第十二章 輔助曲線模型(初中數學)

第十二章輔助曲線模型(初中數學)第十二章輔助曲線模型(初中數學)本章將介紹輔助曲線模型，它是解決初中數學問題的一種常見方法。輔助曲線定義輔助曲線指在平面直角坐標系內，曲線與題目所給出的曲線有相同的導數或方程。作用輔助曲線可以幫助我們構造方程、求解問題。輔助線定義輔助線是將所給的圖形平移、翻折、旋轉等后，能夠得到與原來圖形等價的圖形中的線。作用輔助線可以幫助我們解決一些幾何問題。實例展示下面通過一些例子來展示如何應用輔助曲線、輔助線模型解決問題。例1如果三角形$\triangleABC$的高線$AD=2$，$AB+AC=7$，求$\triangleABC$面積的最大值。解：作輔助線$BE\perpAC$，則$\triangleBAE$為直角三角形，$\angleABE=\angleEAC=\theta$，則$\angleBAC=2\theta$。易得$AB=2AD\sin\theta$，$AC=2AD\cos\theta$，代入已知條件得:$$4AD^2\sin\theta\cos\theta+4AD^2\sin\theta+5=49$$則$\sin2\theta=\dfrac{9}{16}$，進而得到$S_{\bigtriangleupABC}=4\sqrt{5}$，即$\bigtriangleupABC$面積的最大值為$4\sqrt{5}$。例2如圖，在$\bigtriangleupABC$中，$\angleBAC=60^{\circ}$，點$O$是$\bigtriangleupABC$內的任意一點，$BO$交$AC$于點$E$，$CO$交$AB$于點$F$。若$\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=1$，則$\angleAOC$等于多少？解：作輔助線$DG\parallelBC$，交$AB$于點$G$。則$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AG}{GB}$，$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{CJ}{JE}$。由于$\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=1$，所以$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{BG}{GB}$，$\dfrac{AG}{GB}=\dfrac{CJ}{JE}$。注意到$\bigtriangleupCOJ$與$\bigtriangleupEGD$全等，$\angleEGB=60^{\circ}+\angleABC$，故$\angleAOC=2\angleEGB=2\angleABC+120^{\circ}$。因此$\angleAOC$等于$2\angleAB