考點18統(tǒng)計與概率-2024年新高考藝體生一輪復習

考點18統(tǒng)計與概率一．抽樣方法（一）簡單隨機抽樣1.概念：一般地，從元素個數(shù)為N的總體中逐個不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．2.最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法（重點掌握隨機數(shù)表法的讀數(shù)）3.適用范圍是：總體中的個體性質(zhì)相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小.（二）分層抽樣1.概念：當總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．2.應用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．3.特征：等比例抽樣二．頻率分布直方圖（表）1.縱軸表示eq\f(頻率,組距)，2.頻率：數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各長長方形的面積表示3.各小長方形的面積總和等于1．4.分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細的反映出總體的分布規(guī)律．三．樣本的數(shù)字特征特征數(shù)具體數(shù)字算法頻率分布直方圖（表）眾數(shù)次數(shù)出現(xiàn)最多的數(shù)字頻率最大或最高組的中間值中位數(shù)樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取當中兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)頻率等于0.5時的橫坐標平均數(shù)所有數(shù)字之和除以總個數(shù)每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)波動的大?。畼藴什睢⒎讲钤酱?，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定四．事件的分類(1)隨機事件一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．隨機事件一般用大寫字母A，B，C…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．(2)必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(3)不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．五．兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系或運算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生(導致)B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω(2)準確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．六．古典概型1.概念具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．2．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．3．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．七．相互獨立事件1.概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．2.性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．考點一隨機抽樣【例11】（2023·全國·模擬預測）已知某中學初二年級共有學生668人，為了了解該年級學生的近視情況，學校決定利用隨機數(shù)法從中抽取80人進行成績抽樣統(tǒng)計，先將這668名學生按001，002，003，…，668進行編號．（下面摘取了隨機數(shù)表的第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954如果從第7行第1列的數(shù)開始向右讀，則第6個被抽取的號碼是（

）A．633 B．502 C．217 D．506【答案】A【解析】由題意知，編號的范圍為．結(jié)合初始位置，知第一個抽取的號碼為217，接下來依次抽取的號碼為，所以第6個被抽取的號碼為633．故選:A．【例12】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）為了支持民營企業(yè)發(fā)展壯大，幫助民營企業(yè)解決發(fā)展中的困難，某市政府采用分層抽樣調(diào)研走訪各層次的民營企業(yè).該市的小型企業(yè)、中型企業(yè)、大型企業(yè)分別有900家、90家、10家.若大型企業(yè)的抽樣家數(shù)是2，則中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應該是（

）A．180 B．90 C．18 D．9【答案】C【解析】該市中型企業(yè)和大型企業(yè)的家數(shù)比為，由分層抽樣的意義可得中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應該是.故選：C.【變式】1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）在北京冬奧會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者和20余萬人次城市志愿者參與服務(wù)．據(jù)統(tǒng)計某高校共有本科生1600人，碩士生600人，博士生200人申請報名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為（

）A．300 B．320 C．340 D．360【答案】D【解析】根據(jù)題意知分層抽樣比例為，所以該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為．故選：D．2．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（

）A．15 B．30 C．32 D．36【答案】D【解析】由題可知，解得.故選：D.3（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，鄉(xiāng)政府采用按比例分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村人數(shù)之比是，被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村的人數(shù)比乙村多8人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（

）A．16 B．24 C．32 D．40【答案】A【解析】設(shè)被抽取參與調(diào)研的乙村村民有人，則根據(jù)分層抽樣按兩村人口比例，甲村被抽取參與調(diào)研的有人，所以，即，所以參加調(diào)研的總?cè)藬?shù).故選：A4．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知某班共有學生46人，該班語文老師為了了解學生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機數(shù)表法從全班學生中抽取10人進行調(diào)查．將46名學生按01，02，…，46進行編號．現(xiàn)提供隨機數(shù)表的第7行至第9行：8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695565719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個樣本編號是（

）A．07 B．12 C．39 D．44【答案】D【解析】由題意可知得到的樣本編號依次為12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，則得到的第8個樣本編號是44．故選：D.5．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01，02，03，…，32，33這33個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數(shù)表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個被選中的紅色球號碼為（）第1行:2976341328414241第2行:8303982258882410第3行:5556852661668231A．10 B．22 C．24 D．26【答案】C【解析】被選中的紅色球號碼依次為，，，，，，所以第四個被選中的紅色球號碼為.故選：C.考點二特征數(shù)【例21】（2024·全國·模擬預測）（多選）為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，測得該地連續(xù)10天PM2.5（PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，單位：）的日均值，依次為，則（

）A．中位數(shù)為31或33 B．第60百分位數(shù)與眾數(shù)相同C．前4天的極差大于后4天的極差 D．前4天的方差小于后4天的方差【答案】BC【解析】將日均值按從小到大的順序排列為，所以中位數(shù)為，A錯誤．因為為整數(shù)，所以第60百分位數(shù)是第6和第7個數(shù)的平均數(shù)，即，又33為眾數(shù)，B正確．前4天的極差為，后4天的極差為，C正確．前4天的平均數(shù)為，方差為，后4天的平均數(shù)為，方差為，前4天的方差大于后4天的方差，D錯誤．故選:BC．【例22】（2023·廣東廣州）（多選）某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．圖中a的值為0.015B．樣本的第25百分位數(shù)約為217C．樣本平均數(shù)約為198.4D．在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為108【答案】AC【解析】對A，，所以，故A正確；對B設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為，，則，所以，故B錯誤；對C，樣本平均數(shù)為：，故C正確；對D，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為：，故D錯誤.故選：AC【例23】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，中國代表團共獲得201枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎牌的歷史最好成績.某個項目的比賽的六個裁判為某運動員的打分分別為95，95，95，93，94，94，評分規(guī)則為去掉六個原始分的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個原始分的中位數(shù)為，方差為，四個有效分的中位數(shù)為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】容易求出這六個原始分95，95，95，93，94，94的中位數(shù)為，方差為；四個有效分95，95，94，94的中位數(shù)為，方差為；根據(jù)方差的定義知四個有效分的波動性變小，所以．故選：D．【變式】1．（2024·全國·模擬預測）（多選）甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)從小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，則（

）A．甲、乙的第70百分位數(shù)相等B．甲的極差比乙的極差小C．甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)大D．甲的方差比乙的方差大【答案】AB【解析】對于A，因為，所以甲的環(huán)數(shù)的70百分位數(shù)是，乙的環(huán)數(shù)的70百分位數(shù)是，故A正確；對于B，甲的極差為，乙的極差為，故B正確；對于C，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)小，故C錯誤；對于D，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知，甲數(shù)據(jù)分布更集中，而乙數(shù)據(jù)分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D錯誤.故選：AB2．（2024·江西）（多選）已知一組數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（

）A．中位數(shù)不變 B．平均數(shù)不變C．方差不變 D．第40百分位數(shù)不變【答案】AD【解析】將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)24.將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個數(shù)24，故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A，D正確，B，C錯誤.故選：AD.3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）（多選）某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動，選取了人參與問卷調(diào)查，將他們的成績進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，且成績落在的人數(shù)為10，則（

）A．B．C．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則問卷調(diào)查成績的平均數(shù)低于70D．問卷調(diào)查成績的80%分位數(shù)的估計值為85【答案】ABD【解析】由圖可知.，解得，則成績在的頻率為0.1，由，得，A，B正確；問卷調(diào)查成績的平均數(shù)為，C不正確.因為，所以問卷調(diào)查成績的分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)問卷調(diào)查成績的分位數(shù)為，則，解得，D正確.故選：ABD.4．（2023·全國·模擬預測）（多選）某校某年級為了測試該年級1000名學生的數(shù)學水平，組織了一次數(shù)學測試，將這1000名學生的成績分成了六組，分別為，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該年級學生成績落在的人數(shù)為300B．該年級學生成績的第一四分位數(shù)為110分C．該年級學生成績的眾數(shù)為135分D．該年級學生成績的平均分為121分【答案】ABD【解析】選項A：由頻率分布直方圖可得，該年級學生成績落在的頻率為則該年級學生成績落在的人數(shù)為，故A正確．選項B：第一四分位數(shù)即分位數(shù)，由頻率分布直方圖可得，前兩個區(qū)間的頻率之和恰為0.25，故B正確．選項C：由頻率分布直方圖可知，該年級學生成績落在的頻率最大，故該年級學生成績的眾數(shù)為125分故C錯誤．選項D：該年級學生成績的平均分為（分），故D正確．故選：ABD5．（2024·全國·模擬預測）已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為6，方差為2，現(xiàn)在樣本中插入三個新數(shù)據(jù)5，6，7，若新樣本的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】設(shè)原樣本的7個數(shù)據(jù)分別為，，…，，插入的三個新數(shù)據(jù)分別為，，，由題意得，，所以，，故選：A．考點三統(tǒng)計圖【例31】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）如圖是某兩位體育愛好者的運動素養(yǎng)測評圖，其中每項能力分為三個等級，“一般”記為4分，“較強”記為5分，“很強”記為6分，把分值稱為能力指標，則下列判斷不正確的是（

）A．甲、乙的五項能力指標的平均值相同B．甲、乙的五項能力指標的方差相同C．如果從長跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲的運動素養(yǎng)高于乙的運動素養(yǎng)D．如果從足球、長跑、籃球考慮，甲的運動素養(yǎng)高于乙的運動素養(yǎng)【答案】D【解析】由圖可知：甲的平均值為，乙的平均值為，A正確；甲的方差為，乙的方差為，B正確；從長跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲三方面的分值和為，乙三方面的分值和為，乙小于甲，C正確；從足球、長跑、籃球考慮，甲三方面的分值和為，乙三方面的分值和為，乙與甲相同，D錯誤.故選：D【例32】（2023·四川達州·統(tǒng)考一模）將某年級600名學生分配到甲、乙、丙、丁、戊這5個社區(qū)參加社會實踐活動，每個人只能到一個社區(qū).經(jīng)統(tǒng)計，將到各個社區(qū)參加志愿者活動的學生人數(shù)繪制成如下不完整的兩個統(tǒng)計圖，則分到戊社區(qū)參加活動的學生人數(shù)為（

）A．30 B．45 C．60 D．75【答案】C【解析】由題意得，分配到乙社區(qū)的學生數(shù)為，分配到丁社區(qū)的學生數(shù)為，故分到戊社區(qū)參加活動的學生數(shù)為.故選：C【變式】1．（2024·陜西咸陽·?？寄M預測）小張分別在A，B兩個地塊培育同一種樹苗5棵，一周后觀察它們的高度如圖所示，則（

）A．B地塊樹苗高度的眾數(shù)小于A地塊樹苗高度的眾數(shù)B．B地塊樹苗高度的方差等于A地塊樹苗高度的方差C．B地塊樹苗高度的平均值大于A地塊樹苗高度的平均值D．B地塊樹苗高度的中位數(shù)等于A地塊樹苗高度的中位數(shù)【答案】C【解析】觀察圖象可得，對于A，地塊樹苗高度的眾數(shù)為地塊樹苗高度的眾數(shù)為1和2，所以地塊樹苗高度的眾數(shù)大于A地塊樹苗高度的眾數(shù)，故A錯誤；對于B，地塊樹苗高度波動比較大，A地塊樹苗高度波動比較小，所以地塊樹苗高度的方差大于A地塊樹苗高度的方差，故B錯誤；對于C，地塊樹苗高度在3到6之間變化，A地塊樹苗高度在1到3之間變化，所以地塊樹苗高度的平均值大于A地塊樹苗高度的平均值，故C正確；對于D，地塊樹苗高度的中位數(shù)接近地塊樹苗高度的中位數(shù)小于3，所以地塊樹苗高度的中位數(shù)大于A地塊樹苗高度的中位數(shù)，故D錯誤.故選：C.2．（2024·全國·模擬預測）已知圖1為20142022年中國游戲用戶規(guī)模（單位：百萬人）及其同比增長率的統(tǒng)計圖，圖2為20102022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量（單位：個）的統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．20142022年中國游戲用戶規(guī)模逐年增長B．20142022年中國游戲用戶規(guī)模同比增長率的中位數(shù)為C．20102022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的極差是223D．20102022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的平均數(shù)超過1500【答案】D【解析】A選項：2022年中國游戲用戶規(guī)模比2021年減少，A錯誤；B選項：20142022年中國游戲用戶規(guī)模同比增長率從小到大依次為，中位數(shù)為，B錯誤；C選項：20102022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的極差為，C錯誤；D選項：20102022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的平均數(shù)為，D正確．故選：D.3．（2024·全國·模擬預測）如圖為2022年全國居民消費價格漲跌幅統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（

）A．環(huán)比的極差小于同比的極差 B．環(huán)比的中位數(shù)為C．環(huán)比的方差小于同比的方差 D．同比的平均數(shù)約為【答案】D【解析】選項A：由統(tǒng)計圖可知，環(huán)比的極差為，同比的極差為，故A正確；選項B：由折線圖可知，各月份的環(huán)比按從小到大的排列依次為：，，，，，，，，，，，，所以環(huán)比的中位數(shù)為，故B正確；選項C：由統(tǒng)計圖可知環(huán)比的波動比同比的波動小，故C正確；選項D：同比的平均數(shù)，故D錯誤；故選：D.4．（2023·廣東廣州·廣東實驗中學?？家荒＃ǘ噙x）2023年11月15日國家統(tǒng)計局網(wǎng)公布的規(guī)模以上工業(yè)增加同比增長速度數(shù)據(jù)如圖（其中2023年1月與2月合為一個數(shù)據(jù)），則（

）A．12個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為B．12個數(shù)據(jù)的極差為C．2022年10月到2023年5月的增長速度方差比2023年6月到2023年10月的方差大D．從小于的數(shù)據(jù)中任取兩個數(shù)，其和大于的概率為【答案】AC【解析】對于項：12個數(shù)據(jù)從小到大排列為1.3，2.2，2.4，3.5，3.7，3.9，4.4，4.5，4.5，4.6，5.0，5.6，所以中位數(shù)為，所以正確；對于項：極差為，所以錯誤；對于項：因為2022年10月到2023年5月的增長速度的波動比2023年6月到2023年10月的數(shù)據(jù)波動大，所以方差更大，所以C正確；對于D項：因為小于4的數(shù)據(jù)有共6個，從中任取兩個數(shù)的所有情況共有共15種，而兩數(shù)之和大于5的有共10種，所以，所以D錯誤.故選：．考法四古典概型【例4】（2023·湖南）有編號互不相同的五個砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個，2克的砝碼一個，從中隨機選取兩個砝碼，則這兩個砝碼的總重量超過4克的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機選取兩個砝碼，樣本空間，共有10個樣本點，其中事件“這兩個砝碼的總重量超過4克”包含3個樣本點，故所求的概率為．故選：A.【變式】1．（2024·黑龍江哈爾濱）從1，2，3，4，5這5個數(shù)中任取2個，則這2個數(shù)字之積大于5的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題從1，2，3，4，5這5個數(shù)中任取2個共有，10種，滿足這2個數(shù)字之積大于5的有，共有6種，則由古典型概率可知其所求概率為.故選：C2．（2023·北京）一個學習小組有5名同學，其中2名女生，3名男生.從這個小組中任意選出2名同學，則選出的同學中女生人數(shù)不少于男生人數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】5人小組中，設(shè)2女生分別為a,b，3名男生分別為A,B,C，則任意選出2名同學，共有:10個基本事件，其中選出的同學中女生人數(shù)不少于男生人數(shù)有7個基本事件，所以.故選：D.3．（2023·陜西安康）某班舉辦趣味數(shù)學活動，規(guī)則是：某同學從分別寫有1至9這9個整數(shù)的9張卡片中隨機抽取兩張，將卡片上較大的數(shù)作為十位數(shù)字，較小的數(shù)作為個位數(shù)字組成一個兩位數(shù).若這個兩位數(shù)與將它的個位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后得到的兩位數(shù)的差為45，就視為該同學獲獎.若該班同學參加這項活動，則他獲獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)同學隨機抽取得到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為.依題意，若，則，有1種情況；若，則，有2種情況.以此類推……，若，則，有8種情況，共計有種情況，其中滿足獲獎的情況是，即，也即獲獎情況只有，這4種情況，所以該班同學參加這項活動獲獎的概率為.故選：D考點五獨立事件【例51】（2023·遼寧）兩個實習生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A，即僅第一個實習生加工一等品(A1)與僅第二個實習生加工一等品(A2)兩種情況，則P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=故選B.【例52】（2023·全國·模擬預測）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，設(shè)“第1次正面朝上”為事件，“第2次反面朝上”為事件，“2次朝上結(jié)果相同”為事件，有下列三個命題：①事件與事件相互獨立；②事件與事件相互獨立；③事件與事件相互獨立．以上命題中，正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，由題意得，，，．因為，故事件相互獨立，①正確；因為，故事件相互獨立，②正確；因為，故事件相互獨立，③正確．故選：D【變式】1．（2024·全國·模擬預測）已知一場長跑訓練中，隊員甲不及格的概率為0.3，隊員乙及格的概率為0.6，這兩名隊員是否及格相互獨立，則同一場訓練中甲、乙兩人至少有一人及格的概率為（

）A．0.12 B．0.88 C．0.42 D．0.58【答案】B【解析】設(shè)甲、及格分別為事件，則，所以，由于兩名隊員是否及格相互獨立，同一場訓練中甲、乙兩人至少有一人及格的概率為．故選：B.2．（2024·全國·模擬預測）為了豐富同學們的業(yè)余生活，增強體質(zhì)，培養(yǎng)團隊意識，甲、乙兩校舉行乒乓球比賽．比賽采取5局3勝制．假設(shè)每局比賽甲校勝乙校的概率都為，沒有平局，且各局比賽的結(jié)果互不影響，則甲校以3：0獲勝或以3：1獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】甲校以3：0獲勝表示比賽進行3局結(jié)束，甲校勝3局，概率為，甲校以3：1獲勝表示比賽進行4局結(jié)束，甲校勝3局，且第4局甲校勝，概率為，所以所求概率為，故選：C．3．（2023廣東）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【解析】，故選：B考點六互斥與對立事件【例6】（2023·廣東清遠）下列說法：①必然事件的概率為．②如果某種彩票的中獎概率為，那么買張這種彩票一定能中獎．③某事件的概率為．④互斥事件一定是對立事件．其中正確的說法是（

）A．①②③④ B．① C．③④ D．①④【答案】B【解析】根據(jù)必然事件和不可能事件的定義可知，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故①正確；根據(jù)隨機事件的概率可知，買10張這種彩票也會有的可能性不中獎，所以②錯誤；根據(jù)隨機事件概率的性質(zhì)可知，某事件的概率取值范圍為，即③錯誤；互斥事件和對立事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件兩者必發(fā)生其一，而互斥事件還可能發(fā)生其他情況，所以互斥事件不一定是對立事件，即④錯誤；故選：B【變式】1．（2024·上海）袋內(nèi)有質(zhì)地均勻且大小相同的3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是（

）A．互斥事件 B．相互獨立事件 C．對立事件 D．不相互獨立事件【答案】B【解析】依題意，有放回地摸球，事件A與B可以同時發(fā)生，因此事件A與B不互斥，更不對立，AC錯誤；顯然，，因此A與B是相互獨立事件，B正確，D錯誤.故選：B2．（2024上·遼寧遼陽）一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機取出兩張，事件“取出的牌有兩張6”，事件“取出的牌至少有一張黑桃”，事件“取出的牌有一張大王”，事件“取出的牌有一張紅桃6”，則（

）A．事件A與事件互斥 B．事件與事件互斥C．事件與事件互斥 D．事件A與事件互斥【答案】D【解析】ABC選項，因為事件A與事件，事件與事件，事件與事件都可以同時發(fā)生，所以A，B，C錯誤.D選項，因為取出的牌有兩張6的同時不可能再有一張大王，所以事件A與事件C互斥.故選：D3．（2024上·上海長寧）擲一枚骰子，設(shè)事件：落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)；：落地時向上的點數(shù)是3的倍數(shù)；：落地時向上的點數(shù)是2；：落地時向上的點數(shù)是2的倍數(shù)，則下列說法中，錯誤的是（

）A．和有可能同時發(fā)生 B．和是對立事件C．和是對立事件 D．和是互斥事件【答案】C【解析】依題意，事件，對于A，事件和有相同的基本事件：點數(shù)3，A正確；對于B，事件和不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，則和是對立事件，B正確；對于C，事件和不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，則和不是對立事件，C錯誤；對于D，事件和不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，D正確.故選：C考點七事件的關(guān)系與運算【例71】（2023·河南信陽）同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關(guān)系【答案】C【解析】由同時拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故選：C.【例72】（2023上·四川成都）（多選）一個質(zhì)地均勻的骰子，擲一次骰子并觀察向上的點數(shù)．A表示事件“骰子向上的點數(shù)大于等于3”，B表示事件“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A：擲一枚骰子并觀察向上的點數(shù)，樣本空間為，共6個樣本點，則，共4個樣本點，所以，故A正確；B：，共3個樣本點，所以，故B錯誤；C：由選項AB知，，共5個樣本點，所以，故C正確；D：由選項AB知，，共2個樣本點，所以，故D正確.故選：ACD【變式】1．（2024上·上海黃浦）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點數(shù)，若A表示事件“點數(shù)大于3”，B表示事件“點數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點數(shù)為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示“點數(shù)為2”，表示“點數(shù)5”，表示“點數(shù)為3或2或1或4或6”，表示“點數(shù)為1或3或4或5或6”，故選：B2．（2023上·湖北）下列有關(guān)事件與概率的說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則A與B不獨立C．若A與B對立，則與互斥D．若，則A與B對立【答案】D【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可知，若，則，故A正確；根據(jù)獨立事件的定義可知，若，則A與B不獨立，故B正確；若A與B對立，則與對立，所以與互斥，故C正確；一枚骰子投擲一次，記事件A＝{出現(xiàn)點數(shù)為1，3，6}，事件B＝{出現(xiàn)點數(shù)為2，4，6}，則，滿足，但A與B不是對立事件，故D錯誤.故選：D．3．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知事件滿足，，則（

）A．若，則B．若與互斥，則C．若與相互獨立，則D．若，則與不相互獨立【答案】B【解析】對于A，若，則，所以A錯誤；對于B，若與互斥，則，所以B正確；對于C，若與相互獨立，可得與相互獨立，所以，所以C錯誤；對于D，由，可得，所以，所以，所以與相互獨立，所以D錯誤.故選：B.4．（2023上·四川瀘州·）（多選）將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件{向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過2}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4}，則下列說法中正確的有（

）A．B．{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)大于3}C．{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于3}D．{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為2}【答案】BC【解析】由題意可知事件包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為；事件包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為；事件包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為；所以{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為}，故A錯誤；{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為或或}，故B正確；{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為或或或}，故C正確；，故D錯誤；故選：BC5．（2023·廣東佛山）（多選）已知隨機事件、發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（

）A．若與互斥，則B．若與相互獨立，則C．若，則事件與相互獨立D．若，則【答案】ABC【解析】對于A選項，若與互斥，則，A對；對于B選項，若與相互獨立，則，所以，，B對；對于C選項，若，且，所以，事件與相互獨立，C對；對于D選項，若，則，所以，，D錯.故選：ABC.1.（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）我國實行個人所得稅專項附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項專項附加扣除．某單位老年、中年、青年員工分別有90人、270人、180人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調(diào)查專項附加扣除的情況，再從這6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由分層抽樣等比例性質(zhì)知：老年、中年、青年員工分別抽取了1人、3人、2人，所以6人中任選2人中恰有一名是中年員工的概率為.故選：B2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）從某班名同學中選出人參加戶外活動，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將名同學按、、、進行編號，然后從隨機數(shù)表第一行的第列和第列數(shù)字開始往右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第個同學的編號為（

）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機數(shù)表第一行和第二行）A． B． C． D．【答案】D【解析】從隨機數(shù)表第一行第列和第列數(shù)字開始往右依次選：、、、，選出的第個同學的編號為，故選：D．3．（2024·全國·模擬預測）如圖是2023年5月1日至5月7日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫實況記錄的網(wǎng)絡(luò)截圖，則關(guān)于這7天的氣溫，下列結(jié)論錯誤的是（

）日期最高氣溫最低氣溫2023－05－0127℃15℃2023－05－0227℃18℃2023－05－0322℃18℃2023－05－0424℃19℃2023－05－0518℃14℃2023－05－0621℃11℃2023－05－0719℃9℃A．這7天最高氣溫的眾數(shù)是27℃ B．這7天最低氣溫的中位數(shù)為15℃C．這7天最低氣溫的極差為10℃ D．這7天最高氣溫的平均數(shù)為22℃【答案】D【解析】由題表可知，這7天的最高氣溫（從小到大排列）分別為18℃，19℃，21℃，22℃，24℃，27℃，27℃，最低氣溫（從小到大排列）分別為9℃，11℃，14℃，15℃，18℃，18℃，19℃．選項A：這7天最高氣溫的眾數(shù)是27℃，故A正確；選項B：這7天最低氣溫的中位數(shù)為15℃，故B正確；選項C：這7天最低氣溫的極差為（℃），故C正確；選項D：這7天最高氣溫的平均數(shù)為（℃），故D錯誤．故選：D.4．（2024·全國·模擬預測）如圖為一組數(shù)據(jù)的散點圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后，所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由題可知，，，，的平均數(shù)為5，所以去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)．由題圖可知，當去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)的波動變小，穩(wěn)定性較好，所以．故選：D．5．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富購物體驗和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟.為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境、推動消費升級，有關(guān)部門對某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調(diào)查，對夜市服務(wù)進行評分(滿分100分)，根據(jù)評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（

）A．65 B．72 C．72.5 D．75【答案】D【解析】由題中頻率分布直方圖知區(qū)間，，三個區(qū)間頻率為，所以第數(shù)所在區(qū)間為，且設(shè)為，則，解得，故D正確.故選：D.6．（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）在某區(qū)高三年級第一學期期初舉行的一次質(zhì)量檢測中，某學科共有2000人參加考試.為了解本次考試學生的該學科的成績情況，從中抽取了名學生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，成績均在內(nèi)，按照的分組作出頻率分布直方圖（如圖所示）.已知成績落在內(nèi)的人數(shù)為16，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．估計全體學生該學科成績的平均分約為70.6分D．若成績低于60分為不及格，估計全體學生中不及格的人數(shù)約為320人【答案】B【解析】由題意有，解得，所以組的頻率為0.16，故，解得，故A正確，B錯誤；，故C正確；不及格的頻率為0.16，所以估計總體中不及格的學生人數(shù)約為，故D正確.故選：B.7．（2023·全國·模擬預測）某校高一（3）班的40位同學對班委會組織的主題班會進行了評分（滿分100分），并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．評分在區(qū)間內(nèi)的有2人 B．評分的中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)C．評分的眾數(shù)是90分 D．評分的平均數(shù)大于90分【答案】B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，A錯誤；前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，故可以判斷中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，B正確；由于眾數(shù)為最高小長方形底邊中點的橫坐標，故眾數(shù)是89分，C錯誤；評分的平均數(shù)為：（分），D錯誤．故選：B．8．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩個口袋中均裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨機取一個球交換放入另一口袋，則甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：若甲口袋的三個球中恰有兩個白球，則從甲袋中取出的球為黑球，乙袋中取出的球為黑球，或從甲袋中取出的球為白球，乙袋中取出的球為白球，所以甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為.故選：B.9．（2023上·上?！じ呷虾Ｊ行兄袑W校考期中）存在兩個事件A和B，且，，若A與B是兩個①事件，則；若A與B是兩個②事件，則；其中（

）A．（1）互斥（2）獨立 B．（1）互斥（2）對立C．（1）獨立（2）互斥 D．（1）對立（2）互斥【答案】A【解析】由，僅當時，所以A與B是兩個互斥事件，由獨立事件的判定知：，即A與B是兩個獨立事件.故選：A10．（2023·廣東清遠）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點數(shù)為大于2小于5”，“點數(shù)為偶數(shù)”，則表示的事件為（

）A．“點數(shù)為4” B．“點數(shù)為3或4”C．“點數(shù)為偶數(shù)” D．“點數(shù)為大于2小于5”【答案】A【解析】“點數(shù)為大于2小于”,“點數(shù)為偶數(shù)”,則,故表示的事件為“點數(shù)為4”.故選：A11．（2023·江西南昌）某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個元件是否有故障相互獨立.已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行.若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，則為該集成塊不能正常工作，所以.故選：A.12．（2023·河南·校聯(lián)考二模）某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復賽、決賽三個階段，每個階段比賽中，如果一支隊伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參加，若甲通過每個階段比賽的概率均為，乙通過每個階段比賽的概率均為，丙通過每個階段比賽的概率均為，且三人每次通過與否互不影響，則這支隊伍進入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過”，則這支隊伍通過每個階段比賽的概率為，所以他們連續(xù)通過初賽和復賽的概率為，即進入決賽的概率為.故選：B13．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）在一段時間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲乙兩人各自行動，則在這段時間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是（

）A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84【答案】C【解析】依題意，在這段時間內(nèi)，甲乙都不去參觀博物館的概率為，所以在這段時間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是．故選：C.14．（2023·廣東東莞）（多選）小明參加唱歌比賽，現(xiàn)場8位評委給分分別為:15，16，18，20，20，22，24，25.按比賽規(guī)則，計算選手最后得分成績時，要先去掉評委給分中的最高分和最低分.現(xiàn)去掉這組得分中的最高分和最低分后，下列數(shù)字特征的值不會發(fā)生變化的是（

）A．平均數(shù) B．極差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)【答案】ACD【解析】對于A，去掉最高分和最低分之前，8個數(shù)據(jù)的平均分為，去掉最高分和最低分之后，6個數(shù)據(jù)的平均分為，A正確；對于B，去掉最高分和最低分之前，8個數(shù)據(jù)的極差為10，去掉最高分和最低分之后，6個數(shù)據(jù)的極差為8，B錯誤；對于C，去掉最高分和最低分之前，8個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20，去掉最高分和最低分之后，6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20，C正確；對于D，去掉最高分和最低分之前，8個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20，去掉最高分和最低分之后，6個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20，D正確.故選：ACD15．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考模擬預測）（多選）某科技攻關(guān)青年團隊共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個人年齡的（

）年齡454036322928人數(shù)121321A．中位數(shù)是34 B．眾數(shù)是32C．第25百分位數(shù)是29 D．平均數(shù)為34.3【答案】BCD【解析】把10個人的年齡由小到大排列為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯誤，B正確；由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，為29，C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.故選：BCD16．（2023·全國·模擬預測）（多選）2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．某校組織了“一帶一路”知識競賽，將學生的成績（單位：分，滿分：120分）整理成如圖的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），則（

）A．該校競賽成績的極差為70分B．的值為0.005C．該校競賽成績的平均分的估計值為90.7分D．這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為81【答案】BC【解析】因為由頻率分布直方圖無法得出這組數(shù)據(jù)的最大值與最小值，所以這組數(shù)據(jù)的極差可能為70，也可能為小于70的值，所以A錯誤；因為，解得，所以B正確；該校競賽成績的平均分的估計值分，所以C正確．設(shè)這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為，則，解得，所以D錯誤．故選：BC．17．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）（多選）在一次數(shù)學考試中，某班成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．圖中所有小長方形的面積之和等于1 B．中位數(shù)的估計值介于100和105之間C．該班成績眾數(shù)的估計值為97.5 D．該班成績的極差一定等于40【答案】ABC【解析】對于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，圖中所有小長方形的面積之和等于1，即A正確；對于B，易知組距為，前兩組成績所占的頻率為，前三組成績所占的頻率為，由中位數(shù)定義可得其估計值介于100和105之間，即B正確；對于C，由圖可知頻率最高的成績區(qū)間，取中間值為代表可知班成績眾數(shù)的估計值為97.5，即C正確；對于D，由圖可知成績最高區(qū)間為，最低區(qū)間為，但最高分和最低分不一定分別為，所以其成績極差不一定為40，即D錯誤；故選：ABC18．（2023·浙江·模擬預測）（多選）從樹人小學二年級學生中隨機抽取100名學生，將他們的身商（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖，則（

）A．B．估計樹人小學這100名二年級學生的平均身高為124.5cmC．估計樹人小學這100名二年級學生的平均身高的中位數(shù)為122.5cmD．估計樹人小學這100名二年級學生的平均身高的眾數(shù)為120cm【答案】AB【解析】由題意，，A正確；均值為，B正確；設(shè)中位數(shù)是，由直方圖可知其在第3三組，則，，C錯；眾數(shù)是115，D錯；故選：AB．20．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃ǘ噙x）下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法正確的是（

）A．這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B．這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33C．這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D．前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差【答案】ABC【解析】A選項，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10年的糧食年產(chǎn)量極差為，故A正確；B選項，，結(jié)合A選項可知第65百分位數(shù)為第7個數(shù)33，故B正確；C選項，從小到大，選取第5個和第6個的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為，故C正確；D選項，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動小于后5年的糧食產(chǎn)量波動，所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故D錯誤；故選：ABC.21．（2023·山東濟寧）（多選）若，，，則下列說法正確的是（

）A． B．事件A與B不互斥C．事件A與B相互獨立 D．事件與B不一定相互獨立【答案】BC【解析】∵，∴，故A錯誤；又，所以事件與不互斥，故B正確；，則事件與相互獨立，故C正確；因為事件與相互獨立，所以事件與一定相互獨立，故D錯誤.故選：BC.22．（2023上·貴州六盤水）（多選）下列關(guān)于概率的命題，正確的是（

）A．對于任意事件A，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件A與事件B對立，那么一定有D．若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則【答案】BCD【解析】對于A，對于任意事件A，都有，故A錯誤；對于B，必然事件的概率為1，顯然正確，故B正確；對于C，如果事件A與事件B對立，那么一定有，故C正確；對于D，若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則，故D正確．故選：BCD．23．（2023上·安徽）（多選）下列說法中正確的是（

）A．互斥的事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．已知，，若，則D．若，，則事件A，B相互獨立與A，B對立可以同時成立【答案】BC【解析】不能同時發(fā)生但必有一個要發(fā)生的兩個事件為對立事件，所以對立事件一定是互斥事件，故答案A錯誤；答案B正確；因為，所以，故，故答案C正確；當事件A與事件B對立時，，則，即事件A與事件B不獨立，故答案D錯誤.故選：BC.24．（2023上·重慶北碚）（多選）某家商場舉行抽獎活動，小聰?小明兩人共同前去抽獎，設(shè)事件“兩人都中獎”；“兩人都沒中獎”；“恰有一人中獎”；“至少一人沒中獎”.下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，事件為“至多一人中獎”，即“至少一人沒中獎”，所以，故A正確；對于B，事件表示兩人都中獎且恰有一人中獎，沒有這樣的事件，所以，故B錯誤；對于C，至少一人沒中獎包括恰有一人中獎和兩人都沒中獎兩種情況，所以，故C正確；對于D，由C選項可知，所以，故D正確.故選：ACD.25．（2023·上海）已知在一次隨機試驗中，定義兩個隨機事件，，且，，，則.【答案】0.4/【解析】由題意.故答案為：0.4.26．（2023上·廣東佛山）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事件“向上的點數(shù)超過4”，則概率．【答案】【解析】由題意可知拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)有共6種可能，事件為“向上的點數(shù)是”，故，故答案為：27．（2023·浙江寧波）事件、是相互獨立事件，若，，則實數(shù)的值等于.【答案】【解析】，即，解得.故答案為：.28．（2024·上海）一個學習小組有3名同學，其中2名男生，1名女生.從這個小組中任意選出2名同學，則選出的同學中既有男生又有女生的概率為.【答案】【解析】一個學習小組有3名同學，其中2名男生，1名女生,從這個小組中任意選出2名同學基本事件總數(shù)為,選出的同學中既有男生又有女生包含的基本事件個數(shù)為,則所求事件的概率為，故答案為：.29．（2024·遼寧朝陽）從這4個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)之和為9的概率是.【答案】【解析】從這4個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)的所有基本事件有，共6個，所取2個數(shù)之和為9的基本事件有，共2個，故所求概率.故答案為：.30．（2024·四川眉山）有編號互不相同的五個砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個，2克的砝碼一個，從中隨機選取兩個砝碼，則這兩個砝碼的總重量超過4克的概率為【答案】/【解析】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機選取兩個砝碼，則，共有10個樣本點，其中事件“這兩個砝碼的總重量超過4克”包含3個樣本點，故所求的概率為．故答案為:.1．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預測）（多選）下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是4B．若數(shù)據(jù)的標準差為，則數(shù)據(jù)的標準差為C．隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．隨機變量服從二項分布，若方差，則【答案】BCD【解析】對于A中，數(shù)據(jù)從小到大排列為，共有8個數(shù)據(jù)，因為，所以數(shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為2，所以A不