2023年上海市16區(qū)數(shù)學中考二模匯編10 填空小壓軸（圖形的運動、新定義）含詳解

專題10填空小壓軸（圖形的運動、新定義）（16區(qū)）

1.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個平面內有邊長

都為6的正三角形和正方形，當它們的一邊重合時，中心距為.

2.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，已知-ABC中，ZBAC=30o,ZB=70°,如果將-ABC繞點C順時針旋轉到

ΛA,B'C,使點B的對應點B'落在邊AC上，那么ZAA'B,的度數(shù)是.

A

BC

3.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）我們定義：二次項系數(shù)之和為1,圖像都經過原點且對稱軸相同的兩個二次函數(shù)稱

作互為友好函數(shù)，那么y=2∕+4x的友好函數(shù)是.

4.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）閱讀理解：如果一個三角形中有兩個內角α、僅滿足2a+7?=90。，那么我們稱這

個三角形為特征三角形.

4

問題解決：如圖，在，ABC中，NACB為鈍角，AB=25,IanA=-,如果ABC是特征三角形，那么線段AC的

長為.

5.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZA≈80o,如果將菱形ABS繞著點。逆時針

旋轉后，點N恰好落在菱形ABCO的初始邊A8上的點E處，那么點E到直線BD的距離為.

6.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：在四邊形ABCD中，。是邊BC上的一點.如果OAB與OCD全等,

那么點。叫做該四邊形的"等形點在四邊形EFGH中，ZEFG=90。，EF//GH,EF=I,FG=3,如果該四邊

形的"等形點”在動FG上，那么四邊形EFGH的周長是.

7.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）七巧板是中國傳統(tǒng)智力玩具，現(xiàn)用以下方法制作一副七巧板：如圖所示，取一張邊

長為20厘米的正方形紙板，聯(lián)結對角線BO；分別取BC8中點￡、F,連接EF；過點力作E尸垂線，分別交

BD,EF于G、H兩點;分別取3G、。G中點M、N,聯(lián)結NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板.其

中四邊形GHFN的面積是平方厘米.

8.（2023?上海楊浦?二模）如圖,已知在扇形/08中，a4O5=60o,半徑。4=8,點P在弧上，過點尸作

Pa1。/于點C,PDSlOB于點D,那么線段CD的長為

如圖，將矩形A8CD紙片沿對角線AC折疊，點8落在點E處，EC與邊A。相

交于點凡如果AO=2AB,那么/OC尸的正弦值等于

3

1°?（2。23?上海金山?統(tǒng)考二模）己知ABC中，ZBAC=90%丘3,tanC=“點。是線段BC上的動點，點

E在線段AC上，如果點E關于直線Ao對稱的點F恰好落在線段BC上，那么CE的最大值為

11.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如果一個三角形的兩個內角α與夕滿足2。+6=90。，那么我們稱這樣的三角形為

“倍角互余三角形已知在RtZXABC中，ZAc6=90。，AC=4,BC=5,點。在邊BC上，且AABO是“倍角互

余三角形"，那么B。的長等于.

12.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）如圖，已知在兩個直角頂點重合的Rta48C和Rt（SCZ）E中，ZACB=ZDCE=90°,

NC4B=NCOE=30。，BC=3,CE=2,將,.CDE繞著點C順時針旋轉，當點。恰好落在AB邊上時，聯(lián)結8E,

那么BE=.

A

D

13.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中，已知點A（8,0）、點B（0,6）,，A的半徑為5,點C是A

那么OP長的取值范圍是.

14.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線C∣:y=∕+2χ-3與拋物線C?：y="小+法+。組成一個開口向上

的“月牙線"，拋物線G和拋物線C?與X軸有著相同的交點N、8（點8在點/右側），與y軸的交點分別為C、

D.如果即=CD,那么拋物線Q的表達式是.

15.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系Mb'中，我們定義點Aay）的“關聯(lián)點"為3（x+y,x-y）.如果

已知點A在直線y=x+3上，點B在。的內部，。的半徑長為3啦（如圖所示），那么點A的橫坐標X的取值

16.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）如圖，在_45C中，AB=AC,將一ABC繞著點B旋轉后，點C落在AC邊上的點

E處，點A落在點。處，OE與A8相交于點F，如果BE=BF,那么NDBC的大小是

17.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，在RtABC中，NC=90。，AC=4,BC=2,點、D、E分別是邊2C、

fi4的中點，連接OE?將AE）E繞點B順時針方向旋轉，點。、E的對應點分別是點R、E1.如果點回落在線段

AC上，那么線段CR=.

18.（2023上海普陀二模）在“8C中，ZBAC=90o,AB=6,4C=4,。為/8中點（如圖6）,E為射線。上一點，將

△ADE沿著DE翻折得到-PZ）及點A的對應點為A',如果/E4C=90。，那么AE=A.

19.（2023上海長寧二模）如圖，將平行四邊形ABCO沿著對角線AC翻折，點5的對應點為M,CM

交Ao于點N,如果NB=76°,ZACM=ZDCM+10°,且NC=m,那么平行四邊形ABC。的周

長為▲.

（參考數(shù)據(jù)：cos760≈0.24,tan760≈4）

20.（2023上海青浦二模）如圖4,在Rt4A8C中，ZC=90o,BC=6,48=10,點D是邊A8的中點，點M在

邊AC上，將4A0∕W沿。M所在的直線翻折，點A落在點E處，如果EC〃A8,那么CE=回.

圖*j

21.（2023上海奉賢二模）如圖5,在正方形/88中，點E、尸分別在邊川＞/8上，EFLCE.將aCDE沿直線

CE翻折，如果點D的對應點恰好落在線段CF±,那么ZEFC的正切值是▲.

圖5

22（2023上海虹口二模）.如圖6,在矩形A8CD中，A8=3,點E在邊A8上，AE=2,聯(lián)結。E,將沿

著DE翻折，點A的對應點為P,聯(lián)結EP、DP,分別交邊BC于點F、G,如果BF=LBC，那么CG的長是

4

g.

BC

圖6

專題10填空小壓軸（圖形的運動、新定義）（16區(qū)）

L（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個平面內有邊長

都為6的正三角形和正方形，當它們的一邊重合時，中心距為.

【答案】3-6或3+6

【分析】分兩種情況，結合正方形和正三角形的性質，即可求解.

【詳解】解：如圖，在正方形A8C。和正三角形BCE中，連接ACBD交于點。，正三角形BCE的中線EG,交

于點尸，則點。，P分別正方形ABCO和正三角形BCE的中心，

在正方形ABCz）和正三角形BCE中，OB=OC,OB±OC,BG=CG,BE=CE,NCBf=30°,

回點。，E均在BC的垂直平分線上，

胤點E,O,P,G四三點共線，

13正方形ABa）和正三角形BCE的邊長都為6,

團BC=BE=6.

團OG=BG=—BC=,X6=3,

22

囪PG=BGxtanZCBF=3×-=√3,

3

SIOP=OG-PG=3-6：

即中心距為3—JJ;

如圖，在正方形ABCD和正三角形BCE中，連接4C,8O交于點0,正三角形BCE的中線EGB尸交于點片則點

O,P分別正方形ABC。和正三角形5CE的中心，

在正方形ABC。和正三角形BCE中，OB=OC,OB±OC,BG=CG,BE=CE,ZCBF=30°,

回點。，E均在BC的垂直平分線上，

?點E,O,P,G四三點共線，

BI正方形ABC。和正三角形BCE的邊長都為6,

?BC=BE=6.

13OG=BG=LBC=JX6=3,

22

BIPG=BGXtanNCBF=3x9=有，

3

ElOP=OG-PG=3+6；

即中心距為3+相；

綜上所述，中心距為3-萬或3+6.

故答案為：3-6或3+6

【點睛】本題主要考查了正方形和正三角形的性質，解直角三角形，利用分類思想解答是解題的關鍵.

2.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，已知ABC中，ZS4C=30o,Zfi=70°,如果將ABC繞點C順時針旋轉到

ΛA'B'C,使點8的對應點月落在邊AC上，那么NA4F的度數(shù)是.

A

BC

【答案】20。/20度

【分析】根據(jù)旋轉可得NB'A'C=ZABC=30。，ZACA=ZACB=,A'C=AC,等邊對等角得

ZCAA'=ZCA1A=50°,根據(jù)NA4'B'=NC4'A-NeWC即可求解.

【詳解】解：0ZZMC=30°,/8=70。，

SZACβ=180o-70o-30o=80o.

回將，ABC繞點C順時針旋轉到4A'8'C,使點8的對應點B'落在邊AC上,

圖ZB'AC=∕β4C=30°,ZA'CAZACB=80o,A'C=AC,

ΞZCAA,=ZCA'A=i（180o-80o）=50°,

13ZAAB=ZCA'A-ZB'A'C=500-30°=20°.

故答案為：20。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，掌握旋轉的性質是關鍵.

3.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）我們定義：二次項系數(shù)之和為1,圖像都經過原點且對稱軸相同的兩個二次函數(shù)稱

作互為友好函數(shù)，那么y=2X2+4Λ的友好函數(shù)是.

2

【答案】y=-x-2χ

【分析】函數(shù)y=2∕+4x的對稱軸為X=T設y=2f+4x的友好函數(shù)是y=/+加根據(jù)二次項系數(shù)之和為1,圖

像都經過原點且對稱軸相同可列出方程組，解出即可求出.

【詳解】解：函數(shù)y=2/+4x的對稱軸為x=-l,

設y=2∕+4x的友好函數(shù)是y=4√+隊,

[2+47=1

??.b,

-=-1

I2a

??.廣，

[b=-2

2

：.y=2x+4x的友好函數(shù)是y=-√-Ix.

故答案為：y=-f-2x.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是讀懂“友好對稱二次函數(shù)”的定義.

4.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）閱讀理解：如果一個三角形中有兩個內角α、夕滿足2a+7?=90。，那么我們稱這

個三角形為特征三角形.

4

問題解決：如圖，在..ΛBC中，NACB為鈍角，AB=25,tanΛ--,如果一ΛBC是特征三角形，那么線段AC的

長為.

B

【答案】y

【分析】由題意可分：①設4=α,NB=尸，則在AB上截取一點。，使得8=C4,此種情況不符合題意；②設

ZA=ANB=α,過點8作BE,AC于點E,過點C作CFlAB于點F,然后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可進行求

解.

【詳解】解：由題意可分：①設ZA=α,NB=A,則在AB上截取一點。，使得8=C4,如圖所示：

SZA=ZADC,

4

0tanA4=—,

3

4

0tanZADC=—,

3

回NCOB為鈍角，故不存在2a+￡=90。；

②設NA=∕,N5=α,過點8作BEJLAe于點￡過點C作CrJAg于點尸，如圖所示:

回.ABC是特征三角形，即2。+4=90。，且NA+ZABE=90。,

^ZABE=2ZABC,

13BC平分NABE,

BCF=CE,

4

團IanA=—,

3

CFBE

團---=---，

AFAE

τ?AF=3x,CF=CE=4x,AC=5x,則有AE=9x,

0BE=12x,

0AB=25,

回在RtA4BE中，由勾股定理得81/+1441=625,

解得：x=（

故答案為F.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)及勾股定理是解題的關鍵.

5.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABa）中，A8=6,/4=80。，如果將菱形ABC。繞著點。逆時針

旋轉后,點A恰好落在菱形ABCD的初始邊A3上的點E處，那么點E到直線BD的距離為.

【答案】3

【分析】如圖，旋轉、菱形的性質可知，DE=AD=AB=6,則Nr）E4=NΛ=80。,

1QQO_/A

ZABD=NADB=-------------=50o,ZADE=180°-ZDEA-ZA=20°,?BDE?ADB?ADE30?,根據(jù)E到直線

2

BO的距離為Γ>E?sinN3DE,計算求解即可.

【詳解】解：如圖，菱形ABa）繞著點。逆時針旋轉后為菱形。EFG,

由旋轉、菱形的性質可知，DE=AD=Aβ=6,

1QAO_ZA

0Zf>E4=ZA=8Oo,ZABD=/ADB=-------------=50°,

2

團ZADE=I80。-NoE4—ZA=20。，

S?BDE2ADB?ADE30?,

此到直線Bz）的距離為DEsinZBDE=6×~=3,

2

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，菱形的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，正弦等知識.解題的關鍵

在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

6.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：在四邊形ABCD中，。是邊BC上的一點.如果一OAB與二Oa>全等，

那么點O叫做該四邊形的"等形點在四邊形EFG〃中，NEFG=90。，EF//GH,EF=I,FG=3,如果該四邊

形的"等形點”在邊FG上，那么四邊形EFGH的周長是.

【答案】8或6+加

【分析】根據(jù)平行線的性質，得到NAGH=90。，分兩種情況討論：當.OEFgOHG時，證明四邊形EFG"時平行

四邊形，據(jù)此即可求出四邊形EFG，的周長；當.QEFWOS時，根據(jù)全等三角形的性質，推出GH=2,

NEOH=90。,利用勾股定理，依次求出OE=不，EH=而,即可求出四邊形EFGH的周長.

【詳解】解：ZFFG=90°,EF//GH,

.-.ZFGH=90°,

四邊形EFGH的"等形點”在邊FG上，

如圖1,當。EF”O(jiān)HG時，則EF=HG=I,

EF//GH,

四邊形EFG4時平行四邊形,

:.EH=FG=3,

???四邊形EFG〃的周長為（l+3）x2=8;

如圖2,當“0EFg-HOG時,

H

.?.EF=OG=?,OF=GH,OE=OH,NOEF=NHoG,

FG=3,

:.OF=FG-OG=3-?=2,

.?.GH=2,

NEFo=90o,

.?.ZOEΓ+zeor=90o,

:.ZHOG+^EOF=90°,

.?.Z￡,O//=180°-(Z//OG+Z￡OF)=90°,

在Rt..￡尸。中，OE=JEF+OF。=JF+2?=后,

:.OE=OH=小,

在Rt.EOH中，EH=JoE2+OH2=回，

四邊形EfGH的周長為1+3+2+加=6+加，

故答案為：8或6+加.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的性

質是解題關鍵.

7.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)七巧板是中國傳統(tǒng)智力玩具，現(xiàn)用以下方法制作一副七巧板：如圖所示，取一張邊

長為20厘米的正方形紙板，聯(lián)結對角線BO；分別取BC8中點￡、F,連接EF；過點N作所垂線，分別交

BD,EF于G、H兩點；分別取BGDG中點M、N,聯(lián)結M”、NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板.其

中四邊形GHFN的面積是平方厘米.

【答案】50

【分析】根據(jù)勾股定理求出8。，證明四邊形GaFN是正方形，即可解得.

【詳解】根據(jù)勾股定理可得，

BD=-JAB2+AD2=20√2，

BBCCO中點E、F,聯(lián)結EF,

^EF//BD,

EF=LBD=IQ8,

2

回N是。G的中點，

0GN=5五

回根據(jù)對稱性，EFLAH,

田EH=HF=5壺,

?GN=HF=50，

GN//HF,

回四邊形GHFN是平行四邊形，

又ElZWG〃=90°,

回四邊形G4/W是矩形，

0ZNDF=NDFN=45。,

QDN=NF=5貶,

田四邊形GHFN是正方形，

0SGHFN=50×5>∕2=50cm2,

故答案為：50.

【點睛】此題考查了正方形的證明和面積，解題的關鍵是熟悉正方形的性質.

8.（2023?上海楊浦?二模）如圖，已知在扇形ZOB中，l?W（95=60°,半徑。4=8,點尸在弧/8上，過點尸作

PSaI于點C,PZ丸。2于點，那么線段CD的長為.

【答案】4√3

【分析】作輔助線：接尸。，取PO的中點E,連接CE?，DE,通過CoPD共圓求出等腰三角形CDE的鈍角為

120。，從而求出CD的長度.

【詳解】解：如圖，連接PO,取PO的中點E,連接CE,DE,

在RtΛPCO和RtΛPDO中，點E是斜邊PO的中點，

.-.CE=DE=PE=OE=-PO=A,

2

根據(jù)圓的定義可知，點P,C,0,。四點均在同一個圓，即隨上，

又NCoz)=60°,

.?.NCE￡>=120。，

.-.ZCDE=ZDCE=30°,

過點H作EHLCD,垂足為點H,

由垂徑定理得，CH=DH=^CD,

在RDEH中,EH=^DE=2,DW=2√3,

.?.CD=2DH=4√3.

故答案為：4>/3.

【點睛】本題考查輔助線的添加、直角三角形斜邊上的中線、對角互補的四邊形共圓；掌握這些是本題關鍵.

9.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)如圖，將矩形ABCD紙片沿對角線AC折疊，點8落在點E處，EC與邊AE)相

交于點尸.如果AO=2AB,那么/OC尸的正弦值等于.

3

【答案】I

【分析】通過證明尸名b(AAS)得到防=DF,AF=CF,在RtAE尸中，根據(jù)勾股定理列出等量關系

式，得出邊之間的關系，即可求解.

【詳解】解：SAD=2AB,

回設AB=a,AD-2a,

0?AEC由—ABC沿AC折疊得到，

田AE=AB=CD=a,NE=NB=N￡)=90。,

在△AEF和，CD尸中，

NE=Nr)=90。

<ZAFE=ZCFD,

AE=CD

0ΛAEF^ΛCDF(AAS),

團EF=DF,AF=CFf

設EF=DF=b,則AF=CV=Ar)-Df'=24—力，

在RtAM中，根據(jù)勾股定理可得：AE2+EF2=AF2，

即/+/=(2〃—6)2,整理得：〃=

0CF=2a-b=-a,

4

3

一〃O

3

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，解直角三角形，解題的關鍵是掌握矩形的性質，折疊的性質，勾股定

理，以及解直角三角形的方法和步驟.

3

10.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）己知ABC中，ZBAC=90o,AB=3,VanC=-,點。是線段BC上的動點，點

4

E在線段AC上，如果點E關于直線Ao對稱的點F恰好落在線段BC上，那么CE的最大值為.

【答案W

【分析】過/點作AG_L8C于點G,先解直角三角形求出4C=4,BC=5,然后利用面積求出AG=￡,當F與

G重合時AF最小，即CE最大，求出最大值即可.

【詳解】解：如圖，過/點作AG,BC于點G,

3

團NBAC=90。，AB=3,tanC=-,

4

團AC=4,

則8C=7∑FΠEΓ=居不=5，

又團SARC=?BCXAG=-AC×AB,

^、AfJL22

回點￡、點/關于直線Ao對稱，

0AF=AE,

又點尸恰好落在線段BC上，

團當F與G重合時AF最小，即CE最大,

1?Q

圖CE最大值為4專g

Q

故答案為：

【點睛】本題考查解直角三角形，軸對稱的性質，掌握垂線段最短是解題的關鍵.

IL（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如果一個三角形的兩個內角α與夕滿足2?+分=90。，那么我們稱這樣的三角形為

“倍角互余三角形已知在RtZV15C中，ZACB=90。，AC=4,BC=5,點。在邊BC上，且是“倍角互

余三角形”，那么8。的長等于.

【答案】2或41-4E

55

【分析】分兩種情況討論，當/5=44。時，利用tanNZMC=tanNB,列式計算即可求解；當NBAZ>=NC4O

時，即AD是，SAC的角平分線，利用角平分線的性質以及勾股定理即可求解.

【詳解】解：當∕B=∕C4。時，Z5+ACAD+/LBAD=90°,即2N8+NBAD=90。，AABD是"倍角互余三角

形”,

CDCD4

IZltanZDAC=-=—

AC45

16

^CD=

5

169

1380=5——=-

55

當NBAZ)=NCAD時，AB+ACAD+ABAD=90°,即/8+2NBAr)=90。，Z?A8Z)是“倍角互余三角形”，此時

A。是NBAC的角平分線,

作Z)E1Λβ于E,則OC=Z)E,

回AD=Λf>,0RtAADC^Rt?ADE(HL),IJIAE=AC=4,

回，ZACB=90°,AC=4,BC=5,0ΛB=√42+52=√4T>同BE=如-4,

設班>=x,則Cr)=OE=5-x,在RtZXBDE中，由勾股定理得("7-4)，+(5-x)?=x?,解得》=11二建叵I

綜上，BD的長等于”或過二也

55

故答案為：W或竺二也.

55

【點睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，角平分線的性質以及勾股定理，分情況討論是解題的關鍵.

12.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)如圖，已知在兩個直角頂點重合的RtSWBC和RtISCDE中，ZACB=ADCE=90°,

NC4B=NCDE=30。，BC=3,CF=2,將AcDE繞著點C順時針旋轉，當點。恰好落在A8邊上時，聯(lián)結BE,

那么BE=

ΔΓ)_

【分析】利用含30度角的直角三角形的性質，分別求出A8,r>E的長，證明aACOsz^CE,得到黑=。，推

出NDBE=90。，在Rtz>BE中，利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：ElNAC3=NDCE=90°,NCAB=NCDE=30°,BC=3,CE=2,

⑦AB=2BC=6,DE=2CE=4,ZABC=60。，an30°=-=—=—,ZACD=/BCE=90。一NBCD,

tDCAC3

0AACf>^ABCE,

ΔΓ)L

0—=√3,ZCBf=ZA=30o,

BE

⑦ZDBE=ZABC+NCBE=舒,

設3E=x,則：AD=瓜,

^BD=AB-AD=6->j3χ9

222222

在RtDBE中,DE=BE-^-BD9即：4=x+(6-√3x),

解得：X=3-二a或一3底"(不合題意，舍去)；

22

⑦BE=36-".

2

故答案為：不.

2

【點睛】本題考查含30度的直角三角形，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解一元二次方

程.熟練掌握相關知識點，證明三角形相似，是解題的關鍵.

13.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)如圖，在直角坐標系中，已知點A(8,0)、點8(0,6),A的半徑為5,點C是：A

上的動點，點P是線段BC的中點，那么OP長的取值范圍是.

【答案】2.5≤OP≤7.5

【分析】如圖，在y軸上取一點3'(0,-6),連接B'4,B1C,由勾股定理求出B'A=I0,由三角形中位線定理求

SC=IOP,當C在線段8'A上時，3'C的長度最小值10-5=5,當C在線段54延長線上時，B'C的長度最大值

10+5=15,即可求解.

【詳解】解：如圖，在y軸上取一點B'(0,-6),連接8'A,B'C,

0B,(θ,-6),A(8,0),

國OB'=OB=6,OA=8,

^B,A=>∕θβ'2+OA2=10>

圈點P是BC的中點，

⑦BP=PC,

^OB=OB,BP=PC,

圖OP是488'C的中位線，

0β,C=2OP,

當C在線段82上時，8'C的長度最小值為：10-5=5,

當C在線段84延長線上時，B'C的長度最大值為：10+5=15,

β)5≤B,C≤15,

?2.5≤OP≤7.5,

故答案為：2.5≤QP≤7.5.

【點睛】本題考查的是圓外一點到圓上點距離的最值，三角形中位線定理，勾股定理等知識，添加恰當?shù)妮o助線

是解答本題的關鍵.

14.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線C∣:y=∕+2x-3與拋物線C?：y=θv2+版+c組成一個開口向上

的“月牙線"，拋物線Cl和拋物線C?與X軸有著相同的交點48（點B在點/右側），與y軸的交點分別為C、

D.如果5。=CD,那么拋物線C2的表達式是.

y

`r：

A

【答案】y=](x+3)(x-l)

【分析】先求出/、B、C的坐標，設點。的坐標為(0,a)，則OD=-加，利用勾股定理結合8。=CD得到

病+ι=(3+m)2,解得m=-g,貝M(Oj,可設拋物線G的解析式為y=α(χ+3)(χτ),利用待定系數(shù)法求

4

出“=§?

【詳解】解：在y=∕+2x-3中，令X=0,則y=-3,

0C(θ,-3),

在y=f+2x-3中，令y=0,則爐+2%-3=0,解得X=I或X=-3,

0A(-3,O),B(LO),

SOB=I,

設點。的坐標為(。，機)，則OD=T72

團8=3+m,BD=y]θD2+BD2=√w2+l，

⑦BD=CD,

0m2+1=(3+m)2,

4

解得m=一§，

g(o,q),

團拋物線C?經過4、B,

回可設拋物線C2的解析式為y=α(x+3)(x-l),

4

Sa(0+3)(0-l)=--,

4

解得“二，

9

4

團拋物線G的解析式為y=?^(χ+3)(χ-ι),

A

故答案為：y=g(x+3)(x-l).

y

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理，求二次函數(shù)與坐標軸的交點，正確求出點。

的坐標是解題的關鍵.

15.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標系XOy中，我們定義點Aay)的“關聯(lián)點"為B(x+y,x-y).如果

已知點A在直線y=x+3上，點B在。的內部，。的半徑長為3啦(如圖所示)，那么點A的橫坐標X的取值

【分析】先求得點A(XM的“關聯(lián)點〃為8(2x+3,-3),過點C(0,-3)作y軸的垂線所，交圓。于點E、F,連接

OE,則點B在線段E尸(兩端點除外)上運動，利用勾股定理及垂徑定理即可求解.

【詳解】解：回點Z在直線N=x+3上，

BA(x,x+3),

EIX+y=x+x+3=2x+3,X-y=x-(x+3)=-3,

回點A(x,y)的"關聯(lián)點”為8(2x+3,-3),

過點C(0,-3)作)軸的垂線EF,交圓。于點E、F,連接0￡,則點8在線段EF(兩端點除外)上運動，

在RLOCE中，CE=y∣OE2-OC2=J(3-3?=3,

EIEFJ_y軸，y軸過圓心，

^CE=CF=3,

圖》的取值范圍為-3<x<3?

故答案為：-3<x<3.

【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，一次函數(shù)數(shù)等知識，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵.

16.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）如圖，在ΛBC中，AB=AC,將ABC繞著點8旋轉后，點C落在AC邊上的點

E處，點A落在點。處，QE與AB相交于點尸，如果BE=B尸，那么NoBC的大小是.

【答案】1080/108度

【分析】設/A=x,由AB=AC,BE=BF得/ABC=∕C,/BEF=/BFE,再由旋轉的性質得

ZDEB=ZC=ZABC=ZDBE,BE=BC,從而有NCBE=ZA=X,同理可證：ZEBF=ZA=X,利用三角形

的內角和定理構造方程即可求解.

【詳解】解：設NA=X,

ISAB=AC,BE=BF,

^ZABC=ZC,NBEF=∕BFE,

回將二ΛBC繞著點8旋轉后，點C落在AC邊上的點E處，點A落在點。處，OE與48相交于點F,

QNDEB=NC=/ABC=NDBE,BE=BC,

SNBEC+NC+NCBE=ZABC+^C+NA=180°,

*CBE=NA=x,

同理可證：NEBF=NA=x,

EZDBE=ZABC=NC=/BEC=2x,

13ZABC+/C+NA=180°,

β）2x+2x+x=180°,

解得X=36。，

0NDBC=ZDBE+ZCBE=3x=108°

故答案為108。.

【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，旋轉的性質以及一元一次方程的應用，熟練

掌握三角形的內角和定理時解題的關鍵.

17.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如