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第十二章輔助曲線模型(初中數(shù)學)第十二章輔助曲線模型(初中數(shù)學)本章將介紹輔助曲線模型,它是解決初中數(shù)學問題的一種常見方法。輔助曲線定義輔助曲線指在平面直角坐標系內(nèi),曲線與題目所給出的曲線有相同的導數(shù)或方程。作用輔助曲線可以幫助我們構造方程、求解問題。輔助線定義輔助線是將所給的圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等后,能夠得到與原來圖形等價的圖形中的線。作用輔助線可以幫助我們解決一些幾何問題。實例展示下面通過一些例子來展示如何應用輔助曲線、輔助線模型解決問題。例1如果三角形$\triangleABC$的高線$AD=2$,$AB+AC=7$,求$\triangleABC$面積的最大值。解:作輔助線$BE\perpAC$,則$\triangleBAE$為直角三角形,$\angleABE=\angleEAC=\theta$,則$\angleBAC=2\theta$。易得$AB=2AD\sin\theta$,$AC=2AD\cos\theta$,代入已知條件得:$$4AD^2\sin\theta\cos\theta+4AD^2\sin\theta+5=49$$則$\sin2\theta=\dfrac{9}{16}$,進而得到$S_{\bigtriangleupABC}=4\sqrt{5}$,即$\bigtriangleupABC$面積的最大值為$4\sqrt{5}$。例2如圖,在$\bigtriangleupABC$中,$\angleBAC=60^{\circ}$,點$O$是$\bigtriangleupABC$內(nèi)的任意一點,$BO$交$AC$于點$E$,$CO$交$AB$于點$F$。若$\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=1$,則$\angleAOC$等于多少?解:作輔助線$DG\parallelBC$,交$AB$于點$G$。則$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AG}{GB}$,$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{CJ}{JE}$。由于$\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=1$,所以$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{BG}{GB}$,$\dfrac{AG}{GB}=\dfrac{CJ}{JE}$。注意到$\bigtriangleupCOJ$與$\bigtriangleupEGD$全等,$\angleEGB=60^{\circ}+\angleABC$,故$\angleAOC=2\angleEGB=2\angleABC+120^{\circ}$。因此$\angleAOC$等于$2\angleAB
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