——，則tan26=.

25

414

23.(松江)已知x∈(0,-),則——+—「的最小值為________.

2SirrXcosx

3TT

24.(徐匯)若角a的終邊過點(diǎn)P(4,-3),則sin(—+a)=

2

二、選擇題

25.(普陀)設(shè)＜υ＞0,若在區(qū)間[肛2])上存在〃且a＜。，使得sin(oa)+cos@/?)=2,則下列所給的值中

。只可能是()

(A)?(B)I(C)2(D)y

26.(奉賢)下列函數(shù)中，以兀為周期且在區(qū)間(],j上是嚴(yán)格增函數(shù)的是()

A./(x)=∣cos2x∣;B./(x)=∣sin2x∣：

C./(χ)=∣cosx∣；D./(x)=∣sinx∣?

27.(閔行)已知/(x)=COS2x—asinx,若存在正整數(shù)〃，使函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(0,〃4)內(nèi)有2023個(gè)零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。所有可能的值為()

(A)1(B)-1(C)O(D)1或一1

28.(靜安)摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首個(gè)懸臂式屋頂

摩天輪.摩天輪最高點(diǎn)離地面高度106米，轉(zhuǎn)盤直徑56米，輪上設(shè)置30個(gè)極具時(shí)尚感的4人轎艙，擁有360度

的絕佳視野.游客從離樓頂屋面最近的平臺(tái)位置進(jìn)入轎艙，開啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，分鐘后，游客距離地面的

高度為/1米，場(chǎng)=一2835（￡）+78.若在4/2時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則4+/2的最小值為（）

C.18D.24

29.（徐匯）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

I-XXXX

已知向量∏2=(2λ∕^cos-,-2sin-),n-(cos—,cos—),函數(shù)y=f(x)=m?n.

(1)設(shè)6E一萬'5'且/(O)=G+1,求6的值;

(2)在AABC中，AB=L/(C)=V3+1,且AABC的面積為坐，求sinA+sinB的值.

30.（青浦）（本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分）

2

已知函數(shù)y=/（X）的表達(dá)式為/（X）=√3sinx+^cos^x+^+cos

（1）求函數(shù)＞=/（x）的最小正周期及圖像的對(duì)稱軸的方程;

⑵求函數(shù)y=∕（x）在（θ,g］上的值域.

3L（松江）（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

在銳角AABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,且26SinA=&

（1）求角6；

（2）求COSA+cosB+cosCl的最大值.

32.（閔行）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為久b、c,已知SinA=Sin25,a=4,b=6.

（1）求COS8的值；

（2）求aABC的面積.

33.（金山）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在AABC中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知α=2√5,C=45o.

（1）若SinA=V5sin8,求c；

(2)若8—A=15°,求aABC的面積.

34?（嘉定）（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分

已知向量α=(sinx,l+cos2x),b=cos?,?,f(x)=a-b.

（1）求函數(shù)y=∕（x）的最大值及相應(yīng)X的值;

(2)在aABC中，角A為銳角，HA+B=-π,/(A)=1,BC=2,求邊AC的長(zhǎng).

12

35.（黃埔）（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

在aASC中，cosA=-A,coSB=?

135

（1）求SinC的值;

（2）若AB=4,求AAfiC的周長(zhǎng)和面積.

36.（奉賢）（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）

設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是Γ（x）.若存在常數(shù)俄（機(jī)∈R）,使得f（x+機(jī)）=-∕,（Λ）對(duì)一切尤恒成立,

那么稱函數(shù)y=/（x）具有性質(zhì)P（〃?）.

（1）求證：函數(shù)y=e*不具有性質(zhì)P（〃?）；

（2）判別函數(shù)y=Sinx是否具有性質(zhì)尸（W）.若具有求出機(jī)的取值集合；若不具有請(qǐng)說明理由.

37.（寶山）（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）

已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-λ∕3cos2Λ+^-.

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的方程/(x)-m=0在x∈0,|上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)〃2的取值范圍.

38.(崇明)在aABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B9。的對(duì)邊，m=(2a+c,b),〃=(COS民COSO,

m?n=O?

(1)求角8大小；

(2)設(shè)/(x)=2COSxSinI%+囚)-2sin2χsin8+2sinxcosxcos(A+C),當(dāng)x∈?,-時(shí)，求的最

小值及相應(yīng)的X.

39.(長(zhǎng)寧)(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分).

(1)求簡(jiǎn)諧振動(dòng)y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位0(ew[0,2∕r))；

(2)若函數(shù)y=sin；x+gcosx在區(qū)間(0,6)上有唯一的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)設(shè)α>0,f(x)=sinax-asinχf若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(0,萬)上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

專題04三角函數(shù)與解三角形

一、填空題

1.(崇明)已知函數(shù)y=sin(2g+o),3>0)的最小正周期為1,則⑷=.

【答案】π

【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期與角頻率的關(guān)系求解.

2TF

【詳解】T=—,依題意T=I,.?.<y=7；

2ω

故答案為：兀.

2.(楊浦)JlBe內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊是。、b、C,若α=3,b=瓜,ZA=-,則NB=

TT

【答案】-

4

【分析】利用正弦定理及大邊對(duì)大角即可求解.

【詳解】因?yàn)棣?3,h=?/e,NA=§,

r\/3

由正弦定理得./n人SinNAyl2及，

s?nZB=----------=--------=——

a32

所以/8=烏或乙δ=-.

44

由b<α,得NB<NA,

π

所以0</8<一，

3

所以NB=?.

4

故答案為：一.

4

3.(楊浦)若存在實(shí)數(shù)9,使函數(shù)/(x)=CoS?x+e)-；?〉0)在xe∣π,3π∣上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則0的

取值范圍為

Γ15)

【答案】

【分析】利用)'=cosx的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)/(X)的零點(diǎn)，再利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系

71-j兀-11TlC,兀?j

9+2E夕+2E且°+2E--φ+2lat,從而求出結(jié)果.

---------------------------------SZπ---------------------------------->Zπ

ωωωω

【詳解】因?yàn)?(x)=CoS?x+e)-；?〉0),由/(χ)=0,得到CoSwX+e)=g,

Tt71

所以ox+。=—+2E(攵∈Z)或GX+夕=---?~2kπ(k∈Z),

π“兀…

--φ+2kπ---φ+2kπ

所以X或

(Λ∈Z)%X=(Z∈Z)

ωω

又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)9,使函數(shù)AX）在X€［兀,3可上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以

7兀c,5πc,1lπCfπ_.2π10π

------9+2E------0+2Er--------φ+2kκ——0+2E

口------------------------≤2兀且J-----------------心---------->2π'即a?2兀且工→2兀,解得

ωωωωωω

1,5

-<ω<-.

33

故答案：—≤G<-

33

Δ

4.（寶山）ZXABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,若αsin^^=Z?SinA,則3二

2

答案:工

3

5.（奉賢）A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,C,若ZVWC的面積為"-+"2-?,

4

則C=?

答案一

4

6.（奉賢）已知y=∕（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥O時(shí)，/（χ）=^+-ln（x+l）+-cos-x+β,則y=∕（x）的駐

24π3

點(diǎn)為.

答案:±3

2

7.（虹口）已知X是第二象限的角，且COS（Jl?-x）=1,則tan（x+?）=.

答案」

7

8.（虹口）在aA8C中，已知AB=2,AC=2√LNABC=120。，貝∣J8C=.

答案：4

9.（黃埔）函數(shù)y=4cos2x+3的最小正周期為.

答案：π；

10.（黃埔）若函數(shù)y=?f（X）的圖像可由函數(shù)y=3sin2x-逐cos2x的圖像向右平移S（O<夕<兀）個(gè)單位所得至Ij,

且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［0,?∣］上是嚴(yán)格減函數(shù)，則°=.

答案：目

3

11?（嘉定）函數(shù)y=sin2x的最小正周期為.

答案：π

12.（嘉定）如圖，線段AB的長(zhǎng)為8,點(diǎn)C在線段AB上，AC=2.點(diǎn)尸為線段CB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A繞著點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).若它們恰重合于點(diǎn)。，則△COP的面積的最大值為.

答案：20

13.（金山）若函數(shù)y=sin0x-］∣（常數(shù)。＞0）在區(qū)間（0,兀）沒有最值，則。的取值范圍是

答案：（o,|

14.（浦東新區(qū)）在AABC中，角A、8、C的對(duì)邊分別記為a、b、c,若54cosA="CoSC+ccos3,則sin2A

答案：誓

15.（浦東新區(qū)）已知G∈R,3＞0,函數(shù)y=逐SinS:-CoSGX在區(qū)間［0,2］上有唯一的最小值-2,則0的取值范圍

為.

答案:［史,也）

66

16.（靜安）已知,e（0,ι）,且3cos2a-8cosα=5,則COSa=.

答案?-∣.

17.（靜安）己知△?!a'中，sin^=3sinCcosΛ且/廬2,則寬面積的最大值為.

答案：3

18.（普陀）函數(shù)y=cos?%-sin2龍的最小正周期為.

答案：兀

19.（普陀）若）Ce＜上且Sine=—,則tan（6-匹）=.

254

答案：-；

20.（普陀）設(shè)AABC的三邊α,b,c滿足ɑ:":￠=7:5:3,且SM（C=I56,則此三角形最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為?

答案：14

21.（青浦）如圖所示，要在兩山頂〃、N間建一索道，需測(cè)量?jī)缮巾擜AN間的距離.已知兩山的海拔高度分別是

MC=100√3米和NB=50√2米，現(xiàn)選擇海平面上一點(diǎn)A為觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角ZMAC=60,/V

點(diǎn)的仰角/248=30以及NMAN=45,則MN等于米.

答案：100&；

Ji4

22.(松江)已知一＜，＜乃，且COSe=—,則ta∩26=.

25

…24

答案：——

Ji14

23.(松江)已知Xe(O,上)，則——+——的最小值為________.

2sinXcosx

答案：9

3萬

24.(徐匯)若角a的終邊過點(diǎn)尸(4,—3),則Sin(W+。)=.

答案：

5

二、選擇題

25.(普陀)設(shè)。＞0,若在區(qū)間［%,2%)上存在α,b且α＜Z?,使得Sin(O＞α)+cos(tυb)=2,則下列所給的值中

。只可能是()

(A)?(B)I(C)2(D)y

答案：D

26.(奉賢)下列函數(shù)中，以兀為周期且在區(qū)間j上是嚴(yán)格增函數(shù)的是()

A./(Λ)=∣COS2X∣：B./(X)=卜in2?φ

C./(x)=|CoSXkD./(x)=∣sinx∣?

答案：C

27.(閔行)已知/(x)=COS2x-αsinx,若存在正整數(shù)〃，使函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,/Vr)內(nèi)有2023個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a所有可能的值為()

(A)1(B)-1(C)0(D)1或一1

答案.B；

28.(靜安)摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首個(gè)懸臂式屋頂

摩天輪.摩天輪最高點(diǎn)離地面高度106米，轉(zhuǎn)盤直徑56米，輪上設(shè)置30個(gè)極具時(shí)尚感的4人轎艙，擁有360度

的絕佳視野.游客從離樓頂屋面最近的平臺(tái)位置進(jìn)入轎艙，開啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，分鐘后，游客距離地面的

高度為力米，力=-28CoS(^)+78.若在時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則4+L的最小值為()

A.6B.12C.18D.24

答案.B

三解答題

29.(徐匯)(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

已知向量加=(2j5cos],-2sin/，n=(eos?,eos^),函數(shù)y=/(x)=.

TC71I-?

(1)設(shè)λ一5'萬，且/(9)=j3+l,求。的值；

(2)在AABC中，AB=L/(C)=√3+1,且AABC的面積為坐，求sinA+sinB的值.

解：(1)由題意得/(?=25/5(：0$彳一2$1嗎855=6(1+(；0$工)-$山_￥=28$[+2)+6.

由2cos(e+和+g=7J+l,得COS(O+菅)=],(或得Sin(O-M)=-L)

?O/?o/z?2

于是e+5=2E±k%eZ),因?yàn)?』一亭與],所以e=Y或B;

63L22J26

TT

(2)因?yàn)镃w(0,π),由(1)知C=/.

6

在AABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是4,h.

因?yàn)锳ABC的面積為堂，所以崢=4absin告，于是必=2√L①

由余弦定理得1="？+尸-2"cos?=〃+從一6,所以Y+/=7.②

O

4=2'{Cl-?/?,

由①②可得[=白或∣=2于是"+8=2+√5?

由正弦定理得等=平=當(dāng)C=/,

sinΛ+sinB=?(tz÷?)=1+√3

所以22.

30.(青浦)(本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分)

已知函數(shù)＞=/(X)的表達(dá)式為〃X)=√3sinX+—cosx+-÷cos2

6)I6；

(I)求函數(shù)y=∕(χ)的最小正周期及圖像的對(duì)稱軸的方程;

⑵求函數(shù)y=∕(χ)在0,日上的值域.

?/

解：(1)由已知

1

2x+y-?eos2x+-+—

2I32

則函數(shù)/(x)的最小正周期為7=與=兀,

^?2x+-=—+kπ,k∈Z,^x=-+-,keZ,

6262

即函數(shù)/（x）的對(duì)稱軸方程為x=→?Λ∈Z;

62

（2）由（I）/（x）=sin^2x+^j+i,Q0<x<?^,兀Cπ7π

.?.-<2x+-<——

666

.1."πA..（兀）13

2I6）I6）22

即〃力在（0目上的值域?yàn)椋?,|.

31.（松江）（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

在銳角AABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、C,且2〃SinA=6α.

（1）求角8;

（2）求CoSA+cos8+cosC的最大值.

解：（1）由2〃SinA=百。結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=6sinA,......2分

因?yàn)闉殇J角三角形，所以SinB=且……4分

2

Tt

故B=一....6分

3

（2）結(jié)合⑴的結(jié)論有：

cosA+cosB+cosC—cosAH----1^cos\------A|.......8分

2I3J

1√3.1√3.11。公

=CoSAa——CoSAλd-----sinAλ+-=——SlnλA+—cosλA+—......9分

222222

=Sin（A+?）+；（或者=COS[A-g1+g）……11分

_2π

0＜一乃一A4c-

.32-π.π

由〈可r4θ得：一VA＜一,

CATt62

［

當(dāng)A=時(shí),sir?A+--?I=1，13分

max

3

即cosA+cosB+cosC的最大值是一.14分

2

32.（閔行）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在AABC中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、b、c,已知SinA=Sin28,a=4rb=6.

（1）求COS5的值；

（2）求AABC的面積.

［解］(1)在AABC中，由已知得SinA=2sinBcos3,..............................2分

由正弦定理得a=2bCoSB,...................................................4分

而a=4,?=6,所以COSB=；；................................................6分

(2)在aABC中，由余弦定理得cos8="-+'-"=!，..................8分

Iac3

即3°2-8c-60=0,≡c>0,國(guó)軍得c=6,..............................10分

因?yàn)镃oSB=!，則sin8=豆I,..............................12分

33

=gαcsinB=8√2,

所以aABC的面積為8&?14分

33.（金山）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在aABC中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知α=2√∑,C=45°.

(1)若SinA=V∑sinB,求c；

(2)若B-A=15°,求aABC的面積.

(1)由正弦定理得α=……2分

則8=2,……4分

由余弦定理得C=18+4-2倉l∣2j52?2......6分

B-A=15o

(2)<,所以8=75?,A=60?......8分

B+A=135°

2>∕2c4∕τ

因?yàn)橐籘=-=-尸■,貝IJC=--√3，.....10分

√3√23

T^τ

所以S='"csin8=L倉∣J20—?/??2+—>/3......14分

△械22343

34.（嘉定）（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分

1

已知向量α=(sinx,l+cos2x),b=cosx,-，f[x}=a?b,

2

(1)求函數(shù)y=∕(x)的最大值及相應(yīng)X的值;

(2)在AASC中，角A為銳角，且4+8=卷兀，〃A)=1,BC=2,求邊AC的長(zhǎng).

/八5,/?.I+cos2xsin2x+cos2x1√2.1

(1)解：y=?j(x)=smx?cosx+-----------=----------------+—??sinl2x+-l÷-,

所以函數(shù)y="x)的最大值為正+L此時(shí)X=E+4(keZ).

228

(2)解：因?yàn)?(A)=I,所以日sin(24+；)+；=l,又角A為銳角，則A=；,

7

因?yàn)锳+B=—π,所以8=π—.

123

由正弦定理，貝IJ匹=型，即AC=-^Sin8=".

sinAsinBsinA

35.(黃埔)(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

53

在AABC中，CosA=--,CoSB=W.

(1)求SinC的值；

(2)若AS=4,求AABC的周長(zhǎng)和面積.

解：(1)在AABC中，由Ai(O,π),可得SinA=Jl-CoS2A=—>

4

同理可得SinB=2,.....................................2分

5

所以SinC=Sin∣π-(A+B)]=sin(Λ+B)=sinAcosfi+sinBcosA.........................4分

(2)設(shè)AABC的角A及C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為4,4c，外接圓半徑為R，

貝Uc=2RsinC=2K?1=4,可得2R=上，....................8分

654

故α=2RsinA=竺?U151同理可得6=13,.....................................11分

413

所以aABC的周長(zhǎng)=α+6+C=15+13+4=32......................................12分

△ABC的面積S=1"6sinC="——?—24......................................14分

2265

36.(奉賢)(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分)

設(shè)函數(shù)y=?(?)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是:(x).若存在常數(shù)m{m∈R),使得“x+⑹=-(x)對(duì)一切X恒成立,

那么稱函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)P(M.

(1)求證：函數(shù)y=e'不具有性質(zhì)P(〃?)；

(2)判別函數(shù)y=sinx是否具有性質(zhì)?(m).若具有求出機(jī)的取值集合；若不具有請(qǐng)說明理由.

【解析】

(1)假設(shè)y=/具有性質(zhì)尸(M即，+制=_(-)’對(duì)一切X恒成立.........................2分

化簡(jiǎn)/+〃'=—，得到浮=—1，顯然不存在實(shí)數(shù)”使得浮=—1成立............................2分

所以假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立............................2分

(2)假設(shè)y=sinx具有性質(zhì)P(〃2)即Sin(X+根)=一(Sinx)'對(duì)一切X恒成立........2分

即Sin(X+"2)=—CoS人對(duì)一切X恒成立............................2分

即sinxcosm÷(sinm÷I)COSX=0對(duì)一切X恒成立

?cosm=0..............................2分

Isin∕w+1=0

所以當(dāng)機(jī)=2?τr-耳,左∈Z時(shí)，y=sinx具有性質(zhì)P(∕%).................2分

37.(寶山)(本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分)

?M

已知函數(shù)/(Λ)=sinXCOSX-Λ∕3cos2x+-^~.

(1)求函數(shù)y=∕(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的方程/(x)-加=0在無∈o,?上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：f(x)=sin%cosx-V3cos2x+^-=-sin2x-y∣3?1+coslfx?/?

--------+——

222----------2

-走

JSin2xπ

COSC2x=sι?n2Ox-----2分

22I3

最小正周期7=44分

τrTπT7πTTCπ)57Γπ

當(dāng)2九---∈2kπ------,2kπ+-即九∈kπ------，kπ+——,Q∈z)時(shí),

3222211221122

函數(shù)為增函數(shù).6分

._τc_TπC_33τCπ.j5/4FI?l?zπr

當(dāng)2x-----∈?K,17ΓH—2kf兀H-------即α%￡K,7lH--------,Kf,7lH--------,(&∈z)時(shí),

3221212

函數(shù)為減函數(shù).8分

⑵方程/(x)-加=O有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

等價(jià)于＞=sin(2x-。)和直線y=m的圖像在Xe0,|上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)....IO分

則2x一工∈π2π~].f?π、

X∈—,—,sιπ2x-----∈12分

333」(3)

由圖知∕77∈L--2--,1J14分

38.(崇明)在aABC中，a,b,C分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，m-(2a+c,h^,π=(cosB,cosC),

m?n=O-

（1）求角8大小;

TL2兀

(2)設(shè)/(x)=2c,OSXSin(Y-2sin2xsinβ+2sinxcosxcos(A+C),當(dāng)x∈—時(shí)，求/（x）的最

小值及相應(yīng)的χ.

2TT

【答案】（I）B=~

7τr

（2）當(dāng)X=J時(shí)，”力有最小值—2.

【分析】（1）利用向量垂直的充要條件和正弦定理即可求解;

（2）先利用兩角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化為/（x）=2Sin2x+1,最后利用

三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值及其取得最小值時(shí)的X值.

【小問1詳解】

由已知條件得力〃=(2α+c)cosB+bcosC=O,

由正弦定理得(2SinA+sinC)cosB+sinBcosC=O,

即2sin4cosB+sinCcosB+sinBcosC=O,2sinAcosB+sin(B+C)=0,

則2sinAcosB+sinA=0,

丁sinA≠0,.?.cosB=—

2

?-JT