高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修三）專(zhuān)題6.5二項(xiàng)式定理（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專(zhuān)題6.5二項(xiàng)式定理（重難點(diǎn)題型精講）1．二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)：=.(2)二項(xiàng)展開(kāi)式的規(guī)律

①二項(xiàng)展開(kāi)式一共有(n+1)項(xiàng).

②(n+1)項(xiàng)按a的降冪b的升冪排列.

③每一項(xiàng)中a和b的冪指數(shù)之和為n.2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角——二項(xiàng)式系數(shù)表

當(dāng)n依次取1,2,3,時(shí)，觀察的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)：從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項(xiàng)式定理得到的，右側(cè)三角是算出對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是對(duì)稱(chēng)的，如第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.

③從第二行起，每一行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個(gè)數(shù)之和為2=，第二行的三個(gè)數(shù)之和為4=，，第六行的各數(shù)之和為，，第n行的(n+1)個(gè)數(shù)之和為.(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【題型1求展開(kāi)式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)】【方法點(diǎn)撥】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的主要作用是求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，常見(jiàn)的題型有：①求第k項(xiàng)；②求含(或)的項(xiàng)；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng).其中求有理項(xiàng)時(shí)，一般根據(jù)通項(xiàng)，找出未知數(shù)的指數(shù)，令其為整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性求解.另外，若通項(xiàng)中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以簡(jiǎn)化運(yùn)算.【例1】（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）二項(xiàng)式x?23A．80 B．?80 C．?40 D．40【變式11】（2023·廣西桂林·一模）x?25的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為（A．40 B．?40 C．80 D．?80【變式12】（2022春·湖南邵陽(yáng)·高二期末）2x?ax6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160，則aA．1 B．1 C．2 D．2【變式13】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）x?2x10A．C104 B．C10424【題型2用賦值法求系數(shù)和問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題的常用方法.根據(jù)題目要求，靈活賦值是解題的關(guān)鍵.【例2】（2022秋·廣西梧州·高三期中）1+x4=a0+A．1 B．3 C．0 D．?3【變式21】若x+y6=a0yA．0 B．32 C．64 D．128【變式22】（2022春·陜西延安·高二階段練習(xí)）若(3x?1)7=aA．?1 B．127 C．128 D．129【變式23】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Cn3=Cn6，設(shè)A．?1 B．0 C．1 D．2【題型3多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，以免重復(fù)或遺漏.【例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）1x?21?2xA．?4 B．?6C．?8 D．【變式31】（2022·四川綿陽(yáng)·?？级＃?+1x(1+x)4的展開(kāi)式中含A．10 B．12 C．4 D．5【變式32】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）二項(xiàng)式(1+x+x2)(1?x)10A．120 B．135 C．140 D．100【變式33】（2022秋·廣西柳州·高三階段練習(xí)）若2?ax1+x4展開(kāi)式中x3的系數(shù)為2，則a=A．1 B．?1 C．?13 【題型4求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的方法】【方法點(diǎn)撥】由于展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量，因此，(1)在系數(shù)符號(hào)相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值，只需比較兩組相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小，根據(jù)通項(xiàng)正確地列出不等式組即可.(2)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相間時(shí)，求系數(shù)的最大值應(yīng)在系數(shù)都為正的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式組；求系數(shù)的最小值應(yīng)在系數(shù)都為負(fù)的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式組.【例4】（2022春·江蘇常州·高二期中）在3x?2y20的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是（

A．第10項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第11項(xiàng) D．第8項(xiàng)【變式41】（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若2+axna≠0的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（A．?∞,0∪2,3 C．2,3 D．1【變式42】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知x-2xA．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376【變式43】（2022春·山東菏澤·高二階段練習(xí)）已知2x+1xnA．二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為37 B．二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng) D．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240【題型5利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題或求余數(shù)】【方法點(diǎn)撥】(1)利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本做法：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題時(shí)，通常把底數(shù)寫(xiě)成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面(或者是前面)一兩項(xiàng)就可以了，要注意余數(shù)的范圍.【例5】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）250?1除以7的余數(shù)是（A．0 B．1 C．2 D．3【變式51】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512021+a能被13整除，則aA．0 B．1 C．11 D．12【變式52】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，則a=（A．0 B．1 C．11 D．12【變式53】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)n為正奇數(shù)，則5n+CA．?2 B．0 C．3 D．5【題型6楊輝三角問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路：(1)觀察：對(duì)數(shù)據(jù)要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；(2)規(guī)律：通過(guò)觀察找出每一行的數(shù)據(jù)之間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律；(3)表達(dá)：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)；(4)結(jié)論：用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫(xiě)出結(jié)論.【例6】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn).如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個(gè)數(shù)為該行中的最大值，則n=（

）A．21 B．22 C．23 D．24【變式61】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了(a+b)n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（

A．256 B．512 C．1024 D．1023【變式62】（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯(cuò)誤的是（

）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：CC．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“1