數(shù)學(xué)人教A版高中必修二（2019新編）6-7平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示（學(xué)案）

第07講平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，會(huì)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線．2.掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能準(zhǔn)確運(yùn)用向量的加法減法.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)利用坐標(biāo)來表示平面向量的加、減運(yùn)算.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)表示和（差）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．【微點(diǎn)撥】進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算前，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．【即學(xué)即練1】已知向量，，則向量（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以故選：A.【即學(xué)即練2】已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量減法法則計(jì)算．【詳解】故選：A.【即學(xué)即練3】若，，，，且，則實(shí)數(shù)x，y的值分別是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先利用向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再利用，即得解【詳解】由題意，，又故選：C【即學(xué)即練4】若，，，則=（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算求解.【詳解】∵∴故選：A.【即學(xué)即練5】已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是的相等向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__．【答案】【分析】由題設(shè)，易知的坐標(biāo)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量相等求，即可寫出的坐標(biāo).【詳解】由題意，得：，∴,,,．故答案為：．【即學(xué)即練6】設(shè)向量，，，若，，可組成一個(gè)三角形，則t=______.【答案】3【分析】根據(jù)可組成一個(gè)三角形即可得出，然后即可求出的值．【詳解】解：因?yàn)椋?，，且，，可組成一個(gè)三角形，．故答案為：3．【即學(xué)即練7】已知向量的坐標(biāo)分別是-1,2、3,-5，求a+b，a【答案】a+b【解析】由向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】?a=-1,2，b=3,-5【點(diǎn)睛】本題考查向量加法與減法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【即學(xué)即練8】設(shè)a=(2,-7)，b=(x,y)，c=(3,5)，若a+b【答案】QUOTE{x=1y=12【解析】【分析】利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得QUOTE{x+2=3y-7=5，求解即可.【詳解】由題設(shè)，(2,-7)+(x,y)=(3,5)，∴QUOTE{x+2=3y-7=5，解得QUOTE{x=1y=12.能力拓展能力拓展考法01在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算（直角坐標(biāo)運(yùn)算法則即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）【典例1】如圖，在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若AB=(2,4),AC=(1,3)【答案】（－3，－5）【解析】根據(jù)已知BC=AC-AB，可得【詳解】BC=BD=故答案為:(-3,-5).【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(3，2)，B-3,1，C1,-1，D是BC的中點(diǎn)，求【答案】-4,-2【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可求出向量AD的坐標(biāo)．【詳解】因?yàn)锽-3,1，C1,-1，所以又因?yàn)锳(3，2)，所以AD=故答案為：-4,-2.【典例3】已知作用在原點(diǎn)的三個(gè)力F1=1,2，F(xiàn)【答案】-2,1【解析】【分析】根據(jù)向量的幾何意義和力的合成，只需將三個(gè)力的坐標(biāo)相加，即可得到它們的合力．【詳解】解：根據(jù)力的合成的意義，可知F=故合力的坐標(biāo)為-2,1．【典例4】已知長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，i是x軸上的單位向量,j是y軸上的單位向量，試求AC和BD的坐標(biāo)．【答案】(4,3)，(-4,3)【解析】【分析】由題得AC=4i+3j，即得AC的坐標(biāo).再根據(jù)BD=BA【詳解】由題圖知，CB⊥x軸，CD⊥y軸．∵AB=4，AD=3，∴AC=4i+3j∴AC=(4,3)∵BD=∴BD=-4i+3j，∴BD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的三角形法則和平行四邊形法則，考查向量坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知?分別是方向與x軸正方向?y軸正方向相同的單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)A位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由向量的正交分解可得點(diǎn)坐標(biāo)，由橫縱坐標(biāo)的符號(hào)可確定所在象限.【詳解】由題意得：，位于第四象限故選：D.2.已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量，則向量等于（）A．（－7，－4） B．（7，4）C．（－1，4） D．（1，4）【答案】A【分析】首先設(shè)，根據(jù)得到，再求的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)，則所以，，即.所以.故選：A3.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是,,,，則向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)知，由向量的線性關(guān)系知、、，應(yīng)用線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可求的坐標(biāo).【詳解】平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是,,,，∴，,,,，,,,．,,,．故選：B．4.已知，，則等于（）A．(－2，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以有，故選：D5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，則的值是（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由坐標(biāo)知，利用模長(zhǎng)公式求得模長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)兩角差的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】由A，B坐標(biāo)知，，則故選：D6.若向量，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】．故選：A．7.已知點(diǎn)A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，則以A、B、C、D為頂點(diǎn)的凸四邊形是（）A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．不能構(gòu)成平行四邊形【答案】B【分析】由向量的坐標(biāo)公式和向量共線定理即可得出結(jié)果.【詳解】∵＝(－4，3)，＝(8，0)，＝(4，－3)，＝(－8，0)，∴，∴四邊形ABCD為平行四邊形．故選：B8.在平行四邊形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，則＋＝（）A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)【答案】A【分析】利用平行四邊形法則，結(jié)合向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果.【詳解】在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.故選:A.9.在中，，，則（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】可得，即可求出，得出模.【詳解】，，，,，即，.故選：A.10.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】C【分析】可求出，從而可得出，解出的值即可.【詳解】由題意，向量，，所以，可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于容易題.11.已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)?，即，所以，解得，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)表示，以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算能力.12.若向量，則＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算可得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】由題，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟悉向量的加減法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.13.已知中，，，若，則的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，可得；由可得M為BC中點(diǎn)，即可求得的坐標(biāo)，進(jìn)而利用即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)?，即M為BC中點(diǎn)所以所以所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的減法運(yùn)算和線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14.已知點(diǎn)A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),則四邊形ABCD是()A．梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形【答案】B【詳解】由已知得=(3,-2),=(4,6),=(-3,2),所以,且=0,即,所以四邊形ABCD是矩形.15.設(shè)、、、、是平面上給定的5個(gè)不同點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．5個(gè) D．10個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)M及5個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)用已知5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，進(jìn)而判斷解的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)，、、、、的坐標(biāo)依次為，則，因，則，于是有，即，且，所以，且，只有一組解，所以符合條件的點(diǎn)M只有一個(gè).故選：B題組B能力提升練1.（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，以，，為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各項(xiàng)中能作為平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依次代入四個(gè)選項(xiàng)的坐標(biāo)，求出每種情況下四邊的長(zhǎng)度，結(jié)合對(duì)邊是否平行即可選出正確答案.【詳解】解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為．對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，，，．∵，，∴四邊形不是平行四邊形．A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)?，即且，故是平行四邊形，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)?，即且，故是平行四邊形，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)椋辞?，故是平行四邊形，D正確；故選：BCD．2.(多選題)下列各式不正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】由向量加、減法的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)排除可得答案．【詳解】對(duì)于A，若，，則，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，正確；對(duì)于C，若，，則，錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，錯(cuò)誤.故選：ACD.3.（多選題）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】設(shè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是，分類討論點(diǎn)在平行四邊形的位置有：，，，將向量用坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】第四個(gè)頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量關(guān)系求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)，考查分類討論思想，屬于中檔題.4.設(shè)向量滿足，且與的方向相反，則的坐標(biāo)為_______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件可得是的相反向量，由此即可求得坐標(biāo).【詳解】因向量與的方向相反，且，則是的相反向量，所以.答案：C培優(yōu)拔尖練1.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為AC的中點(diǎn)，分別求向量AB,【答案】AB=(2,0)；AC=(1,3)；【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出正△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示向量即可得解.【詳解】由所給圖形，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，則頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(1,3)，線段AC中點(diǎn)所以AB=(2,0)，AC=(1,3)，2.設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，已知A(3，l)，B(-2,2)，且AB=(1)若C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)原點(diǎn)為O，OP=AB，求【答案】(1)D(-6,5)(2)P(-5,1)【解析】【分析】應(yīng)用已知坐標(biāo)表示出AB，再設(shè)D(x,y)、P(a,b)，結(jié)合題設(shè)寫出CD、OP的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量相等求參數(shù)值，即可寫出D、P坐標(biāo)；(1)由題設(shè)，AB=(-5,1)，若D(x,y)，則CD∴(-5,1)=(x+1,y-4)，即QUOTE{x+1=-5y-4=1，可得QUOTE{x=-6y=5，∴D(-6,5).(2)若P(a,b)，則OP=(a,b)，又OP∴(-5,1)=(a,b)，即QUOTE{a=-5b=1，∴P(-5,1)3.在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(-3,-4),B(5,-12)，且O?A?B是一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo).【答案】8,-8、2,-16、-8,8【解析】【分析】分情況討論，根據(jù)向量相等即可求解.【詳解】設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)Cx,y，若OABC則AO=BC，即即x-5=3y+12=4，解得x=8y=-8，此時(shí)若OACB為平行四邊形，則AO=CB，即即5-x=3-12-y=4，解得x=2y=-16，此時(shí)若OCAB為平行四邊形，則CO=AB，即-x,-y=故第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為8,-8、2,-16、-8,8.4.在ΔABC中,D是BC邊的中點(diǎn),已知A(1,1),AB=(-1,-3),CD=(3,5)【答案】(-6,-12)【解析】根據(jù)向量關(guān)系表示出AC=【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∵AC=∴OC-∴OC=即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,-12).【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)