必修五第一章1.1.2-余弦定理

1．1.2余弦定理(教師用書獨具)●三維目標(biāo)1．知識與技能理解并掌握余弦定理的內(nèi)容，會用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題．2．過程與方法通過實例，體會余弦定理的內(nèi)容，經(jīng)歷并體驗使用余弦定理求解三角形的過程與方法，開展用數(shù)學(xué)工具解答現(xiàn)實生活問題的能力．3．情感、態(tài)度與價值觀探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會“數(shù)形結(jié)合”的思想．通過余弦定理的應(yīng)用，感受余弦定理在解決現(xiàn)實生活問題中的意義．●重點難點重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應(yīng)用；難點：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理的靈活應(yīng)用.總結(jié)正弦定理所能解決的題型，提出三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題，使學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系；把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系，溝通新舊知識的聯(lián)系；啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進(jìn)行證明，并在具體實例中訓(xùn)練解題技能，從而有效的突出重點，突破難點．課標(biāo)解讀1.掌握余弦定理及其推論．(重點)2.掌握正、余弦定理的綜合應(yīng)用．(難點)3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀．(易錯點)余弦定理【問題導(dǎo)思】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.1．如果C＝90°，如何求AB邊的長？【提示】利用勾股定理求AB的長，即c2＝a2＋b2.2．設(shè)eq\o(CB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，eq\o(AB,\s\up14(→))＝c.怎樣用向量的線性運算表示eq\o(AB,\s\up14(→))？【提示】eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝a－b.3．在問題2的前提下，如何用向量的數(shù)量積表示AB邊的長？【提示】|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cosC，∴c2＝a2＋b2－2abcosC.4．你能用同樣的方法表示BC、AC的長嗎？請你寫出結(jié)論．【提示】能．結(jié)論：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB.文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．符號語言a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.余弦定理的推論【問題導(dǎo)思】如果△ABC的三邊長a、b、c，能否分別求出三個內(nèi)角A、B、C的值？【提示】能．用余弦定理變形可得公式．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).兩邊一角解三角形在三角形ABC中，根據(jù)以下條件解三角形，(1)a＝2，b＝2eq\r(2)，C＝15°；(2)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°.【思路探究】(1)中角C是邊a、b的夾角，可以直接用余弦定理求邊c嗎？其他元素如何求？(2)中角B是邊b的對角，可以用正弦定理求解嗎？解的情況唯一嗎？用余弦定理行嗎？【自主解答】(1)法一cos15°＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，sin15°＝sin(45°－30°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2eq\r(2)×(eq\r(6)＋eq\r(2))＝8－4eq\r(3)，∴c＝eq\r(6)－eq\r(2).又b>a，∴B>A，∴角A為銳角．由正弦定理，得sinA＝eq\f(a,c)sinC＝eq\f(2,\r(6)－\r(2))×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝eq\f(1,2).∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°.法二cos15°＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2eq\r(2)×(eq\r(6)＋eq\r(2))＝8－4eq\r(3)，∴c＝eq\r(6)－eq\r(2).∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).又0°<A<180°，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°.(2)法一由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB，∴2＝3＋c2－2eq\r(3)·eq\f(\r(2),2)c，即c2－eq\r(6)c＋1＝0，解得c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).當(dāng)c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\f(\r(6)＋\r(2),2)2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.當(dāng)c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\f(\r(6)－\r(2),2)2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),2))＝－eq\f(1,2).∴A＝120°，C＝15°.法二由正弦定理知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)sin45°,\r(2))＝eq\f(\r(3),2).∵a＝eq\r(3)>eq\r(2)＝b，∴A有兩解．∴A＝60°或120°.當(dāng)A＝60°時，C＝75°，這時c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).當(dāng)A＝120°時，C＝15°，這時c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).1．此題的兩小題均為兩邊及一角解三角形．但(1)中角為夾角；(2)中角為邊的對角，故解法不同．對于(1)可以直接應(yīng)用余弦定理，而對于(2)既可以直接應(yīng)用余弦定理，也可以先使用正弦定理，要注意體會解法．2．兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三邊．要注意判斷解的情況．(2)用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長．這樣可免去取舍解的麻煩．假設(shè)把本例(2)條件改為“b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°”，試解此三角形．【解】法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或當(dāng)a＝3時，A＝30°，∴C＝120°.當(dāng)a＝6時，由正弦定理sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6×\f(1,2),3)＝1.∵0<A<180°，∴A＝90°，C＝60°.法二由b<c，B＝30°，b>csin30°＝3eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3),2)知此題有兩解．由正弦定理sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.當(dāng)C＝60°時，A＝90°，由勾股定理a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，當(dāng)C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，那么a＝3.故a＝3或6.三邊解三角形在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.【思路探究】(1)如何判斷哪個角是最大角？(2)求sinC能否應(yīng)用余弦定理？【自主解答】∵a>c>b，∴A為最大角，由余弦定理的推論，得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得：sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，∴最大角A為120°，sinC＝eq\f(5\r(3),14).1．此題的是三條邊，根據(jù)大邊對大角，找到最大角是解題的關(guān)鍵．2．三邊解三角形的方法：先用余弦定理求出一個角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的內(nèi)角和定理求第三角．在△ABC中，把條件改為“a∶b∶c＝3∶5∶7”【解】由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c邊是最大邊，其所對角C為最大內(nèi)角．由余弦定理推論得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°，即最大內(nèi)角為120°.判斷三角形的形狀在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀．【思路探究】可以先利用三邊之間的數(shù)量關(guān)系式，應(yīng)用余弦定理求A，再應(yīng)用三角公式求出另外兩角，進(jìn)而判斷△ABC的形狀．【自主解答】方法一：因為(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝eq\f(1,2)，即A＝60°.又因為sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，且sinA＝2sinBcosC，所以sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，所以B＝C，又因為A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，故△ABC為等邊三角形．方法二：因為(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝eq\f(1,2)，即A＝60°.又sinA＝2sinBcosC.由正弦定理得a＝2bcosC.再由余弦定理得a＝2b×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)整理得b＝c.又∵A＝60°，所以△ABC為等邊三角形．1．利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題．一般有兩條思考路線：①化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系．②化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系．2．判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論：①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.④假設(shè)sin2A＝sin2B，那么A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).在△ABC中，假設(shè)acosA＋bcosB＝ccosC．試判斷△ABC的形狀．【解】由余弦定理可得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，等式兩邊同乘以2abc，得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，整理化簡得a4＋b4－2a2b2＝c4∴(a2－b2)2＝c4.因此有a2－b2＝c2或b2－a2＝c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2，故△ABC是以A(或B)為直角的直角三角形.正余弦定理的綜合應(yīng)用(12分)(2013·山東高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．【思路點撥】(1)由余弦定理建立新方程，與a＋c＝6聯(lián)立，求a，c的值．(2)利用第(1)問的結(jié)論，由平方關(guān)系、正弦定理、兩角差的正弦公式求sin(A－B)．【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB又b＝2，a＋c＝6，cosB＝eq\f(7,9)，4分所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.6分(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9)，7分由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3).8分因為a＝c，所以A為銳角．所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).10分因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(10\r(2),27).12分在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，通過正、余弦定理就搭建起了邊和角關(guān)系的橋梁，結(jié)合三角知識，既可以求邊也可以求角．1．余弦定理是三角形邊角之間關(guān)系的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解決兩種解三角形的題型(1)三邊解三角形．(2)兩邊及一角解三角形．3．兩邊及其中一邊所對角用余弦定理求解時可能有兩個解，注意用邊與角之間的關(guān)系特點進(jìn)行取舍．

1．三角形的兩邊AB、AC的長分別為5和3，它們的夾角的余弦值為－eq\f(3,5)，那么三角形的第三邊長為()A．52 B．2eq\r(13)C．16 D．4【解析】由條件可知cosA＝－eq\f(3,5)，那么BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝52＋32－2×5×3×(－eq\f(3,5))＝52，∴BC＝2eq\r(13).【答案】B2．在△ABC中，假設(shè)a＝10，b＝24，c＝26，那么最大角的余弦值是()A.eq\f(12,13) B.eq\f(5,13)C．0 D.eq\f(2,3)【解析】∵c＞b＞a，∴c所對的角C為最大角．由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0.【答案】C3．在△ABC中，假設(shè)a2－c2＋b2＝ab，那么cosC＝________.【解析】由余弦定理得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷△ABC的形狀．【解】法一(利用余弦定理的推論將角轉(zhuǎn)化為邊)∵bcosA＝acosB，∴b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形。.法二(利用正弦定理的變形將邊轉(zhuǎn)化為角)∵bcosA＝acosB，且b＝2RsinB，a＝2RsinA(R為△ABC外接圓的半徑)，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.又∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC為等腰三角形.一、選擇題1．在△ABC中，a2＝b2＋bc＋c2，那么角A為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)【解析】由a2＝b2＋bc＋c2，得b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理的推論得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(2π,3).【答案】C2．(2014·杭州高二檢測)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設(shè)a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)且B＝30°，那么b＝()A．2B．4＋2eq\r(3)C．4－2eq\r(3)D.eq\r(6)－eq\r(2)【解析】在△ABC中，知B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos30°，∴b2＝2(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2(eq\r(6)＋eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝(2－eq\r(3))(eq\r(6)＋eq\r(2))2＝4(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝4，∴b＝2，應(yīng)選A.【答案】A3．△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，那么eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))的值為()A．19B．14C．－18D．－19【解析】由余弦定理的推論知cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(19,35)，∴eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))|·|eq\o(BC,\s\up14(→))|·cos(π－B)＝7×5×(－eq\f(19,35))＝－19.【答案】D4．(2013·陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設(shè)bcosC＋ccosB＝asinA，那么△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定【解析】利用余弦定理的變形將角的余弦值轉(zhuǎn)化為三角形邊之間的關(guān)系．∵bcosC＋ccosB＝b·eq\f(b2＋a2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(b2＋a2－c2＋c2＋a2－b2,2a)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝asinA，∴sinA＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形．【答案】B5．如果將直角三角形三邊增加同樣的長度，那么新三角形形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加長度決定【解析】設(shè)直角△ABC三邊為a，b，c且滿足a2＋b2＝c2，三邊增加同樣的長度m(m>0)，那么c＋m為最長邊，那么(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m(c＋m)2＝c2＋2mc＋m2.∵a＋b>c，∴(a＋m)2＋(b＋m)2>(c＋m)2，由余弦定理得：cosC＝eq\f(a＋m2＋b＋m2－c＋m2,2a＋mb＋m)>0，∴最大角C為銳角．【答案】A二、填空題6．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.假設(shè)a＝2，B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，那么b＝________.【解析】∵a＝2，B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(4＋12－2×2×2\r(3)×\f(\r(3),2))＝2.【答案】27．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，那么cosC＝________.【解析】∵sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，∴a∶b∶c＝3∶2∶4.令a＝3k，b＝2k，c＝4k(k>0)所以cosC＝eq\f(9k2＋4k2－16k2,2·3k·2k)＝－eq\f(1,4).【答案】－eq\f(1,4)8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，那么bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．【解析】由余弦定理得2bccosA＋2accosB＋2abcosC＝(b2＋c2－a2)＋(a2＋c2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝a2＋b2＋c2＝32＋42＋62＝61.∴bccosA＋accosB＋abcosC＝eq\f(1,2)×61＝eq\f(61,2).【答案】eq\f(61,2)三、解答題9．在△ABC中，(1)a＝3，b＝4，c＝eq\r(37)，求最大角．(2)b＝eq\r(6)，c＝2，B＝60°，求a.【解】(1)顯然角C最大，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.(2)法一由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝ceq\f(sinB,b)＝eq\f(2sin60°,\r(6))＝eq\f(\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴C＝45°或C＝135°.∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝6＋4－4eq\r(6)×cos75°＝10－4eq\r(6)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝4＋2eq\r(3)，∴a＝eq\r(4＋2\r(3))＝eq\r(3)＋1.法二∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴6＝a2＋4－4acos60°＝a2＋4－2a∴a2－2a解得a＝1＋eq\r(3)或a＝1－eq\r(3)(不合題意，舍去)，∴a＝1＋eq\r(3).10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩個根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C的度數(shù)；(2)AB的長度．【解】(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2)，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)由題知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos＝b2＋a2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq\r(3))2－2＝10，∴AB＝eq\r(10).11．(2014·南京高二檢測)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，bcosC＝(2a－c)cosB(1)求角B的大?。?2)假設(shè)b2＝ac，試確定△ABC的形狀．【解】(1)由及正弦定理，得sinBcosC＝(2sinA－sinC)cosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB.∵sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2cosB＝1，即cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.(2)根據(jù)余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB，又b2＝ac，那么ac＝a2＋c2－2accos60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.即a＝c從而b＝eq\r(ac)＝a＝c，故△ABC為正三角形．

(教師用書獨具)在△ABC中，求證c(acosB－bcosA)＝a2－b2.【思路探究】等式左邊是邊角關(guān)系式，而右邊只含有邊，根據(jù)左邊式子的特點，可利用余弦定理將左邊化簡成只含邊的關(guān)系式，從而證出此題．【自主解答】在△ABC中，由余弦定理有cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，那么左邊＝ceq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\f(a2＋c2－b2,2ac)－))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(b·\f(b2＋c2－a2,2bc)))＝eq\f(1,2)(a2＋c2－b2－b2－c2＋a2)＝a2－b2＝右邊．∴等式成立．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，求證eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).【證明】法一在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，∴2(a2－b2)＝2accosB－2bccosA，即a2－b2＝accosB－bccosA，∴eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(acosB－bcosA,c).由正弦定理得eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq