陜西省交大附中龍崗中學(xué)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題

2020～2021學(xué)年第一學(xué)期交大附中、龍崗中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題注意：本試題共4頁(yè)，三道大題.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2．設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）條件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要3．已知三條不重合的直線，兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，且，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，，則4．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲(chóng)迅速繁衍，僅僅幾個(gè)月，蝗蟲(chóng)數(shù)量增長(zhǎng)了8000倍，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦．假設(shè)蝗蟲(chóng)的日增長(zhǎng)率為5%，最初有只，則經(jīng)過(guò)（）天能達(dá)到最初的16000倍．（參考數(shù)據(jù)：）A.197B.198C.199D.2005．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值是A.B.C.D.6．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，線段被拋物線的焦點(diǎn)分成的兩段，則此雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.7．已知，且，則的最小值為（）A.B.C.D.8．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A.B.C.D.9．在直三棱柱中，，，則該直三棱柱的外接球的體積是（）A.B.C.D.10．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則是（）A．等腰三角形B.直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形11．已知數(shù)列前項(xiàng)和是,且滿足,,,，則（）A.B.C.D.12．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①的解集是；②是極大值，是極小值；③沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值；④有最大值，沒(méi)有最小值；⑤有最小值，沒(méi)有最大值.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．命題“，”的否定是.14．一塊外表面均被涂為紅色的正方體被分成64個(gè)大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻混合，則從中任意取出一塊小正方體僅有一面涂成紅色的概率是．15.函數(shù)，對(duì)于任意的，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知雙曲線，圓，若雙曲線的一條漸近線與圓相切，則當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分.17.（本題滿分12分）已知函數(shù)，．（=1\*ROMANI）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸；（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，，且的面積為，求的值．18.（本題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（=1\*ROMANI）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.（本題滿分12分）定義橢圓（）的“蒙日?qǐng)A”方程為.已知拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（=1\*ROMANI）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”的方程；（Ⅱ）若斜率為的直線與“蒙日?qǐng)A”相交于兩點(diǎn)，且與橢圓C相切，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.20.（本題滿分12分）如圖，已知正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（=1\*ROMANI）證明：四點(diǎn)共面；（Ⅱ）證明：平面平面；（Ⅲ）若正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)直線與平面所成的角記為，求的最大值.（本題滿分12分）已知函數(shù).（=1\*ROMANI）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.（本題滿分10分）[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為軸的正半軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，.（=1\*ROMANI）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（Ⅱ）若曲線與軸相交于點(diǎn)，與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.23.（本題滿分10分）[選修45：不等式選講]已知函數(shù).（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)（文）試題參考答案選擇題（12×5分=60分）題號(hào)123456789101112答案DAACAACBBDCB填空題（4×5分=20分）13..，；14.15.16.6解答題（5×12分+10分=70分）17.（12分）（=1\*ROMANI）解：（3分）則函數(shù)的最小正周期為；（4分）令，則函數(shù)的對(duì)稱軸為：.（6分）（Ⅱ），且，則，（7分）由，可知，（9分）由余弦定理及，可知；（11分）所以：.（12分）18.（12分）（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)，，所以；（2分）當(dāng)時(shí)，，所以，于是；（5分）所以，是首項(xiàng)為3，公比是3的等比數(shù)列，于是，.（7分）（Ⅱ），（8分），.（12分）19.（滿分12分）（=1\*ROMANI）拋物線的焦點(diǎn)為，則，（1分）又，且，所以，（3分）于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；“蒙日?qǐng)A”方程為.（5分）（Ⅱ）設(shè)直線：，由可得：，令可得：，.（7分）方法1：“蒙日?qǐng)A”方程為，圓心為，半徑，則圓心距離，（8分）（10分）于是，.（12分）方法2：由，可得：，即則，，（7分）（9分）則圓心距離，（10分）于是，.（12分）20.（滿分12分）證明：（=1\*ROMANI）連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以：；又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以；又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以；所以，所以四邊形平行四邊形，所以四點(diǎn)共線.（3分）（Ⅱ）因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以；?分）又因?yàn)樵谡襟w中，平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，（6分）所以平面平面；（7分）（Ⅲ）方法1：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，當(dāng)最小值時(shí)，最大，又由于是等腰三角形，所以當(dāng)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最?。唬?分）在中，，，則記線段的中點(diǎn)為時(shí)，；又，又，所以，所以；所以，.（12分）方法2：如圖，平面平面，則過(guò)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，又由（1）知平面平面，，所以；（8分）所以動(dòng)直線在平面上的射影為，則，于是，當(dāng)最小值時(shí)，最大，又由于是等腰三角形，所以當(dāng)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最小，所以.（10分）由于是線段的四等分點(diǎn)，則在平面中可知；又由于中，，，則；于是.（12分）21.（滿分12分）（=1\*ROMANI）（1分）①當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；（2分）②當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增，在上遞減.（4分）（Ⅱ）方法1：構(gòu)造函數(shù)①當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）在上遞增，又，不符合題意，舍；（5分）②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在區(qū)間上遞增，在上遞減；所以，解得：.（7分）綜上：方法2：分離參數(shù)恒成立，等價(jià)于，（5分）設(shè)，，，令，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增，在上遞減；所以，所以：（7分）（Ⅲ）由（=1\*ROMANI）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即（僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）（8分）①當(dāng)時(shí)，，即；所以，，，，……，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；（10分）②當(dāng)時(shí)，，即，即所以，，，，……，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；（12分）綜上：當(dāng)時(shí)，.22.（滿分10分）（=1\*ROMANI）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，所以：；又因?yàn)椋?，所以：，即曲線的直角坐標(biāo)方程.（3分）曲線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得曲線的普通方程；（5分）（Ⅱ）由于曲線的直角坐標(biāo)方程，則，且傾斜角為，（6分）設(shè)曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，且兩點(diǎn)的參數(shù)分別為，則將曲線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可得：，由韋達(dá)定理可知：，，（8分）.（10分）23.（滿分10分）（=1\*ROMANI