2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題（全國(guó)通用）02 函數(shù)與方程 （試題版+解析版）

專題02函數(shù)與方程

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)1】函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于一般函數(shù)y=∕ω,Λ∈D,我們把使/(χ)=0成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(χ),χ≡r>的零點(diǎn).注

意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)2】函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)y=/(?)的零點(diǎn)就是方程/(X)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=/(%)的圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/(χ)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(?)的圖象與X軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=?(?)有零點(diǎn).

【考點(diǎn)3】零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［。,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有∕3)?∕S)<0,那么，函數(shù)

y=∕(x)在區(qū)間(4,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在CG(α∕),使得/(c)=0,這個(gè)C也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)4】二分法

對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且J?a)?于(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一

分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近

似解就是求函數(shù)/(X)零點(diǎn)的近似值.

【考點(diǎn)5］高頻考點(diǎn)技巧

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；

③函數(shù)F(X)=/(x)—g(x)有零點(diǎn)0方程R(X)=O有實(shí)數(shù)根o函數(shù)X=/(X)與％=g(x)的圖象有交

點(diǎn)；

④函數(shù)F(X)=/(x)有零點(diǎn)=方程F(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)M=/(Λ)與％=α的圖象有交點(diǎn)=

αe{y∣y=/(X)},其中α為常數(shù).

三、解法解密

方法一：確定函數(shù)Ax)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程?(?)=0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：

(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)=0的判別式△>(),Δ=0,Δ

<0來完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷.

(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在性定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確

定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

(3)若函數(shù)HX)在［a,3上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又Aa)?f(6)<0,則尸

F(X)在區(qū)間(a,A內(nèi)有唯一零點(diǎn).

方法二：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)及零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)y=fix')的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問題，有以下幾個(gè)步驟：

①構(gòu)造函數(shù)〃(X)=/(x)-g(x);

②求導(dǎo)球(X);

③研究函數(shù)Zz(X)的單調(diào)性和極值(必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況)；

④畫出函數(shù)〃(X)的草圖，觀察與X軸的交點(diǎn)情況，列不等.式；

⑤解不等式得解.

探討函數(shù)y=/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，往往從函數(shù)的單調(diào)性和極值入手解決問題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解.

四、考點(diǎn)解密

題型一:判斷零點(diǎn)所在區(qū)間

例1.(1)、(新疆疏勒縣八一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上期末)

2

函數(shù)/(x)=In(X+1)-、的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

(2)、(2022?北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)函數(shù)/(x)=g-χ2零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()

X

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+∞)

【變式訓(xùn)練1-11.(2019?浙江湖州高一期中)函數(shù)/(x)=lnx+2x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【變式訓(xùn)練1-2】、(2020?內(nèi)蒙古?北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)(文))函數(shù)/(x)=,-bg2X的零

點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D,(4,+∞)

題型二:零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

例2.（1）、（2008?湖北?高考真題（文））方程2-+/=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為

（2）、（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)F（X）=InX+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【變式訓(xùn)練2」】.（2。2。?張家口市第一中學(xué)高一月考）函數(shù)?。?:叱I的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.?C.2D.3

X?+2xX≤θ

【變式訓(xùn)練2-2】.（2021映西?西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"x）=j2q1]0,則函數(shù)g（x）=/（IT）-1

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

題型三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解析式中參數(shù)的范圍

例3.(1)、(2021?廣東?東莞市東方明珠學(xué)校模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于X的方程2χ3-3Y+4=0在區(qū)間[-2,2]上

僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[TO]B.(1,28]C.H，0)(1,28]D.[-4,0)o(1,28)

⑵、(2022?山西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)={,','若函數(shù)丫=/。)-2有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

[lιnx+l,x≥l,

的取值范圍是()

A.(-∞,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,÷∞)

Inx9x>1

【變式訓(xùn)練3-1】.(2020?湖南?雅禮中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)X[,若函數(shù)

HX)=/(x)-0r恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(-1,0).B.(-∞,-l)(g』)

C.(7，T)???jl{θ}D.(-1,0){0}lR,l)

?1—11—x∣,0≤x≤2

【變式訓(xùn)練3-2】、(2022?云南保山?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)"xz)=.Jλ,八，若方程/(x)=A

ZJIX-ZkZ<XSo

恰好有四個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

題型四:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，求零點(diǎn)之間的關(guān)系

e`*X<0

例4.（1）.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=?'一八，g（x）=-f+2χ（其中e

3x,x>0

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于X的方程F（X）=g（∕（x））-加恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)八吃，七，且X<W<X3,則

3%-％+3工3的最大值為（）

34

A.l+ln-B.l+ln-C.3-ln3D.3+ln3

43

⑵.（2021?普寧市第二中學(xué)高三月考）己知函數(shù)〃力=[憐若/&）=〃W）=/⑷"⑷

?+?,X&U

(%,JC2，05互不相等），則玉+々+馬+匕的取值范圍是（)

A.[4'°)b?「”

C.K)d?

’3J(E)

【變式訓(xùn)練4-1工（2021?云南紅河?模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)/（X）=■224167,若M<A<“3<%，

??-4x+y,(x>l)2

且/（%）=/伍）=/（玉）=/伍），則皂叢的取值范圍是（）

x?

A.(—8,—5)B.(5,8)C.(8,11)D.(—11,—8)

【變式訓(xùn)練4-2】.（2。2。唉國(guó)?高三零模（文））已知函數(shù)…若函數(shù)y"）i有3個(gè)不

同的零點(diǎn)須，X[,XG<*2<三），貝!|占+w+三的取值范圍是.

題型五:根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間，求解析式中參數(shù)的范圍

例5.(1)、(2017?江蘇南通?一模)已知函數(shù)"x)=x+lnx-4的零點(diǎn)在區(qū)間(&,及+1)內(nèi)，則正整數(shù)々的

值為.

(2)、(2021?江西上饒?二模(文))已知函數(shù)/(x)=Inx-Jf+],若/(幻-質(zhì)>0恰有3個(gè)正整數(shù)解,

則Z的取值范圍為（）

「M27In37）

?-[V^4'V^6j

∩n27In37"In27ln37

c?lV^Z-l^^6j~2__4,^6

16X2-24X+9,X≤1

【變式訓(xùn)練5-11,(2022?新疆昌吉?二模(文))已知函數(shù)/(X)=1"、，若關(guān)于X的方程

-/(x-l),x>l

f(x)=m(meR)有三個(gè)不同的實(shí)根，則m的取值范圍為.

【變式訓(xùn)練5-2】.(2019?安徽?三模(文))已知函數(shù)/。)=心-(；產(chǎn)+4有唯一的零點(diǎn)％,且x°∈(2,3),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(?-ln?,?-?n2)B.(?-ln?,?-ln2)

C.(―+In2,—+In3)D.(―+In2,—+In3)

題型六:復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題(自我嵌套)

例6.(1)、(2021?吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(理))已知函數(shù)/(x)=F,'Q°c,若關(guān)于X的方程f[”x)]=0

Iog2x,x>O

有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-∞,0)B.So)U(0,1)

C.(0,1)D.(0,1)(l,+∞)

(2).(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))設(shè)α∈R,函數(shù)/(x)=T.八，若函數(shù)y=∕[f(x)]恰有4個(gè)零點(diǎn)，

-x2+αr,x<0

則實(shí)數(shù)”的值為.

【變式訓(xùn)練6-1】.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)Ax)=]；：：：：'。則函數(shù)y=∕[∕(x)]的所

有零點(diǎn)之和為.

IflY---X>0

【變式訓(xùn)練6-2】、(2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=,x',則函數(shù)y=∕"(x)+l∣

X2+2x,x≤O

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

題型七:復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題(與二次函數(shù)嵌套)

,、3*+l,x≤0

例7.(1)、(2022?陜西?銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))設(shè)函數(shù)/(?r)=hogχχ>0,若關(guān)于X的方程

[4x)]-(α+2)∕(x)+3=0恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

A.^-2?∣3—2,2-73-2jB.^2>∕3—2,—

C.∣,+∞1D.(2√3-2,+∞)

⑵、(2021?江西省樂平中學(xué)高一開學(xué)考試)己知函數(shù)"x)=[M*d;。的值域?yàn)镽,且心，若關(guān)

[-X+l,x≤0

于X的方程∕2(X)-(W+2)∕(X)+2"Z=O有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍為()

A.(-∞,1)B.(-∞,e)C.[0,1]D.[0,e]

【變式訓(xùn)練7-1】、(2021?吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)〃X)=Fn*；>°)則關(guān)于X

-X-3x(x≤0)

的函數(shù)y=4∕2Q)73∕(x)+9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.8B.7C.5D.2

ln(∣Λ∣+l),x≤0

【變式訓(xùn)練7?2】,(2021?黑龍江鶴崗一中(理))已知函數(shù)"司=X，若方程

--,x>0

/(χ)+2m?"χ)+病-1=0恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(0,2)

題型八:高考?jí)狠S真題訓(xùn)練

例8.(1)、(2007?湖北倡考真題)關(guān)于工的方程(爐_1)2_卜2_]卜&=0,給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根;

②存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;

③存在實(shí)數(shù)女，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;

④存在實(shí)數(shù)3使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.OB.1C.2D.3

(2)、(2019?江蘇?高考真題)設(shè)/(x),g(x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，f(x)的周期為4,g(x)的周期

?(x+2),0<x≤l

為2,且F(X)是奇函數(shù).當(dāng)Xc(0,2]時(shí)，/(χ)=Jl-(X-if,g(x)=I,C,其中&>0.若在區(qū)間(0,9]

V——,ι<x≤2

I2

上，關(guān)于X的方程/(X)=g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

e*X<0

【變式訓(xùn)練8-1】.(2018?全國(guó)?高考真題(理))已知函數(shù)f(x)=<'-'8(x)=f(x)+x+a.若g(x)

Inχ9X>0,

存在2個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍是

A.[-1,O)B.[O,+oo)C.[-1,+8)D.[1,+∞)

【變式訓(xùn)練8-2】.(2021?北京?？颊骖})已知函數(shù)f(x)=∣lgx卜履-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若左=O,/(x)恰有一2個(gè)零點(diǎn)；

②存在負(fù)數(shù)%,使得F5)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在負(fù)數(shù)%,使得/(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在正數(shù)%,使得/V)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.(2022?陜西?咸陽(yáng)市高新一中高一期中)函數(shù)/(x)=d+e，-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2022?重慶八中高一期末)/(x)=10g2X+x-7的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

3.(2022?廣東?肇慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)滿足〃x+l)=∕(x7),當(dāng)XWO,2)時(shí)，

/(X)=X3-∣√-2X,則/(x)在[0,8]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.6C.8D.9

4.(2022?黑龍江?佳木斯一中三模(理))已知函數(shù)/(x)=e2i-e-3e'sin(x-1),則函數(shù)y=∕(x)的所有

零點(diǎn)之和為()

A.0B.?C.2D.3

5.(2022?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)恒有/(?r-l)=∕(x+l),

當(dāng)xe[0,l)時(shí)，/(X)="?,已知ke(-*-W則函數(shù)g(x)="x)-fccT在(T6)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.3個(gè)或4個(gè)D.4個(gè)或5個(gè)

6.(2021?河南?羅山縣教學(xué)研究室一模(理))已知函數(shù)小)=L:在定義域上單調(diào)遞增，

2-logJx÷l),x≤0

且關(guān)于X的方程/(x)=x+2恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

11

A.B.一,一D.(0,1)

4e

l,x=2*,

7.(2019?安徽?安慶一中模擬預(yù)測(cè)(理))設(shè)函數(shù)/(x)={

Ioga∣x-2∣+l,x≠2,α>1，若函數(shù)

g(x)=∕2(x)+/(x)+C有三個(gè)零點(diǎn)％/2，七，則%赴+看七+%芻二()

A.12B.11C.6D.3

8.(2020?內(nèi)蒙古?鄂爾多斯市第一中學(xué)一模(文))函數(shù)=+l[2≤x≤°,若存在實(shí)數(shù)〃?，

ae?0<x≤2

使得方程/(X)=機(jī)有三個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的范圍是()

A.-,÷∞jB.O,FC.(—∞,2］D.-?2j

9?(2OI6?遼寧鞍山一模(文))設(shè)函數(shù)N=若互不相等的實(shí)數(shù)儲(chǔ)，巧，工滿足

/(X1)=Z(X2)=Z(X3),則為+超+七的取值范圍是()

20262026

66

A.τ,τB.τ,τC.TD.T

10.(2022?云南師大附中模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=SinX+acoSMa>0)的最大值為2,若方程/(x)=8

..___/c13π

在區(qū)間[0,7-內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)根占,*2，犬3，且不<々<、3，則X∣+2X2+X3等于()

?8”10πD,也

?-TB.-----C.4π

36

U.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=-cosx,7(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則方程1￡01」=0在(0，+8)

X8

內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是.

SinmV,x∈[0,2]

I、，則函數(shù)y=∕(χ)-in(χ-D

(-/(xz-2x),xz∈(2,+∞)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè).

X2-2x,x≥0

13.(2021?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)(理))函數(shù)〃x)=flV的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________.

2-團(tuán)，x<0

14.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(文))方程xe'-∣x∣-l=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為.

2'—/?,?<0,

15.(2022?北京昌平?二模)若函數(shù)/S)=L有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的一個(gè)取值為______.

√%,Λ≥0

尤.e"+QX≥—2

?6-(2。2。?云南文山?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)個(gè))=Eg?-2'c為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))'若/⑴

有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

/、(∣lnx∣,0<x≤2

17.(2022?內(nèi)蒙古?包鋼一中一模(文))設(shè)/x)=f,/一彳若方程Ax)=，”有四個(gè)不相等的實(shí)根

/(4-x),2<x<4

x,(i=l,2,3,4),且不<々<覆<匕，則(用+動(dòng)、后+X：的取值范圍為.

18.(2021?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的奇函數(shù)/S),滿足/(x+2)=-∕(x),且

當(dāng)xw［0,l］時(shí)，/(x)=x2+x+sinx,若方程/(外=加(機(jī)>0)在區(qū)間［-4,4］上有四個(gè)不同的根玉,林玉，匕，則

%+X2+X3+X4的值為

B組能力提升

llog2(x-2)∣,2<x≤4

19.(2022?山西?一模(文))設(shè)函數(shù)/(x)=?,,若/(x)=α有四個(gè)實(shí)數(shù)根毛、巧、9、

(X-5),x>4

小且XHwr,則區(qū)產(chǎn)+即的取值范圍是()

[613

A.B.

τ,τ吟

C.吟)D.(3,÷α))

20.(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且/(/(x)-2*-2x)=10.若

函數(shù)g(x)=d有3個(gè)零點(diǎn)，則.的取值范圍為()

A.(2,3]B.(-1,3]

C.(3,4]D.(-1,4]

21.(2022?寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)二模(理))已知“>0,函數(shù)/(尤)=2In(Or)-X,若函數(shù)F(X)=X))-X

恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是()

A.I?,+∞IB.-Λ∞?C.(e,+oo)D.[e,+8)

IInXI(X>0)

22.(2021?吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)數(shù)%)=H-3X(∕≤0)'則關(guān)于X的函數(shù)

y=4∕2(χ)T3∕(x)+9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.8B.7C.5D.2

23.(2021?甘肅白銀?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=<Ξ7+∣">°),若函數(shù)g(x)="∕(x)-咐-2,

2X2+4X+2(X≤0)

則下列結(jié)論正確的是()

A.若g(x)沒有零點(diǎn)，則機(jī)≤0

B.當(dāng)加=2時(shí)，g(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)g(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為(0,1]

D.當(dāng)g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，〃?的取值范圍為(1,3]{4}

24.(2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))(多選題)已知函數(shù)/O)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),

3X-X2,0<X<2

/(?)=m(x-2]，那么函數(shù)g(x)=∕3-2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()

-----------,x>2

X

A.2B.4C.6D.8

25.(2020?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))(多選題)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<O時(shí)，f(x)=ex(x+?),

則下列說法正確的是()

A.當(dāng)x>O時(shí)，/(x)=e'(l-x)

B.函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)

C.4*)>0的解集為(-1,0)51，田)

D.?xl,x2eR,都有Ifa)-/(9)|<2

26.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))(多選題)已知函數(shù)f(x)=儼二：!，%：，函數(shù)y="χ)-"有四個(gè)不同

I(X-ZJ,x>?,

的零點(diǎn)X]，*2，匕，匕，且玉<W<X3<X4,則()

A.。的取值范圍是(O,1)B.々-4的取值范圍是(0,1)

2%+2-C

C.Λ3+X4=4D.-----=2

W+Z

27.(2022?福建三明?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xlnx+α(l-x)+x在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

"的取值可以為()

A.-1B.2C.3D.4

_,、∣2X-2∣,Λ<3

28.(2022?湖北?丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)=F,1,設(shè)函數(shù)

*+8x-12,x>3

J?(x)=[/(X)]2-(2r+1)/(χ)+r2+r,則下列說法正確的是()

A.若g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則3≤r<4

B.存在實(shí)數(shù)3使得g(x)有5個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)g(x)有6個(gè)零點(diǎn)時(shí).記零點(diǎn)分別為占,々，匹，工4,匕，/，且王<々<X3<X4<X3<??，則

2t,+2*+2*+2〃=8

D.對(duì)任意f<O,g(x)恒有2個(gè)零點(diǎn)

29.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))(多選題)已知函數(shù)f(x)=H若方程/(x)=α有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)

根*1、々、Z，且看<*2<與，則()

A.0<a<lB.-1<xl≤O

^2Ji^

C.x∕3=eD.如入占的取值范圍是-%1^Q

30.(2015?江蘇南通?一模)設(shè)函數(shù)/CO滿足F(X)=/(3x),且當(dāng)XeU,3)時(shí)，f(x)=l∏x.若在區(qū)間口,9)內(nèi),

存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)彳々，與，使得公=∕GJ=3=/,則實(shí)數(shù)/的取值范圍為.

?lx2?

31.(2022?廣東茂名?一模)己知函數(shù)/U)=1∣1°g21°<：<2,若冷馬，%均不相等，且JG)=/α)=AX3),

-x+3,x>2

則x1X2?的取值范圍是

32.(2022?廣東?模擬預(yù)測(cè))設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，(幻=｛旭"二凡*[,若關(guān)于X的方程

-%+l,x≤l

2["x)1+2"(x)+l=0有8個(gè)不同的實(shí)根，到實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

C組真題實(shí)戰(zhàn)練

∣x∣+2,x<1

33.(2017?天津?高考真題(文))已知函數(shù)/(x)=,2.設(shè)αeR,若關(guān)于X的不等式〃幻2∣[+“|

x+-,x≥?2

X

在R上恒成立，則。的取值范圍是

A.[-2,2]B.[-2√3,2J

C.[-2,2√3]D.[-2√3,2>^J

)函數(shù)f(x)=I—g)X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

34.(2012?北京?高考真題(文)

A.0B.1C.2D.3

35.⑵嶼湖南高考真題(理))已知"上U…’若存在實(shí)姓，使函數(shù)g(x)=/(XH有兩個(gè)零

點(diǎn)，則。的取值范圍是

36.(2009?山東?高考真題(理))已知定義在R上的奇函數(shù)f(χ)滿足/(x-4)=-/(幻，且在區(qū)間［0,2］上

是增函數(shù),若方程〃X)=加(加＞0)在區(qū)間［-8,8］上有四個(gè)不同的根，則西+%+W+匕=

專題02函數(shù)與方程

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)1】函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于一般函數(shù)y=∕ω,Λ∈D,我們把使/(χ)=0成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(χ),χ≡r>的零點(diǎn).注

意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)2】函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)y=/(?)的零點(diǎn)就是方程/(X)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=/(%)的圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/(χ)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(?)的圖象與X軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=?(?)有零點(diǎn).

【考點(diǎn)3】零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［。,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有∕3)?∕S)<0,那么，函數(shù)

y=∕(x)在區(qū)間(4,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在CG(α∕),使得/(c)=0,這個(gè)C也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)4】二分法

對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且J?a)?于(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一

分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近

似解就是求函數(shù)/(X)零點(diǎn)的近似值.

【考點(diǎn)5］高頻考點(diǎn)技巧

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；

③函數(shù)F(X)=/(x)—g(x)有零點(diǎn)0方程R(X)=O有實(shí)數(shù)根o函數(shù)X=/(X)與％=g(x)的圖象有交

點(diǎn)；

④函數(shù)F(X)=/(x)有零點(diǎn)=方程F(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)M=/(Λ)與％=α的圖象有交點(diǎn)=

αe{y∣y=/(X)},其中α為常數(shù).

三、解法解密

方法一：確定函數(shù)Ax)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程?(?)=0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：

(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)=0的判別式△>(),Δ=0,Δ

<0來完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷.

(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在性定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確

定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

(3)若函數(shù)HX)在［a,3上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又Aa)?f(6)<0,則尸

F(X)在區(qū)間(a,A內(nèi)有唯一零點(diǎn).

方法二：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)及零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)y=fix')的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問題，有以下幾個(gè)步驟：

①構(gòu)造函數(shù)〃(X)=/(x)-g(x);

②求導(dǎo)球(X);

③研究函數(shù)Zz(X)的單調(diào)性和極值(必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況)；

④畫出函數(shù)〃(X)的草圖，觀察與X軸的交點(diǎn)情況，列不等.式；

⑤解不等式得解.

探討函數(shù)y=/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，往往從函數(shù)的單調(diào)性和極值入手解決問題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解.

四、考點(diǎn)解密

題型一:判斷零點(diǎn)所在區(qū)間

例1.(1)、(新疆疏勒縣八一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上期末)

2

函數(shù)/(x)=In(X+1)-、的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

2

【解析】由題得/(1)=In2—I=ln2-2<O,

2

/(2)=ln3--=ln3-l>0,

所以/⑴/⑵<0,

9

所以函數(shù)"X)=ln(x+l)——的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B

(2)、(2022?北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)函數(shù)/(x)=9-χ2零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()

X

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+∞)

【答案】C

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

【詳解】令A(yù)x)=5-/=。，解得：》=6；>0,只有一個(gè)零點(diǎn).

而〃l)[τ=5>0,.∕?(2)=∣-4=-l<0,

由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)/(X)=9--零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(1，2).

X

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-1】.(2019?浙江湖州高一期中)函數(shù)/(x)=lnx+2x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

函數(shù)y=Inx是(0,+8)上的增函數(shù),y=2x—3是R上的增函數(shù)，

故函數(shù)/(x)=InX+2%-3是(0,+紇)上的增函數(shù).

/(l)=lnl+2-3=-l<0,∕(2)=ln2+2×2-3=ln2+l>0,

則Xe(0,1)時(shí)"(x)<0∕∈(2,+∞)時(shí),/(x)>0,

因?yàn)?(1)?∕(2)<O,所以函數(shù)/(Λ)=InX+2x-3在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn).

故選:B.

【變式訓(xùn)練1-2】、(2020?內(nèi)蒙古?北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)(文))函數(shù)/(x)=,-bg2X的零

點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D,(4,+∞)

【答案】C

【分析】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后得出f(3),∕(4)的函數(shù)符號(hào)，從而得出答案

【詳解】由y=g在(0,+∞)上單調(diào)遞減，y=Iog,X在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)=9Tog2*在(°,+cc)上單調(diào)遞減，

431

又/⑶=2Tog23=log2]>0J(4)=/-log24=-∕<0,

所以由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在(3,4)之間存在零點(diǎn)，

故選：C

題型二:零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

例2.(1)、(2008?湖北?高考真題(文))方程2一+丁=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

【答案】2

【詳解】因?yàn)?一,=3-Y,作出函數(shù)>=2:y=3-V的圖像,從圖像可以觀察到兩函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以方程2"+Y=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.

(2),(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè))函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理即得.

【詳解】由于函數(shù)/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，且"l)=-4<0J⑶=ln3>0,

故函數(shù)在(1,3)上有唯一零點(diǎn)，也即在(0,+8)上有唯一零點(diǎn).

故選：B.

【變式訓(xùn)練2-1】.(2020?張家口市第一中學(xué)高一月考)函數(shù)/S)=I-IIgXl的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

e

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【分析】

由題意可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為I=IlgXl的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象即可求解

【詳解】

函數(shù)F(X)=∕?Tlgχ∣,山/(χ)=0,可得j=∣lgχ∣,作出y=*和y=∣lgχ∣的圖象，

由圖象可得它們有2個(gè)交點(diǎn)，則/(χ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

故選：C.

χ2+2xX40

【變式訓(xùn)練2-2】.(2021?陜西?西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=jgq1>^0,則函數(shù)g(x)=∕(lr)-l

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

［分析】通過解法方程g(X)=0來求得g(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】由g(x)=0可得〃I-X)=L

當(dāng)x≤0時(shí)，%2+2x=1=>X=-1-?∣2?或X=—1+&(舍去)，

當(dāng);V>0時(shí)，IlgX=I=尤=10或X='.

故1—工二一1一0=>工=2+75是8(4)的零點(diǎn),

I-X=Ionx=-9是g(x)的零點(diǎn),

I-XqnXq是g(x)的零點(diǎn).

綜上所述，g(x)共有3個(gè)零點(diǎn).

故選：C

題型三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解析式中參數(shù)的范圍

例3.(1)、(2021?廣東?東莞市東方明珠學(xué)校模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于X的方程2χ3-3χ2+a=0在區(qū)間[-2,2]上

僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-4,0]B.(1,28]C.0).(1,28]D.[-4,0)U(1,28)

【答案】C

【分析】設(shè)f(x)=2x3-3χ2+α,可得函數(shù)遞增遞減區(qū)間，由函數(shù)在區(qū)間[-2,2]匕僅有一個(gè)零點(diǎn)，列出方程

可得。的取值范圍.

【詳解】解：設(shè)/(x)=2χ3-3χ2+。，可得/(χ)=6χ2-6x=6x(x-l),x∈[-2,2],

令/'(x)≥0,可得-2≤x≤0,l≤x≤2,令f’(x)<O,可得OCX<1,

可得函數(shù)遞增區(qū)間為[-2,0),(1,2],遞減區(qū)間為(0,1),

由函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，/(-2)=a-28,∕(0)=a,∕(l)=α-l,