湖南省2023屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

湖南省2023屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（二）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知A={L2,α+3},B={α,5},若AUB=A,則α=（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知復(fù)數(shù)z=（l+i）?（m-2i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為（）

Am>2B.0<tn<2

C.-2<m<2D.m<-2

3.“。+1>匕-2”是"〃>力''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知數(shù)列{α,J滿足％=1,%+產(chǎn)量門(mén)，則%=（）

Illl

A.-B.-C.-D.—

78910

5.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)V=Asinw,我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成

的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/（x）=COS2%+同時(shí)，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（尤）是奇函數(shù)B.的最小正周期為2兀

?Jrjr

C./（X）的最大值為二D./（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減

6.已知點(diǎn)P為直線/：%-丁+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓C：（X-2>+（y-l）2=l上存在兩點(diǎn)M,N,使得

/MPN=60o,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為()

A.[-2,1]B.[-1,3]C.[0,2]D.[1,3]

7.如圖，在直三棱柱ABC-ABCl中，=ABC為等腰直角三角形，NACB=90,AB=A4=4,平面

ABG截三棱柱ABC-AgC的外接球所得截面的面積為()

8.設(shè)函數(shù)/(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)/'(力，對(duì)任意的XeR,有/(x)-∕(-X)=2sinx,且在[0,+e)上

∕,(x)>cosx.若一，-/(f)>cos∕-Sinf.則實(shí)數(shù)，的取值范圍為()

A?UBCCGmD-?+q°)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法中正確的是()

A.某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，其中一組訓(xùn)練共射擊九次，射擊的環(huán)數(shù)分別為

9.2,10.5,10,8.5,10.3,9.8,10.6,8.2,9.7,則這組射擊訓(xùn)練數(shù)據(jù)的70分位數(shù)為10.3

B.已知隨機(jī)變量X服從B(%p),若E(X)=20,D(2X)=60,則p=：

C.在經(jīng)驗(yàn)回歸分析中，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)，?就越接近于1

D.用模型y="e"+c擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=ln(y-c),若通過(guò)這樣的變換

后，所得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z=0.8x+3,則a=e3

10.下列結(jié)論正確的是()

3535

A.e+e>e?eB.Ig3+lg5>lg3?lg5

ππππ

C.2+6>3?5D.Iog310+Iog510>Iog310?log,10

如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體。中，點(diǎn)滿足其中

11.2ABCD-AMGNA1M=;IAC,C∣N="GB,

%M∈(0,l),則()

A.存在/I,"∈（0,1）,使得BM∕∕RN

B.存在X,4∈（0,l）,使得MNL平面BAC

C.當(dāng)人=〃=1時(shí)，MN取最小值

2

D.當(dāng)〃=；時(shí)，存在2∈（0,l）,使得NAMN=90

12.已知數(shù)列｛4｝,如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)/（無(wú)論多?。?，總存在正整數(shù)N,使得

〃>N時(shí)，恒有|ɑ,,-A∣<r成立，就稱數(shù)列｛%｝收斂于A（極限為A）,即數(shù)列｛%｝為收斂數(shù)列.下列結(jié)

論正確的是（）

A.數(shù)列｛；｝一個(gè)收斂數(shù)列

B.若數(shù)列｛叫為收斂數(shù)列，則mM∈R'，使得?"eN*,都有㈤<M

C.若數(shù)列｛4｝和也｝為收斂數(shù)列，而數(shù)列｛4—2｝不一定為收斂數(shù)列

D.若數(shù)列｛an｝和也,｝為收斂數(shù)列,則數(shù)列｛an?brl｝也一定為收斂數(shù)列

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線/（x）=XeA—3x+l在點(diǎn)（0,1）處的切線方程是（結(jié)果用一般式表示）.

14.在邊長(zhǎng)為6的正..ABC中，若點(diǎn)。滿足B￡）=2。。，則Ar）?BC=.

15.近兩年來(lái)，多個(gè)省份公布新高考改革方案，其中部分省份實(shí)行“3+1+2”的高考模式，“3”為全國(guó)統(tǒng)一

高考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)必考科目，“1”由考生在物理、歷史兩門(mén)科目中選考1門(mén)科目，“2”由考生在思想

政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)科目中選考2門(mén)科目，則甲，乙兩名考生恰有兩門(mén)選考科目相同的概率為

16.已知雙曲線C:J-二=15>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸，雙曲線C的一條漸近線與圓O:爐+y2=/在

ab

第二象限的交點(diǎn)為圓O在點(diǎn)M處的切線與X軸的交點(diǎn)為N,若SinNMNF=JIsin/MFN,則雙

曲線C的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知‘∣s

17UWCA5,Cα,"c,=-I2

cosBcosCa^+h^-C

（1）求角B的大小；

（2）若α+c=2J^aSinC，S.h-3,求_ABC的面積S.

18.如圖①，在等腰梯形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上的一點(diǎn)，A?！?C,AO=CD=I,_ABE是一個(gè)

等邊三角形，現(xiàn)將4?E沿著AE翻折至VAPE,如圖②.

（2）當(dāng)四棱錐P-AECO體積最大時(shí)，求平面AEP與平面PCD的夾角的余弦值.

19.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4S,,=d+2q,-8.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）能否從｛%｝中選出以《為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列A，%，，4j,（K=l）?若能，請(qǐng)找出

使得公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和北；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

20.旅游承載著人們對(duì)美好生活的向往.隨著近些年人們收入和消費(fèi)水平不斷提高，對(duì)品質(zhì)生活的需求也日

益升級(jí)，旅游市場(chǎng)開(kāi)啟了快速增長(zhǎng)的時(shí)代.某旅游景區(qū)為吸引旅客，提供了A、8兩條路線方案.該景區(qū)為進(jìn)

一步了解旅客對(duì)這套路線的選擇情況和滿意度評(píng)價(jià)（“好”或"一般”），對(duì)300名的旅客的路線選擇和評(píng)價(jià)進(jìn)

行了統(tǒng)計(jì)，如下表：

A路線4路線

合計(jì)

好一般好一般

男2055120

女9040180

合計(jì)5075300

（1）填補(bǔ)上面的統(tǒng)計(jì)表中的空缺數(shù)據(jù)，并依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)A,8兩條

路線的選擇與性別有關(guān)？

(2)某人計(jì)劃到該景區(qū)旅游，預(yù)先在網(wǎng)上了解兩條路線的評(píng)價(jià)，假設(shè)他分別看了兩條路線各三條評(píng)價(jià)

(評(píng)價(jià)好或一般的可能性以前面統(tǒng)計(jì)的比例為參考)，若評(píng)價(jià)為“好''的計(jì)5分，評(píng)價(jià)為“一般”的計(jì)2分，以

期望值作為參考，那么你認(rèn)為這個(gè)人會(huì)選擇哪一條線路.請(qǐng)用計(jì)算說(shuō)明理由.

2_n(ad-bc)1

附:其中〃=a+/?+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(0+d)'

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

21.已知橢圓C:「+與=l(α>b>O)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥(niǎo)，焦距為2g，過(guò)6的直線加與橢圓C

ah

相交于A,8兩點(diǎn)，且AAB居的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)G(l,0)的動(dòng)直線〃與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，直線/的方程為x=4.過(guò)點(diǎn)M作MPJj于點(diǎn)

P,過(guò)點(diǎn)N作NQ_U于點(diǎn)。.記，GPQ,_GPMaGQN的面積分別為S,S1,邑.問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)；I,使

得/1肉豆"一S=O成立？若存在，請(qǐng)求出/1的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=(OX-q)e'其中α,beR,e是自然對(duì)數(shù)底數(shù).

(1)當(dāng)Z?=0時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)匕=1時(shí)，若對(duì)任意的x∈[-2,+e)J(X)≥-：恒成立，求。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知A={L2,α+3},B={α,5},若ADB=A,則”=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得

【詳解】由于AUB=A，所以α+3=5,α=2,

此時(shí)A={1,2,5},B={2,5},滿足AU3=A.

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)z=(l+i)?(m-2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

A.m>2B.O</77<2

C.—2<m<2D.m<-2

【答案】A

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)z,根據(jù)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限列不等式，從而求得m的取值范圍.

【詳解】z=(l+i)?(m-2i)=m+2+(∕zz-2)i,

對(duì)應(yīng)點(diǎn)(機(jī)+2,加一2),

由于點(diǎn)(加+2,加―2)在第一象限,

m+2>O

所以《解得m>2.

m-2>Q

故選：A

3.“。+1>匕-2”是“。>?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】a+l>b-2<^>a>b-3,

a>b-3%a>b

所以《，

a>b=>a>b-3

所以“α+l>。-2”是“的必要不充分條件.

故選：B

4.已知數(shù)列{α,J滿足q=1,%+∣=*1，則％=()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)椤皑O=1,%+1—?j^，

20,,+l

,a.1a-,1%1%1

i

所以"2=T~T7=W，?=Z-y7=7>?=τ--=-,a5

2(rz1+132a1+152%+172%+19

故選：C

5.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=AsinW,我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成

的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/(x)=COS2%+忖阿，則下列結(jié)論正確的是()

A.”X)是奇函數(shù)B.7(x)的最小正周期為2π

3TTTT

C.“X)的最大值為7D.“X)在區(qū)間上單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷A；由/(x+7l)=∕(x)可判斷B；利用換元法將問(wèn)題化歸為二次函數(shù)

給定區(qū)間求最值可判斷C；對(duì)/(X)求導(dǎo)，判斷了(X)的單調(diào)性可判斷D.

[詳解】因?yàn)?(-X)=COS(-2Λ)+∣sin(-x)∣=cos2x+∣sin%∣=∕(x),/(x)定義域?yàn)镽,

所以/(X)偶函數(shù)，故A不正確；

因?yàn)?(x+π)=cos2(x+π)+∣sin(x+π)∣=cos2x+∣sinΛ∣=/(X),

所以/(x)的最小正周期不是2π,故B不正確；

因?yàn)?(x)=cos2x+∣sinx∣=l-2sin2Λ+∣sinx∣,

令f=卜inx∣∈[0,l],則/?)=一2『+/+1=—2,—；+1,

10

所以當(dāng)/=1時(shí)，/(χ)取得最大值，最大值為：，故C不正確；

兀π

當(dāng)x∈/(x)=cos2x+sinx,

4,2

則/'(X)=-2Sin2x+cosx=-Asinxcosx÷cosx=cosx(-4sinx+l),

π兀?[2

當(dāng)x∈—,一時(shí)，y=cosx>0,sinx∈——,1,-4Sirlx÷1∈[-÷1,—?j,

422

所以r(x)<0,所以/(同在區(qū)間I上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

6.已知點(diǎn)P為直線/：x-y+l=O上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓C:(x—2>+(y—1)2=1上存在兩點(diǎn)M,N,使得

ZMPN=60°,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為()

A.[-2,1]B.[-1,3]C.[0,2]D.[1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】求得PM,PN與圓C相切且NMPN=600時(shí)IPq的長(zhǎng)，根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系求得P點(diǎn)的橫

坐標(biāo)的取值范圍.

【詳解】圓C:(無(wú)一2p+(y-1)2=1的圓心為C(2,l),半徑r=1，

當(dāng)PM,PN與圓C相切且NΛ∕PN=60°時(shí)，IPq=2r=2,

以C(2,l)為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2p+(y-l)2=4,

九-y+1=0

由〈/=、2/?2,消去)并化簡(jiǎn)得/一21二0，

[(x-2)-+(y-l)=4

解得尤=O或X=2,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍[0,2].

故選：C

7.如圖，在直三棱柱ABC-中，N45C為等腰直角三角形，NACB=90,A8=A41=4,平面

ABC截三棱柱ABC-AiBtQ的外接球所得截面的面積為()

2836

A.—πB.—πC.---71D.8兀

555

【答案】C

【解析】

【分析】判斷出外接球球心的位置，利用勾股定理計(jì)算出外接球的半徑，利用等體積法求得外接球球心到平

面ABG的距離，進(jìn)而求得截面半徑，從而求得截面面積.

【詳解】由于..ABC為等腰直角三角形，所以一ABC的外心是AB的中點(diǎn)，設(shè)為。

設(shè)4,用的中點(diǎn)為。1,連接。。2,設(shè)。。2的中點(diǎn)為。,

則。是直三棱柱ABC-44G的外接球的球心,

OCi,OA,OB,OA1,

設(shè)外接球的半徑為R,則H=OA=√22+22=2√2.

由于GA=QB1,所以C1O11AlBt,根據(jù)直棱柱的性質(zhì)可知C1O11Λ41,

由于44,44=A,AVA8∣u平面ABgA,

所以平面ABg4,Ga=；A4=2,

所以VG-AsO=gx(；x4x2)x2=|,

AB=BC=Ax顯=2近，

2

4C∣=BCl="+(2何=2瓜，所以SABG=LX4XJ(2#『-(3)=4√5,

設(shè)0到平面ABCt的距離為h,則;X46X力=I,//=1，

所以平面ABG截三棱柱ABC-ABe的外接球所得截面的半徑為

36

所以截面面積為兀X=—π

5

8.設(shè)函數(shù)/(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)/'(x),對(duì)任意的XeR,有“X)—/(T)=2sinx,且在［0,+8)上

∕,(x)>cosx.若/[3-"-∕(r)>cos/-sinf.則實(shí)數(shù)f的取值范圍為()

【答案】A

【解析】

【分析】先構(gòu)造函數(shù)可得g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，在(y,0)上單調(diào)遞減，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為

g(f)<g(5-',利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到W<5一f,解之即可.

【詳解】因?yàn)镕(X)-√(r)=2sinx,所以f(x)-sinx=f(-X)-Sin(-%),

設(shè)g(x)=∕(X)-Sinx,可得8(%)=8(-力，8(%)為偶函數(shù)

在［0,+OO)上有r(x)>cosx,二g'(x)=r(x)-cosx>0,

故g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

(πyπ2π

即，2L—πf>o,解得『<一.

U)44

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法中正確的是()

A.某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，其中一組訓(xùn)練共射擊九次，射擊的環(huán)數(shù)分別為

9.2,10.5,10,8.5,10.3,9.8,10.6,8.2,9.7,則這組射擊訓(xùn)練數(shù)據(jù)的70分位數(shù)為10.3

B.已知隨機(jī)變量X服從6(〃,p),若E(X)=20,L>(2X)=60,則p=；

C.在經(jīng)驗(yàn)回歸分析中，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1

D.用模型y=αe.+c擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=ln(y-c),若通過(guò)這樣的變換

后，所得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z=0.8x+3,則α=e3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可判斷A,根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式以及方差的性質(zhì)即可判

斷B,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可求解C,根據(jù)線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程和非線性之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,將環(huán)數(shù)從小到大排列為8.2,8.5,9.2,9.7,9.8,10,10.3,10.5,10.6,由于9χ70%=6.3,故

這組射擊訓(xùn)練數(shù)據(jù)的70分位數(shù)為第七個(gè)數(shù)10.3,故A正確，

對(duì)于B,由二項(xiàng)分布的期望公式可得E(X)=20=∕ψ,D(X)=〃p(l—p)=20(l—〃)，由于

r>(2X)=4E>(X)=80(l-p)=60,故〃=；，故B正確，

對(duì)于C,在經(jīng)驗(yàn)回歸分析中，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)M就越接近于1,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,z=0.8x+3=ln(y-c?)=y=e°?8*+3+c?=e3e°?8χ+c?,又y="e'"+c,所以α=e3,故D正確,

故選：ABD.

10.下列結(jié)論正確的是()

3535

A.e+e>e?eB.Ig3+lg5>lg3?lg5

ππππ

C.2+6>3?5D.log310+log510>log310?log510

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

ɑ?+11已3+I1

【詳解】對(duì)于A,3苧■二5+A，由于e>2,所以=上二3+3<1.故A錯(cuò)誤,

O?J

對(duì)于B,由于l>lg3>0,l>lg5>0,所以舉?W?=r?+J??>l,所以愴3+館5>愴3-愴5,故B正

Ig3?lg5Ig5lg3

確,

≡=≡÷≡<≡÷≡<≡÷≡<

對(duì)于C,所以C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,由于3〉108310>2,2>108510〉1,所以

log,10+log51011,u,c,,u,

,~ιn.^ιn=-一-+-一-=?5+lg3=lgl5>l,故D正確，

log310Iog510log510Iog3IO

故選：BD

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一A耳GA中，點(diǎn)M，N滿足AM==其中

Λ√∕∈(0,l),則()

A.存在/I,"∈(0,1),使得BM∕∕RN

B.存4M∈(0,1),使得W平面A4∣C

C.當(dāng)人=〃=1時(shí)，MN取最小值

2

D.當(dāng)〃=；時(shí)，存在2∈(0,l),使得NAMN=90

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷B；利用和異面直線都垂直且相交

的線段的長(zhǎng)為異面直線間的最短距離的含義可判斷Ci利用球的半徑和點(diǎn)到球心的距離的比較可判斷D,即

得答案.

【詳解】因?yàn)锳N平面BCA4=。廠且BMU平面BCAA,

所以不存在2,Me(0,1),使得BM//RN,故A錯(cuò)誤；

記AiC-平面BDeI=M,在平面BDCl中，

過(guò)點(diǎn)M作直線MN〃&￡),交直線BG于點(diǎn)N,

在正方體中,8Cl平面。CeQl。u平面。CCQI,故BC，CQ,

連接2。，則￡O，z)c，而AB〃2C,：.GO_L4B,

BeCA6=8,BC,ABu平面ABC,故平面BAQ,

所以此時(shí)MNj_平面BAC,故B正確；

B

當(dāng)2=〃=g時(shí)，M,N分別為AC，8C∣的中點(diǎn)，M點(diǎn)也為AG的中點(diǎn),

則MN〃AB，且直線AB與AC不垂直，即MN與AC不垂直，

即MN不是線段AC和BG上兩點(diǎn)連線的最小值，故C錯(cuò)誤;

當(dāng)〃=g時(shí)，N為8G的中點(diǎn)，D?N=d*+2=指,

如圖，設(shè)的中點(diǎn)為。，連接。N,交AC于MI點(diǎn)，則Ml為AC的中點(diǎn),

設(shè)RN中點(diǎn)為0∣,則Mo=JLO°=?LAD∣=也<如，AD.=2>-,

'124222

因此以AN為直徑的球與線段AC必有交點(diǎn),

即存在4∈（0,1）,使得NAMN=90°.故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類空間兒何體中的存在性問(wèn)題，屬于較難問(wèn)題，解答是要充分發(fā)揮空間想象能

力，明確空間幾何體中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，對(duì)于存在性的判斷，可以找到特殊位置或特殊值，說(shuō)明適合

題意，如果不存在，要加以證明或說(shuō)明.

12.已知數(shù)列｛%｝,如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)/（無(wú)論多?。偞嬖谡麛?shù)N,使得

〃>N時(shí)，恒有寓-A∣<r成立，就稱數(shù)列｛4｝收斂于A（極限為A）,即數(shù)列｛a,,｝為收斂數(shù)歹U?下列結(jié)

論正確的是（）

A.數(shù)列是一個(gè)收斂數(shù)列

B.若數(shù)列｛叫為收斂數(shù)列，則mMcR+,使得V"∈N',都有同<M

C.若數(shù)列｛%｝和｛2｝為收斂數(shù)列，而數(shù)列｛4—包｝不一定為收斂數(shù)列

D.若數(shù)列｛4｝和｛勿｝為收斂數(shù)列，則數(shù)列｛an-bn｝也一定為收斂數(shù)列

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)新定義證明是一個(gè)收斂數(shù)列，A正確，取M=max{3+l,∣A∣+r}得到B正確，證明

{an-bn},{α,,也,}一定為收斂數(shù)列，得到C錯(cuò)誤D正確，得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：存在A=O,取N=」,當(dāng)”>N時(shí)，?'—Q=%<T=,是收斂數(shù)列，正確；

r

r

對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)〃>N時(shí)，,“一A∣<r,則同<∣Λ∣+r,

當(dāng)1≤"≤N時(shí)，㈤中最大的項(xiàng)為B,取M=max{8+l,∣A∣+r},則同<M,正確；

對(duì)選項(xiàng)C：對(duì)任意r,取(=G=?∣,”>N∣時(shí)，恒有,“一4|<《，

n>TV20t,?bll-B?<r2,故〃>max{N］,M}時(shí),

則1%—2-(A-國(guó)≤?an-A?+?brl-B?<rl+r2=r,故數(shù)列{an-bn}一定為收斂數(shù)列，

錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：對(duì)任意—，ΛT=max{∣A∣,∣B∣},取4=4=J高7-K，

〃>N］時(shí)，恒有∣α,,-A∣<Aj,">小時(shí)，麻-用<為，

故〃>max{N∣,N2}時(shí)，則?anbn-AM=∣(a,,-A)(bn-B)+(??-A)β+(?-B)A∣

V∣(%-A)∣∣(?-B)∣+∣(%一⑷腳+同一BaAl<"+K(zi+G)=r,

故數(shù)列{an?bn}一定為收斂數(shù)列，正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能

力，其中利用數(shù)列的新定義，構(gòu)造類似4=弓=］的關(guān)系，是解題的關(guān)犍.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線/(x)=XeA-3x+l在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是(結(jié)果用一般式表示).

【答案】2x+y-l=0

【解析】

【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可求解直線方程.

【詳解】/'(x)=(x+l)e*-3,所以/'(0)=-2,所以由點(diǎn)斜式可得切線方程為丁一1=一2x,即

2x+γ-l=0,

故答案為：2x+y-?=0

14.在邊長(zhǎng)為6的正ABC中，若點(diǎn)。滿足B￡)=2￡>C，則AfhBC=.

【答案】6

【解析】

【分析】以AC、AB作為一組基底表示出A。、BC,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锽D=2DC，所以AZ)=AC+CO=AC+§CB=AC+§(AB—AC)=]AC+§AB,

BCAC-AB>

(21、/\22112

所以A￡>.8C=(§AC+§A8.(AC-A3)=§AC--AB-AC--AB

=-∣AC∣--∣∣AB∣?∣AC∣cosNBAC--∣AB∣^^

2111

=—×69'——×6×6×------×69'=6.

3323

故答案為：6

15.近兩年來(lái)，多個(gè)省份公布新高考改革方案，其中部分省份實(shí)行“3+1+2”的高考模式，“3”為全國(guó)統(tǒng)一

高考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)必考科目，“1”由考生在物理、歷史兩門(mén)科目中選考1門(mén)科目，“2”由考生在思想

政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)科目中選考2門(mén)科目，則甲，乙兩名考生恰有兩門(mén)選考科目相同的概率為

[答案]—

【解析】

【分析】首先求出選科的總情況，再求出有兩門(mén)選考科目相同的情況，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可

得.

【詳解】甲、乙兩名考生選科的總情況有(C]C,2=122=144,其中恰有兩門(mén)選考科目相同的情況有以

下兩種：

①在物理、歷史兩科中選科相同：C；-CiA；=48；

②在物理、歷史兩科中選科不同：C〉A(chǔ)；=12,

因此甲、乙兩名考生恰有兩門(mén)選考科目相同的概率P=竺些=里=9.

14414412

故答案為：—

12

22

16.已知雙曲線C:二-2=l(4>0,b>0)的右焦點(diǎn)為E，雙曲線。的一條漸近線與圓O:M+V=/在

右b-

第二象限的交點(diǎn)為例，圓。在點(diǎn)M處的切線與X軸的交點(diǎn)為N,若SinNMNF=血SinNMFN，則雙

曲線C的離心率為.

【答案】巫##J■厲

33

【解析】

【分析】依題意得：F(c,O),漸近線的方程為y=-2χ,聯(lián)立漸近線方程和圓的方程求得

a

/2r\

M,根據(jù)MNLON求得直線MN的斜率，進(jìn)而得到其方程，從而求得N(-c,O).由

【cCj

sinZMNF=√7sinAMFN，結(jié)合正弦定理可得，|M尸∣=√7∣MN∣,從而利用兩點(diǎn)距離公式代入可得

5O2=3C2.進(jìn)而求得雙曲線。的離心率.

b

聯(lián)立＜a,解得＜

X2+/2=Cr2

MNLOM,.?Λ=-.

MNb

,—raba?a1

.?.MN的j方程為ty------=-XH—

cb?c

令y=0,得χ=-c..?.N(—Go)

sinZ.MNF-?/?sinNMFN，

根據(jù)正弦定理可得，IM/∣=J71MNI

,c2_5即心沁=卓

"∑τ^3

故答案為：Y叵

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是能根據(jù)正弦定理把SinNMNE=√7sinNMFN,轉(zhuǎn)化為

?MF?=∕1?MN?,從而借助兩點(diǎn)距離公式構(gòu)造齊次方程求離心率.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在一ABC中，內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為“∕,c,已知?=J,

cosBcosCa~+/?--c~

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若α+c=2CαsinC，且〃=3,求一ABC的面積S.

JT

【答案】(I)B=^

(2)唯

4

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理、正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得心

(2)正弦定理求得SinC,根據(jù)余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.

【小問(wèn)1詳解】

SinA_2垂＞a1

依題意,

cosBcosCa~Λ-b1-c~

2y[3a2VJa

由余弦定理得si*14=,2叩,=—^―,cosC≠0,

cosBcosCa+b“一CcosC

Iab

則包&=叵，由正弦定理得包4=遍吧，

COSBhCoSBsinB

由于SinA≠0,則tan3二6,

所以8為銳角，則3=1.

【小問(wèn)2詳解】

C=b_3_SinC—C

由正弦定理得SinC-SinB一百一“^2√3.

2

=2VdtzsinC=2瓜a∣2ac

Q+CXSr?

由余弦定理得3~—ci~+c~—2。CCOS—,cι~+c~—cιc—9①，

3

由α+c=兩邊平方得（α+c）-=謬+c?+2勿;=2。202,。2+。2=2。2《2一2々。，

代入①得2儲(chǔ)02一3知=9,即（αc-3）（2αc+3）=0,解得Qc=3（負(fù)根舍去）,

所以S=，x3x@=唯.

224

18.如圖①，在等腰梯形ABC。中，點(diǎn)E為邊BC上的一點(diǎn)，AD//BC,AD^CD^l,ABE是一個(gè)

等邊三角形，現(xiàn)將，ABE沿著AE翻折至VAPE，如圖②.

（1）在翻折過(guò)程中，求四棱錐P-AECD體積的最大值；

（2）當(dāng)四棱錐P-AES體積最大時(shí)，求平面AEP與平面PC。的夾角的余弦值.

【答案】⑴-

4

⑵也

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平面AB￡1平面AEe。時(shí)，四棱錐P-AECO體積取得最大值來(lái)求得正確答案.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面AEP與平面PCD的夾角的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

依題意可知：三角形ABE是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，高為且，

2

四邊形AECr)是邊長(zhǎng)為1的菱形，且NECD=二，5=Ixlxsin-=-

3A4EFCΓD32

在翻折過(guò)程中，當(dāng)平面ABEI平面AECD時(shí)，

四棱錐P-AECD體積取得最大值，

且最大值為L(zhǎng)X立X且='.

3224

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)AE的中點(diǎn)為。，連接0P,。。，

當(dāng)平面4?El平面AECD時(shí)，四棱錐P—AECD體積取得最大值，

由于平面A」BEC平面AEa)=AE,OPU平面Q4￡,OPVAE,

所以O(shè)PL平面AECE,

由于OOU平面AEeE,所以O(shè)P_LOD,

連接OE，則三角形Ar)E是等邊三角形，所以。DLAE,

由于平面ABEC平面AECZ)=AE,QDU平面Q4E，OD±AE,

所以。。，平面R4E.

以。為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

(\

平面B4E的法向量為Oo=ɑ,?-,θ,

I2)

l,?,θ,DC=(1,0,0),PC=

Z

設(shè)平面PCo的法向量為〃=(X,y,z),

n-DC=X=O

則〈√3√3√故可設(shè)〃=(0,1,1),

n?PC=x+——y--------z=0

22

設(shè)平面AEP與平面PCD的夾角為

ODn√2

則

cosθ=WH

二

P1

O??×、

19.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4S,,=d+2α,,-8.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)能否從｛0,,｝中選出以％為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列4,%，，%,，，(K=I)?若能，請(qǐng)找出

使得公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列代｝的前”項(xiàng)和北；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】(1)=2〃+2(〃GN*)

n+

(2)能，K,=2"-1("∈N*),Tll=2'-n-2.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)?！迸cS”的關(guān)系式，分成n=1與〃≥2兩種情況求解可；

(2)觀察｛4｝知其每項(xiàng)均為偶數(shù)，討論當(dāng)A=%=4,公比q=2或5時(shí)能否成立，從而得出滿足題意的

數(shù)列：再得出優(yōu)｝通項(xiàng)，求其和即可.

【小問(wèn)1詳解】

22

當(dāng)〃=1時(shí)，4S1=A1+2α1—8=4al,B∣J0l-2al—8=0(al>0),

得4=4或q=-2(舍去).

當(dāng)“22時(shí)，由4S“=。；+2%—8,……①

得4S,ι=?,+2”,τ—8(〃≥2),……②

①一②得：4an=a；一a；T+2an-2an.l,

化簡(jiǎn)得(a“-%-2)(?,(+*)=0.

因?yàn)閍“>0,所以a,一a,——2=0,an=an^+2(n≥2),

即數(shù)列｛為｝是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以=2"+2(n∈N*).

【小問(wèn)2詳解】

存在.

當(dāng)a∣i?=C[=4,a卜=%=8時(shí)，

會(huì)得到數(shù)列｛%｝中原次序的一列等比數(shù)列%,%，.，%,，,，(4=1)，

此時(shí)的公比4=2,是最小的，此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù)，均在數(shù)列｛%｝中；

下面證明此時(shí)的公比最?。?/p>

4,=%=4,假若%取4=6，公比為g=g,

/?

則%=4x3=9奇數(shù)，不可能在數(shù)列｛%｝中.

所以"=4?2'"-∣=2叫

又見(jiàn),,,=2心+2=2”用，所以K=2"'-1,

即代｝的通項(xiàng)公式為：％=2"-l("∈N*),

..2(1-2")

?u7;,=2l-l+22-l+…….+2"-l=??'-n=2"+'-n-2-

20.旅游承載著人們對(duì)美好生活的向往.隨著近些年人們收入和消費(fèi)水平不斷提高，對(duì)品質(zhì)生活的需求也日

益升級(jí)，旅游市場(chǎng)開(kāi)啟了快速增長(zhǎng)的時(shí)代.某旅游景區(qū)為吸引旅客，提供了A、8兩條路線方案.該景區(qū)為進(jìn)

一步了解旅客對(duì)這套路線的選擇情況和滿意度評(píng)價(jià)(“好”或"一般”)，對(duì)300名的旅客的路線選擇和評(píng)價(jià)進(jìn)

行了統(tǒng)計(jì)，如下表：

A路線8路線

合計(jì)

好一般好一般

男2055120

女9040180

合計(jì)5075300

(1)填補(bǔ)上面的統(tǒng)計(jì)表中的空缺數(shù)據(jù)，并依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)A,8兩條

路線的選擇與性別有關(guān)？

(2)某人計(jì)劃到該景區(qū)旅游，預(yù)先在網(wǎng)上了解兩條路線的評(píng)價(jià)，假設(shè)他分別看了兩條路線各三條評(píng)價(jià)

(評(píng)價(jià)好或一般的可能性以前面統(tǒng)計(jì)的比例為參考)，若評(píng)價(jià)為“好''的計(jì)5分，評(píng)價(jià)為“一般”的計(jì)2分，以

期望值作為參考，那么你認(rèn)為這個(gè)人會(huì)選擇哪一條線路.請(qǐng)用計(jì)算說(shuō)明理由.

_n(ad-be)?

附:2其中〃=α+Z>+c+d.

(α+A>)(c+d)(α+c)(∕j+d)，

a0.1000.0500.0100.001

χ2.7063.8416.63510.828

a

【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有關(guān)

(2)選擇A路線，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)首先補(bǔ)全補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)表，即可作出列聯(lián)表，再計(jì)算出卡方，即可判斷;

(2)首先求出選擇A、B路線好評(píng)的概率，A路線和B路線累計(jì)分?jǐn)?shù)分別為X,Y，則X，y的可能

取值都為6、9、12、15,求出所對(duì)應(yīng)的概率，求出數(shù)學(xué)期望，即可判斷.

【小問(wèn)1詳解】

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)表如下:

A路線B路線

合計(jì)

一般好一般

男10205535120

女90302040180

合計(jì)100507575300

零假設(shè)”o：對(duì)于A、B兩條路線的選擇與性別無(wú)關(guān),

將所給數(shù)據(jù)整理，得到如下列聯(lián)表:

路線

性別合計(jì)

AB

男3090120

女12060180

合計(jì)150150300

所以∕=2≡瑞品。-

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷"o不成立，

即認(rèn)為對(duì)A、B兩條路線的選擇與性別有關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

I∩nO

設(shè)E為選擇A路線好評(píng)率，則6=17=彳，

1503

751

設(shè)舄為選擇B路線好評(píng)率，則A=司=Q,

設(shè)A路線和B路線累計(jì)分?jǐn)?shù)分別為X,Y，則X，Y的可能取值都為6、9、12、15,

則P(X=6)=%j$，P(X=9)=CeJXH)=梟

v?7N/k?/??/乙/

/Λ\0/]、3

產(chǎn)(X=12)=CGMlqj128

P(X=I5)=G?Xl-τ

2727

1/6?12_8.

所以E(X)—×6+—×9+—