第21講 拋物線定義及性質(zhì)?？?種題型（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第21講拋物線定義及性質(zhì)?？?種題型【考點分析】考點一：拋物線定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．考點二：拋物線焦點弦焦半徑公式圖1-3-1圖1-3-2焦半徑：，，． 焦點弦：．三角形面積：．【題型目錄】題型一：拋物線的定義及方程題型二：拋物線的性質(zhì)題型三：拋物線焦點弦焦半徑題型四：有關(guān)三角形面積問題題型五：拋物線中的最值問題【典型例題】題型一：拋物線的定義及方程【例1】已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出的值.【詳解】由拋物線定義知：，所以，解得：.故選：A【例2】拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，是拋物線上的點，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知的外心的橫坐標(biāo)為，求出點到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即為外接圓的半徑，再利用圓的面積公式可求得的值.【詳解】拋物線的焦點為，易知的外心的橫坐標(biāo)為，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以，的外接圓的半徑為，由題意可得，因為，解得.故選：D.【例4】數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點坐標(biāo)為，校門最高點到地面距離約為18米，則校門位于地面寬度最大約為（

）A．18米 B．21米 C．24米 D．27米【答案】C【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)焦點坐標(biāo)求出的值，即可得到拋物線方程，再令求出的值，即可得解.【詳解】解：拋物線，即，因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以，所以，所以拋物線即為，令，則，解得，所以校門位于地面寬度最大約為米.故選：C【例5】過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，分別過A、B兩點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點，以線段為直徑的圓C過點，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出拋物線焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出圓心的縱坐標(biāo)，再結(jié)合圓過的點求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線：，設(shè)，令弦AB的中點為E，而圓心C是線段的中點，又，即有，，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x得：，則，，點E的縱坐標(biāo)為，于是得圓C的半徑，圓心，而圓C過點，則有，即，解得，因此圓C的圓心，半徑，圓C的方程為.故選：B【題型專練】1.已知拋物線，其焦點為F，準(zhǔn)線為l，則下列說法正確的是（

）A．焦點F到準(zhǔn)線l的距離為1 B．焦點F的坐標(biāo)為C．準(zhǔn)線l的方程為 D．對稱軸為x軸【答案】C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，表示焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線，即得答案.【詳解】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程所以焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，焦點F到準(zhǔn)線l的距離為，對稱軸為y軸故選：C【點睛】本題考查由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程表示其簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題.2.拋物線的焦點為F，點M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)，由拋物線的定義，即，即可求出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：設(shè)，由拋物線的定義知：，即，即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.故選：B.3.已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若，則(為坐標(biāo)原點)的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由題可得，利用拋物線的定義可得，利用三角形的面積公式結(jié)合條件即得，【詳解】由題可得，因為，所以，，所以為坐標(biāo)原點)的面積是.故選：A.4．（2022·廣東廣州·高二期末）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，由圓的方程得圓心和半徑，由已知得圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，從而求出.【詳解】因為，所以拋物線準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.5.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為______m．【答案】##3.6【分析】首先建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)拋物線所過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程，進而得到拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離.【詳解】以拋物線的最高點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，，因為拋物線過點，所以，可得，所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為．故答案為：題型二：拋物線的性質(zhì)【例1】拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點D，等邊三角形ABF中，可得點B的坐標(biāo)代入雙曲線上方程可得答案．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點B的坐標(biāo)為，又點B在雙曲線上，故，解得．故選：C．【例2】已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在拋物線C上，垂直l于點Q，與y軸交于點T，O為坐標(biāo)原點，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)直線交于點，則可得，從而可得點的縱坐標(biāo)為2，則可求出的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】由，得拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為直線，設(shè)直線交于點，則為的中點，因為∥，，所以，因為垂直l于點Q，所以點的縱坐標(biāo)為2，當(dāng)時，，得，所以點的橫坐標(biāo)與F相同，所以，故選：B【例3】已知，是拋物線上位于不同象限的兩點，分別過，作的切線，兩條切線相交于點，為的焦點，若，，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可求得坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，從而得直線方程，聯(lián)立可得交點的坐標(biāo)，利用距離公式即可求得的值.【詳解】解：拋物線的焦點，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線對稱性，不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可知所以的縱坐標(biāo)為1，的縱坐標(biāo)為4，則，．由得，得，所以拋物線在，兩點處的切線斜率分別為和2，得到兩條切線方程并聯(lián)立，解得，則，所以．故選：B【例4】已知點A是拋物線C：上一點，F(xiàn)為焦點，O為坐標(biāo)原點，若以點O為圓心，以的長為半徑的圓與拋物線C的另一個交點為B，且，則的值是（

）A． B．6 C． D．7【答案】C【分析】，由題意確定為等邊三角形，進而表示A點坐標(biāo)，代入拋物線方程，求得a的值，結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可求得答案.【詳解】由知：；設(shè)，結(jié)合圓和拋物線的對稱性可得，結(jié)合，得為等邊三角形，不妨設(shè)點A在第一象限，則A的坐標(biāo)為，因為點A是拋物線C：上一點，所以，所以，得A的坐標(biāo)為，故，故選：C【例5】（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.【題型專練】1．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點A、，與直線交于點，若，，則（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】B【分析】作出輔助線，由拋物線定義得到，，設(shè)，則，根據(jù)，求出，進而根據(jù)求出，得到答案.【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，作，，垂足分別為，則．根據(jù)拋物線定義知，，又，，所以，，設(shè)，因為，所以，則．所以，又，可得，所以，所以，可得，即．故選：B2.已知拋物線過點，過點的直線交拋物線于，兩點，點在點右側(cè)，若為焦點，直線，分別交拋物線于，兩點，則（

）A． B．C．A，，三點共線 D．【答案】AC【分析】設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程消參，利用定義表示出，然后由韋達定理和解不等式可判斷A；用坐標(biāo)表示出，利用韋達定理表示后，由m的范圍可判斷B；設(shè)直線NF，借助韋達定理表示出P點坐標(biāo)，同理可得Q點坐標(biāo)，然后由斜率是否相等可判斷C；根據(jù)M和P的橫坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合AN斜率可判斷D.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為設(shè)設(shè)過點的直線方程為，代入整理得：則，，即或又由定義可知，，所以，故A正確；所以又，故B錯誤；記設(shè)直線NF方程為，代入整理得：則，，同理可得因為，，所以A，，三點共線，C正確；因為，，所以由上可知，直線AM的斜率，所以，所以，D錯誤.故選：AC3.已知F為拋物線的焦點，點A在拋物線C上，O為原點，若為等腰三角形，則點A的橫坐標(biāo)可能為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，分別表示出，，再分類討論即可求解.【詳解】由拋物線的解析式，可知，準(zhǔn)線，設(shè)，由拋物線的定義可知，又，.當(dāng)時，即，解得，此時點與點重合，不符合題意；當(dāng)時，即，解得或（舍），此時點A的橫坐標(biāo)為；當(dāng)時，即，解得，此時點A的橫坐標(biāo)為.只有選項C符合題意.故選：C4.設(shè)拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，作出示意圖，結(jié)合拋物線的定義，焦半徑公式，對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】根據(jù)題意，作出示意圖,因為以F為圓心，|FA|為半徑的圓交于B，D兩點，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以是等邊三角形，故B正確；所以∠FBD＝30°.因為的面積為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.故A錯誤；又點F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°＝3＝p，故C正確；則該拋物線的方程為y2＝6x.故D錯誤.故選：BC.5.已知：的焦點為，斜率為且經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，兩點（點在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則（

）A． B．為線段的中點C． D．【答案】AB【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得到，．求出的值，過點作垂直準(zhǔn)線于點，得到為線段的中點即得解.【詳解】解：易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．過點作垂直準(zhǔn)線于點，易知，∴，∴．.∵，∴為線段的中點．故選：AB．6.已知點F是拋物線的焦點，A，B，C為E上三點，且，則___________．【答案】12【分析】根據(jù)題意可得F為△ABC的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式解得，再結(jié)合拋物線定義代入整理計算．【詳解】由題意知，設(shè)，，，，F(xiàn)為△ABC的重心，即，則．故答案為：12．題型三：拋物線焦點弦焦半徑【例1】過拋物線的焦點F的直線l與拋物線C交于點A，B，若若直線l的斜率為k，則k=（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由條件結(jié)合拋物線的定義，解三角形求直線l的斜率.【詳解】當(dāng)在軸上方時，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作于，設(shè)，則，所以，所以，同理可得當(dāng)在軸下方時，的值為，故選：C.【例2】已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則B．若，則直線的斜率為C．若為坐標(biāo)原點，則三點共線D．【答案】ACD【分析】對于A，求出直線的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用弦長公式可求出，對于B，設(shè)1，代入拋物線方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，得，從而可求出的坐標(biāo)，進而可求出直線的斜率，對于C，同選項B，利用根與系數(shù)關(guān)系后，計算即可，對于D，同選項B，利用根與系數(shù)關(guān)系后，計算即可【詳解】若直線的傾斜角為，則，令，由消可得，所以，故正確；設(shè)1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故錯誤；設(shè)，令，，消可得，所以，即三點共線，故C正確；設(shè)，令，由消可得，，所以，即，故正確.故選：ACD.【例3】已知拋物線，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作軸的垂線，垂足分別為C，D，則的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，直線與拋物線聯(lián)立求出焦點弦長，討論最值求解.【詳解】因為拋物線為，所以，焦點設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以，所以,即因為過F的直線與拋物線交于A，B兩點，所以直線的斜率不等于0，設(shè)為，聯(lián)立，得，所以，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時有最小值為4，則有最小值為2.故選:B.【題型專練】1.（2022·全國·高考真題（文））設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B2.設(shè)F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【分析】由題意得出焦點坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點的弦長公式可得出答案.【詳解】依題意可知拋物線焦點為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為．故選：B．3．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD4.已知拋物線的焦點F，過F分別作直線與C交于A，B兩點，作直線與C交于D，E兩點，若直線與的斜率的平方和為1，則的最小值為_________【答案】24【分析】根據(jù)給定條件，將直線、的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出、，再借助均值不等式求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，設(shè)直線與的斜率分別為，，有，直線：，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，直線：，同理，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為24.故答案為：24【點睛】思路點睛：直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．題型四：有關(guān)三角形面積問題【例1】經(jīng)過拋物線C：的焦點F的直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，若（其中O為坐標(biāo)原點），則直線l的斜率為______．【答案】【分析】設(shè)直線斜率為，直線方程為，設(shè)，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達定理得，然后由弦長公式得弦長，再求得原點到直線的距離，求出面積后可得值．【詳解】由已知，設(shè)直線斜率為，直線方程為，設(shè)，由得，，，，又到直線的距離為，所以，．故答案為：．【例2】拋物線的焦點為，直線與拋物線分別交于兩點（點?在第一象限），則的值等于________.【答案】【分析】由題意可知直線過焦點且傾斜角為，設(shè)，則，，求出，結(jié)合三角形面積公式即可求解【詳解】因為直線可化為，所以過焦點且傾斜角為，設(shè)，則，，解得，，代入得，，所以，故答案為：【題型專練】1.斜率為的直線過拋物線的焦點，且與C交于A，B兩點，則三角形的面積是（O為坐標(biāo)原點）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出A，B兩點坐標(biāo)，進而求出AB的長，再求出原點到直線距離，求出三角形面積.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，則斜率為的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，不妨設(shè)，，則，點O到直線AB的距離為，所以△AOB的面積為故選：B2.已知斜率為的直線過拋物線：的焦點且與拋物線相交于兩點，過分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)與的面積之比為2，利用拋物線定義得到，再結(jié)合韋達定理求解.【詳解】解：如圖所示：由拋物線：，得，設(shè)直線：，，，由得，所以，，由已知和拋物線定義知：，則有，即，所以解得，，.故選：D題型五：拋物線中的最值問題【例1】設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，P點坐標(biāo)，根據(jù)及拋物線方程，得到，從而表達出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【詳解】因為，設(shè)，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時，設(shè)，因為，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為.故選：C【例2】已知P為拋物線上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，為平面內(nèi)一定點，則的最小值為__________．【答案】5【分析】利用拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再由三點共線求最小值.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點坐標(biāo)為，過點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)共線時，和最?。贿^點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故答案為：5.【例3】已知F是拋物線的焦點，P是拋物線上一動點，Q是上一動點，則下列說法正確的有（

）A．的最小值為1 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷B，結(jié)合拋物線的定義判斷C，D.【詳解】拋物線焦點為，準(zhǔn)線為，作出圖象，對選項A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項A正確；對選項B：注意到F是定點，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項B錯誤；對選項CD：過點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項C正確，選項D錯誤．故選：AC.【例4】已知拋物線及圓，過的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為___________.【答案】13【分析】根據(jù)圓心即為拋物線C的焦點F，利用拋物線的定義，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：圓心即為拋物線C的焦點F.所以，由拋物線的定義，，所以，又易知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

所以的最小值為13，故答案為：13【題型專練】1.已知點為拋物線上的動點，設(shè)點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點到準(zhǔn)線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，此時最小，再根據(jù)點到直線距離公式即可求解.【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點到準(zhǔn)線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.，則．故選：B．【點睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離．牢記它對解題非常有益．2.已知