2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第十一章 11-2古典概型與幾何概型

§11.2古典概型與幾何概型

【考試要求】1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件的個(gè)

數(shù)及事件發(fā)生的概率?3.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有直限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：

①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)出所求的事件為A:

②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)〃和所求的事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)如

③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.

(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同

名稱(chēng)不同點(diǎn)相同點(diǎn)

頻率計(jì)算中的〃7,〃均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而

頻率計(jì)算公式變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值

都計(jì)算了一

逐漸趨近于概率值

個(gè)比嘴

古典概型的概:是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，相，

率計(jì)算公式

n都不會(huì)變化

2.幾何概型

(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這

樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.

⑵幾何概型的基本特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

CL管八十構(gòu)成事件4的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

(3川算z4式:"A)—試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).

3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWP(A)WL

(2)必然事件的概率：P(A)=?.

(3)不可能事件的概率：P(A)-O.

(4)概率的加法公式：若事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則AUB為必然事件.P(AUB)=L

P(A)=?-P(B).

【常用結(jié)論】

若事件4,A2,?,A“兩兩互斥，則P(AIIM2U…U4)=P(4)+P(A2)T——i-P(An).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)從一3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(√)

(2)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率為0.(√)

(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與

不發(fā)芽”.(X)

(4)兩個(gè)互斥事件的概率和為?,(X)

【教材改編題】

1.袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率

為()

A.∣B.∣

e?d'

答案B

2.在數(shù)軸的［0,3］上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()

A.gB.gC.；D.1

答案B

解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為［0,1),長(zhǎng)度為1,。3］的區(qū)間長(zhǎng)度為3,故所求概率為今

3.拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則

P(AUfi)=,P(ArIB)=.

答案1211

解析拋擲一枚骰子，所有基本事件是123,4,5,6,

2

事件包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1,3,5,6這4個(gè)基本事件，故P(AU2)=3

事件ACB包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3這1個(gè)基本事件，故P(A∩B)=j

■探究核心題型

題型一古典概型

例1(1)(2022?昆明模擬)2021年，云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云

南省特色小鎮(zhèn)”的通知》，命名16個(gè)“云南省美麗縣城”和6個(gè)“云南省特色小鎮(zhèn)”，其中

這6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、

瑞麗班町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn).某人計(jì)劃在今年暑假期間從這6個(gè)云南特色小鎮(zhèn)中任意

選兩個(gè)去旅游，則其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為()

?-?B3C5D-6

答案A

解析6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別為a,b,c,d,e,f,其中〃為安寧溫泉小鎮(zhèn)，則從6個(gè)云

南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個(gè)的基本事件有(0,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,

d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,力共15個(gè)，其中一個(gè)是安寧

溫泉小鎮(zhèn)有(4,b),(a,c),(a,d),(?,e),(a,力共5個(gè)，所以要求的概率為P=V=

(2)(2021.全國(guó)甲卷)將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)。不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

答案C

解析把3個(gè)1和2個(gè)。排成一行，共有10種排法，分別是OollI,10011,11001,11100,01011,

01101,OHIO,10101,10110,11010,其中2個(gè)0不相鄰的排法有6種，分別是OlOll,01101,01110,

?θlθl,?θ??θ,IIOIO,所以所求概率Pd=O.6.

【教師備選】

1.甲、乙、丙三位客人在參加中國(guó)科技城國(guó)際科技博覽會(huì)期間，計(jì)劃到綿陽(yáng)的九皇山、七曲

山大廟兩個(gè)景點(diǎn)去參觀考察，由于時(shí)間關(guān)系，每個(gè)人只能選擇一個(gè)景點(diǎn)，則甲、乙、丙三人

恰好到同一景點(diǎn)參觀的概率為()

1CICl

A?8B4C?8D2

答案B

解析因?yàn)槿巳?個(gè)景點(diǎn)參觀，每人只選擇其中一個(gè)景點(diǎn)，所以每個(gè)人都有2種選法，共

有23=8(種)可能結(jié)果，其中三人恰好到同一景點(diǎn)有2種可能結(jié)果，所以三人恰好到同一景點(diǎn)

2I

參觀的概率P=Q=7

O4

2.某學(xué)校積極開(kāi)展“服務(wù)社會(huì)，提升自我”的志愿者服務(wù)活動(dòng)，九年級(jí)的五名同學(xué)(三男兩

女)成立了“交通秩序維護(hù)”小分隊(duì).若從該小分隊(duì)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交通秩序維護(hù)，則恰

是一男一女的概率是.

答案5

解析三名男生分別記為1,2,3,兩名女生分別記為4,5,則從該小分隊(duì)中任選兩名同學(xué)的所

有基本事件為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個(gè).設(shè)

“恰是一男一女”為事件A,則A包含的基本事件為(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

共6個(gè).故所求的概率為P(A)=K=,.

思維升華利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022.深圳模擬)五一國(guó)際勞動(dòng)節(jié)放假期間，甲、乙兩名同學(xué)計(jì)劃在5月1日

到5月3日期間去敬老院做志愿者，若甲同學(xué)在三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)在前兩天中隨機(jī)

選一天，且兩名同學(xué)的選擇互不影響，則他們?cè)谕惶烊サ母怕蕿?)

?-eB3C2D3

答案B

解析甲同學(xué)在三天中隨機(jī)選一天共有3種方法，乙同學(xué)在前兩天中隨機(jī)選一天共有2種方

法，所以一共有6種方法，他們?cè)谕惶烊ス灿?種情況，所以他們?cè)谕惶烊サ母怕蕿?=

1

3-

(2)(2022?鄭州模擬)皮埃爾?德?費(fèi)馬，法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，

對(duì)數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若P是質(zhì)數(shù)，且a,P互質(zhì),那么。的S一

1)次方除以P的余數(shù)恒等于1，后來(lái)人們稱(chēng)該定理為費(fèi)馬小定理.依此定理,若在數(shù)集｛2,3,5,6,8｝

中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為p,另一個(gè)作為小則所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為()

r92Cl

A

-5β?20C5D?S

答案B

解析在數(shù)集｛2,3,5,6,8｝中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為p,另一個(gè)作為α,基本事件總數(shù)為20,

所取兩個(gè)數(shù)⑦，〃)符合費(fèi)馬小定理包含的基本事件有(2,3),(2,5),(3,2),(3,5),(3,8),(5,2),

9

(5,3),(5,6),(5,8),共9個(gè)，???所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為P=而.

題型二幾何概型

例2(1)在區(qū)間［—1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=Z(x+3)與圓x2+y2=l相交的概率為

()

A.∣B.∣C當(dāng)D.坐

答案C

解析因?yàn)閳A心(0,0),半徑r=l,直線與圓相交，

解得一坐＜A＜坐,

所以相交的概率p^—=4-

(2)劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的文化遺

產(chǎn)，他提出的割圓術(shù)可以估算圓周率兀，理論上能把π的值計(jì)算到任意的精度.割圓術(shù)的第

一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的

概率是()

3√3?3√3ClCI

Aλ.-f-C.丁D.τ-

4π2π2π4π

答案B

解析如圖所示，設(shè)圓的半徑為R,則圓的面積為兀k,圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為R,面積為

3√5R2

6×5×Λ2×sinT=等&，則所求的概率P=W-=喳.

Z?ZTiKzπ

【教師備選】

1.已知函數(shù)人工)=SinX+Λ∕5COSX,當(dāng)X￡［0,兀］時(shí)，"r)21的概率為(

β?4C-5D-2

=

由/?)2sin[x+^J≥1,x∈[0,兀],

π

得Xe0,2

π

??.所求概率PqV?

2.如圖，在長(zhǎng)方體ABC￡>—AIBGDl中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱

錐A-AIBo內(nèi)的概率為

答案1

解析設(shè)事件M為“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A加。內(nèi)”，則

nee—匕棱細(xì)-48。_匕棱B41-ASD

Γ?M)-------------------------------------------------------------------------

VvVD

長(zhǎng)方體ASCO-A4GD1長(zhǎng)方體A8CD-A4Gl

~??fSAABDAl?^S^ABCD?

AAI-S^ABCD6

v長(zhǎng)方體ASCo-A8]GDl

思維升華（1）求解幾何概型概率的步驟

根據(jù)事件發(fā)生的過(guò)程確定事件中的相關(guān)：

（定,量）一

變量，確定變量的取值范圍i

（現(xiàn)山形卜一

?包含的圖形和所求事件對(duì)應(yīng)的圖形i

（求度量卜r???^??i??^^??t???tt?^^i

圍，求出相應(yīng)圖形的幾何度量

?兄麻??而Gr及?鼠入江何標(biāo)至高嬴：

（求概率）一

率計(jì)算公式，即可求出概率：

（2）與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略

對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積（總空間）以及事件的體積（事件空

間），對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件求解.

7

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2021?全國(guó)乙卷）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于彳的

概率為（）

C23

β?32

?ic-32D9

B

解析在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為X,在區(qū)間（1,2）中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為必兩數(shù)之和

0<r<l,

77

大

即-

于

-五

產(chǎn)1<><2,

X4則

4,

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域(不含邊界),

77

事件A”兩數(shù)之和大于(”即中,點(diǎn)0,y)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(不含邊界)，由

23

幾何概型計(jì)算公式得P(A)=

1X132-

(2)陽(yáng)馬是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，且兩個(gè)三角形側(cè)面與底面垂直

的四棱錐.在陽(yáng)馬P-ABC。中，PC為陽(yáng)馬P-ABCO中最長(zhǎng)的棱，AB=I,AD=2,PC=

3.若在陽(yáng)馬P—ABC。的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率為()

1r4-8-4

A赤B赤C赤D.^

答案C

解析根據(jù)題意，得出，平面ABCO,Pe的長(zhǎng)等于陽(yáng)馬P-ABC。外接球的直徑.

??PC^y∣PA2+AB2+AD2,

.?PA=2.

14

.".Vp-ABCD^×1×2×2=y

q4f3Y9π

?vV球—3兀Xχ12)-2'

4

3o

...該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率P=藐=赤.

T

題型三概率的基本性質(zhì)

例3某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示.

人數(shù)O~~Γ234大于等于5

概率0.10.160.30.20.20.04

(1)求派出醫(yī)生至多2個(gè)的概率;

(2)求派出醫(yī)生至少2個(gè)的概率.

解設(shè)“不派出醫(yī)生”為事件A,“派出1名醫(yī)生”為事件8,“派出2名醫(yī)生”為事件C,

“派出3名醫(yī)生”為事件。，“派出4名醫(yī)生”為事件E,“派出5名及5名以上醫(yī)生”為

事件尸，事件4,B,C,D,E,F彼此互斥，且P(A)=O.1,P(B)=O.16,P(C)=O.3,P(D)

=0.2,P(E)=0.2,P(Q=O.04.

(1)“派出醫(yī)生至多2個(gè)”的概率為

P(AIJBUC)=P(A)+P(B)+P(O=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一“派出醫(yī)生至少2人”的概率為

P(CUOUEUF)=P(C)+P(O)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

方法二”派出醫(yī)生至少2個(gè)”的概率為

I-P(AUB)=I-0.1-0.16=0.74.

r教師備選I

1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件3表示“向上的點(diǎn)

數(shù)不超過(guò)3”，則P(AUB)等于()

A-2B3CID-1

答案B

解析方法一A包含向上點(diǎn)數(shù)是1,3,5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3的情況，

所以AlJB包含了向上點(diǎn)數(shù)是123,5的情況，

42

故P(AUB)=d=).

方法二P(AUB)=P(A)+P(8)-P(AB)

2.已知甲袋中有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，乙袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)選

取一個(gè)球，則取出的兩球中至少有1個(gè)紅球的概率為()

答案D

解析從兩袋中各隨機(jī)選取一個(gè)球，基本事件總數(shù)為6,取出的兩球中至少有1個(gè)紅球的對(duì)

立事件是取出的兩球都是黃球，所以利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式得，取出兩球中至少有1個(gè)

紅球的概率P=l-∣=∣.

思維升華求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法

⑴直接法

(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡(jiǎn)單).

跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)條件甲：“事件A與B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿(mǎn)足P(A)+P(B)=

1”，則甲是乙的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若事件A與事件8是對(duì)立事件，則AUB為必然事件，再由概率的加法公式得尸(A)+

P(B)=I.投擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：”3次出現(xiàn)正面”，

71

則P(A)=a，P(B)=a，滿(mǎn)足P(A)+P(B)=1,但A,B不是對(duì)立事件.故甲是乙的充分不必要

OO

條件.

(2)向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投一枚炸彈，炸中第一軍火庫(kù)的概率為0.025,炸中第二、三軍火庫(kù)

的概率均為0.1,只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸，則軍火庫(kù)爆炸的概率為.

答案0.225

解析設(shè)A,B,C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫(kù)這三個(gè)事件，O表示軍火庫(kù)爆

炸，則P(A)=O.025,P(B)=0.1,P(C)=O.1,其中A,B,C互斥,故P(O)=P(AU81Je)=

P(A)+P(8)+P(0=O.O25+O.1+O.1=O.225.

題型四概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

例4飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ).同時(shí)國(guó)家提倡節(jié)約用水，全民積極維護(hù)

飲用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽(yáng)市考察調(diào)研的

習(xí)近平總書(shū)記來(lái)到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程、丹江口水庫(kù)，聽(tīng)取南水北調(diào)中線工程

建設(shè)管理運(yùn)行和水源地生態(tài)保護(hù)等情況介紹.為了提高節(jié)約用水意識(shí)，為此，某校開(kāi)展了“節(jié)

約用水，從我做起”活動(dòng)，從參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人的成績(jī)作為樣本，得到如圖所示

的頻率分布直方圖.

頻率

().01()

0.005

455565758595成績(jī)/分

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校此次參賽學(xué)生成績(jī)的平均分X(同一組數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)在該樣本中，若采用分層抽樣方法，從成績(jī)低于65分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人調(diào)查他們的

答題情況，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績(jī)低于55

分的概率.

解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得到

(0.005+0.025×2+0.01+α)×10=l,

解得α=0.035.

這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.35+80×0.25+90×0.1=71,

所以X—71.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖得到，成績(jī)?cè)冢?5,55),［55,65)內(nèi)的頻率分別為0.05,0.25,所以采用分

層抽樣的方法從樣本中抽取的6人，

成績(jī)?cè)冢?5,55)內(nèi)的有1人，記為X,

成績(jī)?cè)冢?5,65)內(nèi)的有5人，分別記為a,b,c,d,e,

從這6人中隨機(jī)抽取3人，所有可能的結(jié)果為XR7,Xac,Xad,Xae,Xbc,Xbd,Xbe,Xcd,

Xce,Xde,abe,ahd,abe,acd,ace,ade,bed,bee,bde,cde,共20種.

這3人中至少有1人的成績(jī)?cè)冢?5,55)內(nèi)的有Xαb,Xac,Xad,Xae,Xbc,Xbd,Xbe,Xcd,

Xce,Xde,共10種.所以這3人中至少有1人的成績(jī)低于55分的概率為患

【教師備選1

(2019,天津)2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大

病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員

工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附

加扣除的享受情況.

(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A,B,C,D,E,

F?享受情況如下表，其中“O”表示享受，“X”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人

接受采訪.

ABCDEF

項(xiàng)目

子女教育OOXO×O

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XX×OXX

住房貸款利息OO×XOO

住房租金××O×X×

贍養(yǎng)老人OO×X×O

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

②設(shè)M為事件”抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.

解(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6：9：10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取

25位員工，

因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.

(2)①?gòu)囊阎?人中隨機(jī)抽取2人的所有可能的結(jié)果為(A,B),(A,0,(A,D),(A,E),

(A,F),(B,C),(B,D),(B,￡),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,

F),共15個(gè).

②由表格知，符合題意的有(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,

E),(C,F),(D,F),(E,F),共11個(gè).所以事件M發(fā)生的概率P(M)=I1

思維升華求解古典概型的交匯問(wèn)題的步躲

(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；

(2)判斷事件是否為古典概型；

(3)選用合適的方法確定基本事件個(gè)數(shù)；

(4)代入古典概型的概率公式求解.

跟蹤訓(xùn)練4為了了解某種新型藥物對(duì)治療某種疾病的療效，某機(jī)構(gòu)日前聯(lián)合醫(yī)院，進(jìn)行了

小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會(huì)有副作用.為了了解使用該種

新型藥品后是否會(huì)引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，

得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

無(wú)疲乏癥狀有疲乏癥狀總計(jì)

未使用新藥15025t

使用新藥Xy100

≡F225m275

(1)求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)X,y,a,r的值，能否有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新

藥有關(guān)；

(2)從使用該新藥的IOO人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出4人，再?gòu)倪@4人

中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.

._______幾(ad—be辛

附：心=(α+b)(c+S(α+c)(b+①‘‘K"+"+'+”

P(K22o)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Ao2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解(1)由數(shù)表知，x=225-150=75,>>=100-75=25,相=275—225=50,Z=150+25=175,

所以x=75,y=25,∕n=50,Z=175,

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

心275X(150X25—75X25)2275

K=225×50×175X100=天

≈4.911>3.841,

所以有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān).

41

(2)從使用新藥的100人中用分層抽樣抽取4人的抽樣比為志=*,則抽取有疲乏癥狀的人

數(shù)為1X25=l,無(wú)疲乏癥狀的有3人，

抽取的有疲乏癥狀的1人記為1,無(wú)疲乏癥狀的3人記為a,b,c,從4人中隨機(jī)抽取2人的

所有可能結(jié)果為(1,a),(1,b),(1,c),(a,b),(a,c),(b,c),共6個(gè)，它們等可能，

記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M,它所含基本事件是(1,a),(1,?),(1,c),共3

個(gè)，

31

于是得P(M)=W=],

所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是去

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.(2021?全國(guó)乙卷)在區(qū)間(0,，隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于W的概率為()

A?4B3CID6

答案B

解析因?yàn)閰^(qū)間(o,;)的長(zhǎng)度為：，區(qū)間(0,§的長(zhǎng)度為看所以在區(qū)間(0,;)隨機(jī)取一個(gè)數(shù),

1112

則取到的數(shù)小于1的概率P=W÷]=)?

2.(2022.太原模擬)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)，分別記為⑶n,則:為整數(shù)的

概率為()

,2I-14

A-5B4C5D-25

答案B

解析由題意得，從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)，則共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

>γι

(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),20種等可能情況，其中G為整數(shù)的有(2,1),(3,1),(4,1),

(5,1),(4,2),5種情況，所以所求概率為5=；.

3.新高考將實(shí)行3+1+2模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政治、地理、

化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史，假若他們都

對(duì)后面四科沒(méi)有偏好，則他們選課相同的概率為()

A-?B??CIDI

答案D

解析由題意，從政治、地理、化學(xué)、生物中四選二，共有6種方法，所以他們選課相同的

概率為;.

O

4.(2022?黃山質(zhì)檢)從集合｛1,2,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)α,從集合｛2,4,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)"

則向量∕n=(α,3)與向量"=(2,-1)垂直的概率為()

A.^B$C.；D.∣

答案B

解析從集合｛1,2,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)α,從集合｛2,4,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)'可以組成向量

m=(α,6)的個(gè)數(shù)是9個(gè)，其中與向量"=(2,—1)垂直的向量是m=(l,2)和wι=(2,4),共2

2

個(gè)，故所求的概率為P=?∣

5.(2022?莆田質(zhì)檢)甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時(shí)從“媽祖祖廟”站上

車(chē)，乘坐開(kāi)往“黃金沙灘”站方向的3路公交車(chē)(線路圖如下).甲將在“供水公司”站之前

的任意一站下車(chē)，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車(chē).假設(shè)每人自“管委會(huì)”站

開(kāi)始在每一站點(diǎn)下車(chē)是等可能的，則甲比乙后下車(chē)的概率為()

12345678?！訳7a

----

一

一

?

12?

13一14

15?

16一18192()2223

+--------+24?

管

蓮

金

蓮

東

輪

媽

閩

北

供

下

地

興

白

鵝

福

下

港

海

寶

后

黃

→媽

前?

至

委

沙

山

池

渡

海

水

祖

稅

臺(tái)

池

佑

巷

樓

瀾

尾

金

景

石

域

白

祖

范

路

會(huì)

灘

小

公

碼

祖

沙

分

風(fēng)

街

街

沙

大

神

玉

廟

(石

水

司

廟

灘

學(xué)

東

頭

局

情

灘

化

酒

女

平

(庫(kù)

街

石

閣

店

東

安

環(huán)

里

)…

…

1173

--

54?

A.B.D.2δ

答案C

解析甲從“管委會(huì)”站到“北壕”站的每一站下車(chē)都可以，有8種情況，

乙從“管委會(huì)”站到“東至”站的每一站下車(chē)都可以，有15種情況，

若乙在“管委會(huì)”站下車(chē)，則甲有7種情況，

若乙在“地稅分局”站下車(chē)，則甲有6種情況，

若乙在“興海路”站下車(chē)，則甲有5種情況，

若乙在“閩臺(tái)風(fēng)情街”站下車(chē)，則甲有4種情況，

若乙在“蓮池小學(xué)”站下車(chē)，則甲有3種情況，

若乙在“金沙灘”站下車(chē)，則甲有2種情況，

若乙在“蓮池沙灘”站下車(chē)，則甲有1種情況，

因此，甲比乙后下車(chē)的概率為

1+2+3+4+5+6+74477

P=8×15=8X15=而

6.《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾八步，股一十五步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大

意：已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步.現(xiàn)若向

此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（）

A3兀c3兀

A?10B?20

cI一囪D1--

JIIOυ-*20

答案D

解析直角三角形的斜邊長(zhǎng)為/82+152=17,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則8-r+15—r=17,解得r=3.

內(nèi)切圓的面積為πr2=9π,

豆子落在內(nèi)切圓外的概率P=I—L2zi—=1一票

^×8×15

7.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和

丙級(jí)品的概率分別是0.05和0.03,則抽檢一件是甲級(jí)品的概率為.

答案0.92

解析記抽撿的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事件A,是乙級(jí)品為事件8,是丙級(jí)品為事件C,這三個(gè)事

件彼此互斥，且事件A和事件5UC是對(duì)立事件，因而所求概率為P(A)=I-P(B)-P(0=0.92.

8.已知α∈{—2,0,1,2,3},?∈{3,5},則函數(shù)HX)=(辟一2)ejt+b為減函數(shù)的概率是.

2

答案5

解析若函數(shù),/(x)=(α2-2)ejc+b為減函數(shù)，

則辟一2<0,又α∈{-2,0,l,2,3},

2

故只有a=0,α=l滿(mǎn)足題意，所以函數(shù)y(x)=(α2-2)e?v+b為減函數(shù)的概率是亍

9.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品即可抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2

個(gè)紅球Ai,4和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球0,Z和2個(gè)白球⑦，?2的乙箱中，各

隨機(jī)摸出1個(gè)球.若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).

(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；

(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率.你認(rèn)為正確

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)所有可能的摸出結(jié)果是(A∣,ɑ?),(A∣,42),(A,?1),(Ai,b2),(A2,ai),(A2,a2),

(A2,bi),(A2,bi),(B,ɑ?),(B,a2),(B,bι),(B,?2).

(2)不正確.理由如下：

由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為(4,a。，(A∣,

4112I

“2),(Az,a?),(A2,42),共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為方=Q,不中獎(jiǎng)的概率為1—Q=Q>Q,故

這種說(shuō)法不正確.

10.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念，傳承紅色基

因，市教育局以“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由

全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識(shí)競(jìng)賽.競(jìng)賽共設(shè)100個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共100分.現(xiàn)

隨機(jī)抽取IoOo名黨員的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將成績(jī)分成以下七組：[72,76),[76,80),[80,84),

[84,88),[88,92),[92,96),[96,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)：

(2)用分層抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,

求這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的概率.

解(1)由頻率分布直方圖可得，1OOO名黨員成績(jī)的眾數(shù)為一y—=86(分),

成績(jī)?cè)冢?2,84)的頻率為

(0.02+0.03+0.0375)×4=0.35,

成績(jī)?cè)冢?2,88)的頻率為

(0.02+0.03+0.0375+0.075)×4=0.65,

故中位數(shù)位于［84,88)之間，

中位數(shù)是84+4X：以—1*=86(分).

(2)：［72,76)與［76,80)的黨員人數(shù)的比值為2：3,

采用分層抽樣方法抽取5人，則在［72,76)中抽取2人，［76,80)中抽3人，

設(shè)［72,76)抽取人的編號(hào)為4,A2,［76,80)抽取人的編號(hào)為Bi,B2,B3,

則從5人中任選2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查對(duì)應(yīng)的基本事件為(A,Bi),(4,B2),(Al,B3),(A2,Bi),

(A2,B2),(A2,B3),(Ai,A2),(Bi,B2),(B∣,B3),(B2,B3),共10種,

這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的有(4,Bi),(Ai,B2),(A1,β3),(A2,Bl),(A2,B2),

7

(A2,B3),(A∣,A2),共7種等可能情況，故這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的概率尸=m.

應(yīng)技能提升練

11.著名的“3N+1猜想”是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)”，若〃是偶數(shù)，則讓它變成會(huì)若“是奇

數(shù)，則讓它變成3〃+1.如此循環(huán)，最終都會(huì)變成1.若數(shù)字5,6,7,8,9按照以上猜想進(jìn)行變換，

則變換次數(shù)為奇數(shù)的概率為()

I2八34

A.§B.§C.5D.,

答案C

解析依題意知，5-16-8-*4-*2?-l,共進(jìn)行5次變換；6-3-10--5-???,共進(jìn)行8次變

換；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→I0→5→???,共進(jìn)行16次變換；由以上可知，

3

8變換共需要3