2023屆老高考數(shù)學(xué)練習(xí)題：第十四單元 計(jì)數(shù)原理

第十四單元計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

14.1計(jì)數(shù)原理

1.（2021?遼寧模擬）已知集合M={l,-2,3}，TV={-4,5,6,一7},從M,N這兩個(gè)集合中各

選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二

象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.8

C.6D.4

【答案】C

【解析】分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況,

因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3x2=6,故選C.

2.（2021.安徽合肥模擬）從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為.

【答案】18

【解析】分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2

種選擇，共有3x2x2=12（個(gè)）奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，

百位有1種選擇，共有3x2x1=6（個(gè)）奇數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12+6=18（個(gè)）

奇數(shù).

?2

3.（2021?河南鄭州模擬）若橢圓'+I=I的焦點(diǎn)在y軸上，且∕π∈{1,2,3,4,5）,

n∈{1,2,3,4,5,6,7},則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為.

【答案】20

【解析】當(dāng)〃?=1時(shí)，“=2,345,6,7,共6個(gè);

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，"=3,4,5,6,7,共5個(gè)；

當(dāng)％=3時(shí)，N=4,5,6,7,共4個(gè)；

當(dāng)m=4時(shí),"=5,6,7,共3個(gè);

當(dāng)膽=5時(shí)，”=6,7,共2個(gè).故共有6+5+4+3+2=20（個(gè)）滿足條件的橢圓.

4.（2021?浙江寧波質(zhì)檢）已知α∈{l,2,3},b∈{4,5,6,7},則方程（X—。α+。，一切2=4可表示

不同的圓的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.9

C.12D.16

【答案】C

【解析】得到圓的方程分兩步：第一步：確定。有3種選法；第二步：確定b有4種選法,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3x4=12（個(gè)）.故選C.

4.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩

塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有.

答案:48

解析：不同的著色方法共有4x3x2x（l+l）=48種.

5.（2021.江蘇南通模擬）為了強(qiáng)化勞動(dòng)觀念，弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，某班級(jí)決定利用班會(huì)課時(shí)間進(jìn)

行勞動(dòng)教育.現(xiàn)要購買鐵鍬、鋤頭、鐮刀三種勞動(dòng)工具共10把，每種工具至少購買1把，則不

同的選購方法共有種.

【答案】36

【解析】設(shè)購買鐵鍬X把，鋤頭y把，鐮刀目把，則χ+y+z=ι°,

當(dāng)χ=ι時(shí)，y+z=9,有8種選購方法；

當(dāng)x=2時(shí)，y+z=8,有7種選購方法；

以此類推，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36種不同的選購方法.

6.如果一個(gè)三位正整數(shù)如“0。2的“滿足0<他，且G>"3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120,

343,275等），那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為.

解析：若z=2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1或0,“凸數(shù)”為120與⑵，共2個(gè).

若S=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2x3=6（個(gè)）.若“2=4,

滿足條件的“凸數(shù)”有3x4=12（個(gè)），…，若6=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8x9=72（個(gè)）.所以所

有凸數(shù)共有2+6+12+20+30+42+56+72=240（個(gè)）.

答案:240

7.（2021.浙江溫州高三適應(yīng)性測試）已知關(guān)于單方程打一。|+打一母=卜一μ+卜—4有且

僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，其中互不相同的實(shí)數(shù)。、b、c、d∈{l,2,3,4,5,6},且Iaw=IC

則。、b、c、d的可能取值共有種.（請(qǐng)用數(shù)字作答）

【答案】56

【解析】方程∣x-α∣+∣x-b|=|x—c|+|x—M有且只有一個(gè)實(shí)根，

由絕對(duì)值三角不等式可得|%—4+|%一4≥∣（x-a）-（X—人）|=|。一可，

|x—c∣+∣x-<7∣≥∣（x-c）-（x—J）∣=?c-d?,

因?yàn)?一。I=Ic-4，考慮α<h,c<d,

a+b-2x,x≤ac+d-2x,x≤c

因?yàn)镮X_4+卜_.=<b-a,a<x<b?x-c?+?x-d?=<d-c,c<x<d

2x-^a+b^,x≥b2x-(^c+d^,x≥d

作出函數(shù)y=∣x-α∣+∣x-b∣與函數(shù)y=∣x—d+∣x-d∣如下圖所示:

則有b<c或d<α?

若3力)=(1,2),則(c,m(c,d)的可能情況有：(3,4),(4,5),(5,6);

若(“力)=(2,3),則(C⑷可能的情況有：(4,5),(5,6);

若(4力)=(3,4),則(c,J)=(5,6);

若(α,b)=(l,3),則(c,J)=(4,6).

考慮α力的大小，有2種情況；考慮c、d的大小，有號(hào)中情況；考慮他力)、(c,少的位置,

有2種情況.綜上所述，。、b、c、d的可能取值共有7X2x2x2=56種.

8.(2021?山東泰安肥城高三適應(yīng)性訓(xùn)練)某新聞采訪組由擊記者組成，其中甲、乙、丙、丁

為成員，戊為組長.甲、乙、丙、丁分別來自4B、a。四個(gè)地區(qū).現(xiàn)在該新聞采訪組要到

A、B、C、。四個(gè)地區(qū)去采訪，在安排采訪時(shí)要求：一地至少安排一名記者采訪且組長不

單獨(dú)去采訪；若某記者要到自己所在地區(qū)采訪時(shí)必須至少有一名記者陪同.則所有采訪的不

同安排方法有種.

【答案】44

【解析】分兩類:①甲，乙，丙,丁都不到自己的地區(qū)，組長可任選一地有(3χ3χlχl)χ4=36;

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地區(qū)，并有組長陪同有(2*lχl)*4=8.

所以總數(shù)36+8=44.

9.（2021?遼寧高三壓軸試卷）用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)

字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.81B.48C.36D.24

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，分2種情況討論：

①數(shù)字3不出現(xiàn)，此時(shí)四位數(shù)的每個(gè)數(shù)位都可以為6或9,都有2種情況，

則此時(shí)四位數(shù)有2x2x2x2=16個(gè)；

②數(shù)字3出現(xiàn)1次，則數(shù)字3出現(xiàn)的情況有4種，剩下的三個(gè)數(shù)位，可以為6或9,都有2

種情況，此時(shí)四位數(shù)有4x2x2x2=32個(gè)，

故有16+32=48個(gè)四位數(shù).故選B.

10.將邊長為3的正方形ABC。的每條邊三等分,使之成為3×3表格.將其中6個(gè)格染成黑色，

使得每行每列都有兩個(gè)黑格的染色方法的種數(shù)為（）

A.12B.6C.36D.18

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可按照列選擇染色的元素，第一列可有3種選擇方式，第一列方格標(biāo)號(hào)為

1,2,3.當(dāng)?shù)谝涣羞x定時(shí)比如選定1,2,第二列有兩種選擇，染第一行和第三行，或者染第

二行和第三行，當(dāng)?shù)诙写_定時(shí).，第三列也就確定了.故共3x2=6種染色方法.故選B.

11.（2021?四川眉山模擬）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，

圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成），

ΔABE,?BCF,NCDG,ΔDAH這4個(gè)角形和“趙爽弦圖"ABCo涂色，且相鄰區(qū)域（即

圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇.則不同的涂色方法種數(shù)是

（）

【答案】C

【解析】設(shè)“趙爽弦圖"ABCz）為①區(qū)，ΔABE,ΔBCF,?CDG,Δ∩4∕/這4個(gè)三角形

分別為②、③、④、⑤區(qū).

第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.

第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.

第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.

第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色時(shí)，⑤區(qū)有2種涂色方法.

若④區(qū)與②區(qū)不同色時(shí)，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.

由分類、分步計(jì)數(shù)原理可得共有4x3*2χ(2+1X1)=72.故選C.

12.在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)比如“102”，

“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個(gè).

答案：8

解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213,214,312,314,412,413,共6個(gè)；十位上的數(shù)為2

時(shí)，有324,423,共2個(gè)，所以共有6+2=8(個(gè)).

13.(2021?山東泰安肥城高三適應(yīng)性訓(xùn)練)某新聞采訪組由5名記者組成，其中甲、乙、丙、

丁為成員，戊為組長.甲、乙、丙、丁分別來自AB、a。四個(gè)地區(qū).現(xiàn)在該新聞采訪組要到

A、B、C、。四個(gè)地區(qū)去采訪，在安排采訪時(shí)要求：一地至少安排一名記者采訪且組長不

單獨(dú)去采訪；若某記者要到自己所在地區(qū)采訪時(shí)必須至少有一名記者陪同.則所有采訪的不

同安排方法有種.

【答案】目

【解析】分兩類:①甲，乙，丙，丁都不到自己的地區(qū)，組長可任選一地有(3*3χlχl)χ4=36;

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地區(qū)，并有組長陪同有(2χlχl)χ4=8.

所以總數(shù)36+8=44.

14.如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)

在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，

相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有（）

A.24種B.72種C.84種D.120種

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為力，B,C,D,按A—->B-->C-->D

順序涂色，下面分兩種情況：

（I）A,C不同色（注意：B,Z）可同色、也可不同色，￡）只要不與A,C同色，

所以。可以從剩余的2種顏色中任意取一色）：有4×3×2×2≈48種不同的涂法.

（2）A,C同色（注意：B,。可同色、也可不同色，。只要不與A,C同色，所以?？梢詮氖?/p>

余的3種顏色中任意取一色）：有4x3x1x3=36種不同的涂法，故共有48+36=84種不同的

涂色方法.故選C.

15.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B,C,。中選

擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從O?9這十個(gè)數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），若車主第一個(gè)號(hào)碼（從左

到右）只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的

車牌號(hào)碼的所有可能情況有（）

A.180種B.360種C.720種D.960種

【答案】D

【解析】由題意知，按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3

種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有5×3×4×4×4=

960（種）.故選D.

16.若"1,"均為非負(fù)整數(shù)，在做加+”的加法時(shí)各位均不進(jìn)位（例如：134+3802=3936）,

則稱（〃?，〃）為“簡單的”有序?qū)?，而?〃稱為有序?qū)Γ╩,N）的值,那么值為1942的“簡單的”

有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是.

答案：300

解析：第I步，1=1+0,1=0+1,共2種組合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共K）種組合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，值為1942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是2×10×5×3=300.

17.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)尸（“，刀的坐標(biāo)滿足α≠b,且α,匕都是集合｛1,2,3,4,5,

6｝中的元素.又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離IoPIN5,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.

答案：20

解析：依題意可知，

當(dāng)a=l時(shí)，b=5,6,兩種情況；

當(dāng)α=2時(shí)，b=5,6,兩種情況；

當(dāng)α=3時(shí)，6=4,5,6,三種情況；

當(dāng)α=4時(shí)，b=3,5,6,三種情況：

當(dāng)α=5或6時(shí)，〃各有五種情況.

所以共有2+2+3+3+5+5=20（種）情況.

18.（2022.江蘇南京市建鄴中學(xué)高三月考）某地為了慶祝建黨Ioo周年，將在7月1日舉行大

型慶典活動(dòng).為了宣傳報(bào)道這次活動(dòng)，當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)準(zhǔn)備派出甲、乙等4名記者進(jìn)行采訪報(bào)道，

工作過程中的任務(wù)劃分為“攝像”、“采訪"、"剪輯''三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加.已知

甲、乙不會(huì)“剪輯”但能從事其他兩項(xiàng)工作，其余兩人三項(xiàng)工作都能勝任，則不同安排方案的

種數(shù)是.

【答案】目

【解析】若參與“剪輯”工作的有1人，則不同的分配方法數(shù)為2x（23—2）=12；

若參與“剪輯，，工作的有2人，則不同的分配方法數(shù)為2種.

綜上所述，不同安排方案的種數(shù)是12+2=14種.

19.（2022?浙江溫州開學(xué)摸底考試）把編號(hào)為i（i=L2,3,4,5）的五個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為

/（/=1,2,3,4,5）的五個(gè)盒子，每盒一個(gè)小球，若滿足∣i1∕∣≤2,則不同的放法共有

________種.

【答案】31

【解析】∣i-∕l>2的所有可能包括:z=l,J=4,5；Z=2,y=5;∕=4,y=l;z=5,y=l,2.

（1）盒1放球1時(shí)，剩下的盒子依次記為盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

2345,3245,4235,2354,3254,4253,2435,3425,4325,2453,2534,3524,4523,2543

（其中球5不能放在盒2,不用列舉.而3452,4352,3542,4532滿足∣i-/1>2,應(yīng)舍去）

共14種；

（2）盒1放球2時(shí)，剩下的盒子依次記為盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

1345,3145,4135,1354,3154,4153,1435,1453,1534,1543（其中球5不能放在盒2,

不用列舉.而3415,4315,3451,4351,3514,4513,3541,4531滿足Ii-JI>2,應(yīng)舍去）

共10種；

（3）盒1放球3時(shí)，剩下的盒子依次記為盒2、盒3、盒4、盒5,剩下四球的所有排列：

1245,2145,4125,1254,2154,1425,1524,（其中球5不能放在盒2,不用列舉.而4152,

2415,4215,1452,2454,4251,2514,4512,1542,5241,4521滿足∣i-√|>2,應(yīng)舍去）

共7種;所以共有14+10+7=31種.

20.（2021?廣東清遠(yuǎn)模擬）從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選

法種數(shù)為（）

A.6B.5

C.3D.2

【答案】B

【解析】5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法.故選B.

21.（2021?天津模擬）從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加，其和

為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為（）

A.30B.20

C.10D.6

【答案】D

【解析】從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字的和為偶數(shù)可分為兩類：

第一類，取出的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，有。和2,O和4,2和4,共3種不同的取法；

第二類，取出的兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，有1和3,1和5,3和5,共3種不同的取法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3+3=6種不同的取法.故選D.

22.（2021?湖北襄陽模擬）滿足α,b∈{T,0,l,2},且關(guān)于X的方程OΛ2+2Λ+6=0有實(shí)數(shù)

解的有序數(shù)對(duì)（α,份的個(gè)數(shù)為（）

A.14B.13

C.12D.10

【答案】B

【解析】方程αr2+2x+?=0有實(shí)數(shù)解的情況應(yīng)分類討論.①當(dāng)”=0時(shí)，方程為一元一次

方程2x+%=0,不論匕取何值，方程一定有解.此時(shí)匕的取值有4個(gè)，故此時(shí)有4個(gè)有序

數(shù)對(duì).

②當(dāng)今0時(shí)，需要/=4-4α杞0,即顯然有3個(gè)有序數(shù)對(duì)不滿足題意，分別為（1,2）,

（2,1）,（2,2）.時(shí),（a,6）共有3x4=12（個(gè)）實(shí)數(shù)對(duì)，故存0時(shí)滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)有12—3

=9（個(gè)），所以答案應(yīng)為4+9=13.

故選B.

23.（2021?湖北模擬）從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)α,b組成復(fù)

數(shù)”十歷，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是.

【答案】36

【解析】因?yàn)椤?左為虛數(shù)，所以厚0,即b有6種取法，。有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)

原理知可以組成6x6=36個(gè)虛數(shù).

24.（2021?煙臺(tái)模擬）從T,0,l,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)於）=0x2+?r+c的系

數(shù)，則可組成個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）.

【答案】186

【解析】一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著α,b,c（α邦）的一組取值，。的取法有3種，匕的取法有3種，

c?的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3x3x2=18（個(gè)）二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函

數(shù)，則〃=0,同上可知共有3x2=6（個(gè)）偶函數(shù).

25.（2021.麻城市高三聯(lián)考）有A,B,C型高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲、乙、丙、丁4個(gè)操作人員的

技術(shù)等級(jí)不同，甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型電腦，而丁只會(huì)操作A型

電腦.從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有

種（用數(shù)字作答）.

【答案】8

【解析】由于丙、丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個(gè)操作人員中選3人去操作這

三種型號(hào)的電腦''這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類：

第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的

型號(hào)，有2x2=4種方法；

第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人分別去操作這三種

型號(hào)的電腦，有2種方法；

第3類，選甲、丙、丁3人，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，只有1種方法;

第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+2+1+1=8種選派方法.

26.（2021?山東滕州模擬）工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置

的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓，則不同的固定

螺栓方式的種數(shù)是.

∕?32??

<?41?>

??56?∕

【答案】60

【解析】根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)螺栓里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)

相等的，若第一個(gè)選1號(hào)螺栓，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)螺栓，依次選下去，共可以得到

10種方法，所以總共有10x6=60（種）方法.

14.2排列、組合

L計(jì)算e+c}+α+cs的值為（用數(shù)字作答）.

【答案】210

【解析】原式=d+α+c8=c3+c8=c%=cio=2io.

2.（2021?山東模擬）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言，那

么全班共寫了條畢業(yè)留言.（用數(shù)字作答）

【答案】1560

【解析】由題意知兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所

以全班共寫了A?=40×39=l560（條）畢業(yè)留言.

3.（2021?太原聯(lián)考）高三要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演

出順序，要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）

A.1800B.3600

C.4320D.5040

【答案】B

【解析】先排除舞蹈節(jié)目以外的5個(gè)節(jié)目，共A?種，再把2個(gè)舞蹈節(jié)目插在6個(gè)空位中，

有A薪中,所以共有AgAV=3600（種）.故選B.

4.（2021?湖北襄陽模擬）用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20OOo大，并且百位

數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有（）

A.96個(gè)B.78個(gè)C.72個(gè)D.64個(gè)

【答案】B

【解析】根據(jù)題意知，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則萬位數(shù)必須是2,3,4,5這4個(gè)數(shù)

字中的一個(gè)，

當(dāng)萬位數(shù)是3時(shí)，百位數(shù)不是數(shù)字3,符合要求的五位數(shù)有Aj=24（個(gè)）；

當(dāng)萬位數(shù)是2,4,5時(shí)，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3,則符合要求的五位數(shù)有3'仆才一用）=54（個(gè)）,

因此共有54+24=78（個(gè)）這樣的五位數(shù)符合要求.故選B.

5.（2021.南寧、柳州聯(lián)考）從｛1,2,3,…,10｝中選取三個(gè)不同的數(shù)，使得其中至少有兩個(gè)相鄰,

則不同的選法種數(shù)是（）

A.72B.70

C.66D.64

【答案】D

【解析】從｛1,2,3,…，10｝中選取三個(gè)不同的數(shù)，恰好有兩個(gè)數(shù)相鄰，共有α?C｝+C｝?C2=

56種選法，三個(gè)數(shù)相鄰共有?=8種選法，故至少有兩個(gè)數(shù)相鄰共有56+8=64種選法.故

選D.

6.（2021.遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位

女生入選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）

【答案】16

【解析】從2位女生，4位男生中選3人，共有C薪中情況，沒有女生參加的情況有C?種，

故共有C2—&=20—4=16（種）.

7.（2021?成都診斷）從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一

人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們

參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】5040

【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論，若甲、乙之中只有一人參加，有C%C2?Ag=36OO（種）；

若甲、乙兩人都參加，有C9?A2?AT1440（種）.則不同的安排種數(shù)為3600+1440=5040.

8.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)

為（）

A.300B.2I6

C.180D.162

答案C

【解析】（1）分兩類：第一類，不取0,即從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有

重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有CksA?=72（個(gè)）符合要求的四位數(shù)；

第二類，取0,此時(shí)2和4只能取一個(gè)，再取兩個(gè)奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有CbC$（Ai—Ag）=108（個(gè)）符合要求的四位數(shù).

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72+108=180（個(gè)）.故選C.

9.（2022?陜西榆林高三月考）3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排.

（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？

（4）如果甲必須排在乙的右面（可以不相鄰），有多少種不同的排法？

【解析】（1）3個(gè)女生全部排在一起，可以把她們看作一個(gè)整體，再和5個(gè)男生排列，共有

6個(gè)元素，排成一排有種不同的排法，故共有4國=4320種不同的排法；

（2）先把5個(gè)男生排列，共有種不同的排法；5個(gè)男生排列共有6個(gè)空位置，將3個(gè)女

生插到6個(gè)空位置，共有屋，故共有144。0種不同的排法；

（3）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能選2個(gè)男生，有&種不同的排法，而對(duì)于6個(gè)位

置排列共有4種不同的排法，故共有8人=14400種不同的排法；

（4）因?yàn)?人排列，其中2人順序固定，故共有履?一？=20160種不同的排法.

10.國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢

業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校

去任教，有種不同的分派方法.

答案90

解析先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組,有筆F=15（種）方法.再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，

有Aj=6（種）方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有強(qiáng)F?Aj=90（種）分派方法.

11.（2021.湖北武漢期中）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)

先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思

想“世界數(shù)字通史”，"幾何原本”，"什么是數(shù)學(xué)“四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每

學(xué)年至多選用1,大一到大三三學(xué)年必須將四門］選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式

有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【解析】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1』,2或0,1,3或

0,2,2若是1,1,2,則先將4門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有

國種不同分配方式由乘法原理可得共有-??用=36種，若是0,1,3,則先將4門學(xué)

科分成三組共C：C；種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有國種不同分配方式，由乘法原理可

C2C2

得共有C：C[A；=24種，若是0,2,2,則先將門學(xué)科分成三組共UyZ種不同方式，再分

A）

C2C2

配到三個(gè)學(xué)年共有可種不同分配方式，由乘法原理可得共有一≠?聞=18種

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種，故選B.

12.若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有種不

同的分法.

【答案】360

【解析】將6名教師分組，分三步完成：

第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有&種取法；

第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Cg種取法；

第3步，余下的3名教師作為一組，有Cy種取法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CACgej=60種取法.再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有AW=

6種分法，故共有60x6=360種不同的分法.

13.（2021?浙江鎮(zhèn)海模擬）3名大學(xué)生利用假期到2個(gè)山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1

個(gè)村，每個(gè)村至少1人，則不同的分配方案共有（）

A.4種B.5種C.6種D.8種

【答案】C

【解析】先將3名大學(xué)生分成2組有CkG種分法，再分配到2個(gè)村有A芥中分法，則不同的

分配方案共有Ci?C?AH6種.故選C.

14.（2021?昆明診斷）某班星期三上午要上五節(jié)課，若把語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語這五

門課安排在星期三上午，數(shù)學(xué)必須比化學(xué)先上，則不同的排法有（）

A.60種B.30種C.120種D.24種

【答案】A

【解析】把語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語這五門課程任意排列，有Ag=120種情況，其

中數(shù)學(xué)排在化學(xué)之前和數(shù)學(xué)排在化學(xué)之后的情況數(shù)目是相同的，則數(shù)學(xué)比化學(xué)先上的排法有

號(hào)120=60種.故選A.

15.（2021.安徽合肥模擬）從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女

生入選，則不同的選法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】16

【解析】法一可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CIa=I2

種；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有C支1=4種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，

至少有1位女生入選的不同的選法有12+4=16種.

法二從6人中任選3人，不同的選法有&=20種，從6人中任選3人都是男生，不同的

選法有日=4種，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20—4=16種.

16.（2021.福州調(diào)研）6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.144B.120

C.72D.24

【答案】D

【解析】“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的

坐法種數(shù)為Aj=4x3x2=24.故選D.

17.（2021.遼寧本溪模擬）將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中.

若每個(gè)盒子放2個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1,2的小球放入同一盒子中，則不同的方法共有（）

A.12種B.16種

C.18種D.36種

【答案】C

【解析】先將標(biāo)號(hào)為1,2的小球放入盒子，有3種情況；再將剩下的4個(gè)球平均放入剩下

的2個(gè)盒子中，共有筆?A2=6（種）情況，所以不同的方法共有3x6=18（種）.故選C.

18?（2021?洛陽高三第一次統(tǒng)考）某校有4個(gè)社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有3名同學(xué)，每

人只選報(bào)1個(gè)社團(tuán)，恰有2個(gè)社團(tuán)沒有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法有種.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【解析】第一步，選2名同學(xué)報(bào)名某個(gè)社團(tuán)，有CwCJ=I2種報(bào)法；第二步，從剩余的3個(gè)

社團(tuán)里選一個(gè)社團(tuán)安排另一名同學(xué)，有CgC∣=3種報(bào)法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有12x3=

36種報(bào)法.

19?（2021?臨川一中模擬）十三屆全國人大二次會(huì)議于2019年3月5日至15日在北京召開，

會(huì)議期間工作人員將其中的5個(gè)代表團(tuán)人員（含A,B兩市代表團(tuán)）安排至“，〃，c三家賓館

入住，規(guī)定同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住，若A,8

兩市代表團(tuán)必須安排在“賓館入住，則不同的安排種數(shù)為（）

A.6B.12

C.16D.18

【答案】B

【解析】如果僅有4,B入住。賓館，則余下三個(gè)代表團(tuán)必有2個(gè)入住同一個(gè)賓館，此時(shí)共

有C3A3=6（種）安排數(shù)，如果有A,B及其余一個(gè)代表團(tuán)入住α賓館，則余下兩個(gè)代表團(tuán)入

住6,c,此時(shí)共有C!AW=6（種）安排數(shù)，綜上，共有不同的安排種數(shù)為12.故選B.

20.（2021?江蘇高三一輪聯(lián)考）從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中任選2名同學(xué)參加活動(dòng)，若選

出的2名同學(xué)中至少有1名男同學(xué)，則不同的選法共有（）

A.3種B.7種C.10種D.12種

【答案】B

【解析】從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中任選2名同學(xué)參加活動(dòng)共有C；=10種，

全是女生共有=3種，所以至少有1名男同學(xué)共有10-3=7種.故選B.

21.（2021?廣東高三模擬）某校A、B、C、D、E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，若A須在B前面出場，

且都不能在第3號(hào)位置，則不同的出場次序有（）種.

A.18B.36C.60D.72

【答案】B

【解析】因?yàn)锳在B的前面出場，且A,8都不在3號(hào)位置，則情況如下：

①A在1號(hào)位置，8又2、4、5三種位置選擇，有3A；=18種次序；

②A在2號(hào)位置，5有4,5號(hào)兩種選擇，有2用=12種次序;

③A在4號(hào)位置，5有5號(hào)一種選擇，有A；=6種;

故共有18+12+6=36種.故選B.

22.（2021?河南洛陽高三四模）某市從彈優(yōu)秀教師中選派單同時(shí)去日個(gè)災(zāi)區(qū)支教（每地口太）,

其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案的種數(shù)為（）

A.1680B.960C.600D.480

【答案】C

【解析】若甲去，則乙不去，丙去，此時(shí)不同的選派方法數(shù)為240種，

若甲不去，則乙可能去也可能不去，丙不去，此時(shí)不同的選派方法數(shù)為用=360種.

綜上所述，不同的選派方法數(shù)為360+240=600種.故選C.

23.（2021?廣西柳州高三三模）尊老一直都是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).高三二班全體同學(xué)走進(jìn)縣

敬老院開展公益活動(dòng)，全班分成五個(gè)小組分別完成掃地、擦窗戶等五項(xiàng)不同任務(wù),根據(jù)需要，

一小組不擦窗戶，則不同的任務(wù)安排方案種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【答案】96

【解析】由題意，一小組不擦窗戶，則一小組的安排方案有4種，將剩下的四個(gè)組安排到其

他四項(xiàng)任務(wù)，有A：=24種安排方案，則共有4x24=96種不同的安排方案.

24.（2021.江西高三聯(lián)考）新冠疫情防控期間，某中學(xué)安排甲、乙，丙等7人負(fù)責(zé)某個(gè)周一至

周日的師生體溫情況統(tǒng)計(jì)工作，每天安排一人，且每人負(fù)責(zé)一天.若甲、乙、丙三人中任意兩

人都不能安排在相鄰的兩天，且甲安排在乙，丙之間，則不同的安排方法有種（用數(shù)

字作答）.

【答案】480

【解析】選將甲、乙、丙之外的四人進(jìn)行排列，共有A：種方法，再用甲、乙、丙插空，甲在中

間,有C；A；種方法，故共有A：C；A；=480.

25.某商場安排甲乙兩名員工，在門口為沒隨身攜帶口罩的顧客發(fā)放口罩.昨天，兩人共領(lǐng)到

編號(hào)1~10的10個(gè)口罩，每人5個(gè)，放在盒子里，自上而下依次發(fā)放，且甲乙二人發(fā)放是隨

機(jī)的.若10個(gè)口罩恰好發(fā)完，則不同的發(fā)放順序有種.

【答案】252

【解析】由題意可知，10個(gè)口罩被隨機(jī)分成五個(gè)和五個(gè)，然后再分給甲乙兩名員工,

年??&=黨=252種.

所以共有

26.（2021?陜西渭南二模）以“全民全運(yùn)同心同行”為主題口號(hào)的第十四屆全國運(yùn)動(dòng)會(huì)將2021

年9月15日至27日在陜西舉行.組委會(huì)安排ARCRE五名工作人員到我市三個(gè)比賽

場館做準(zhǔn)備工作，每個(gè)場館至少口木，則不同的安排方法有（）

A.150種B.210種C.240種D.300種

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：第一步：分成3組，每組至少一人.

（1）按照一組3人，其他兩組各1人,共有Cj=IO種情況；

（2）按照一組1人，其他兩組各2人，共有=15種情況.

6

故共有10+15=25種分組方案;

第二步：排序.

將分好的三組進(jìn)行全排列，分到三個(gè)不同的比賽場館，共A；=6種排法.

故五名工作人員到三個(gè)比賽場館，每個(gè)場館至少1人，不同的安排方法共有25x6=150種.

故選A.

27.在大課間風(fēng)采展示中，某班級(jí)準(zhǔn)備了2個(gè)舞蹈，2個(gè)獨(dú)唱，1個(gè)小品，共5個(gè)節(jié)目.要求相

同類型的節(jié)目不能相鄰，那么節(jié)目的不同演出順序共有種.

【答案】48

【解析】5個(gè)節(jié)目的出場順序共有g(shù)=120種，其中舞蹈節(jié)目相鄰出場的有用用=48種，

獨(dú)唱節(jié)目相鄰出場的有=48種，舞蹈節(jié)目相鄰出場且獨(dú)唱節(jié)目也相鄰出場的有

月用用=24種，所以相同類型的節(jié)目不能相鄰的出場順序有120-48—48+24=48種，

28.（2021?河北辛集中學(xué)期中）已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)

1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11,則不同的放球方法種

數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【答案】C

【解析】因?yàn)?+4+5=11或1+2+3+5=11

所以5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中

（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三

個(gè)盒子中有兩種方法：

各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有G?Q?H=學(xué)=x3x2xl=90種.

A；2x1

各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有Qqc?閥J°x2xl-3x2x1=60種.

￡2×1

（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有

C^C?C?C?4410×3×2×l/CC,

51.√r=---------------------×4×3×2×1=240種.

643×2×1

綜上，總的放球方法數(shù)為90+60+240=390種.故選C.

29.（2021?甘肅靖遠(yuǎn)模擬）疫情防控期間，某中學(xué)從9位（包含甲、乙、丙、?。┬姓藛T中選出

6人負(fù)責(zé)某月1日到6日的學(xué)生體溫情況統(tǒng)計(jì)工作，每人各1天，其中甲、乙、丙、丁四人必

須選中，且甲、乙兩人不能安排在相鄰的兩天，丙、丁兩人也不能安排在相鄰的兩天，則不同

的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】3360

【解析】余下5人選2人，即C；,6人全排，即《'，所以共有C14=7200種，

甲乙捆綁一起，即A；,丙丁捆綁一起，即用,

2個(gè)組合與另外2人全排，即用，故8?&?M?C==960;

甲乙捆綁一起，與另外4人全排，即&?g?C=2400;

丙丁捆綁一起，與另外4人全排，即&?g?C=2400;

所以符合條件的有7200-(2400+2400-960)=3360種.

14.3二項(xiàng)式定理

1.(2021?遼寧模擬)在(5—2)5的展開式中，％2的系數(shù)為()

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】5+I=C§3)5-，(-2)，=C笈甘r?(-2)l令?=2,.?.r=l./的系數(shù)為C!(-2)∣=

一10.故選C.

2.(2021.江蘇金陵模擬)若(l+3x)"(其中"∈N且〃≥6)的展開式中％5與f的系數(shù)相等，則〃

【答案】7

【解析】(l+3x)"的展開式中含爐的項(xiàng)為C煎3x)5=G35√,展開式中含3的項(xiàng)為C936Λ

由兩項(xiàng)的系數(shù)相等得CQ5=cQ6,解得〃=7.

(V-A)4

3.(2021?北京Tll)X的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

【答案】-4

(x3-I)44rrr24r

τTr+f=q?(√)-?(-i)=(-D?q?√-

【解析】設(shè)X展開式的通項(xiàng)為則X

令12—4r=0得r=3.開式中常數(shù)項(xiàng)為：(-1齊仁=-4

4.(2021.福建高三三模)已知［+g)(l+x)5展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則實(shí)數(shù)。=

;展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】16

【解析】令x=l,可得(α+1("K展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和為32(α+l)=64,則實(shí)數(shù)

。=1.展開式中常數(shù)項(xiàng)為"以+<^=1+5=6,

5.(2021?河南聯(lián)考)已知(3x—l)"展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且"為偶數(shù)，則(3x—1)"

展開式中f的系數(shù)為()

A.-252B.252C.-28D.28

【答案】B

【解析】由題意可得〃=8,則(3χ-l)8的展開式的通項(xiàng)是7；+I=Ca(3x)8F(—1)「,令8—r=2,

解得r=6,則展開式中X2的系數(shù)為C832=252.故選B.

6.(1+2x)5的展開式中，f的系數(shù)為.

答案：40

解析：/+∣=G(2Xy=C然也當(dāng)&=2時(shí),帝的系數(shù)為CQ2=40.

7.已知(x+l)∣°="i+α2x+α3X2+…+4TlXn).若數(shù)列02,