浙江省溫州市2023屆高三下學(xué)期返校統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)（解析版）

2022學(xué)年高三第二學(xué)期溫州市普通高中返校統(tǒng)一測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.命題“太wR,/=1”的否定形式是（）

A.3x∈R,x≠lfiKx≠-lB.HxeR,x≠↑S,x≠-?

C.VxeR,XHI或XH-ID.VxeR,XHI且x≠T

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定求解即可.

【詳解】解：由特稱命題的否定形式得：命題“3XeR,V=-的否定形式是：VχeR,x≠↑^x≠-↑.

故選：D

2.已知X∈C,下列選項(xiàng)中不是方程d=ι的根的是（）

1

?1ri??/?.rD6

A.ID.—+?C.——1-JO.-------------?

222222

【答案】B

【解析】

【分析】利用因式分解與復(fù)數(shù)的性質(zhì)求根即可.

【詳解】因?yàn)棣獼=I,χ∈c,

所以χ3一1=0，即（X-D（X2+x+l）=0,

M用-1??/?10√3i

解得X=1或X=------'——=--?,

222

故選項(xiàng)ACD中是方程d=ι的根，B中不是.

故選：B

3.A,8是OC上兩點(diǎn)，A8?Ad=4,則弦A3的長(zhǎng)度是（）

A.1B.2C.2√2D.不能確定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算及余弦定理求解即可.

【詳解】設(shè)OC半徑為，，NACB=

則AB.AC=(CB-CA)?(-?)=-r2cos(9+r2=4'

由余弦定理知AB=√C42+CB1-2CA-CBCOSθ=√2r2-2r2cos6?=√2^4=2√2，

故選：C

4.通過(guò)長(zhǎng)期數(shù)據(jù)研究某人駕駛汽車的習(xí)慣，發(fā)現(xiàn)其行車速度V(公里〃卜時(shí))與行駛地區(qū)的人口密度P(人

/平方公里)有如下關(guān)系：v=5θ?(θ.4+e^ooo°4p),如果他在人口密度為。的地區(qū)行車時(shí)速度為65公里/

小時(shí)，那么他在人口密度為巴的地區(qū)行車時(shí)速度約是()

2

A.69.4公里/小時(shí)B.67.4公里/小時(shí)C62.5公里/小時(shí)D.60.5公里/小時(shí)

【答案】B

【解析】

【分析】由題知e<oo0<M"=O.9,進(jìn)而得e-°?°0∞2"=J而，進(jìn)而代入計(jì)算即可得答案.

【詳解】解：由題知65=50?(0.4+eQ≡4"),整理得廣頌004"=0.9

?

0000

所以e-0.00002</=(e~?°4"F=八百

所以，當(dāng)他在人口密度為1的地區(qū)行車時(shí)速度V=50?(0.4+e-υo∞020)=5θ?(θ.4+√(λ9)≈67.4公里/小

時(shí)，

故選：B

5.(――χ+l)(l+χ)9展開(kāi)式中含χ5的系數(shù)是()

A.28B.-28C.84D.-84

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)(l+x)9展開(kāi)式的通項(xiàng)，分別求出展開(kāi)式中含/、％4、χ5的項(xiàng)的系數(shù)，即可得出答案.

【詳解】(l+x)9展開(kāi)式的通項(xiàng)為4+I=GI?p-,.χr=q?χ"r=0,l,2,,9.

當(dāng)d-X+l選取/時(shí)，由已知可得，應(yīng)選取(l+x)9展開(kāi)式中含/的項(xiàng)，

由r=3,可得4=C>χ3=84χ3;

當(dāng)x2-x+l選取-X時(shí)，由已知可得，應(yīng)選取(l+x)9展開(kāi)式中含/的項(xiàng)，

由廠=4,可得n=C>∕=126χ4;

當(dāng)d-x+1選取1時(shí)，由已知可得，應(yīng)選取(l+x)9展開(kāi)式中含爐的項(xiàng)，

由r=5,可得4=C>χ5=126X5.

所以，(Y-χ+l)(l+χ)9展開(kāi)式中含15的系數(shù)是1x84-1x126+1x126=84.

故選：C.

6.某醫(yī)院對(duì)10名入院人員進(jìn)行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次；若采用IO合一混管檢

驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為陰性則只要檢驗(yàn)1次，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn).記10合一混管

檢驗(yàn)次數(shù)為4,當(dāng)E(G=Io時(shí)，10名人員均為陰性的概率為()

A.0.01B.0.02C.0.1D.0.2

【答案】C

【解析】

【分析】依據(jù)題意寫(xiě)出隨機(jī)變量J的的分布列，利用期望的公式即可求解.

【詳解】設(shè)10人全部為陰性的概率為P,混有陽(yáng)性的概率為I-P,

若全部為陰性，需要檢測(cè)1次，若混有陽(yáng)性，需要檢測(cè)11次，

則隨機(jī)變量J的分布列

I11

PPI-P

E(O)="+11(1—")=10,解得p=0?l,

故選：C.

7.下列實(shí)數(shù)中，最小的是O

A.sin2().1B.sin0.12C.tan20.1D.tan0.12

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法結(jié)合三角函數(shù)同角三角關(guān)系式與正余弦性質(zhì)，可得Xe((U)時(shí)，tanx>sinx,

tan2χ>si∏2χ,即可得tanO.F>sinO.V,tan??！?gt;siι√O.I，再構(gòu)函數(shù)/(X)=SiYx—SinX2,χ∈(θ,i),

求導(dǎo)，結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可得函數(shù)單調(diào)性從而可判斷siι√().l與sin().F的大小，即可得答

案.

【詳解】解：當(dāng)Xe(0,1)時(shí)?，tanX—SinX=sinX=SirIX(I_c°s")，

cosxcosx

其中SinX>。,COSX>。，所以tanx-SinX>0,則tanx>sinx,BPtan0.12>sinθ.l2;

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，tanx>O,sinx>O,所以tan-—si/χ=(tanx+sinx)(tanx-sin%)>0,

則tan'AsiMχ,即tan20.1>sin20.1;

設(shè)/?(%)=sinx-x,xE(0,1),所以/T(X)=COSΛ-1<O,A(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以MX)<力(0)=。，即SinXV%,

又y=cosx在(Oj)上單調(diào)遞減，且χ∈(0,l)時(shí)，χ2<χ,所以COSX2>COSX，

作差法有sii?0.1-SinOl2,?∕(x)=sin2x-sinx2,x∈(0,l),

所以/'(X)=2sinxcosx-2XCOSX2<2xcos%—2xcosX2=2x(COSX-COSX<O,

則函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，貝∣J∕(x)<∕(0)=0,所以SiVx<sind,即SirsiVSinOf;

綜上，可知Sin20.1最小.

故選：A.

22

8.直線/與雙曲線二-4=1(4>0力>0)的左，右兩支分別交于點(diǎn)A,B,與雙曲線的兩條漸近線分別交

cΓb

于點(diǎn)C,D(A,C,D,B從左到右依次排列)，若Q4"LQB,且IACI,?CD?,|。8|成等差數(shù)列，則雙

曲線的離心率的取值范圍是O

J孚+°°]B,[2√2,√iθ]C.[?,2司D,[^0,+∞)

-√2

【答案】D

【解析】

【分析】先設(shè)直線方程及四個(gè)點(diǎn)，聯(lián)立后分別求出兩根和和兩根積，再應(yīng)用IAC∣CDL成等差

數(shù)列，列式求解即可

【詳解】設(shè)4(%,,必)，3(工2，%)，0(%3，%)，。(％4，%)，直線48：丫=丘+加，

1

s-2akm

y-kx-t-m^+X2=a2k2-b2

可得(人2_〃2&2)尤2_2%2如_々2加2_々262=0,貝人

聯(lián)立d/_

〔/卞=1a2m2+a2b2

2=H

-2a2km

y=kx+m

聯(lián)立χ2y2可得僅2-a2k2^x2-2ka2mx-a2m2=O,則<

22②

I/一瓦=°anv

XiXi=CΓk2-b2

ci1b2{k2+1)

因?yàn)椤?_1_。5,所以x∣??+(g+"z)(g+"z)=0,所以租2>0③

b2-a2

因?yàn)閙2>0,所以b2>∕,所以/>2,即得e>J5④

因?yàn)槠?/=玉+%，所以Co中點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，所以IAq=IB",

因?yàn)镮Aq,ICQI,忸q成等差數(shù)列，所以IACl=ICq=IBq,又因?yàn)槎?，c,。，臺(tái)從左到右依次排列，所

以IABI=3|叫

b2(b2-9a2)

所以歸-Zl=3|&一項(xiàng)|，代入①②③有如=

a2(9b2-a2

因?yàn)榕?20且e2>2,又因?yàn)椤?gt;/,則9">∕所以〃≥%z2,所以02—129,即eN√iU

綜上，e>√10

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得O分.

(兀、

9.設(shè)函數(shù)激尢)=SinS+三(。>0),則()

I5√

A.若。=1,則/(χ)在0,|上單調(diào)遞增

B.若0=2,則/O)在［0,π］有2個(gè)極值點(diǎn)

C.若0=3,則/(χ)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱

D.若/(x+6π)=∕(x),則。的最大值為:

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、最值、周期判斷ABCD選項(xiàng)即可.

【詳解】當(dāng)⑦=1時(shí)，/(x)=Sin(X+g],0<χ≤-,.?.2E<X+Ξ≤2Ξ,故/(X)在∣^0,[]上不單調(diào),

V5)25510L2J

故A不正確；

當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=sinf2x+^L?,0≤x≤π,.?.-≤2x+-≤-f

???555

πTTTT3JT3TT13TT

當(dāng)2x+乙=巳或2彳+二二一時(shí)，函數(shù)取得極值，故函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)一，—,故B正確;

52522020

當(dāng)°=3時(shí)，/(x)=sin3x+^,X=-X代入，可得/(-K)=Sin(3x(-微)+g)=sin()=0,即

??)151?\155)

[-]?'°J為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心’故C正確；

2π1

當(dāng)/(x+6π)=∕(x)時(shí)，6π>T=-,所以。2—,故D錯(cuò)誤.

ω3

故選：BC

10.《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是國(guó)家學(xué)校教育工作的基礎(chǔ)性指導(dǎo)文件和教育質(zhì)量基本標(biāo)準(zhǔn)，它適用于全

日制普通小學(xué)、初中、普通高中、中等職業(yè)學(xué)校、普通高等學(xué)校的學(xué)生.某高校組織4000名大一新生進(jìn)行

體質(zhì)健康測(cè)試，現(xiàn)抽查200名大一新生的體測(cè)成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間為

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100).則下列說(shuō)法正確的是()

B.估計(jì)該樣本的均值是80

C.估計(jì)該樣本的中位數(shù)是86

D.若測(cè)試成績(jī)達(dá)到85分方可參加評(píng)獎(jiǎng)，則有資格參加評(píng)獎(jiǎng)的大一新生約為2200人

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)出平均數(shù)，可判斷B項(xiàng)；根據(jù)頻

率分布直方圖，估計(jì)出中位數(shù)，可判斷C項(xiàng)；根據(jù)頻率分布直方圖，測(cè)試成績(jī)達(dá)到85分的頻率為0.55,

即可估算有資格參加評(píng)獎(jiǎng)的人數(shù).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，最高小矩形為［85,90),所以可估計(jì)該樣本的眾數(shù)是

85+90=87.5,故A項(xiàng)正確；

2

對(duì)于B項(xiàng)，由頻率分布直方圖,可估計(jì)該樣本的均值是0.()20x5x72.5+0.030x5x77.5+0.040x5x82.5

+0.050×5×87.5+().035×5×92.5+0.025×5×97.5=85.625，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得,成績(jī)?cè)冢?0,85)之間的頻率為().()2()*5+().()30*5+().040*5=0.45,

在［70,90)之間的頻率為0.020×5+0.030×5+0.040×5+0.050×5=0.7,

所以可估計(jì)該樣本的中位數(shù)在［85,90)內(nèi).

設(shè)中位數(shù)為X,則由0.45+------χ0.25=0.5可得，x=86,故C項(xiàng)正確；

90-85

對(duì)于D項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得,測(cè)試成績(jī)達(dá)到85分的頻率為0.050x5+0.035x5+0.025x5=0.55,

所以可估計(jì)有資格參加評(píng)獎(jiǎng)的大一新生約為4000x0.55=2200人，故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

11.如圖，ABCZ)為等腰梯形，AB//CD,且AD=。C=CB=BAB=2,44∣,BBi,CC1,DD1

均垂直于平面ABCD.DD1=BBi=CC1-AA1=2,則以下結(jié)論正確的是()

A./434=90°B.NA4G有可能等于90。

2

c.最大值為60。D.M=3時(shí)，點(diǎn)4，B1,C1,。共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)圖形，利用線面垂直、勾股定理、余弦定理和四點(diǎn)共面的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】對(duì)于A，過(guò)。作Z)ElAB，連接DB,DlBt,

C

因?yàn)锳BCf)為等腰梯形，且AB=2CD,CD=2,所以A￡=1，則。E=G,在RtAOEB中，

BD=4DE1+EB1=2√3>所以AB?=AD2+BD2'

則BDLAD，由OA垂直于平面ABCr>，且ADU平面ABC。，則。R，80,DD1AD=D,

DDl,ADU平面A，所以BD上平面AA。。,ΛtZ),?平面Λ1A。。，所以Bo_LAQ∣.因?yàn)锽B,,

。。均垂直于平面ABC。，所以BBJ∕DD∣,又因?yàn)?月=。A,所以四邊形88QO為矩形，所以

DB//DiBt,則BQLAR,所以幺24=90。，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)A分別作AQLC￡,4尸，8片，過(guò)點(diǎn)用作B/LCG,連接AC,

C

由選項(xiàng)A的分析可知：AC=BD=26,因?yàn)锳A∣,BB-CCl,Oa均垂直于平面A5C。，且

DD1=BBl=CCi-AAi=2,所以4Q=AC=26,QG=2,在心4QC∣中，

222

AC1=JAQ2+QQ2=4,設(shè)AA1=心則CG=2+f,GP=r，所以4G=y∣B1P+PCt=√4+Z,

22

同理A4=y∣AiF+FB-=J16+(2T)2=√r-4r+20,

若NABIG=90°,則AG?=ABj+gC；，即16=2*一4/+24，也即產(chǎn)-2f+4=0,因?yàn)?/p>

A=2-4xlχ4=-14<0,所以方程無(wú)解，則NABIG不可能等于90。，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,過(guò)4作AG_L￡>A，

由題意可知：DlG=2-f,則Λιq=jAG2+GDj=y]4+(2τ)2=J/_今+8,由選項(xiàng)B分析可得:

2

4B1=√Z-4∕+20，由選項(xiàng)A的分析可知：BlDl=BD=2yβ,

設(shè)NQA耳=&，在-AA與中，由余弦定理可知:

AB2+AD2-BD22r2-8r+28-12√z2-4z+8

131i1i

cosa=-?--------------=―l=~l=/

2A4?AR2√r2-4z+20?√∕2-4r+8√r2-4r+20

Vr-4r+8m1

令廣一書(shū)+8=療(租≥2),則々+a。√z√+i2L12

?m2

12I?1

因?yàn)楦?24,所以0<F<3,貝∣J1<J1+二≤2,所以一？CoSa1,

2

nr?m2

因?yàn)?°<α<180°,所以0°<aW60°,則N?A片的最大值為60。，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)前面選項(xiàng)的分析可知：DE,DR,DC兩兩垂直,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

21

因?yàn)锳41=],AD=DC=CB=-AB=2,DD]=BB}=CC]-AA.=2f

則A(0,0,2),Λ1(√3,-l,∣),B1(√3,3,2)ICI(0,2,∣),

42______.----------

則Λ1β1=(0,4,-)，DiC2=(0,2,-),所以44=2DG,則AiBi∕∕2DiCi,

則A4//AG，所以點(diǎn)A，B1,C1,。四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確，

故選：ACD.

12.已知正〃1邊形AA2…4",一質(zhì)點(diǎn)〃從A點(diǎn)出發(fā)，每一步移動(dòng)均為等可能的到達(dá)與其相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)

之一.經(jīng)過(guò)〃次移動(dòng)，記質(zhì)點(diǎn)M又回到AI點(diǎn)的方式數(shù)共有凡種，且其概率為6，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若機(jī)=3,則%=4B.若加=4,則生“=2”1

C.若帆=6,則6I=0,ZeN*D.若帆=6,則”

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)所給規(guī)則，直接判斷A,根據(jù)規(guī)則，分析變化規(guī)律，歸納得出結(jié)論判斷B,根據(jù)規(guī)則直接判

斷C,列舉所有可能由古典概型求解判斷D.

【詳解】對(duì)A,加=3時(shí)，如圖，

4二力2

經(jīng)3步從4回到4,僅有4→4→4→A,

與4->4->4->4兩種，所以見(jiàn)=2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,若m=4時(shí)，如圖,

4=0M2=2,（4→A2→A的4→A4→A）,記從A3出發(fā)經(jīng)過(guò)〃步到a的方法數(shù)為打，則

?1?C（先走兩步回到A1有2種，化歸為出〃，先走兩步到有2種，化歸為久〃），所以

也"+2=24,,+2%

a4a

2,,+2=2n>因?yàn)椤?=2,所以4“=2?4"T=22"T,故B正確；

對(duì)C,加=6時(shí)，顯然走奇數(shù)步無(wú)法回到4,故2*τ=（）,Z∈N*,故C正確；

走6步共有26=64種走法（每一步順時(shí)針或逆時(shí)針），Al出發(fā)回到Al有.2種情形,①一個(gè)方向連續(xù)走6步，

2911

有2種；②2個(gè)方向各走3步，有屐=20種，所以4=20+2=22,所以《==點(diǎn)，故D正確.

故選：BCD

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.

13.若拋物線以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則該拋物線的方程可以是

.（只需填寫(xiě)滿足條件的一個(gè)方程）

【答案】丁=一40一1）或｝；2=41+1）或/=一4（>,一1）或;（;2=4（/+］）（答案不唯一其它滿足要求的

答案也可）

【解析】

【分析】先求焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)平移變換確定符合要求的拋物線方程.

【詳解】焦點(diǎn)為（1,0）,準(zhǔn)線為x=-l的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4x,

將其向左平移一個(gè)單位，可得一條焦點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線,

其方程為V=4(x+1),

焦點(diǎn)為(-1,0),準(zhǔn)線為X=I的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=-4X,

將其向右平移一個(gè)單位，可得一條焦點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線，

其方程為y2=τ(χ-1),

焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線為y=T的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y,

將其向下平移一個(gè)單位，可得一條焦點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線，

其方程為I區(qū)”……|,

焦點(diǎn)為［亙?nèi)齀，準(zhǔn)線為y=1的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為I岡］,

將其向上平移一個(gè)單位，可得一條焦點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線，

其方程為恒L.....I，

故答案為：y2=_4(X—l)或y2=γ(χT)或I區(qū):…--M區(qū)A....-1(注意答案不唯一,其它

滿足要求的答案也可)

14.正四面體ABCD棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為AB，CD,A。的中點(diǎn)，過(guò)G作平面a_LM,則平面

α截正四面體ABC。，所得截面的面積為.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用線面垂直的判定可得截面為邊長(zhǎng)為1的正方形，進(jìn)而求解.

【詳解】分別取I習(xí)?I的中點(diǎn)Iw1連接與

i0l"

由題意可知:6≡≡3flS",又因?yàn)镮囚「`”且

'1.,所以四邊形GHMN為平行四邊形，由因?yàn)镮qlF且×l

所以_ZLj------------------

-∣∣.[ZIΞΞΞΞΞ_?O-J----------

所以囚則平行四邊形GHMN為菱形，

因?yàn)锳8C。為正四面體，所以三角形ABe是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以I岡,~!且CE=百,同理DEIAB且ED=6，

又ITlI，I711平面I丁|」，所以AB7.平面Iτη」,

又因?yàn)椋蹖?一］平面F］，所以ITI~|，

因?yàn)镮區(qū)?1,I囚I，所為W~1，所以菱形GHMN為正方形.

因?yàn)镃E=6，ED=百且尸為8的中點(diǎn)，所以EFJ.CD,

因?yàn)镠G//CD,所以EF工HG,同理防_L〃M，HMHG=H,HM,HGu平面GHMN,所

以EF上平面GHMN,所以過(guò)G作平面a_LEE,則平面α截正四面體ABC。所得的圖形即為正方形

GHMN,所以截面面積為S=IXl=1,

A

故答案為：1?

15.由直線構(gòu)成的集合M={∕∣∕的方程為2α+（l-r）y=l+產(chǎn),f∈R},若{/”勾）之加，且4〃4,則

4與4之間的距離為.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分1-『=。與i—∕≠o兩種情況討論，根據(jù)直線平行得出4弓=-1,代入兩平行線間

[距離公式即可求解.

【詳解】當(dāng)I-Z3=0時(shí),即f=±l,I：2tx=1+Z2>當(dāng)1=1時(shí),l?X=??當(dāng)￡=—1時(shí),l'.X=-?>

故{∕∣,4}={x=T,x=l}±M,此時(shí)〃〃2，4與4的距離為2;

當(dāng)1一產(chǎn)工0時(shí)，y=——二.+"I,

I-Z2I-Z2

又因?yàn)?1〃4，所以'=?~τ?^=%2=^^[2,2,且仇=,#b1=：+',

I-GI-'2]—'1]_G

所以爪1一名）=以1—彳）=&-2）（缶+1）=0，

因?yàn)獒??2，所以印2=-1，且4過(guò)（4，1）

又直線4:2qχ+（iY）y=ι+g,

【答案】⑴-

3

⑵3#)

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換求解;

（2）利用等面積法可得,從而得S,再根據(jù)余弦定理，聯(lián)立方程

組求出6=26，從而可求三角形的面積.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椤OSC+WsmC=],所以bcosC+屏SinC-α-c=O,

Q+C

所以sin3cosC÷y∣3sinBsinC-sinA-sinC=O

因?yàn)锳+8+C=τc,所以SinBcosC+V3sinβsinC-sin(B+C)-sinC=O.

所以6sin3sinC-CoSBSinC-SinC=0，

又因?yàn)镃∈(0,兀),sinC>0,所以GSinB-CoSB=1，

ITTπ5兀

所以Sin(B-￡)=因?yàn)锽∈(0,π),所以

266,^6^

所以6-'=色，所以3=W?

663

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳BC內(nèi)切圓的面積為無(wú)，所以內(nèi)切圓半徑廠=1.

由于θ，所以，①

由余弦定理。22

2=a+c-2accosB得，"×∣

即向,②

可

聯(lián)立①②可得

解得?=2√3或響I（舍去），

2n-4,n=2k—1

(2)已知Cn=a?b,其中a=V（Z∈N*）,｛%｝的前〃項(xiàng)和為T.，求

ftf14-n,n=2k

【答案】（I）an=T

【解析】

【分析】（1）由遞推公式可得：。,用=2?！埃詳?shù)列｛《,｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，利用等

比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

，且%，+-=4,

⑵結(jié)合（1）可得:

c2n-2+c2n-3

一項(xiàng)開(kāi)始，相鄰的兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成一個(gè)公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前1項(xiàng)和公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由0,4+∣=2片一〃4+1+2〃氏可得：回

則a.=2%,又4=2,所以數(shù)列｛0,,｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以舊-.

【小問(wèn)2詳解】

[71

由（1）可得：，

所以叵],

則+J,-=4,又因?yàn)?L

c2n-2+C2n-3

所以（〃=）（?+。）+（）（

（A+c2+e5+Q+???+C2,E+c2tl）,

則Q

20.中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)報(bào)告指出：堅(jiān)持精準(zhǔn)治污、科學(xué)治污、依法治污，持續(xù)深入打好藍(lán)

天、碧水、凈土保衛(wèi)戰(zhàn)，加強(qiáng)污染物協(xié)同控制，基本消除重污染天氣、每年的《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀態(tài)公報(bào)》

都會(huì)公布全國(guó)339個(gè)地級(jí)及以上城市空氣質(zhì)量檢測(cè)報(bào)告，以下是2017-2021五年339個(gè)城市空氣質(zhì)量平均

優(yōu)良天數(shù)占比統(tǒng)計(jì)表.

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代碼七12345

百分比K7879.3828787.5

55

并計(jì)算得：Zy2=34321.74,ZXa=I268.1.

/=1/=1

(1)求2017年一2021年年份代碼與339個(gè)城市空氣質(zhì)量平均優(yōu)良天數(shù)的百分比的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到

0.01)；

(2)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中〉與X之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，并求出y關(guān)于X的回歸

直線方程(精確到0.01)和預(yù)測(cè)2022年(χ=6)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的百分比；

(3)試判斷用所求回歸方程是否可預(yù)測(cè)2026年(x=l())的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的百分比，并說(shuō)明理由.

.∑(χ,-χ)(χ-7)

(回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：人=上―------------，a=y-bχ}

∑u,?-?)2

/=]

z(?,-?)(?/-?)

附：相關(guān)系數(shù)r=I“曰“，82.762~6849.22，√756.4≈27.5?

χ22

J∑(l-^)∑(yi-y)

V/=I∕=ι

【答案】(1)0.97；

(2)9=2?67x+74.75;90.77%.

(3)答案見(jiàn)解析.

【解析】

∑U-^)(χ-7)

【分析】(1)由表中數(shù)據(jù)結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出相關(guān)數(shù)值，代入相關(guān)系數(shù)r=I5*5，

χ2

J∑(l-τ)∑(y.-yf

V/=1/=I

即可得出答案；

(2)由(1)知，raθ.97接近1,即可說(shuō)明線性相關(guān)關(guān)系極強(qiáng).根據(jù)(1)中求出的數(shù)據(jù)，即可求出R=2.67,

6=74.75,進(jìn)而得到回歸直線方程.代入x=6,即可預(yù)測(cè)2022年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的百分比;

(3)將X=IO代入(2)中的回歸直線方程，可得$=101.45>100,顯然不合常理，可根據(jù)回歸直線的

意義及其局限性說(shuō)明.

【小問(wèn)1詳解】

由已知可得,S,≡

所以,SI

S

ZS

55

所以E(Xi-元).=2無(wú)；_5元2=10.

55

又Σ(V一方2=Σy；一592B34321.74-5×6849.22=75.64,

5

Za-T)(X-刃

i=l≈瓷匕，也，0.97

所以，「

5-5√756.427.5

χ22

∑(i-^)∑(yi-y)

Z=IZ=I

【小問(wèn)2詳解】

由(I)知，y與X的相關(guān)系數(shù)rX0.97接近I,所以y與X之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模

型進(jìn)行擬合.

∑(χ,-^)(x-y)267

因?yàn)锽=

5=2.67,6=82.76-2.67x3=74.75,

210

∑(jci-x)

i=l

故回歸直線方程為9=2.67X+74.75.

當(dāng)X=6時(shí)，y-2.67×6+74.75=90.77,

故2022年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的百分比為90.77%.

【小問(wèn)3詳解】

由(2)知，當(dāng)X=IO時(shí)，閆|，顯然不合常理.

其原因如下：

根據(jù)該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系r"0?97,是可以推斷2017年一2021年間>與X兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度

很強(qiáng)，由此來(lái)估計(jì)2022年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的百分比有一定的依據(jù).但由于經(jīng)驗(yàn)回歸方程的時(shí)效性，隨

著國(guó)家對(duì)生態(tài)環(huán)境的治理，空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的百分比增加幅度會(huì)變緩，且都會(huì)小于1,故用該回歸直線

方程去預(yù)測(cè)今后幾年的空氣優(yōu)良天數(shù)會(huì)誤差較大，甚至出現(xiàn)不合情理的數(shù)據(jù).

21.如圖，橢圓、+丁=1的左右焦點(diǎn)分別為《，乙，點(diǎn)月(牙0，兒)是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)

三點(diǎn)P,耳，尸2的圓與y軸正半軸交于點(diǎn)A(0,χ),經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(3,0)且與X軸垂直的直線/與直線AP交于

點(diǎn)Q.

(2)試問(wèn)：X軸上是否存在不同于點(diǎn)8的定點(diǎn)股，滿足當(dāng)直線MP，MQ的斜率存在時(shí)，兩斜率之積為

定值？若存在定點(diǎn)M,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)存在點(diǎn),θ],可使得直線MP與MQ的斜率之積為定值，該定值為-2.

【解析】

【分析】(1)設(shè)尸(X。，兒)、圓的方程d+(y)2=∕(r>0),代入卜6,0)、(毛,%)及A(0,y)可解

1

得以=一，即可證：

%

(2)設(shè)M(八0)(m≠3),由A,P,。三點(diǎn)共線心P=心2得為，即可表示出女MP?%M2討論定值是否存

在.

【小問(wèn)1詳解】

囚

代入S"…及(%%),得

兩式相減，得S

所以圓的方程為國(guó)即S

0

令X=0,得

-------1

由叵］；，可得弘=一，即X)M=1.

?o

小問(wèn)2詳解】

國(guó),

設(shè)M(∕n,0)(zn≠3),由(1)知,由A,P,Q三點(diǎn)共線,得，解得

?(?o~1)+?

3(y；~^l)+??

則kk――比一X。%

^-MP^MQ一

m3-mx(x-m)(3-w)

X0-00

3,

代入"=-苧，得一尸+i

Ao(XO-'")(3一機(jī))(?-∣n)(3-m)

當(dāng)且僅當(dāng);3即Y時(shí)，%%=募為定值?

綜上，存在點(diǎn)M(g4,0),可使得直線MP與MQ的斜率之積為定值，該定值為-

3

【點(diǎn)睛】探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再

證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

22.若函數(shù)AX),g(x)的圖象與直線X=團(tuán)分別交于A,B兩點(diǎn)，與直線X=n分別交于C,D兩點(diǎn)(m<n),

且直線AC,Bo的斜率互為相反數(shù)，則稱Ax),g(x)為“(加,")相關(guān)函數(shù)”.

(1)/(x),g(x)均為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，證明：不存在實(shí)數(shù)的n,使得/(x),g(x)為“(加,〃)相

關(guān)函數(shù)”；

αr

⑵/(x)=e,g(x)=oc2,若存在實(shí)數(shù)〃τn>0,使得Ax),g(χ)為“(私〃)相關(guān)函數(shù)”，且IABl=IC4，

求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)(4e2,+∞)u{0}.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增，可推出直線AC,BD的斜率均為正數(shù)，即可證明；

(2)首先討論α=O是否滿足題意，數(shù)形結(jié)合可知，由題可知帆-4=1時(shí)滿足題意；再討論α≠O時(shí)，

/(n)+g(n)=f(m)+g(ni),f(n)-g(n)=f(ni)-g(m)或/(〃)-g(n)=-f(ni)+g{m},聯(lián)立且由

(1)可判斷出由此可得出，〃和〃的等式關(guān)系,建立一個(gè)關(guān)于機(jī)或"的方程，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，討論。的取值范圍對(duì)零點(diǎn)的影響即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)A(ZnJ(m)),/(八)).由/(x)單調(diào)遞增，則f(")>∕W).

rι,,f(n)-f{m)_

則kAC=JJ>0.

n-m

同理可得，?>θ?

所以，直線AC,Bo的斜率均為正數(shù)，不可能互為相反數(shù).

即不存在實(shí)數(shù)相，〃，使得F(X),g(x)為“(加,〃)相關(guān)函數(shù)”.

【小問(wèn)2詳解】

情況一：當(dāng)α=O時(shí)，/(x)=l,g(x)=O,若"=1,則存在實(shí)數(shù)相〃>0,使得f(χ),g(χ)為“(九〃)

相關(guān)函數(shù)”，且IABI=IcDI；

情況二：當(dāng)α≠0時(shí)

因?yàn)?(χ),g(χ)為“(加,〃)相關(guān)函數(shù)”，所以有∕5)+g(")=/(〃?)+gθ).

g∣∣Aβ∣=∣CZ)∣,所以有/(〃)-g(〃)=/(m)-g(X^/(〃)-g(〃)=-/O)+gO).

國(guó)一回"“

①聯(lián)立,可得,所以a=0.

則有/(χ)=l,g(x)=O,此時(shí)有?1'?I,滿足題意;

/(?)+g(〃)=/(，〃)+g(Mfff(m)=g(〃)

,可得〈

/(?)-g(n)=-f(m)+g(m)[g(m)=∕(")

e"=an

因?yàn)閙〃>0,所以方程組〈“一2,則α>0?

e