五種數(shù)列通項求法-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義與練習(xí)（新高考）原卷版

重難點05五種數(shù)列通項求法（核心考點講與練）

U能力拓展

題型一：公式法求數(shù)列通項

一、單選題

1.（2022?北京?二模）已知｛%｝為等差數(shù)列，首項4=2,公差d=3,若a“+a“,2=28,則〃=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.河南?方城第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知S,,為公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前n項和.若q=1,

S∣,S-品成等比數(shù)列，則％=（）

A.11B.13C.23D.24

3.（2022?陜西西安,三模（理））“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子

算經(jīng)》卷下中的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩

二問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將1到2022這2022個自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從

小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列14,29,44,則該數(shù)列的項數(shù)為（）

A.132B.133C.134D.135

4.（2022?新疆?三模（文））已知數(shù)列｛4｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，他,｝是以1為首項，3為公

比的等比數(shù)列，設(shè)q,=%,Tn=cl+c2++?,（∕2eN"）,當(dāng)7；<2021時，"的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S“滿足+若存在孫丘河，

使得4冊+”則實數(shù)2的取值范圍是（）

A.（o,ι）B.（-∞,O）5L^KO）

C.（1,-HX>）D.（0,l）U（l,4^）

二、多選題

6.（2021.廣東.高三階段練習(xí)）已知5〃為等差數(shù)列｛m｝的前〃項和，a?+S5=-18,a6^~a3,則（）

A.an=2n~?）B.an=2n-l

C.Sn=n2-SnD.Sn=zn2-6n

7.（2022.全國?高三專題練習(xí)）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和弩馬發(fā)

長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；鴛馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎

號馬，九日后二馬相逢其大意為今有良馬和弩馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天比前

一天多走13里；鴛馬第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良馬先到齊國，再返回迎接鴛馬，9天

后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（）

A.長安與齊國兩地相距1530里

B.3天后，兩馬之間的距離為328.5里

C.良馬從第6天開始返回迎接鴛馬

D.8天后，兩馬之間的距離為377.5里

8.（2021.福建師大附中高三期中）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛七｝的前〃項積為Z,,若%>1,公比4≠1,則

下列命題正確的是（）

A.若7；=勾，則必有幾=1B.若4=看，則必有T,是刀,中最大的項

C.若[>（,則必有U>4D.若n>q,則必有4>北

9.（2021?江蘇南通?高三期中）在數(shù)列｛4｝中，已知q,生，…,?）是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

可?！?，4?！?1，…,4。"的是公差為小的等差數(shù)列，其中〃∈N*,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)d=l時，a20=20B.若/=70,則d=2

C.若4+出+L+生。=320,則d=3D.當(dāng)0<d<l時，"κχ,田,<￡

I-U

三、填空題

10.（2022?河南洛陽,三模（文））設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列｛α,,｝的前"項和為s“，且q=l,S3=252+l,則

&=?

IL（2022?江西景德鎮(zhèn)?三模（文））已知數(shù)列｛4｝和正項數(shù)列｛"｝,其中ɑ,,?",且滿足"cosa“=b；-l,

數(shù)列｛g｝滿足c,ι=gc,,其中％=2sin%-l.對于某個給定4或4的值，則下列結(jié)論中：①告L1J；

②c]∈（-l,0）:③數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減；④數(shù)列也｝單調(diào)遞增.其中正確命題的序號為.

四、解答題

12.（2022?河北保定?二模）已知公差為2的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,且邑=16.

（1）求｛q｝的通項公式.

1?1

⑵若Kf=——，數(shù)列f也｝的前〃項和為7；,證明

anan+2?

13.（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，％+%=18,56=48.

（1）求｛%｝的通項公式；

2

⑵設(shè)""=五［函=，數(shù)列｛“｝的前〃項和為】，證明：當(dāng)”23,“eZ時，4η,2>?.

14.（2022?陜西,西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））記S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，且公比q>1,已知叼=4,S3=14.

⑴求｛q｝的通項公式；

⑵設(shè)=4,+（4—1"，若色｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)4的取值范圍.

15.（2022?山東臨沂?模擬預(yù)測）等比數(shù)列｛%｝中，％,a2,%分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),

且4，a2,%中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式:

⑵若數(shù)列圾｝滿足：d=α,,+（-l）ln%,求數(shù)列也｝的前2及項和S?..

題型二：Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項

一、單選題

1.（2022?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三檄理））已知等比數(shù)列｛為｝的公比為〃,前"項和為S,,.若%=2Sz+l,

α4=2S3+l,貝IJq=（）

A.3B.2C.-3D.-2

2.（2022?福建三明?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若2S,,+α,m=2∕（"eN*）,?α2022=4048,

則％=（）

A.-8B.-3C.-2D.8

3.（2022?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））設(shè)S,為數(shù)列｛α,,｝的前〃項和.若S,,=/--則，2=。，，

是“2%=%+6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

4.（2022?山東臨沂?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項和為S”,已知2S,,=3"+3.數(shù)列也｝滿足“也=唾3%，

則（）

C.數(shù)列出｝的前“項和毒=S_誓

D.數(shù)列也｝的前"項和4=3+普二

IZ4??

5.（2022?江蘇江蘇?三模）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,,且S,,=￡+，-,則（）

A.｛S：｝是等差數(shù)列B.5,,+?+2<2SΠ+I

C.an+l>anD.S,,--^->lnn

三、填空題

6.（2022.遼寧?二模）若數(shù)列｛為｝的前n項和S,,=?,則其通項公式為.

7.（2022?安徽?模擬預(yù)測（理））己知數(shù)列｛%｝滿足l+g+§++m=2",則6+4++??=.

8.（2022?山東淄博?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，若SMT=-3,鼠=-2,5m+,=0,則

m=.

9.（2022?四川綿陽?三模（理））已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若q=3,?+l=5,,+5,則&=.

四、解答題

10.（2022.福建泉州.模擬預(yù)測）記數(shù)歹∣J｛α,,｝的前〃項和為S”.已知4=1,.

從①??+2-??=4；②4用+%=4〃；③Sn=〃4向一水"+D中選出一個能確定｛?！保臈l件，

補(bǔ)充到上面橫線處，并解答下面的問題.

（1）求｛4,｝的通項公式：

⑵求數(shù)列｛（-1）"況｝的前20項和￡）.

11.（2022?湖南?長沙一中一模）已知數(shù)列｛叫的前”項和為S"，al=?,S,川=2S,,+“+l.

（1）證明：數(shù)列｛見+1｝為等比數(shù)列；

（2）在4和&+|（&eN，）中插入上個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛%｝：q,b、,a2,b2,by,%,",bi,b6,ai,

其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列也｝,通項公式包=（-1）"2〃.求數(shù)歹U｛%｝的前30項和乙.

12.(2022?廣東?三模)已知數(shù)列｛七｝的前竹項和S,,4=1,an>0,anan+i=4Sn-i.

(1)計算出的值，求｛%｝的通項公式；

,

⑵設(shè)bn=(-l)'?αn+l，求數(shù)列｛"｝的前〃項和T1,.

13.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模(理))從①G+4+…+凡=2””-2,②S,=2α,-2,這兩個條件中選擇一

個補(bǔ)充到下面問題中，并完成解答.

問題：已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且______,｛2｝為等差數(shù)列，?,=1,h2,a2,生成等差數(shù)列.

(1)寫出所選條件的序號，并求數(shù)列｛4｝、｛4｝的通項公式；

⑵若O=正'求數(shù)列｛與｝的前〃項和τ"-

,

14.(2022.湖南師大附中二模)已知數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，S,,=2an-2(neN).

⑴求數(shù)列｛4,J的通項公式；

(2)若"=Iog,,.2,則在數(shù)列也“｝中是否存在連續(xù)的兩項，使得它們與后面的某一項依原來順序構(gòu)成等差數(shù)

列？若存在，請舉例寫出此三項；若不存在，請說明理由.

題型三：累加法求數(shù)列通項

一、單選題

?.（2022?陜西?模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列｛q｝滿足〃q用=（"+l）4+2,ReN*）,且4=1,則能值=（）

A.6065B.6064C.4044D.4043

2.（2022?江西贛州?二模（理））已知數(shù)列｛?！埃凉M足％=1,當(dāng)〃為奇數(shù)時當(dāng)〃為偶數(shù)時。同=4+2",

則“22時，a2,,.l=()

3.（2022?黑龍江.哈九中三模（理））南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了

一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)

之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1,3,6,10,前后兩項之差得到新數(shù)列2,3,4,新數(shù)列2,3,4為

等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)

有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3,4,6,9,13,18,24,則該數(shù)列的第17項為（）

A.139B.160C.174D.188

二、多選題

4.（2022?福建寧德?模擬預(yù)測）數(shù)列｛%｝中,設(shè)＜=4?%……%.若4存在最大值,則%可以是（）

n

A.%=2"YB.aπ=（-l）

5.(2022?山東日照?二模)已知數(shù)列｛《｝滿足4=1,?+1=?,(ln0,,+l)+l,則下列說法正確的有()

A.言「5B.%-d≤d+l

3〃1〃

C.若“22,則—7<1D.∑ln(a,+l)≤(2n-l)ln2

4/=1ai÷1/=1

6.(2022?重慶?二模)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為5“，己知6=2,且2(〃+1)%-We=θ(n∈N"),則下列結(jié)

論正確的是（）

A?卜？｝是等比數(shù)列B.1皆｝是等比數(shù)列

C.an=n-2"D.S“=(〃-1)?2"+2

三、填空題

7.(2022.安徽.巢湖市第一中學(xué)高三期中(文))已知首項為1的數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,正項等比數(shù)列｛〃,｝

滿足4+H=5,?-?1=∣5,若S向+d=S,,+4+3,且在數(shù)列｛4｝中，僅有5項不小于實數(shù)4,則實數(shù)幾的

取值范圍為.

8.(2022?安徽滁州?二模(文))已知數(shù)列｛4｝滿足：ai=?,a2=4Aa,^-3an-an+2=0,設(shè)

“畫中布西而,-N，-則伉+4++如L-----------

四、解答題

9.(2022?河南?靈寶市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知數(shù)列｛為｝滿足署—=而匕y(〃eN),且—I.

(1)求數(shù)歹(]｛6｝的通項公式：

⑵若數(shù)列｛bn｝滿足"=券，求數(shù)列出｝的前〃項和S”.

10.(2022?廣東茂名?二模)已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=2,%=8,?+2=4?+l-3a,,.

(1)證明：數(shù)列｛(“-4｝是等比數(shù)歹U；

(-l),,?(2n2+6π+5)

(2)若打，求數(shù)列｛2｝的前〃項和

?og^(l+?,l)?Iog^(1+。"+2)

H.(2022.全國.模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4｝("€")滿足47=膽%+，，q=l.

(1)求｛4｝的通項公式；

4(〃一l)?3'i,

⑵若2=一^一，求也｝的前"項和小

(2"+l)%

12.(2022?全國?模擬預(yù)測)若無窮數(shù)列｛4｝滿足是公差為人的等差數(shù)列，則稱｛q｝為“％)數(shù)列.

⑴若也｝為d(0)數(shù)列，(=1,瓦=4,求數(shù)列出｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛q｝的前"項和為S“,C1=I,q=5,⑸｝為d⑵數(shù)列，求證:Sn≤ncl,.

題型四：累乘法求數(shù)列通項

一、單選題

,、1cιn-2%+111

1.（2022.河南.模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列｛%｝中，?,=4，"?"=-則滿足α,,>77λλ的〃的最大

'"4?+2?+ln+?1000

值為（）

A.3B.5C.7D.9

2.（2022?浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝、｛〃｝、｛%｝滿足

it

?i=?1=cl=L?,=??,-??>%+2=??C"（"eN"）,Sn=-j-+→+-Cn≥2）,7；,=-1--+-?-++—1—（"≥3）

b

,,44b“ɑ?-?4-4all-n

則下列有可能成立的是（）

A.若㈤｝為等比數(shù)列，則嗑2>/22

B.若｛c,｝為遞增的等差數(shù)列，則％）22<%22

C.若｛4｝為等比數(shù)列，則Wg<%22

D.若匕J為遞增的等差數(shù)列，則邑。22>/22

二、多選題

3.（2022?湖南?長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,q+宮+…+禧=而力，令

2=焉佟τ）,則（）

2021n）

A.%=100B.數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列

C.打⑶為整數(shù)D.數(shù)列卜+2cos2[7b,J｝的前2022項和為4044

4.（2020?全國?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝滿足q=l,%=4,nan+l≈λ（n+l）a,l,MN：若存在正整數(shù)

p,q,廠（*2,”「）使得等式翡+黑=》+半成立，則下列結(jié)論正確的有

A.Λ=2B.q,=（"+l）?2"T

n

C.an=n-2-'D.4〃-2'=4

三、填空題

5.（2022?山西太原?二模（文））已知數(shù)列｛4｝的首項為1,前”項和為S“，且"S,,M=（"+2）S,,,則數(shù)列｛α,,｝

的通項公式％=.

19

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝中，若4=1,“7=—%”"，則Z4=.

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S〃，數(shù)列｛6〃｝的前〃項和為T”，滿足α∕=2,

3Sj,=（"+M）為（"eN*M∈R）,且4?d="+l.若對任意,j∈N?衣&-北恒成立，則實數(shù)/1的最大值為

四、解答題

8.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的各項為正數(shù)，其前"項和為S“，且可,阿二TM,用構(gòu)成等

比數(shù)列.

(1)求4及s“；

(2)若數(shù)列也｝滿足4=1,%=*^,求證：%+∣GJ,=4".

9.(2022?浙江杭州?二模)已知數(shù)列｛4｝滿足4產(chǎn)0,∕j∈N*.

⑴若anan+2=ka??>0且a”>0.

(i)當(dāng)｛lg%｝成等差數(shù)列時，求人的值；

(ii)當(dāng)&=2且q=l,4=160時，求的及。“的通項公式.

(2)若a?““+2=一萬Ian+3'4一-1,a2<0,4?4,8].設(shè)S,,是｛4｝的前〃項之和，求Sz02O的最大值.

10.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知數(shù)列｛%｝滿足q=g,2(〃-l)q,—〃a,i=0.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛《,｝的前”項和為S“，若2022Sz,+”>4042,則正整數(shù)〃的最小值.

題型五：構(gòu)造法求數(shù)列通項

一、單選題

1.（2022?河南洛陽?三模（文））若數(shù)列｛%｝和也｝滿足4=2,bl=O,2w,,+l=3aιl+bll+2,2?,,+l=α,,+3?,,-2,

貝1]?022+%21=（）

A.2?32020+lB.3?22020-lC.3?22020+lD.3?2202,-1

2.（2022?河南商丘?三模（理））高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.用

他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/（X）=[x],其中[x]表示不超過X的最大整數(shù).已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,

4=5,%+2+40,,=5αW若d=[log√7,,+J,S“為數(shù)列|粵Q”的前〃項和，則區(qū)3,]=（）

I她+1J

A.249B.499C.749D.999

3.（2022.江蘇.漣水縣第一中學(xué)高三期中）定義：在數(shù)列｛0,,｝中，若滿足--縱=d（"eN",d為常數(shù)），

an+?an

稱｛4｝為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”｛%｝中，q=%=l,%=3,則弧等于（）

“2017

A.4×20172-lB.4×20182-lC.4×20192-lD.4×20202-l

4.（2022?安徽黃山?二模（理））已知數(shù)列｛叫滿足4=l,（2+4）（l--）=2,設(shè)[工]的前"項和為5“，則

lan）

α2022（S2022+2022）的值為（）

A.22022-2B.22022-lC.2D.1

二、多選題

5.（2022?福建?三模）已知..AAC（"=1,2,3,）是直角三角形，兒是直角，內(nèi)角4、B八C"所對的邊分

別為4、"、％，面積為S.，若伉=4,。=3,死尸生產(chǎn)，匕產(chǎn)生詈L,則（）

A.苗2.｝是遞增數(shù)列B.（S2.）是遞減數(shù)列

C.也-加｝存在最大項D.也-%｝存在最小項

6.（2021?遼寧?高三階段練習(xí)）如圖所示，邛（x∣,χ）,%,%），…，*,，%），…，是函數(shù)C：y=卡上

的點,4（⑥0）,A2（a2,0）,...,A（4,0）,…是X軸正半軸上的點,且工4￡,AyA2P2,…，An,lAnPn,…,

均為等腰直角三角形（4為坐標(biāo)原點）.（）

B,.中，券=丁，（n≥2）

2

C.an=n-n+l

1112021

D.1------------------1-…H-------------=-------------

“∣a2a2O2??θ??

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4=-2,?=2,αn+2-2?=1,則（）

A.｛%κ｝是等比數(shù)列B.∑（?.l+2）=-10

I=I

IO

C.｛/“｝是等比數(shù)列D.Zq=52

Z=I

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛α,,｝滿足4=0,=e%+I（〃wN*）,前〃項和為S“，則下列

選項中正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：In2≈0.693,ln3≈1.099）

A.a,,+an+l≥?n2B.S2020<666

C.In∣≤?≤ln2（n≥2）D.｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，｛%,｝是單調(diào)遞減數(shù)列

三、填空題

9.（2022?湖北?宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）五名運動員A、B、C、。、E相互傳球.每個人在接到球

后隨機(jī)傳給其他四人中的一人.設(shè)首先由A開始進(jìn)行第1次傳球，那么恰好在第5次傳球把球傳回到A手中

的概率是（用最簡分?jǐn)?shù)表示）.

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