《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》教案與導(dǎo)學(xué)案

《第五章三角函數(shù)》《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》教案【教材分析】本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的前提下來(lái)學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)一步突出函數(shù)來(lái)源于生活應(yīng)用于生活的思想，讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2．實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯抽象：實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型問(wèn)題；2.數(shù)據(jù)分析：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問(wèn)題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)建立數(shù)學(xué)模型；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：實(shí)際問(wèn)題求解；4.數(shù)學(xué)建模：體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型.【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入生活中普遍存在著周期性變化規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替四季輪回，潮漲潮散、云卷云舒，情緒的起起落落，庭前的花開(kāi)花謝，一切都逃不過(guò)數(shù)學(xué)的眼睛！這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----5.7三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用。要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本242-245頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1.解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型．其基本模型可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論．四、典例分析、舉一反三題型一三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)間t(s)的變化規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．(1)用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2)小球在開(kāi)始振動(dòng)(t＝0)時(shí)的位移是多少？(3)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？(4)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？【答案】（1）略（2）2eq\r(3)cm.（3）小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和－4cm.（4）πs.【解析】(1)列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點(diǎn)、連線(xiàn)，圖象如圖所示．(2)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球開(kāi)始振動(dòng)時(shí)的位移是2eq\r(3)cm.(3)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和－4cm.(4)因?yàn)檎駝?dòng)的周期是π，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是πs.解題技巧：（處理物理學(xué)問(wèn)題的策略）處理物理學(xué)問(wèn)題的策略(1)常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．(2)明確物理概念的意義，此類(lèi)問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題．跟蹤訓(xùn)練一1．單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置的距離s(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)當(dāng)單擺開(kāi)始擺動(dòng)(t＝0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？(2)當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？(3)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)3cm；(2)6cm；(3)1s.【解析】(1)由s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))得t＝0時(shí)，s＝6sineq\f(π,6)＝3(cm)，所以單擺開(kāi)始擺動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是3cm；(2)由解析式知，振幅為6，∴單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是6cm；(3)T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2π)＝1，即單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需1s.題型二三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例2如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)．（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段曲線(xiàn)的函數(shù)解析式【答案】（1）；（2）∴?！窘馕觥浚?）由圖可知：這段時(shí)間的最大溫差是；（2）從圖可以看出：從6～14是的半個(gè)周期的圖象，∴∴∵，∴又∵∴∴將點(diǎn)代入得：，∴，∴，取，∴。解題技巧：(解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟)解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟提醒：關(guān)注實(shí)際意義求準(zhǔn)定義域．跟蹤訓(xùn)練二1.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(m)是時(shí)間t(h)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？【答案】(1)T＝12，振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)沖浪愛(ài)好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即9＜t＜15.【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6).又t＝0時(shí)，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3時(shí)，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1時(shí)，才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1＞1，coseq\f(π,6)t＞0，2kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)沖浪愛(ài)好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即9＜t＜15.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用5.7三角函數(shù)的應(yīng)用1.解題步驟例1例2七、作業(yè)課本249頁(yè)習(xí)題5.7.【教學(xué)反思】以問(wèn)題引導(dǎo)教學(xué)，讓學(xué)生聽(tīng)有所思，思有所獲，獲有所感。問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容在難度和強(qiáng)度上循序漸進(jìn)而又螺旋上升，并通過(guò)互動(dòng)逐一達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，較好的提高了課堂教學(xué)的有效性?！?.7三角函數(shù)的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2．實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型．核心素養(yǎng)1.邏輯抽象：實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型問(wèn)題；2.數(shù)據(jù)分析：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問(wèn)題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)建立數(shù)學(xué)模型；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：實(shí)際問(wèn)題求解；4.數(shù)學(xué)建模：體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型.【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本242-245頁(yè)，填寫(xiě)。1．三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型．其基本模型可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論．【小試牛刀】1．電流I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，則電流I變化的周期是()A．eq\f(1,100)B．100C．eq\f(1,50)D．502.如圖所示，一個(gè)單擺以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角θ(－π＜θ＜π)與時(shí)間t(s)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，則當(dāng)t＝0時(shí)，角θ的大小及單擺頻率是()A．eq\f(1,2)，eq\f(1,π)B．2，eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)，πD．2，π3．如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要________s往返一次．4．如圖所示的圖象顯示的是相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度y(m)在某天24h內(nèi)的變化情況，則水面高度y關(guān)于從夜間0時(shí)開(kāi)始的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______________．【自主探究】題型一三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)間t(s)的變化規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．(1)用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2)小球在開(kāi)始振動(dòng)(t＝0)時(shí)的位移是多少？(3)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？(4)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？跟蹤訓(xùn)練一1．單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置的距離s(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)當(dāng)單擺開(kāi)始擺動(dòng)(t＝0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？(2)當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？(3)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需多長(zhǎng)時(shí)間？題型二三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例2如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)．（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段曲線(xiàn)的函數(shù)解析式跟蹤訓(xùn)練二1.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(m)是時(shí)間t(h)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？【課堂檢測(cè)】1．與圖中曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|2．某人的血壓滿(mǎn)足函數(shù)式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為()A．60B．70C．80D．903．一彈簧振子的位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若彈簧振子運(yùn)動(dòng)的振幅為3，周期為eq\f(2π,7)，初相為eq\f(π,6)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為_(kāi)_______．4．一根長(zhǎng)lcm的線(xiàn)，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1s時(shí)，線(xiàn)長(zhǎng)l＝________cm.5．如圖，某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線(xiàn)變化．(1)求出動(dòng)物種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式；(其中t以年初以來(lái)的月為計(jì)量單位)(2)估計(jì)當(dāng)年3月1日動(dòng)物種群數(shù)量．答案小試牛刀1．C2.A3．0.8.4．y＝－6sineq\f(π,6)x.自主探究例1【答案】（1）略（2）2eq\r(3)cm.（3）小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和－4cm.（4）πs.【解析】(1)列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點(diǎn)、連線(xiàn)，圖象如圖所示．(2)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球開(kāi)始振動(dòng)時(shí)的位移是2eq\r(3)cm.(3)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和－4cm.(4)因?yàn)檎駝?dòng)的周期是π，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是πs.跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】(1)3cm；(2)6cm；(3)1s.【解析】(1)由s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))得t＝0時(shí)，s＝6sineq\f(π,6)＝3(cm)，所以單擺開(kāi)始擺動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是3cm；(2)由解析式知，振幅為6，∴單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是6cm；(3)T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2π)＝1，即單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需1s.例2【答案】（1）；（2）∴?！窘馕觥浚?）由圖可知：這段時(shí)間的最大溫差是；（2）從圖可以看出：從6～14是的半個(gè)周期的圖象，∴∴∵，∴又∵∴∴將點(diǎn)代入得：，∴，∴，取，∴。跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】(1)T＝12，振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)沖浪愛(ài)好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即9＜t＜15.【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6).又t＝0時(shí)，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3時(shí)，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1時(shí)，才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1＞1，coseq\f(π,6)t＞0，2kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)