《1.1 集合的概念》教案與同步練習(xí)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)《1.1集合的概念》教案【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.了解集合的含義；理解元素與集合的“屬于”與“不屬于”關(guān)系；熟記常用數(shù)集專(zhuān)用符號(hào)．2.深刻理解集合元素的確定性、互異性、無(wú)序性；能夠用其解決有關(guān)問(wèn)題．3.會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合。感受集合語(yǔ)言的意義和作用。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.邏輯推理：集合的互異性的辨析與應(yīng)用；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：集合相等時(shí)的參數(shù)計(jì)算，集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時(shí)的運(yùn)算；4.數(shù)據(jù)分析：元素在集合中對(duì)應(yīng)的參數(shù)滿(mǎn)足的條件；5.數(shù)學(xué)建模：用集合思想對(duì)實(shí)際生活中的對(duì)象進(jìn)行判斷與歸類(lèi)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：集合的基本概念，集合中元素的三個(gè)特性，元素與集合的關(guān)系，集合的表示方法．難點(diǎn)：元素與集合的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎揪唧w問(wèn)題中的集合．【教學(xué)過(guò)程】一、情景引入一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義．于是，他請(qǐng)教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我，集合是什么？”集合是不加定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民．有一天，他來(lái)到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚(yú)在網(wǎng)中跳動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)家非常激動(dòng)，高興地告訴漁民：“這就是集合！”問(wèn)題1：數(shù)學(xué)家說(shuō)的集合是指什么？問(wèn)題2：網(wǎng)中的“大魚(yú)”能構(gòu)成集合嗎？二、新知導(dǎo)學(xué)1．集合的概念(1)含義：一般地，我們把所研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的__總體__叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)．(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的__元素__是一樣的，即這兩個(gè)集合中的元素完全相同，就稱(chēng)這兩個(gè)集合相等．[知識(shí)點(diǎn)撥]集合中的元素必須滿(mǎn)足如下性質(zhì)：(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．(3)無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．2．元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合Aa__∈__Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合Aa?Aa__不屬于__集合A[知識(shí)點(diǎn)撥]符號(hào)“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．3．集合的表示法(1)自然語(yǔ)言表示法：用文字語(yǔ)言形式來(lái)表示集合的方法．例如：小于3的實(shí)數(shù)組成的集合．(2)字母表示法：用一個(gè)大寫(xiě)拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫(xiě)拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數(shù)集的表示：名稱(chēng)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)__N____N*或N＋____Z____Q____R__(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．(4)描述法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的__一般符號(hào)__及__取值(或變化)范圍__，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的__共同特征__.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．三、預(yù)習(xí)自測(cè)1．下列各組對(duì)象中不能組成集合的是(C)A．清華大學(xué)2019年入校的全體學(xué)生B．我國(guó)十三屆全國(guó)人大二次會(huì)議的全體參會(huì)成員C．中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家D．不等式x－1>0的實(shí)數(shù)解[解析]“著名的數(shù)學(xué)家”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某人是否“著名”無(wú)法客觀地判斷，因此“中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家”不能組成集合，故選C．2．已知a∈R，且a?Q，則a可以為(A)A．eq\r(2)B．eq\f(1,2)C．－2D．－eq\f(1,3)[解析]eq\r(2)∈R，且eq\r(2)?Q，故選A．3．設(shè)x∈N，且eq\f(1,x)∈N，則x的值可能是(B)A．0B．1C．－1D．0或1[解析]∵x∈N，∴x≠－1，排除C，又∵eq\f(1,x)∈N，∴x≠0，排除A、D，故選B．4．下列說(shuō)法中①集合N與集合N*是同一個(gè)集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的個(gè)數(shù)是__2__.[解析]由數(shù)集的性質(zhì)可知①③錯(cuò)誤，②④正確．5．已知集合A中含有三個(gè)元素0,1，x，若x2∈A，求實(shí)數(shù)x的值．[解析]當(dāng)x2＝0時(shí)，得x＝0，此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同的元素，舍去．當(dāng)x2＝1時(shí)，得x＝±1.若x＝1，此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同的元素，舍去．若x＝－1，此時(shí)集合A中有三個(gè)元素0,1，－1，符合題意．當(dāng)x2＝x時(shí)，得x＝0或x＝1，易知都不符合題意．綜上可知，符合題意的x的值為－1.四、互動(dòng)探究命題方向1?集合的基本概念典例1下列各組對(duì)象：①某個(gè)班級(jí)中年齡較小的男同學(xué)；②聯(lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)；③2018年在韓國(guó)舉行的第23屆冬奧會(huì)的所有參賽運(yùn)動(dòng)員；④eq\r(2)的所有近似值．其中能夠組成集合的是__②③__.[思路分析]結(jié)合集合中元素的特性分析各組對(duì)象是否滿(mǎn)足確定性和互異性，進(jìn)而判斷能否組成集合．[解析]①中的“年齡較小”、④中的“近似值”，這些標(biāo)準(zhǔn)均不明確，即元素不確定，所以①④不能組成集合．②③中的對(duì)象都是確定的、互異的，所以②③可以組成集合．填②③.『規(guī)律方法』1.判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對(duì)象是“確定無(wú)疑”的還是“模棱兩可”的．如果是“確定無(wú)疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合．2．判斷集合中的元素個(gè)數(shù)時(shí)，要注意相同的對(duì)象歸入同一集合時(shí)只能算作一個(gè)，即集合中的元素滿(mǎn)足互異性．〔跟蹤練習(xí)1〕下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：(1)我國(guó)的小城市；(2)某校2019年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；(3)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；(4)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解．[解析](1)“我國(guó)的小城市”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)城市是否“小”無(wú)法客觀地判斷，因此，“我國(guó)的小城市”不能構(gòu)成一個(gè)集合．(2)“高個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)同學(xué)是否是“高個(gè)子”無(wú)法客觀地判斷，不能構(gòu)成集合．(3)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地判斷是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x＞20或x＜0”兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解為－3,3，能構(gòu)成集合．命題方向2?元素和集合的關(guān)系典例2已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三個(gè)元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．[思路分析]－3是集合的元素說(shuō)明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分類(lèi)討論求解．[解析]由題意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.當(dāng)x－2＝－3時(shí)，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三個(gè)元素分別為－3，－3,12，不滿(mǎn)足集合中元素的互異性；當(dāng)2x2＋5x＝－3時(shí)，x＝－eq\f(3,2)或x＝－1(舍去)，當(dāng)x＝－eq\f(3,2)時(shí)，集合的三個(gè)元素分別為－eq\f(7,2)，－3,12，滿(mǎn)足集合中元素的互異性，故x＝－eq\f(3,2).『規(guī)律方法』解決此類(lèi)問(wèn)題的通法是：根據(jù)元素的確定性建立分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，求得參數(shù)的值，然后將參數(shù)值代入檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足集合中元素的互異性．〔跟蹤練習(xí)2〕已知集合A中僅含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_0或－1__.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為0或－1.命題方向3?用列舉法表示集合典例3用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)組成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根組成的集合；(3)一次函數(shù)y＝x－1與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的圖象的交點(diǎn)組成的集合．[思路分析](1)(2)可直接求出相應(yīng)元素，然后用列舉法表示；(3)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y＝－\f(2,3)x＋\f(4,3)))→求方程組的解→寫(xiě)出交點(diǎn)坐標(biāo)→用集合表示．[解析](1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12，所求集合為{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合為{2,4}．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,2x＋3y＝4))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,5),y＝\f(2,5))).所求集合為{(eq\f(7,5)，eq\f(2,5))}．『規(guī)律方法』1.用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點(diǎn)集．2．列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集還是無(wú)限集，是選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǖ年P(guān)鍵．〔跟蹤練習(xí)3〕用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線(xiàn)y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合．[解析](1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思．所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，故兩直線(xiàn)的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．命題方向4?用描述法表示集合典例4用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的實(shí)數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)使y＝eq\f(\r(2－x),x)有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合；(4)200以?xún)?nèi)的正奇數(shù)組成的集合；(5)方程x2－5x－6＝0的解組成的集合．[思路分析]用描述法表示集合時(shí)，關(guān)鍵要弄清元素的屬性是什么，再給出其滿(mǎn)足的性質(zhì)，注意不要漏掉類(lèi)似“x∈N”等條件．[解析](1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿(mǎn)足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0，y>0}．(3)要使該式有意義，需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0,x≠0))，解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0.}『規(guī)律方法』用描述法表示集合應(yīng)注意的問(wèn)題1．寫(xiě)清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他對(duì)象；2．準(zhǔn)確說(shuō)明集合中元素所滿(mǎn)足的特征；3．所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在集合符號(hào)內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的符號(hào)；4．用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，多層描述時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語(yǔ)句之間的關(guān)系．〔跟蹤練習(xí)4〕用描述法表示下列集合：(1)大于4的全體奇數(shù)組成的集合；(2)二次函數(shù)y＝3x2－1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合；(3)所有的三角形組成的集合．[解析](1)奇數(shù)可表示為2k＋1，k∈Z，又因?yàn)榇笥?，故k≥2，故可用描述法表示為{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．(2)點(diǎn)可用實(shí)數(shù)對(duì)表示，故可表示為{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．典例5設(shè)集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求實(shí)數(shù)x、y的值．[錯(cuò)解]由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1,xy＝y(tǒng)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng),xy＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).[錯(cuò)因分析]當(dāng)x＝1，y∈R時(shí)，A＝B＝{1,1，y}，不滿(mǎn)足集合元素的互異性，當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，A＝B＝{1,1,1}也不滿(mǎn)足元素的互異性，當(dāng)x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，滿(mǎn)足題意．[正解]由錯(cuò)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))時(shí)不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，所以x＝－1，y＝0.[點(diǎn)評(píng)]在實(shí)際解答過(guò)程中，很多同學(xué)只是把答案算出來(lái)后就結(jié)束了，根本不考慮求解出來(lái)的答案是不是合乎題目要求，有沒(méi)有出現(xiàn)遺漏或增根．在實(shí)際解答中要根據(jù)元素的特征，結(jié)合題目要求和隱含條件，加以重視．集合命題中與運(yùn)算法則相關(guān)的問(wèn)題已經(jīng)成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)．這類(lèi)試題的特點(diǎn)：通過(guò)給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運(yùn)算方法，在新的情況下完成某種推理證明或指定要求是集合命題的一個(gè)新方向．常見(jiàn)的有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法則等類(lèi)型．典例6當(dāng)x∈A時(shí)，若x－1?A且x＋1?A，則稱(chēng)x為A的一個(gè)“孤立元素”，所有孤立元素組成的集合稱(chēng)為“孤星集”，則集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為_(kāi)_{5}__.[思路分析]準(zhǔn)確理解題中給出的新定義，并將其翻譯成自然語(yǔ)言是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．[解析]由“孤立元素”的定義知，對(duì)任意x∈A，要成為A的孤立元素，必須是集合A中既沒(méi)有x－1，也沒(méi)有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2則是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，從而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為{5}，故填{5}．『規(guī)律方法』解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法：仔細(xì)審題，準(zhǔn)確把握新信息，想方設(shè)法將新定義的問(wèn)題化歸為已經(jīng)解決的熟悉問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決．也就是“以舊帶新”法．五、課堂同步練習(xí)1．下列語(yǔ)句能確定一個(gè)集合的是(D)A．充分小的負(fù)數(shù)全體 B．愛(ài)好飛機(jī)的一些人C．某班本學(xué)期視力較差的同學(xué) D．某校某班某一天的所有課程[解析]由集合的含義，根據(jù)集合元素的確定性，易排除A、B、C，故選D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三個(gè)元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，那么△ABC一定不是(D)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互異性知a，b，c互不相等，故選D．3．設(shè)集合A只含有一個(gè)元素a，則下列各式正確的是(C)A．0∈A B．a(chǎn)?AC．a(chǎn)∈A D．a(chǎn)＝A[解析]由于集合A中只含有一個(gè)元素a，由元素與集合的關(guān)系可知，a∈A，故選C．4．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．{(x，y)|(1,1)}[解析]由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))，可得3y＝3，解得y＝1，x＝1.故方程組的解集為{(1,1)}，故選C．5．用列舉法表示下列集合．(1)A＝{x∈Z|eq\f(6,3－x)∈Z}；(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．[解析](1)要使x，eq\f(6,3－x)是整數(shù)，則|3－x|必是6的約數(shù)，當(dāng)x＝－3,0,1,2,4,5,6,9時(shí)，|3－x|是6的約數(shù)，∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0<y≤9.當(dāng)x＝0，±1，±2時(shí)，y＝9,8,5符合題意，∴B＝{5,8,9}．(3)點(diǎn)(x，y)滿(mǎn)足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2)).∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．《1.1集合的概念》同步練習(xí)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列各組對(duì)象可以組成集合的是(B)A．?dāng)?shù)學(xué)必修1課本中所有的難題B．小于8的所有素?cái)?shù)C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第四象限的一些點(diǎn)D．所有小的正數(shù)[解析]由集合的含義，根據(jù)集合中元素的確定性，排除A、C、D，故選B．2．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為(B)A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析]∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1，故選B．3．用列舉法可將集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為(D)A．{1,2}B．{(1,2)}C．{(1,1)，(2,2)}D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析]x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故選D．4．集合A中含有3個(gè)元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值為(D)A．2 B．4C．6 D．2或4[解析]∵a∈A，A＝{2,4,6}，∴當(dāng)a＝2時(shí)，6－a＝4∈A，當(dāng)a＝4時(shí)，6－a＝2∈A，當(dāng)a＝6時(shí)，6－a＝0?A，∴a＝2或4，故選D．5．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))的解集是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)) B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}[解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)).用描述法表示為{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列舉法表示為{(3，－7)}，故選D．6．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝eq\r(2)＋eq\r(3)，則a與集合A的關(guān)系是(A)A．a(chǎn)∈A B．a(chǎn)?AC．a(chǎn)＝A D．{a}∈A[解析]由于eq\r(2)＋eq\r(3)＜10，所以a∈A，故選A．二、填空題7．用符號(hào)∈與?填空：(1)0__?__N*；eq\r(3)__?__Z；0__∈__N；(－1)0__∈__N*；eq\r(3)＋2__?__Q；eq\f(4,3)__∈__Q.(2)3__∈__{2,3}；3__?__{(2,3)}；(2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__?__{(2,3)}．(3)若a2＝3，則a__∈__R，若a2＝－1，則a__?__R.[解析](1)只要熟記常用數(shù)集的記號(hào)所對(duì)應(yīng)的含義就很容易辨別．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整數(shù)3不是點(diǎn)集{(2,3)}的元素；同樣(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因?yàn)樽鴺?biāo)順序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的數(shù)是±eq\r(3)，當(dāng)然是實(shí)數(shù)，而平方等于－1的實(shí)數(shù)是不存在的．8．設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值構(gòu)成的集合中的元素有__－2,0,2__.[解析]a>0，b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝2，a>0，b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(－b,b)＝1－1＝0，a<0，b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(b,b)＝－1＋1＝0，a<0，b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2，∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值構(gòu)成的集合中的元素有－2,0,2.三、解答題9．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}；(2){eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)}；(3)被5除余1的正整數(shù)集合；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合；(5)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))的解組成的集合．[解析](1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．(2){x|x＝eq\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5}．(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．(4){(x，y)|xy<0}．(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))))).B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是(C)A．{x|x＝2019} B．{y|(y－2019)2＝0}C．{x＝2019} D．{2019}[解析]選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2019，都是數(shù)集．而選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．2．如果a、b、c、d為集合A的四個(gè)元素，那么以a、b、c、d為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可能是(D)A．矩形 B．平行四邊形C．菱形 D．梯形[解析]由于集合中的元素具有“互異性”，故a、b、c、d四個(gè)元素互不相同，即組成四邊形的四條邊互不相等．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為(B)A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[解析]因?yàn)?∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要滿(mǎn)足互異性，對(duì)m的所有取值進(jìn)行一一檢驗(yàn)可得m＝3，故選B．4．已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是(D)A．0?M B．2∈MC．－4?M D．4∈M[解析]當(dāng)x>0時(shí)，eq\f(x,|x|)＝1，當(dāng)x<0時(shí)，eq\f(x,|x|)＝－1，故當(dāng)x，y，z全為正時(shí)，原式＝4；當(dāng)x，y，z兩正一負(fù)時(shí)，xyz<0，原式＝0；當(dāng)x，y，z兩負(fù)一正時(shí)，xyz>0，原式＝0；當(dāng)x，y，z全為負(fù)時(shí)，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故選D．二、填空題5．用列舉法寫(xiě)出集合{eq\f(3,3－x)∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1,1,3}__.[解析]∵eq\f(3,3－x)∈Z，x∈Z，∴3－x為3的因數(shù)．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴eq\f(3,3－x)＝±3，或eq\f(3,3－x)＝±1.∴－3，－1,1,3滿(mǎn)足題意．6．設(shè)A，B為兩個(gè)實(shí)數(shù)集，定義集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}