第3課（B培優(yōu)）數(shù)列（原卷版）-【名校沖刺】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精講教案（數(shù)列篇）（滬教版2020選擇性必修第一冊）

第3課：數(shù)列教學(xué)目標(biāo)1、理解數(shù)列、遞增遞減數(shù)列概念，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性解答相關(guān)最值項(xiàng)問題；2、能根據(jù)題意找出數(shù)列遞推關(guān)系式，再求數(shù)列通項(xiàng)公式，能根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇合適的方法；3、掌握錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和和倒序相加法求數(shù)列前項(xiàng)和的方法，會(huì)結(jié)合通項(xiàng)公式特點(diǎn)判斷用什么求和方法；重點(diǎn)1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式2、數(shù)列中函數(shù)的思想3、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求求數(shù)列前項(xiàng)和的方法難點(diǎn)數(shù)列求通項(xiàng)、數(shù)列求和方法的靈活運(yùn)用（一）知識(shí)梳理1、數(shù)列及其相關(guān)概念1）定義：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都和項(xiàng)的序數(shù)有關(guān)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，…，第項(xiàng)，…注：數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別：數(shù)集中的元素具有無序性和互異性，而數(shù)列的主要特征是有序性，而且數(shù)列的項(xiàng)可以重復(fù)出現(xiàn)。2）數(shù)列的一般形式可以寫成：其中是數(shù)列的第項(xiàng)，是的序數(shù)，上面的數(shù)列可簡單記作。3）函數(shù)思想：數(shù)列可以看成是定義在自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別一方面，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題．另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性(離散型)，由于它的定義域是,因而它的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不像我們前面所研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線，因此在解決問題時(shí)，要充分利用這一特殊性，如研究單調(diào)性時(shí)，由數(shù)列的圖象可知，只要這些點(diǎn)每個(gè)比它前面相鄰的一個(gè)高(即)，則圖象呈上升趨勢，即數(shù)列遞增，即遞增?對任意的都成立．類似地，有遞減?對任意的都成立.2、數(shù)列的表示方法解析法、圖像法、列舉法、遞推法.3、數(shù)列的分類有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列,擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；1.有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限.2.無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限.3.遞增數(shù)列:對于任何,均有；其中嚴(yán)格遞增數(shù)列為，對于任何,均有；4.遞減數(shù)列:對于任何,均有；其中嚴(yán)格遞減數(shù)列為，對于任何,均有.5.擺動(dòng)數(shù)列:例如:-1,1,-1,1,-1,1,…….6.常數(shù)數(shù)列:對于任何,均有；例如:6,6,6,6,…….4、數(shù)列的通項(xiàng)公式定義：如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如數(shù)列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…；它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是.例題精講【例1】（1）下列敘述正確的是（）A．?dāng)?shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列B．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…可以表示為{n}C．?dāng)?shù)列0，1，0，1，…是擺動(dòng)列D．?dāng)?shù)列是嚴(yán)格遞減數(shù)列（2）對于無窮數(shù)列，給出下列命題：①若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)列．②若等差數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．③若等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】對任意的an∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是（）A．B．C．D．【例3】已知數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為1，0，1，0，則下列可作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的有（）①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；③an＝sin2；④an＝；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例4】寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.（1），，，，…；（2）2，3，5，9，17，33，…；（3），，，，，…；（4）1，，2，，…；（5），，，，….鞏固訓(xùn)練1、若數(shù)列,其前n項(xiàng)的積為，則_____________.2、已知數(shù)列滿足，，則___________.3、已知數(shù)列滿足若，則________.4、無窮數(shù)列由k個(gè)不同的數(shù)組成，前n項(xiàng)和為，若對，則k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6（二）單調(diào)性與最值項(xiàng)問題知識(shí)梳理1、判斷數(shù)列單調(diào)性：數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列；；數(shù)列是嚴(yán)格遞減數(shù)列；嚴(yán)格遞增數(shù)列嚴(yán)格遞減數(shù)列常數(shù)列嚴(yán)格遞減數(shù)列嚴(yán)格遞增數(shù)列常數(shù)列2、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用：求數(shù)列最大項(xiàng)和最小項(xiàng)方法一：利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)。方法二：設(shè)是最大項(xiàng)，則有對任意的且均成立，解不等式組即可。方法三：利用做差（或作商），研究相鄰項(xiàng)間的關(guān)系，進(jìn)而求得數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)。例題精講【例5】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________?！纠?】（1）已知數(shù)列，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第_________項(xiàng).（2）在數(shù)列中，，則（）A．25 B．32 C．62 D．72【例7】（1）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且對任意，都有，則數(shù)列的最大值為_____________．（2）數(shù)列滿足：，，，.若，對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.鞏固訓(xùn)練1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2、已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（）且().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列中最大值的項(xiàng)和最小值的項(xiàng).（三）遞推公式與求數(shù)列通項(xiàng)公式知識(shí)梳理遞推公式：數(shù)列中的任一項(xiàng)可用前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）通過一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)遞推公式．例題精講【例8】（1）按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各項(xiàng)加1寫出，再各項(xiàng)加3寫出）2354668577979911……若第行所有的項(xiàng)的和為．（1）求；（2）試求與的遞推關(guān)系，并據(jù)此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報(bào)告，為響應(yīng)總書記號(hào)召，我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬平方公里，求：（1）第年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；（2）通項(xiàng)公式；（3）至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%？（）【例9】已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式．【例10】數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【例11】（1）數(shù)列中，，，求通項(xiàng)．（2）已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式是___________。鞏固訓(xùn)練1、數(shù)列1，3，7，15，31，63，…應(yīng)滿足的遞推關(guān)系式為（）A． B． C． D．2、為推動(dòng)全民健身，宣傳天下泉城，首屆泉城(濟(jì)南)馬拉松賽于年月日在大明湖南門開賽.如圖分別包含個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)首屆泉城馬拉松賽的“泉”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)“泉”，則當(dāng)時(shí)，___________；__________.3、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4、已知數(shù)列中，，求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5、數(shù)列中，，則數(shù)列通項(xiàng)公式為．（四）知識(shí)梳理一、利用常用公式求和等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：公式法求和注意事項(xiàng)：（1）弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)的值；（2）等比數(shù)列公比未知時(shí)，運(yùn)用前項(xiàng)和公式要分類二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.三、裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的，如：（1）；（2）（3）（4）（5）四、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（倒序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè)五、分組求和分組求和有兩種情況，一種是將數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可；另一種是將數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)(或若干項(xiàng))并成一項(xiàng)(或一組)得到一個(gè)新數(shù)列(容易求和).例題精講【例12】已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【例13】函數(shù)對任意都有，（1）求的值.（2）數(shù)列滿足:,數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是請給予證明，不是，請說明理由.【例14】（1）若數(shù)列滿足，且對于任意的都有，則__________。（2）_____________?！纠?5】求和：_____________.鞏固訓(xùn)練1、數(shù)列滿足：，則數(shù)列前項(xiàng)的和為___________。2、已知，則＝3、數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．4、已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和。5、已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和。實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一、填空題1、已知數(shù)列的前五項(xiàng)分別為，，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為__________。2、已知數(shù)列滿足，，則___________，的最小值為___________.3、將正偶數(shù)集合{2，4，6，8，…，2n，…}中的數(shù)從小到大按第n組有2n個(gè)數(shù)進(jìn)行分組如下：則2018位于第____組．4、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則____________。5、在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值為________。6、已知數(shù)列中，，，設(shè)，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________。二、選擇題7、在等比數(shù)列中，，.記，則數(shù)列（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)8、已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論不正確的是（）A．的值為2