2021-2022學(xué)年云南省保山市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

2021-2022學(xué)年云南省保山市普通高校對口

單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級:姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

∣x-l∣

設(shè)函數(shù)/(x)=——√x≠l),則Iim/(X)=

x-lχ→ι

A.OB.-1C.?D.不存在

1.

2.

X=e?.!∣1∣JfM'(x)dx等于().

3設(shè)〃X)=Wi則∫Γ(χ)dz等于().

COSX

4.

函數(shù)＞=工3+1入+1在定義域內(nèi)

A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少

C.圖形上凹D.圖形下凹

A.A.是發(fā)散的B.等于IC等于OD.等于-1

6函數(shù)人］)=z'-3∕—9/+1在［-2,6］上的最小值點(diǎn).

7當(dāng)JrfO時(shí)?sin3?r是2工的

A.低階無窮小量B.等價(jià)無窮小量C.同階但不等價(jià)無窮小量D.高階無

窮小量

8.

f/(?)e/dr=eχt+C

J,則f(x)=()

A.2xB.X2

C.ex2D.1

10.

w

設(shè)/(x)=X(X+l)(x+2)(X+3),則f(Λ)=

A.3B.2C.1D.0

IL若事件A與B為互斥事件,且P(A)=0.3,P(A+B)=0.8,則P(B)

等于().

A.A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

12.下列廣義積分收斂的是()。

A?ln?dz

?+oo

erdx

D.Jι

13.

設(shè)函數(shù)f(z)在［α,6］上連續(xù)，在(α")內(nèi)可導(dǎo)，f(α)=f(6),則曲線y=?(?).

在(α,6)內(nèi)平行于工軸的切線

A.A.僅有一條B.至少有一條C不一定存在D.不存在

14.設(shè)事件A,B的P(B)=O.5,P(AB)=O.4,則在事件B發(fā)生的條件下,

事件A發(fā)生的條件概率P(AIB)=().

A.A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9

15.

函數(shù)y=∕(H)在點(diǎn)X=O處的二階導(dǎo)數(shù)存在，且f'(0)=0,∕-(0)>0,則下列結(jié)論正確的

是().

A.X=O不是函數(shù)了(口的駐點(diǎn)B.N=O不是函數(shù)人外的極值點(diǎn)

C.M=O是函數(shù)｛外的極小值點(diǎn)D.x=0是函數(shù)y(x)的極大值點(diǎn)

16.

下列命題肯定正確的是

A.若f(?r)在點(diǎn)Xo處連續(xù),g(H)在點(diǎn)Xo處不連續(xù)，則f(?r)十g(H)在點(diǎn)Xo處必

不連續(xù)

B.若在點(diǎn)工。處J(N)與g(公均不連續(xù)，則F(N)+g(H)在點(diǎn)Z)處必不連續(xù)

C.若f(z)在點(diǎn)工。處連續(xù)，則IfCr)I在點(diǎn)No處必不連續(xù)

D.若If(Z)I在點(diǎn)割處連續(xù)，則f(I)在點(diǎn)Zo處必連續(xù)

設(shè)函數(shù)z=∕y?則至等于(

)

A.2√

B.4上y

G4.v

17.d?°

設(shè)函數(shù)∕<x)≈j=+3cosx.則/'(X)=

B-^?^3sinx

C.-Vx+3sinx

2

D.?j?-3sinx

19.當(dāng)x→0時(shí)，ln(l+αx)是2x的等價(jià)無窮小量，則α=

A.A.-1B.0C.lD.2

JiIlruIdx=

20.c

f∣llnxdx+「Inxdx

A.A.eJl

fiInxdx-[eInxdx

B.jτj>

-∫∣lnxdx+∫cInxdx

C.e

—f!Inxdx-rInxdx

D.eJl

21.

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)間匚0,門上可導(dǎo)，/(H)V0,并且f(O>>O,f(l)VO,則/(?)

在［0,1］內(nèi)

A.至少有兩個(gè)零點(diǎn)

R有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.沒有零點(diǎn)

D.零點(diǎn)個(gè)數(shù)不能確定

設(shè)函數(shù)Z=In(X2+川，則興~

22.Hx辦

2x

A.A.(χ2+pj

2x

B.拼+”

2x

當(dāng)XTI時(shí)，下列變量中不是無窮小量的是

A.x2-lB.sin(Λ2-l)C.InxD.ex^,

23.

方程/+2?2=0在［-3.2］內(nèi)

AJn個(gè)實(shí)根B.有2個(gè)實(shí)根

24.c.至少有1個(gè)實(shí)根D人實(shí)根

設(shè)函數(shù)Z=士工則生=

25.X??()

26.設(shè)函數(shù)z=∕(χ,y)在點(diǎn)(1,2)處有U(1,2)=0JXl,2)=0,且％(l,2)=lJ：,(l,2)=0,

∕:(1,2)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A?A?f(l,2)不是極大值2)不是極小值C,f(l,2)是極大值D.f(l,

2）是極小值

27.設(shè)函數(shù)/(x)=3n3則MyGA?;/(0)等于(),

A.-2B.-lC.0D.2

28.

Hnr/(%+2h)-/(孫)

τ

IB知函數(shù)KX)在點(diǎn)沏處可導(dǎo)，且F(3?)=2,川四一~Γ^*()

A.交

B.二

C.-erx

D.-T

29.

下列極限值等于e的是

A.lim(H—)”B.Iimd÷X)Λ

X-*0??^θ

C.limU+!廠D.lim(l+x)^^

r→8JC

30.

設(shè)函數(shù)y=fGc）在x=l處可導(dǎo)，且

Δx-*0?XO

則，（1）等于

A?I

Ri

CTD?^?

二、填空題（30題）

31.

設(shè)z=f(x,—)>貝ij[?=____________.

y?x

設(shè)/(x)=χLg(x)=e',則_l{g[/(x”}N____________

32.dx

設(shè)/(十)=U1Cr≠7).則八外=一

JO?

34.

函數(shù)“幻=一匚的駐點(diǎn)X=.

Inx

35.

不定積分JW≡"

設(shè)區(qū)域D由t=α./NMb>a).y≡/(l)?y≡κ(x)所由成?則區(qū)域D的面幟為

A.￡[/(X)-χ(x)"dzB.I￡[/《*)-κ(x)]<Lr]

C.f[gJ>—/(?)]d?D.ΓI/(?)—g(j,)I<Lr

37.

y

若Z=In(±+?),則3?x?：y=-----------.

38.

已知/Q)=lnx,則ff'(e")dx=.

∣.2/4+"2_?_

39."4Z+5T=r8—

40設(shè)［/(，)也=xe±,則/(H)=

41.

J?dr=-------'

(r-sinzk∕/

極限!四

42.

43.

Iim(1+等)+=

jr*?OZ

44.

設(shè)?(2￡—Ddf=6,則N=

設(shè)Iim(I+2)*"=eT,則A=

45."1n

46.

CZ

A.0B

-3?3

47.

設(shè)函數(shù)/Ge)=依V,它在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)減少，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)

增加.

48設(shè)函數(shù)y=/?則=S_________.

49.

Iim(I+在產(chǎn)=e,則A=.

X-OOX-----------------

設(shè)「=InJl+x'+y),求(IZ(I，1).

設(shè)函數(shù)z=e"+?則全微分dz=

52.

Em集萼

53.

?dr≡

54.

55.

若y(n-2)=χarctanχ,貝IJy⑻⑴=

2

∫j(l-α?)-?<Zr

56.

(Π+1)(Λ+2)(Λ+3)

Iim

57.一n

58.

不定積分Jp?∞s=

I023

設(shè)隨機(jī)變量狗分布列為;3a3a,貝IJa

IoTo

59.

60.

已知P(A)=().6,P(B)=<).4,P(BlA)=O.5,貝IJP(A+8)=

三、計(jì)算題（30題）

求極限Iim∕1÷1?e\

61.

求極限Iim理W2

62.

63.求極限懺詈?

(1—e3)sιn2x..1η

64.求極限呵---------：---------卜x4ySIn-?.

XX

求極限IKn

65.G-2

66.①求曲線y=x2(x≥0),y=l與X=O所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

67.求不定積分∫[e=+∣n(l+?r)]clr.

68.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x.

①求曲線y=f(x)與X軸所圍成的平面圖形面積S；

②求①的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積Vx.

69.計(jì)算.

-λ設(shè)之=>/(=)+xχ(2)?其中/(w).g(v)分別為可微函數(shù)?求空,空.

/U.y?O/o)

7]求Iim*(eτ-l).

72.求函數(shù)∕u>=(?Γ-1)，的單■區(qū)間與極值點(diǎn).

73.已知x=-l是函數(shù)f(x)=ax3+bx2的駐點(diǎn)，且曲線y=f(x)過點(diǎn)(1,5),

求a,b的值.

求極限IiFk-VIn(1+?))

75.求微分方程y"-2y'—3y=e，的通研.

ir

76改變積分f,∫:∕α~)dy+,<lrj:"(H,y)dy的枳分次序.

求極限Iim「％.:------(e?-1)cos?"1.

77一”8sιn3τ?J,

78.求函數(shù)V=?aretan?-In√TTxr的導(dǎo)*

79.求Mtan(r?z)的全微分.

81.求微分方程》匕T一"MyH0的通

求],[Ja>0).

82.-&+α'

83?求微分方程「vs∣n∣BTu?-1)d?+eos?d?rββ。的通解.

求極限Iim-L

84j?一stn?jo

計(jì)算Jr'<Lrdy,其中D為圜環(huán)區(qū)域-≤∕+y≤4.

85.

tz

設(shè)函數(shù)*=≡(J.?)由方程X÷y,—xyx—0確定.求答亭.

86.θ-ra>

0r計(jì)算定積分1lnG+Dd?r.

O/.Je)

求不定積分

88.

sin??id?.

計(jì)算二重積分Cr'+y)irdy,其中D為曲線y/與工=y所圍成的區(qū)域.

90.?

四、綜合題(10題)

設(shè)平面圖形D是由曲線y=/?直線y=C及》軸所圍成的.求:

(1)平面圖形D的面枳；

91.(2)平面圖形“繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

92.

過曲線y=∕Cr"O）上某點(diǎn)A作切線.若過點(diǎn)A作的切線.曲線V=Jj及，軸闈成

的圖形面積為［求該圖形燒J軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體枳V.

93證明：當(dāng)工》0時(shí)Jn（I+工））半詈.

94.證明'方程I，￡;水=志在（0.1）內(nèi)恰有一實(shí)根.

95.*a*>-r的單口區(qū)間金值及此函數(shù)■線的凹凸區(qū)間,拐點(diǎn)和淅近線.

96.證明I當(dāng)。V1V；時(shí)MUV/一S+L

97.求函數(shù)八］）=?-f-ri+?的單㈣區(qū)間和極優(yōu)

98.求曲線,=（?-?）6的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)?

99.證明方程/_31_I=O在］與2之間至少有一個(gè)實(shí)根.

100.

過曲線/（了>0）上一點(diǎn)M（LD作切線/,平面圖形D由曲線V=/.切線/及

■r軸國成.

求：（1）平面圖形D的面積：

（2）平面圖形。繞才軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

五、解答題（10題）

101.

某100件產(chǎn)品中有次品5件,一次任取5件.

(D設(shè)事件A=“至少有1件次品”,求P(A),

(2)設(shè)事件B="恰有3件次品”,求P(B).

102.

設(shè)某家庭有三個(gè)核子，在已知至少有一個(gè)女孩的條件下，求這個(gè)家庭至少有一個(gè)

男孩的概率.

103.設(shè)函數(shù)y=y(x)是由方程CoS(Xy)=x+y所確定的隱函數(shù)，求函數(shù)曲線

y=y(x)過點(diǎn)(0,1)的切線方程.

104(本廄清分&分)設(shè)的數(shù)廠"^，求，'1,?

105.求函數(shù)y-χ3-3χ2-l的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。

106.(本題滿分8分)

107.

討論/備(°>2)的斂散性.

x1+2τ+2dx

108.

109.設(shè)函數(shù)f(x)=l+sin2x,求Γ(0).

Π0.已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx,求Jxf*(x)dx0

六、單選題(0題)

r2L

2SIrLr

d?

_Jt1+COSJT

∏1.積分“F等于【】

A.-lB.0C.lD.2

參考答案

1.D

［解析］先去函數(shù)的絕對值，使之成為分段函數(shù)；然后，運(yùn)用函數(shù)在一點(diǎn)處極

限存在的充分必要條件進(jìn)行判定.

、Ix-Il［-1χ<l

由rh/(x)=j——1=<

x-l?x>l

因?yàn)?imf(x)=Iim(-1)=-1

JrTI-x→Γ

?im/(x)=Iim1=1

x→Γx→Γ

?imf{x)≠Iim/(x)

XTI-x-?l*

所以！吧〃幻不存在.

2.B

答應(yīng)選B.

分析本題考查的是導(dǎo)函數(shù)的概念和定積分的分部積分?

?xf(x)dx=?xd∕(*)=噥x)I：-∫∕(x)dx=xe*∣?-(e'dx=e'(x-I)IO=L

10.答應(yīng)選A.

提示用變量代換U=X+y,o=Ny求出/(u,v)的表達(dá)式，再寫出/(x,y)的表達(dá)式是常用的

方法,但計(jì)算量較大.更簡捷的方法是湊變量法?

因?yàn)?。x+y,町)=X1+JΛ=(z+y)'-2f所以/(x,y)=*j-2y,則有

=Zx-2.故選A.

3.c【解析】根據(jù)不定積分的性質(zhì)(H)也=∕(W+C故選c.

4.A解析

函數(shù)的定義域?yàn)椋?V,2).

因?yàn)椤?3X2+12>0

所以

y單調(diào)增加，χG(-oo,+∞)

又

y?=6x

當(dāng)

x>0時(shí)，/>0,曲線上凹；當(dāng)x<0時(shí)，/<0,曲線下凹.

故選A.

5.B

6.x=3

7.C

8.A

9.1

10.D解析：

5

因?yàn)榱刷墒荴的4次多項(xiàng)式，所以f?x)=0

11.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件的概念和加法公

事件4與B互斥，則4B=0,因此P(AB)=O.

由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

式.即0.8=0.3+P(8),得P(B)=O.5.故選C.

12.B

13.B

14.C

利用條件概率公式計(jì)算即可.

Pa⑶=虢≡號(hào)。&

15.C解析

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是極值的第二充分條件.

根據(jù)極值的第二充分條件可知，選項(xiàng)C是正確的.

這里涉及的極值的基本性質(zhì)主要有：

（1）駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).

例如X=O是y=，的駐點(diǎn),但不是其極值點(diǎn).

（2）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，即極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

例如函數(shù)y=濘■,在，=0處y'不存在,但X=0卻是函數(shù)的極小值點(diǎn).

（3）極值是局部性質(zhì)，因此極大值不一定大于極小值.

例如正常情況下的小學(xué)生年齡最（極）大的不會(huì)大于大學(xué)生中年齡最（極）小的.

（4）極值的必要條件中，僅有r（出）=0這個(gè)條件是不夠的.正確的是:若犬孫）為人切的極

值,且，'（4）存在,則必有/'（&）=0.

（5）函數(shù)/（工）在H=%處連續(xù),卻不一定在工=3處可導(dǎo).但是反過來，若夫切在H=H。處可

導(dǎo)，則在X=出處必連續(xù).也即：可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件,連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件.

連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是專升本考試考查的重點(diǎn)之一.

由上述的基本性質(zhì)我們可以得到很多試題,如：

（1）以下結(jié)論正確的是（）.

A.函數(shù)/（*）的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)一定不是#，）的極值點(diǎn)

B.若X=%為五H）的駐點(diǎn)，則X=x0必為，（工）的極值點(diǎn)

C.若/（工）在點(diǎn)z=%處有極值，且/'（與）存在,則必有f'（1）=0

D.若，（，）在點(diǎn)仝=，。處連續(xù),則/'（3）一定存在

（2）下列結(jié)論中不小碓的是（）.

A.若尸（與）=O：；（；。）=0,則不能確定點(diǎn)*=&是否為函數(shù)的極值點(diǎn)

B.若M=ZO是函數(shù)/（口的極值點(diǎn)，則/（線）=0或尸（與）不存在

C.函數(shù)f（z）在區(qū)間（*6）內(nèi)的極大值一定大于極小值

D.f'（xβ）=0及f'（H1,）不存在的點(diǎn)X=軟都可能是/（S的極值點(diǎn)

答案：（1）C（2）C

16.A

17.A

18.B

八MN+3COSx1=[^≡?)+3(cosχy=--j=≈-3SinX

（解析］

19.D

In(I+ax),.axa

因?yàn)?-------------=Iim-=—

Ix12X2

所以4=2.

20.C

,-Inxi≤x≤l

由Inx=<e

IInx

l<x≤e

所以￡1ΠΛdx=-∫ιlnxdx+∫Inxdx

ee

21.B

22.B

2x

因?yàn)?=一一x2x,故選B.

?xxi嗑=(x2+y)2

［解析］A.x?-1->O(XTI)

B.sin(x2-l)→O(XTl)

C.InXTO(XTI)

D.e,^'→1(XTl)

23.D

24.C

25.C

dxdrxdxVxjx

26.D

依據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，可知B2-AC<0且A>0,所以f(l,2)

是極小值，故選D.

27.D

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)式可知

lim42A?必”My,(0)=2(tanx)'|=2—?

▲?-O?xIβ?0COS

冼D.

28.D

29.C

30.B

31.

?÷1‰=?)

Hxy?vy

設(shè)V=三，則z=∕"(x,v)

y

也?f,?fev_?f1ef

―',+---------=----*ιT-—

?a*x3?Λχ?vaXaXy?v

32.2xex2

33.

1

(2-χ)≡

34.x=ex=e解析

因?yàn)閒f(x)Jn：-1宣。得x=e

InX

所以x=e是函數(shù)/⑴的駐點(diǎn).

35.1n∣x+cosx∣+C

36.D

___e_____.

37.-α+/)Z-(T+7F

38.

因?yàn)閺V㈤=L則/GW

X

所以［rc)dx=-er2=e"-e2

Jl1

39.2

40.

【答案】應(yīng)川1+年)<Λ

【解析】本題考表的知識(shí)點(diǎn)是原函數(shù)存在定理，即變上限的定積分J7(，)也是函數(shù)/(X)在

該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，因此有

〃K)=(xeτ),≡^1+y)eτ?

41.1n(lnx)+C

42.

43.

44.-2或3

3

^2

9912A

［解析］因?yàn)镮im(I+4產(chǎn)=Iiin(I+4)2=e2*=e-3

Λ→*?JlΛ→??〃

有22=-3,所以A=-±

45.2

46.A

47.(01)

48.

答案填20/.

IW麴指導(dǎo)本國考35的知識(shí)點(diǎn)是高階導(dǎo)致的計(jì)算,

因?yàn)閥'=5*'?則>"=20∕?

49.1/2

解z=?^ln(l+x2+y2),_12x_X

Zx2222

42l+x+yl+x+y

,=1------互-----=-------------4(I,D=----J-；?=-

Zzy2l+√+/l+χ2+√3l+χ2+y2h3

z；(bD==1

；：13

所以dz(l,l)=z；(l,l)dx+z；(l,l)?=?(dx+dy)

50.3

51.

2e2l+ydx+e2l+,dy

52.

√3

18

√3

18

53.e4

54.

∣lnx÷C

55.1/2

丁s-∣'=(Xa?tanx)'=arctanΛ+—L--

1+x5

x、，—11+X2-2X22

嚴(yán))=(arcIanX)

+177=TTh(I+/](l+x2)2

所以

56.π∕2

57.

—sin工+C—sin--?-C

58.??

59.1

0.7

L解析]因?yàn)镻{A+8)=P(A)+P(R)-P(AR)

=P(A)+P(B)-P(A)F(A)

-

60.-0.6+0.40.6×0.5—0.7

a?IΛ<j-r?l???r']

CIimC

61.令'=3則原式

I?IHIi*?》/?rJ

CIime

令/=則原式=e7.

2

IimgJ立1÷2x

Λ→9―■■■-X(-3)

2√1-3x

2X2√∏≡37

-3

?

62.Λ→03(1÷2J)3,

2

?÷2x

Iim.“十2幻一∣im

―j*-×(-3)

2√1-3x

X2

-3

?

L。3(1+2J)3,

sin?

eos?

1X1

63.

sin?

Hm組COS-T1X1=1.

LI)

64.

由于當(dāng)?ffO時(shí),工,是無窮小址，且卜in￡I≤1.故可知Ii呼r?in∕=0.

當(dāng)h—O時(shí),l-e-M?3/.故

1(1-e^v)sin2j∣.3x2?sin??∣.3sin2x

Iim-----------；----------=Iim--------：=Iim≡-=3o.

L。IZ→0XLoJT

「rd—e-3,：)sin??,.In

所以網(wǎng)------T5----------÷js4'n√J=3o?

由于當(dāng)NfO時(shí)是無窮小趾，且卜inj?l≤1.故可知liτ?r'sin/=0.

當(dāng)?Γ-O時(shí)」-TJ?3〉,故

「(1-e-lr)sin2j∣.3x2?sin??∣.?sin??

Iim-----------------------=Iim---------：------=Iim≡—=3.o

LCXj-0X√-*0JT

所以！吧［吐W回三+工，Sin=3.

65.

2

原式=IimU甘巨=IimJ色二=±,

111，√l÷2x3

2?Jx

66.①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

S={(I-√)dx=(x4)∣；=∣?

②旋轉(zhuǎn)體的體積

v,=Jjjdy=L1T加=罰L=手

J[e'+∣∏(1+?)]d?=yje2,d(2x)÷Jln(1÷x)ir

=+?ln(1÷?)—f—d?

4J?÷jr

=?5?etr+?ln(1+?)一(口一丁4-je?

=+?ln(1÷?)—X+ln(1+?)+C.

J[e'+?n(l÷?)jd?=yje2rd(2x)÷Jln(l+?)d?

=βχ?e2,r+?ln(1+?)—F7-7—CLr

/JI+jr

=+?rln(1+?τ)-j[l-T-γ—IdN

4Jl+Jr

=/產(chǎn)+??n(1+?)-?+?n(?÷?)+C.

68.

2?

由F=r+''得交點(diǎn)(0,0)與(2,0)?

Ir=O.

(X)S=j(-/+2x)<k=(-全+/)IO=^P

②匕=I11'-xj+2x)2d*=π((N'-4x'+4x')dx

,,

=1τ(yx-√+yx)L=號(hào)

用換元積分法.令?r=tan/.則

「一1—d?=1一—see/d/

2

J1”2?yJ?4-XJftan/?sec/

csc∕?cotzdr

3女一2√I

=-CSC/

3

69.

用換元積分法.令.r=tan/.則

"】/戶】?j

----------：-1,o?-......J------------sec^∕α∕

1/2?√1÷Jr2Jftan/?sec/

=[*csc∕?cotzd∕

=-c8c∕：=3-

τ3

室="停)?H喉■—(T)

=，-)T?g'(分

§-/(f)÷^(f)?(^7)+^V)??

0.=/(7)-，，(：)+/《)?

B="(5),}+x(f)+-rg,(?),(^^)

=z(f)+*(f)-f?*(?),

g=∕(f)÷>r(f)?(-^)÷^(f)??

/?。┮环?,（：）+/（分

71.

limx(e7-1)

,(÷.)^≡=.1=

或irnxβ1lifnx1

第二種方法利用了結(jié)論：當(dāng)了τ8時(shí).L_o,則e÷-l

72.

zz

求/(?)的導(dǎo)數(shù)?得∕(x>≈+?(?-?)??≡5.21,令∕(1r)=0,

OJ

得駐點(diǎn)?=看.此外.點(diǎn)工=0是/(?)不存在的點(diǎn).它們將區(qū)間分成3個(gè)部分區(qū)間.列表討論

如下t

01")Z~2-

?0可(y.÷∞)

/(?)

+不存在—0+

/(1)單調(diào)遞增糙大單網(wǎng)遞總極小單調(diào)遞增

由上表可知，函數(shù)在區(qū)間(-8.01和4.+oo)上單調(diào)增加,在區(qū)間［0.?∣?］上單調(diào)遞減.

當(dāng)上.5時(shí),有極小值/(^I^)H-^t"?當(dāng)工?0時(shí)?函151的號(hào)Ik不存在?但?*'是

函數(shù)的根大值點(diǎn),極大值M0)-0.

求/(?)的導(dǎo)數(shù).得∕,(jr>=?r++?(?-DjrT=??--I:、令f(?)=0,

得駐點(diǎn)工=?∣?.此外.點(diǎn)?r=0是不存在的點(diǎn).它們將區(qū)間分成3個(gè)部分區(qū)間.列表討論

如下i

Z2

?0M"?)r仔+8)

，(八+不存在一0+

/(?)?■遞增懾大單網(wǎng)遞減微小單調(diào)逢增

由上表可知，函數(shù)在區(qū)間(一8.01和［?∣?.+8)上單Sl增加,在區(qū)間［0.曰］上單調(diào)遞減.

資,有極小值喑當(dāng)

)=TJJ.?T-0時(shí).函畋的年數(shù)不存在,但，。是

函數(shù)的Sl大值點(diǎn).極大值?0)-0.

73.Γ(x)=3ax2+2bx,Γ(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,聯(lián)立解得

a=2,b=3.

74.

該題屬于“8-8”型,我們用倒代換?=±讓其產(chǎn)生分母.然后通分計(jì)算

之.

=Iim-------------=-?-

*^2r(l+r)2*

該題屬于“8一8”型,我們用倒代換?=!讓其產(chǎn)生分母.然后通分計(jì)算

之.

1-------

?-?2tz

=Iim-------------=—

/2“1+。2,

75.

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

特征方程為

故

rτ=3.

于是

y=Cer+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e'中的=-1為單一特征根，故ST設(shè)

y'=xAe^*

為

y,-2y-3y=e',

的一個(gè)特解,于是有

3)'=Aer-Arer?3)?≈-Ae-r-Ae,+Axe

知

Are,-2Aκ~t-2(Ae^,-Axex)-3Are^*=尸.

即

-4Aer=e^,.

于是由4A=1.知A=—?,

所以

y'=-J?e-,

為

yf-2y'-3y=e^?,

的一個(gè)待解,因此原方程的通解為

y=Ge"+Qe"一手e'(GC為任意常數(shù)).

q

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

特征方程為-2r-3=0,

故

rI≡≡],nS=3?

于是

y≈Cer+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e'中的=-1為單一特征根，故ST設(shè)

y'=xAe^*

為

y,~2y-3y=e',

的一個(gè)特解,于是有

(y')'=Aer-Arer?3)?≈-Ae-r-Ae,+Axe

知

,

Are,—2Ae-*-2(Ae.'-AJer)_3Aτe^≡尸.

即

-4Aer=e^,.

于是由4A=1.知A=—?,

所以

y?≡-fe-*

為

yf-2y'-3y=e'?,

的一個(gè)待解,因此原方程的通解為

y=Ge"+Qe"一手e'(GC為任意常數(shù)).

4

76.

由所給累次積分畫出原二重枳分的枳分區(qū)域D的示意圖?如圖所示.據(jù)此將D

視作Y型區(qū)域.即

D=<(J?>)I0≤y≤1?6≤H≤2-We

因此

?CLrJ)/(*,y)dy+

/(j.y)d>f(jr9y)djr.

由所給累次積分畫出原二重積分的枳分區(qū)域D的示意圖,如圖所示?據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域?即

D=<(x?>)IO≤>≤1?6≤N≤2-y)?

因此

/(x?y)d>÷L(LrJ∕<j.?)d>/(?t?r)d?.

Iimr-?------(e,-1)?cos?]

t→9osin??X

=Iim[,：------IimS-1)?cos

,??osine?l。

=IimCe-lim??co$?

r→?0Z4?XΛ--9Jr

..7e"+e-'

=??m------------------0rt

77.=3-=3-

y'=(j")zarctaα.r÷??(aretan?),—(In√Γ+7r

=aretan?+二一[“----∣.?(√ZT^+JΓ)Z

1+工,√T+7r

?111

=arctaru-+?-^一?

√1+√√T÷7τ

=arcta∏j-+aretan?.

78.1+?21÷x2

y'=(Jr)'arctaru*+工?(aretan?),-(In八+工')'

aretan?+(√?！?r),

?+/√1+√

?111

aretan?+

1+/2√14-√√T+xr

1X?

=aretan?+——τ———≡?=aretan?.

1+?1+X

x

因?yàn)?yzsec(jryz)9U9=?rsee?(??rz)t

ut≡jry^ec^(xyz)?

79.所以du—>jsecz(jyt)d?4jτse<r(jyz)d>÷jysccx(?ryz)ck.

因?yàn)镮G=yτsec*(jyz).wr=?rsee?(??rz)?

u.≡jrysec2("之)?

所以du=>rsecz(j>r)d?+j?see2(j?rz)d>÷0yscc,(j?r?)ck.

3—?2÷?—1

?(?^rπ)=*?x3÷1

zjr+jr+2

?3+1

=?.

80.

[+典=。，

T-A-4xy

、

即f

?(rh^7)d