2023屆老高考數(shù)學(xué)練習(xí)題：第十四單元 計(jì)數(shù)原理

第十四單元計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

14.1計(jì)數(shù)原理

1.（2021?遼寧模擬）已知集合M={l,-2,3}，TV={-4,5,6,一7},從M,N這兩個集合中各

選一個元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二

象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.12B.8

C.6D.4

【答案】C

【解析】分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況,

因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個數(shù)是3x2=6,故選C.

2.（2021.安徽合肥模擬）從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為.

【答案】18

【解析】分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2

種選擇，共有3x2x2=12（個）奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，

百位有1種選擇，共有3x2x1=6（個）奇數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12+6=18（個）

奇數(shù).

?2

3.（2021?河南鄭州模擬）若橢圓'+I=I的焦點(diǎn)在y軸上，且∕π∈{1,2,3,4,5）,

n∈{1,2,3,4,5,6,7},則這樣的橢圓的個數(shù)為.

【答案】20

【解析】當(dāng)〃?=1時，“=2,345,6,7,共6個;

當(dāng)機(jī)=2時，"=3,4,5,6,7,共5個；

當(dāng)％=3時，N=4,5,6,7,共4個；

當(dāng)m=4時,"=5,6,7,共3個;

當(dāng)膽=5時，”=6,7,共2個.故共有6+5+4+3+2=20（個）滿足條件的橢圓.

4.（2021?浙江寧波質(zhì)檢）已知α∈{l,2,3},b∈{4,5,6,7},則方程（X—。α+。，一切2=4可表示

不同的圓的個數(shù)為（）

A.7B.9

C.12D.16

【答案】C

【解析】得到圓的方程分兩步：第一步：確定。有3種選法；第二步：確定b有4種選法,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3x4=12（個）.故選C.

4.現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩

塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有.

答案:48

解析：不同的著色方法共有4x3x2x（l+l）=48種.

5.（2021.江蘇南通模擬）為了強(qiáng)化勞動觀念，弘揚(yáng)勞動精神，某班級決定利用班會課時間進(jìn)

行勞動教育.現(xiàn)要購買鐵鍬、鋤頭、鐮刀三種勞動工具共10把，每種工具至少購買1把，則不

同的選購方法共有種.

【答案】36

【解析】設(shè)購買鐵鍬X把，鋤頭y把，鐮刀目把，則χ+y+z=ι°,

當(dāng)χ=ι時，y+z=9,有8種選購方法；

當(dāng)x=2時，y+z=8,有7種選購方法；

以此類推，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36種不同的選購方法.

6.如果一個三位正整數(shù)如“0。2的“滿足0<他，且G>"3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120,

343,275等），那么所有凸數(shù)的個數(shù)為.

解析：若z=2,則百位數(shù)字只能選1,個位數(shù)字可選1或0,“凸數(shù)”為120與⑵，共2個.

若S=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2x3=6（個）.若“2=4,

滿足條件的“凸數(shù)”有3x4=12（個），…，若6=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8x9=72（個）.所以所

有凸數(shù)共有2+6+12+20+30+42+56+72=240（個）.

答案:240

7.（2021.浙江溫州高三適應(yīng)性測試）已知關(guān)于單方程打一。|+打一母=卜一μ+卜—4有且

僅有一個實(shí)數(shù)根，其中互不相同的實(shí)數(shù)。、b、c、d∈{l,2,3,4,5,6},且Iaw=IC

則。、b、c、d的可能取值共有種.（請用數(shù)字作答）

【答案】56

【解析】方程∣x-α∣+∣x-b|=|x—c|+|x—M有且只有一個實(shí)根，

由絕對值三角不等式可得|%—4+|%一4≥∣（x-a）-（X—人）|=|。一可，

|x—c∣+∣x-<7∣≥∣（x-c）-（x—J）∣=?c-d?,

因?yàn)?一。I=Ic-4，考慮α<h,c<d,

a+b-2x,x≤ac+d-2x,x≤c

因?yàn)镮X_4+卜_.=<b-a,a<x<b?x-c?+?x-d?=<d-c,c<x<d

2x-^a+b^,x≥b2x-(^c+d^,x≥d

作出函數(shù)y=∣x-α∣+∣x-b∣與函數(shù)y=∣x—d+∣x-d∣如下圖所示:

則有b<c或d<α?

若3力)=(1,2),則(c,m(c,d)的可能情況有：(3,4),(4,5),(5,6);

若(“力)=(2,3),則(C⑷可能的情況有：(4,5),(5,6);

若(4力)=(3,4),則(c,J)=(5,6);

若(α,b)=(l,3),則(c,J)=(4,6).

考慮α力的大小，有2種情況；考慮c、d的大小，有號中情況；考慮他力)、(c,少的位置,

有2種情況.綜上所述，。、b、c、d的可能取值共有7X2x2x2=56種.

8.(2021?山東泰安肥城高三適應(yīng)性訓(xùn)練)某新聞采訪組由擊記者組成，其中甲、乙、丙、丁

為成員，戊為組長.甲、乙、丙、丁分別來自4B、a。四個地區(qū).現(xiàn)在該新聞采訪組要到

A、B、C、。四個地區(qū)去采訪，在安排采訪時要求：一地至少安排一名記者采訪且組長不

單獨(dú)去采訪；若某記者要到自己所在地區(qū)采訪時必須至少有一名記者陪同.則所有采訪的不

同安排方法有種.

【答案】44

【解析】分兩類:①甲，乙，丙,丁都不到自己的地區(qū)，組長可任選一地有(3χ3χlχl)χ4=36;

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地區(qū)，并有組長陪同有(2*lχl)*4=8.

所以總數(shù)36+8=44.

9.（2021?遼寧高三壓軸試卷）用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)

字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為（）

A.81B.48C.36D.24

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，分2種情況討論：

①數(shù)字3不出現(xiàn)，此時四位數(shù)的每個數(shù)位都可以為6或9,都有2種情況，

則此時四位數(shù)有2x2x2x2=16個；

②數(shù)字3出現(xiàn)1次，則數(shù)字3出現(xiàn)的情況有4種，剩下的三個數(shù)位，可以為6或9,都有2

種情況，此時四位數(shù)有4x2x2x2=32個，

故有16+32=48個四位數(shù).故選B.

10.將邊長為3的正方形ABC。的每條邊三等分,使之成為3×3表格.將其中6個格染成黑色，

使得每行每列都有兩個黑格的染色方法的種數(shù)為（）

A.12B.6C.36D.18

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可按照列選擇染色的元素，第一列可有3種選擇方式，第一列方格標(biāo)號為

1,2,3.當(dāng)?shù)谝涣羞x定時比如選定1,2,第二列有兩種選擇，染第一行和第三行，或者染第

二行和第三行，當(dāng)?shù)诙写_定時.，第三列也就確定了.故共3x2=6種染色方法.故選B.

11.（2021?四川眉山模擬）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，

圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成），

ΔABE,?BCF,NCDG,ΔDAH這4個角形和“趙爽弦圖"ABCo涂色，且相鄰區(qū)域（即

圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇.則不同的涂色方法種數(shù)是

（）

【答案】C

【解析】設(shè)“趙爽弦圖"ABCz）為①區(qū)，ΔABE,ΔBCF,?CDG,Δ∩4∕/這4個三角形

分別為②、③、④、⑤區(qū).

第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.

第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.

第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.

第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色時，⑤區(qū)有2種涂色方法.

若④區(qū)與②區(qū)不同色時，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.

由分類、分步計(jì)數(shù)原理可得共有4x3*2χ(2+1X1)=72.故選C.

12.在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)比如“102”，

“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個.

答案：8

解析：十位上的數(shù)為1時，有213,214,312,314,412,413,共6個；十位上的數(shù)為2

時，有324,423,共2個，所以共有6+2=8(個).

13.(2021?山東泰安肥城高三適應(yīng)性訓(xùn)練)某新聞采訪組由5名記者組成，其中甲、乙、丙、

丁為成員，戊為組長.甲、乙、丙、丁分別來自AB、a。四個地區(qū).現(xiàn)在該新聞采訪組要到

A、B、C、。四個地區(qū)去采訪，在安排采訪時要求：一地至少安排一名記者采訪且組長不

單獨(dú)去采訪；若某記者要到自己所在地區(qū)采訪時必須至少有一名記者陪同.則所有采訪的不

同安排方法有種.

【答案】目

【解析】分兩類:①甲，乙，丙，丁都不到自己的地區(qū)，組長可任選一地有(3*3χlχl)χ4=36;

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地區(qū)，并有組長陪同有(2χlχl)χ4=8.

所以總數(shù)36+8=44.

14.如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)

在用四種顏色給這四個直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，

相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有（）

A.24種B.72種C.84種D.120種

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)四個直角三角形順次為力，B,C,D,按A—->B-->C-->D

順序涂色，下面分兩種情況：

（I）A,C不同色（注意：B,Z）可同色、也可不同色，￡）只要不與A,C同色，

所以?？梢詮氖Ｓ嗟?種顏色中任意取一色）：有4×3×2×2≈48種不同的涂法.

（2）A,C同色（注意：B,?？赏⒁部刹煌?，。只要不與A,C同色，所以?？梢詮氖?/p>

余的3種顏色中任意取一色）：有4x3x1x3=36種不同的涂法，故共有48+36=84種不同的

涂色方法.故選C.

15.某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B,C,。中選

擇，其他四個號碼可以從O?9這十個數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），若車主第一個號碼（從左

到右）只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的

車牌號碼的所有可能情況有（）

A.180種B.360種C.720種D.960種

【答案】D

【解析】由題意知，按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3

種選法，其余三個號碼各有4種選法.因此可選的車牌號碼的所有可能情況有5×3×4×4×4=

960（種）.故選D.

16.若"1,"均為非負(fù)整數(shù)，在做加+”的加法時各位均不進(jìn)位（例如：134+3802=3936）,

則稱（〃?，〃）為“簡單的”有序?qū)?，而?〃稱為有序?qū)Γ╩,N）的值,那么值為1942的“簡單的”

有序?qū)Φ膫€數(shù)是.

答案：300

解析：第I步，1=1+0,1=0+1,共2種組合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共K）種組合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，值為1942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是2×10×5×3=300.

17.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)尸（“，刀的坐標(biāo)滿足α≠b,且α,匕都是集合｛1,2,3,4,5,

6｝中的元素.又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離IoPIN5,則這樣的點(diǎn)P的個數(shù)為.

答案：20

解析：依題意可知，

當(dāng)a=l時，b=5,6,兩種情況；

當(dāng)α=2時，b=5,6,兩種情況；

當(dāng)α=3時，6=4,5,6,三種情況；

當(dāng)α=4時，b=3,5,6,三種情況：

當(dāng)α=5或6時，〃各有五種情況.

所以共有2+2+3+3+5+5=20（種）情況.

18.（2022.江蘇南京市建鄴中學(xué)高三月考）某地為了慶祝建黨Ioo周年，將在7月1日舉行大

型慶典活動.為了宣傳報(bào)道這次活動，當(dāng)?shù)仉娨暸_準(zhǔn)備派出甲、乙等4名記者進(jìn)行采訪報(bào)道，

工作過程中的任務(wù)劃分為“攝像”、“采訪"、"剪輯''三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加.已知

甲、乙不會“剪輯”但能從事其他兩項(xiàng)工作，其余兩人三項(xiàng)工作都能勝任，則不同安排方案的

種數(shù)是.

【答案】目

【解析】若參與“剪輯”工作的有1人，則不同的分配方法數(shù)為2x（23—2）=12；

若參與“剪輯，，工作的有2人，則不同的分配方法數(shù)為2種.

綜上所述，不同安排方案的種數(shù)是12+2=14種.

19.（2022?浙江溫州開學(xué)摸底考試）把編號為i（i=L2,3,4,5）的五個小球隨機(jī)放入編號為

/（/=1,2,3,4,5）的五個盒子，每盒一個小球，若滿足∣i1∕∣≤2,則不同的放法共有

________種.

【答案】31

【解析】∣i-∕l>2的所有可能包括:z=l,J=4,5；Z=2,y=5;∕=4,y=l;z=5,y=l,2.

（1）盒1放球1時，剩下的盒子依次記為盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

2345,3245,4235,2354,3254,4253,2435,3425,4325,2453,2534,3524,4523,2543

（其中球5不能放在盒2,不用列舉.而3452,4352,3542,4532滿足∣i-/1>2,應(yīng)舍去）

共14種；

（2）盒1放球2時，剩下的盒子依次記為盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

1345,3145,4135,1354,3154,4153,1435,1453,1534,1543（其中球5不能放在盒2,

不用列舉.而3415,4315,3451,4351,3514,4513,3541,4531滿足Ii-JI>2,應(yīng)舍去）

共10種；

（3）盒1放球3時，剩下的盒子依次記為盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

1245,2145,4125,1254,2154,1425,1524,（其中球5不能放在盒2,不用列舉.而4152,

2415,4215,1452,2454,4251,2514,4512,1542,5241,4521滿足∣i-√|>2,應(yīng)舍去）

共7種;所以共有14+10+7=31種.

20.（2021?廣東清遠(yuǎn)模擬）從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選

法種數(shù)為（）

A.6B.5

C.3D.2

【答案】B

【解析】5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法.故選B.

21.（2021?天津模擬）從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和

為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為（）

A.30B.20

C.10D.6

【答案】D

【解析】從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字的和為偶數(shù)可分為兩類：

第一類，取出的兩個數(shù)都是偶數(shù)，有。和2,O和4,2和4,共3種不同的取法；

第二類，取出的兩個數(shù)都是奇數(shù)，有1和3,1和5,3和5,共3種不同的取法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3+3=6種不同的取法.故選D.

22.（2021?湖北襄陽模擬）滿足α,b∈{T,0,l,2},且關(guān)于X的方程OΛ2+2Λ+6=0有實(shí)數(shù)

解的有序數(shù)對（α,份的個數(shù)為（）

A.14B.13

C.12D.10

【答案】B

【解析】方程αr2+2x+?=0有實(shí)數(shù)解的情況應(yīng)分類討論.①當(dāng)”=0時，方程為一元一次

方程2x+%=0,不論匕取何值，方程一定有解.此時匕的取值有4個，故此時有4個有序

數(shù)對.

②當(dāng)今0時，需要/=4-4α杞0,即顯然有3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為（1,2）,

（2,1）,（2,2）.時,（a,6）共有3x4=12（個）實(shí)數(shù)對，故存0時滿足條件的實(shí)數(shù)對有12—3

=9（個），所以答案應(yīng)為4+9=13.

故選B.

23.（2021?湖北模擬）從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個互不相等的數(shù)α,b組成復(fù)

數(shù)”十歷，其中虛數(shù)的個數(shù)是.

【答案】36

【解析】因?yàn)椤?左為虛數(shù)，所以厚0,即b有6種取法，。有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)

原理知可以組成6x6=36個虛數(shù).

24.（2021?煙臺模擬）從T,0,l,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)於）=0x2+?r+c的系

數(shù)，則可組成個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有個（用數(shù)字作答）.

【答案】186

【解析】一個二次函數(shù)對應(yīng)著α,b,c（α邦）的一組取值，。的取法有3種，匕的取法有3種，

c?的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3x3x2=18（個）二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函

數(shù)，則〃=0,同上可知共有3x2=6（個）偶函數(shù).

25.（2021.麻城市高三聯(lián)考）有A,B,C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的

技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型

電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有

種（用數(shù)字作答）.

【答案】8

【解析】由于丙、丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個操作人員中選3人去操作這

三種型號的電腦''這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類：

第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的

型號，有2x2=4種方法；

第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人分別去操作這三種

型號的電腦，有2種方法；

第3類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人分別去操作這三種型號的電腦，只有1種方法;

第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+2+1+1=8種選派方法.

26.（2021?山東滕州模擬）工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置

的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓，則不同的固定

螺栓方式的種數(shù)是.

∕?32??

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??56?∕

【答案】60

【解析】根據(jù)題意，第一個可以從6個螺栓里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會

相等的，若第一個選1號螺栓，第二個可以選3,4,5號螺栓，依次選下去，共可以得到

10種方法，所以總共有10x6=60（種）方法.

14.2排列、組合

L計(jì)算e+c}+α+cs的值為（用數(shù)字作答）.

【答案】210

【解析】原式=d+α+c8=c3+c8=c%=cio=2io.

2.（2021?山東模擬）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言，那

么全班共寫了條畢業(yè)留言.（用數(shù)字作答）

【答案】1560

【解析】由題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所

以全班共寫了A?=40×39=l560（條）畢業(yè)留言.

3.（2021?太原聯(lián)考）高三要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演

出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）

A.1800B.3600

C.4320D.5040

【答案】B

【解析】先排除舞蹈節(jié)目以外的5個節(jié)目，共A?種，再把2個舞蹈節(jié)目插在6個空位中，

有A薪中,所以共有AgAV=3600（種）.故選B.

4.（2021?湖北襄陽模擬）用1,2,3,4,5這五個數(shù)字，可以組成比20OOo大，并且百位

數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有（）

A.96個B.78個C.72個D.64個

【答案】B

【解析】根據(jù)題意知，要求這個五位數(shù)比20000大，則萬位數(shù)必須是2,3,4,5這4個數(shù)

字中的一個，

當(dāng)萬位數(shù)是3時，百位數(shù)不是數(shù)字3,符合要求的五位數(shù)有Aj=24（個）；

當(dāng)萬位數(shù)是2,4,5時，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3,則符合要求的五位數(shù)有3'仆才一用）=54（個）,

因此共有54+24=78（個）這樣的五位數(shù)符合要求.故選B.

5.（2021.南寧、柳州聯(lián)考）從｛1,2,3,…,10｝中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個相鄰,

則不同的選法種數(shù)是（）

A.72B.70

C.66D.64

【答案】D

【解析】從｛1,2,3,…，10｝中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有α?C｝+C｝?C2=

56種選法，三個數(shù)相鄰共有?=8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56+8=64種選法.故

選D.

6.（2021.遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位

女生入選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）

【答案】16

【解析】從2位女生，4位男生中選3人，共有C薪中情況，沒有女生參加的情況有C?種，

故共有C2—&=20—4=16（種）.

7.（2021?成都診斷）從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一

人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時，他們

參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】5040

【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論，若甲、乙之中只有一人參加，有C%C2?Ag=36OO（種）；

若甲、乙兩人都參加，有C9?A2?AT1440（種）.則不同的安排種數(shù)為3600+1440=5040.

8.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)

為（）

A.300B.2I6

C.180D.162

答案C

【解析】（1）分兩類：第一類，不取0,即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有

重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有CksA?=72（個）符合要求的四位數(shù)；

第二類，取0,此時2和4只能取一個，再取兩個奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有CbC$（Ai—Ag）=108（個）符合要求的四位數(shù).

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72+108=180（個）.故選C.

9.（2022?陜西榆林高三月考）3個女生和5個男生排成一排.

（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？

（4）如果甲必須排在乙的右面（可以不相鄰），有多少種不同的排法？

【解析】（1）3個女生全部排在一起，可以把她們看作一個整體，再和5個男生排列，共有

6個元素，排成一排有種不同的排法，故共有4國=4320種不同的排法；

（2）先把5個男生排列，共有種不同的排法；5個男生排列共有6個空位置，將3個女

生插到6個空位置，共有屋，故共有144。0種不同的排法；

（3）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能選2個男生，有&種不同的排法，而對于6個位

置排列共有4種不同的排法，故共有8人=14400種不同的排法；

（4）因?yàn)?人排列，其中2人順序固定，故共有履?一？=20160種不同的排法.

10.國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢

業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校

去任教，有種不同的分派方法.

答案90

解析先把6個畢業(yè)生平均分成3組,有筆F=15（種）方法.再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，

有Aj=6（種）方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有強(qiáng)F?Aj=90（種）分派方法.

11.（2021.湖北武漢期中）數(shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)

先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思

想“世界數(shù)字通史”，"幾何原本”，"什么是數(shù)學(xué)“四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每

學(xué)年至多選用1,大一到大三三學(xué)年必須將四門］選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式

有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【解析】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1』,2或0,1,3或

0,2,2若是1,1,2,則先將4門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個學(xué)年共有

國種不同分配方式由乘法原理可得共有-??用=36種，若是0,1,3,則先將4門學(xué)

科分成三組共C：C；種不同方式，再分配到三個學(xué)年共有國種不同分配方式，由乘法原理可

C2C2

得共有C：C[A；=24種，若是0,2,2,則先將門學(xué)科分成三組共UyZ種不同方式，再分

A）

C2C2

配到三個學(xué)年共有可種不同分配方式，由乘法原理可得共有一≠?聞=18種

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種，故選B.

12.若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有種不

同的分法.

【答案】360

【解析】將6名教師分組，分三步完成：

第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有&種取法；

第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Cg種取法；

第3步，余下的3名教師作為一組，有Cy種取法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CACgej=60種取法.再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有AW=

6種分法，故共有60x6=360種不同的分法.

13.（2021?浙江鎮(zhèn)海模擬）3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1

個村，每個村至少1人，則不同的分配方案共有（）

A.4種B.5種C.6種D.8種

【答案】C

【解析】先將3名大學(xué)生分成2組有CkG種分法，再分配到2個村有A芥中分法，則不同的

分配方案共有Ci?C?AH6種.故選C.

14.（2021?昆明診斷）某班星期三上午要上五節(jié)課，若把語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語這五

門課安排在星期三上午，數(shù)學(xué)必須比化學(xué)先上，則不同的排法有（）

A.60種B.30種C.120種D.24種

【答案】A

【解析】把語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語這五門課程任意排列，有Ag=120種情況，其

中數(shù)學(xué)排在化學(xué)之前和數(shù)學(xué)排在化學(xué)之后的情況數(shù)目是相同的，則數(shù)學(xué)比化學(xué)先上的排法有

號120=60種.故選A.

15.（2021.安徽合肥模擬）從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女

生入選，則不同的選法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】16

【解析】法一可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CIa=I2

種；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有C支1=4種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，

至少有1位女生入選的不同的選法有12+4=16種.

法二從6人中任選3人，不同的選法有&=20種，從6人中任選3人都是男生，不同的

選法有日=4種，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20—4=16種.

16.（2021.福州調(diào)研）6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.144B.120

C.72D.24

【答案】D

【解析】“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的

坐法種數(shù)為Aj=4x3x2=24.故選D.

17.（2021.遼寧本溪模擬）將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6個小球放入3個不同的盒子中.

若每個盒子放2個，其中標(biāo)號為1,2的小球放入同一盒子中，則不同的方法共有（）

A.12種B.16種

C.18種D.36種

【答案】C

【解析】先將標(biāo)號為1,2的小球放入盒子，有3種情況；再將剩下的4個球平均放入剩下

的2個盒子中，共有筆?A2=6（種）情況，所以不同的方法共有3x6=18（種）.故選C.

18?（2021?洛陽高三第一次統(tǒng)考）某校有4個社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有3名同學(xué)，每

人只選報(bào)1個社團(tuán)，恰有2個社團(tuán)沒有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法有種.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【解析】第一步，選2名同學(xué)報(bào)名某個社團(tuán)，有CwCJ=I2種報(bào)法；第二步，從剩余的3個

社團(tuán)里選一個社團(tuán)安排另一名同學(xué)，有CgC∣=3種報(bào)法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有12x3=

36種報(bào)法.

19?（2021?臨川一中模擬）十三屆全國人大二次會議于2019年3月5日至15日在北京召開，

會議期間工作人員將其中的5個代表團(tuán)人員（含A,B兩市代表團(tuán)）安排至“，〃，c三家賓館

入住，規(guī)定同一個代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個代表團(tuán)入住，若A,8

兩市代表團(tuán)必須安排在“賓館入住，則不同的安排種數(shù)為（）

A.6B.12

C.16D.18

【答案】B

【解析】如果僅有4,B入住。賓館，則余下三個代表團(tuán)必有2個入住同一個賓館，此時共

有C3A3=6（種）安排數(shù)，如果有A,B及其余一個代表團(tuán)入住α賓館，則余下兩個代表團(tuán)入

住6,c,此時共有C!AW=6（種）安排數(shù)，綜上，共有不同的安排種數(shù)為12.故選B.

20.（2021?江蘇高三一輪聯(lián)考）從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中任選2名同學(xué)參加活動，若選

出的2名同學(xué)中至少有1名男同學(xué)，則不同的選法共有（）

A.3種B.7種C.10種D.12種

【答案】B

【解析】從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中任選2名同學(xué)參加活動共有C；=10種，

全是女生共有=3種，所以至少有1名男同學(xué)共有10-3=7種.故選B.

21.（2021?廣東高三模擬）某校A、B、C、D、E五名學(xué)生分別上臺演講，若A須在B前面出場，

且都不能在第3號位置，則不同的出場次序有（）種.

A.18B.36C.60D.72

【答案】B

【解析】因?yàn)锳在B的前面出場，且A,8都不在3號位置，則情況如下：

①A在1號位置，8又2、4、5三種位置選擇，有3A；=18種次序；

②A在2號位置，5有4,5號兩種選擇，有2用=12種次序;

③A在4號位置，5有5號一種選擇，有A；=6種;

故共有18+12+6=36種.故選B.

22.（2021?河南洛陽高三四模）某市從彈優(yōu)秀教師中選派單同時去日個災(zāi)區(qū)支教（每地口太）,

其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案的種數(shù)為（）

A.1680B.960C.600D.480

【答案】C

【解析】若甲去，則乙不去，丙去，此時不同的選派方法數(shù)為240種，

若甲不去，則乙可能去也可能不去，丙不去，此時不同的選派方法數(shù)為用=360種.

綜上所述，不同的選派方法數(shù)為360+240=600種.故選C.

23.（2021?廣西柳州高三三模）尊老一直都是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).高三二班全體同學(xué)走進(jìn)縣

敬老院開展公益活動，全班分成五個小組分別完成掃地、擦窗戶等五項(xiàng)不同任務(wù),根據(jù)需要，

一小組不擦窗戶，則不同的任務(wù)安排方案種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【答案】96

【解析】由題意，一小組不擦窗戶，則一小組的安排方案有4種，將剩下的四個組安排到其

他四項(xiàng)任務(wù)，有A：=24種安排方案，則共有4x24=96種不同的安排方案.

24.（2021.江西高三聯(lián)考）新冠疫情防控期間，某中學(xué)安排甲、乙，丙等7人負(fù)責(zé)某個周一至

周日的師生體溫情況統(tǒng)計(jì)工作，每天安排一人，且每人負(fù)責(zé)一天.若甲、乙、丙三人中任意兩

人都不能安排在相鄰的兩天，且甲安排在乙，丙之間，則不同的安排方法有種（用數(shù)

字作答）.

【答案】480

【解析】選將甲、乙、丙之外的四人進(jìn)行排列，共有A：種方法，再用甲、乙、丙插空，甲在中

間,有C；A；種方法，故共有A：C；A；=480.

25.某商場安排甲乙兩名員工，在門口為沒隨身攜帶口罩的顧客發(fā)放口罩.昨天，兩人共領(lǐng)到

編號1~10的10個口罩，每人5個，放在盒子里，自上而下依次發(fā)放，且甲乙二人發(fā)放是隨

機(jī)的.若10個口罩恰好發(fā)完，則不同的發(fā)放順序有種.

【答案】252

【解析】由題意可知，10個口罩被隨機(jī)分成五個和五個，然后再分給甲乙兩名員工,

年??&=黨=252種.

所以共有

26.（2021?陜西渭南二模）以“全民全運(yùn)同心同行”為主題口號的第十四屆全國運(yùn)動會將2021

年9月15日至27日在陜西舉行.組委會安排ARCRE五名工作人員到我市三個比賽

場館做準(zhǔn)備工作，每個場館至少口木，則不同的安排方法有（）

A.150種B.210種C.240種D.300種

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：第一步：分成3組，每組至少一人.

（1）按照一組3人，其他兩組各1人,共有Cj=IO種情況；

（2）按照一組1人，其他兩組各2人，共有=15種情況.

6

故共有10+15=25種分組方案;

第二步：排序.

將分好的三組進(jìn)行全排列，分到三個不同的比賽場館，共A；=6種排法.

故五名工作人員到三個比賽場館，每個場館至少1人，不同的安排方法共有25x6=150種.

故選A.

27.在大課間風(fēng)采展示中，某班級準(zhǔn)備了2個舞蹈，2個獨(dú)唱，1個小品，共5個節(jié)目.要求相

同類型的節(jié)目不能相鄰，那么節(jié)目的不同演出順序共有種.

【答案】48

【解析】5個節(jié)目的出場順序共有g(shù)=120種，其中舞蹈節(jié)目相鄰出場的有用用=48種，

獨(dú)唱節(jié)目相鄰出場的有=48種，舞蹈節(jié)目相鄰出場且獨(dú)唱節(jié)目也相鄰出場的有

月用用=24種，所以相同類型的節(jié)目不能相鄰的出場順序有120-48—48+24=48種，

28.（2021?河北辛集中學(xué)期中）已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標(biāo)有編號

1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11,則不同的放球方法種

數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【答案】C

【解析】因?yàn)?+4+5=11或1+2+3+5=11

所以5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中

（1）5個球放到編號2、4、5的三個盒子中，因?yàn)槊總€盒子中至少放一個小球，所以在三

個盒子中有兩種方法：

各放1個，2個，2個的方法有G?Q?H=學(xué)=x3x2xl=90種.

A；2x1

各放3個，1個，1個的方法有Qqc?閥J°x2xl-3x2x1=60種.

￡2×1

（2）5個球放到編號1、2、3、5的四個盒子中，則各放2個，1個，1個，1個的方法有

C^C?C?C?4410×3×2×l/CC,

51.√r=---------------------×4×3×2×1=240種.

643×2×1

綜上，總的放球方法數(shù)為90+60+240=390種.故選C.

29.（2021?甘肅靖遠(yuǎn)模擬）疫情防控期間，某中學(xué)從9位（包含甲、乙、丙、?。┬姓藛T中選出

6人負(fù)責(zé)某月1日到6日的學(xué)生體溫情況統(tǒng)計(jì)工作，每人各1天，其中甲、乙、丙、丁四人必

須選中，且甲、乙兩人不能安排在相鄰的兩天，丙、丁兩人也不能安排在相鄰的兩天，則不同

的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】3360

【解析】余下5人選2人，即C；,6人全排，即《'，所以共有C14=7200種，

甲乙捆綁一起，即A；,丙丁捆綁一起，即用,

2個組合與另外2人全排，即用，故8?&?M?C==960;

甲乙捆綁一起，與另外4人全排，即&?g?C=2400;

丙丁捆綁一起，與另外4人全排，即&?g?C=2400;

所以符合條件的有7200-(2400+2400-960)=3360種.

14.3二項(xiàng)式定理

1.(2021?遼寧模擬)在(5—2)5的展開式中，％2的系數(shù)為()

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】5+I=C§3)5-，(-2)，=C笈甘r?(-2)l令?=2,.?.r=l./的系數(shù)為C!(-2)∣=

一10.故選C.

2.(2021.江蘇金陵模擬)若(l+3x)"(其中"∈N且〃≥6)的展開式中％5與f的系數(shù)相等，則〃

【答案】7

【解析】(l+3x)"的展開式中含爐的項(xiàng)為C煎3x)5=G35√,展開式中含3的項(xiàng)為C936Λ

由兩項(xiàng)的系數(shù)相等得CQ5=cQ6,解得〃=7.

(V-A)4

3.(2021?北京Tll)X的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

【答案】-4

(x3-I)44rrr24r

τTr+f=q?(√)-?(-i)=(-D?q?√-

【解析】設(shè)X展開式的通項(xiàng)為則X

令12—4r=0得r=3.開式中常數(shù)項(xiàng)為：(-1齊仁=-4

4.(2021.福建高三三模)已知［+g)(l+x)5展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則實(shí)數(shù)。=

;展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】16

【解析】令x=l,可得(α+1("K展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和為32(α+l)=64,則實(shí)數(shù)

。=1.展開式中常數(shù)項(xiàng)為"以+<^=1+5=6,

5.(2021?河南聯(lián)考)已知(3x—l)"展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且"為偶數(shù)，則(3x—1)"

展開式中f的系數(shù)為()

A.-252B.252C.-28D.28

【答案】B

【解析】由題意可得〃=8,則(3χ-l)8的展開式的通項(xiàng)是7；+I=Ca(3x)8F(—1)「,令8—r=2,

解得r=6,則展開式中X2的系數(shù)為C832=252.故選B.

6.(1+2x)5的展開式中，f的系數(shù)為.

答案：40

解析：/+∣=G(2Xy=C然也當(dāng)&=2時,帝的系數(shù)為CQ2=40.

7.已知(x+l)∣°="i+α2x+α3X2+…+4TlXn).若數(shù)列02,