第13章 軸對稱 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊導(dǎo)學(xué)案合集

第十三章軸對稱課題：軸對稱1．初步認(rèn)識(shí)軸對稱圖形；歸納出軸對稱圖形、軸對稱的概念，能用概念判斷一個(gè)圖形是否是軸對稱圖形．2．通過動(dòng)手試驗(yàn)掌握線段的垂直平分線的定義，掌握線段垂直平分線與對稱軸的關(guān)系．重點(diǎn)：判斷軸對稱圖形和軸對稱，并能夠畫出其對稱軸．難點(diǎn)：比較觀察軸對稱圖形與兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱的區(qū)別和聯(lián)系．一、情景導(dǎo)入，感受新知師：對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到藝術(shù)作品，從建筑物到交通標(biāo)志，甚至日常生活用品，人們都可以找到對稱的例子．對稱給我們帶來了很多美的感受！(一邊播放圖片一邊敘述，多媒體展示幾組圖片)師：畫面上出現(xiàn)的物體圖形都有什么共同特征？生：這些圖形都具有對稱特征．師：你能舉出幾個(gè)生活中具有對稱特征的物體，并與同伴進(jìn)行交流嗎？學(xué)生思考，舉例．教師板書課題：軸對稱．二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P58內(nèi)容，回答下列問題：觀察課本P58中的6幅圖片，你能找出它們的共同特征嗎？答：這些圖形沿某一直線對折以后，直線兩旁的部分能夠互相重合．歸納：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸，這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱．(二)閱讀教材P59第3個(gè)思考前的內(nèi)容，回答下列問題：教材P59第1個(gè)思考中三幅圖的特點(diǎn)是：每一對圖形沿著虛線折疊，左邊的圖形能與右邊的圖形重合．歸納：把一個(gè)圖形沿某一直線對折后它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這一條直線(成軸)對稱．這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．【合作探究】范例：下面的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，畫出它的對稱軸．思考：教材P59圖13.1－3中這三對成軸對稱的兩個(gè)圖形全等嗎？為什么？如果把它們看成一個(gè)整體，它是一個(gè)軸對稱圖形嗎？答：全等，學(xué)生簡單回答合理即可，是軸對稱圖形．歸納：把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對稱圖形．把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對稱．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例：如圖，△ABC和△A1B1C1關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A1，y軸經(jīng)過線段AA1的中點(diǎn)嗎？y軸垂直線段AA1嗎？答：經(jīng)過，垂直．在圖中，y軸是線段CC1和BB1的垂直平分線嗎？答：是．歸納：1．經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．2．軸對稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知本節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？有哪些收獲？還有什么疑問？五、檢測反饋、落實(shí)新知1．下列圖案中，不是軸對稱圖形的是(A)2．軸對稱圖形的對稱軸的條數(shù)(D)A．只有一條B．2條C．3條D．至少一條3．下列圖形中對稱軸最多的是(A)A．圓B．正方形C．等腰三角形D．線段4．李芳同學(xué)球衣上的號(hào)碼是253，當(dāng)他把鏡子放在號(hào)碼的正左邊時(shí)，鏡子中的號(hào)碼是(A)A.B.C.D.六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定1．掌握線段垂直平分線的概念．2．理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理．3．運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理解決幾何問題．重點(diǎn)：掌握垂直平分線的性質(zhì)和判定，并學(xué)會(huì)運(yùn)用．難點(diǎn)：運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)解決幾何問題．一、情景導(dǎo)入，感受新知問題1：下面圖形中哪些是軸對稱圖形？如果是，請說出它的對稱軸．問題2：如果兩個(gè)圖形成軸對稱，那么這兩個(gè)圖形有什么關(guān)系？二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P61最后兩段話之前的內(nèi)容，完成下面的問題：通過教材P61的探究發(fā)現(xiàn)P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B.歸納：由此我們可以得出線段垂直平分線的以下性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．(二)閱讀教材P61最后兩段話，解決下列問題：用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡易的弓，箭通過木棒中央的孔射出去．(1)如圖1，若AC＝BC，要使CO垂直于AB，需要添加什么條件？為什么？解：添加的條件是：點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．在△ACO和△BCO中，∵AC＝BC，AO＝BO，CO＝CO，∴△ACO≌△BCO(SSS)．∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CO垂直平分AB.(2)如圖2，拉動(dòng)C，到達(dá)D的位置，若AD＝DB，那么點(diǎn)D在AB的垂直平分線上．(3)由(1)，(2)，你得到什么猜想？答：CO或DO垂直平分AB.歸納：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例1：如圖所示，有一塊三角形田地。AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長為17m，請你替測量人員計(jì)算BC的長．解：∵ED是AB的垂直平分線，∴DA＝DB.又∵△BDC的周長為17m，AB＝AC＝10m，∴BD＋DC＋BC＝17(m)．∴DA＋DC＋BC＝17，即AC＋BC＝17(m)．∴10＋BC＝17(m)，BC＝7(m)．例2：尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.作法：(1)任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于eq\f(1,2)DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知本節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？有哪些收獲？和同學(xué)們交流一下．1．線段垂直平分線的性質(zhì)．2．線段垂直平分線的判定．3．作線段的垂直平分線．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．如圖，直線EF垂直平分BC，且BD＝5，BF＝4，則△BCD的周長為(C)A．9B．14C．18D．202．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是(C)A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)B．三角形三條中線的交點(diǎn)C．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D．三角形三條高線的交點(diǎn)3．如圖所示，△ABC與△A′B′C′關(guān)于某條直線對稱，請你作出這條直線．解：(1)如圖所示，連接BB′，分別以點(diǎn)B，B′為圓心。以大于eq\f(1,2)BB′的長為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點(diǎn)；(2)作直線DE，DE即為所求的直線．六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)

課題：作軸對稱圖形的對稱軸1．知道“連接對稱點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分”．2．熟練畫出軸對稱圖形的對稱軸．3．培養(yǎng)良好的動(dòng)手實(shí)踐能力．畫出軸對稱圖形的對稱軸．一、情景導(dǎo)入，感受新知利用多媒體向?qū)W生展示剪紙圖片，供學(xué)生欣賞，并請學(xué)生交流：如此漂亮的圖片是如何剪出的呢？二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P62“思考”至本頁結(jié)束．問題1：請學(xué)生拿出畫有一個(gè)簡單風(fēng)箏(如圖形狀)的半透明紙，把這張紙對折后描圖，學(xué)生畫好后打開對折的紙，觀察并回答下列問題：(1)畫出的圖形與原來的圖形有什么關(guān)系？(2)兩個(gè)圖形成軸對稱有什么特征？問題2：如果改變對稱軸的方向和位置，結(jié)果又如何呢？讓學(xué)生在剛才的紙上任意折疊，描圖，打開紙．你發(fā)現(xiàn)了什么？問題3：如圖所示，△AOD關(guān)于直線l進(jìn)行軸對稱變換后得到△BOC，則在以下結(jié)論中不正確的是(D)A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．l垂直平分AB，且l垂直平分CDD．AC與BD互相平分歸納：作軸對稱圖形的對稱軸就是作出一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．(二)閱讀教材P63內(nèi)容，完成下列問題：教材P63例2是如何作出點(diǎn)A與點(diǎn)B的對稱軸的呢？答：作點(diǎn)A和點(diǎn)B連線的垂直平分線．歸納：對于軸對稱圖形，只要找出任意一組對應(yīng)點(diǎn)，作出對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】問題：隊(duì)上面所用的描圖法；還可用什么方法畫出軸對稱變換后的圖形？請學(xué)生間交流探討．例1：(1)如圖1已知△ABC和直線l，作出與△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形．(2)將△ABC的位置移至圖2，圖3，圖4時(shí)，再作出關(guān)于直線l對稱的圖形，并驗(yàn)證畫法．【歸納總結(jié)】一個(gè)平面圖形都是由一些點(diǎn)組成，點(diǎn)動(dòng)成線，故要畫一個(gè)圖形經(jīng)軸對稱后的圖形，只要找到一些特殊點(diǎn)，作出這些特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)即可．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知教師請學(xué)生回憶本節(jié)內(nèi)容，學(xué)生發(fā)言談收獲，最后引導(dǎo)總結(jié)．1．由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l對稱的圖形，這個(gè)圖形與在圖形的形狀、大小完全一樣．2．經(jīng)軸對稱變換后的圖形與原圖形上的對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分．3．畫一個(gè)圖形經(jīng)軸對稱變換后的圖形，關(guān)鍵是找到圖形上的一些點(diǎn)，作出這些點(diǎn)的對稱．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．如圖，分別以直線l為對稱軸，所作軸對稱圖形錯(cuò)誤的是(C),A),B),C),D)2．點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對稱，下列說法錯(cuò)誤的是(B)A．直線l與線段AA′垂直B．線段AA′平分直線lC．直線l平分線段AA′D．直線l垂直平分線段AA′3．下列說法正確的是(D)A．若點(diǎn)A和點(diǎn)A′到直線l的距離相等，則點(diǎn)A和點(diǎn)A′關(guān)于直線l對稱B．若直線l垂直平分線段AA′，且AB＝A′B′，則線段AB和A′B′關(guān)于直線l對稱C．若兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線對稱，則任意對應(yīng)點(diǎn)連線垂直平分對稱軸D．若線段AB和A′B′關(guān)于某直線對稱，則AB＝A′B′六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：畫軸對稱圖形1．指導(dǎo)學(xué)生能熟練畫出一個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對稱的軸對稱圖形．2．培養(yǎng)學(xué)生的良好動(dòng)手實(shí)踐能力．理解兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對稱的特征，并能畫軸對稱圖形．一、情景導(dǎo)入，感受新知如圖，給出了一個(gè)圖案的一半，其中的虛線是這個(gè)圖案的對稱軸．(1)你能猜出整個(gè)圖案的形狀嗎？(2)你能畫出這個(gè)圖案的另一半嗎？幾何圖形都可以看作是由點(diǎn)組成的，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對應(yīng)點(diǎn)便可以得到原圖形的軸對稱圖形，如何作出點(diǎn)A、B、C、D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)呢？二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P67思考之前的內(nèi)容，完成下列問題：如圖，觀察下面圖形剪紙形成過程并填空：1．剪紙得到的另一半圖形與原圖形的形狀、大小一樣嗎？答：兩個(gè)圖形形狀、大小完全一樣．2．新圖形上的每一點(diǎn)，都與原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l對稱．3．連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分．(二)閱讀教材P67思考之后～P68練習(xí)之前的內(nèi)容，完成以下問題：從教材P67例1，我們可以知道：1．找點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的方法是：過點(diǎn)A畫直線l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA′＝OA.A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)．2．作△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形的方法是：分別找出三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就能得到要畫的圖形．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例：1如圖，將一張長方形紙對折，用圓規(guī)針尖扎出一個(gè)“∑”符號(hào)，然后將紙打開后鋪平．(1)圖中兩個(gè)“∑”關(guān)于折痕l__對稱__；(2)在扎出“∑”的過程中，點(diǎn)A與__A＇__重合，點(diǎn)B與__B＇__重合，點(diǎn)C與__C＇__重合；線段AB與__A＇B＇__重合，線段BC與__B＇C＇__重合，∠OAB與__∠O＇A＇B＇__重合，∠ABC與__∠A＇B＇C＇__重合；所以線段∠ABC__＝__∠A′B′C′(以上四空填“＝”或“≠”)；(3)點(diǎn)O到l的距離__＝__點(diǎn)O′到l的距離(以上四空填“＝”或“≠”)；所以線段OO′被l__垂直平分__，線段BB′被l__垂直平分__．例：2(1)如圖，A，B，C，D的對稱點(diǎn)分別是__E，F(xiàn)，G，H__，線段AC，AB的對應(yīng)線段分別是__EG，EF__，CD＝__GH__，∠CBA＝__∠GFE__，∠ADC＝__∠EHG__；(2) 連接AF，BE，則線段AF，BE有什么關(guān)系？并用測量的方法驗(yàn)證．例：3在圖中，畫出△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC關(guān)于l成軸對稱圖形．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知1．兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對稱的特征．2．畫軸對稱圖形．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的第一步是(B)A．過已知點(diǎn)作一條直線與已知直線相交B．過已知點(diǎn)作一條直線與已知直線垂直C．過已知點(diǎn)作一條直線與已知直線平行D．不確定2．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為(C)A．50°B．30°C．100°D．90°第2題圖第3題圖3．如圖，△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線MN對稱，△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于直線EF對稱．(1)畫直線EF；(2)若直線MN與直線EF交于點(diǎn)O，所夾的角為45°，求∠BOB2的度數(shù)．解：(1)連C1C2作C1C2的垂直平分線EF；(2)連OB、OB1、OB2，則∠BOB2＝2∠MOE＝90°.六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：用坐標(biāo)表示軸對稱1．在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．2．利用關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，作出關(guān)于x軸、y軸對稱圖形．利用坐標(biāo)的變化規(guī)律在平面直角坐標(biāo)系中畫出一些簡單的關(guān)于x軸和y軸的對稱圖形．一、情景導(dǎo)入，感受新知用多媒體展示北京城風(fēng)光圖片，及北京城形象地圖．問題：老北京的地圖(教材圖13.2－3)中，西直門和東直門是關(guān)于中軸線對稱的，如果以天安門為原點(diǎn)，分別以長安街和中軸線為x軸和y建建立平面直角坐標(biāo)系，對應(yīng)于如教材圖13.2－3所示的東直門的坐標(biāo)，你能找到西直門的位置和坐標(biāo)嗎？二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】閱讀教材P69～P70例2之前的內(nèi)容，完成下面的問題：(1)在直角坐標(biāo)系中畫出下列已知點(diǎn)A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(xiàn)(0，3)；(2)畫出這些點(diǎn)分別關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)，并填寫表格；圖略．(3)請你仔細(xì)觀察點(diǎn)的坐標(biāo)，你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么規(guī)律嗎？(4)請你想辦法檢驗(yàn)?zāi)闼l(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性，說明你是如何檢驗(yàn)的．已知點(diǎn)A(2，－3)B(－1，2)C(－6，－5)D(3，5)E(4，0)F(0，3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(2，3)B′(－1，－2)C′(－6，5)D′(3，－5)E′(4，0)F′(0，－3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A″(－2，－3)B″(1，2)C″(6，－5)D″(－3，5)E″(－4，0)F″(0，3)歸納：1關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為相反數(shù)．2．在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)槠湎喾磾?shù)．點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－y)．3．在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變．點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－x，y)．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例1：已知點(diǎn)P1(a－1，5)和P2(2，b－1)關(guān)于x軸對稱，則(a＋b)2012的值為()A．0B．－1C．1D．(－3)2012【分析】由題意可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,b－1＝－5.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4.))∴(a＋b)2012＝(3－1)2012＝1，選C.出示新問題：1．如圖，分別作出△PQR關(guān)于直線x＝1和直線y＝1對稱的圖形．2．找出它們對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．3．猜想：如果作關(guān)于直線x＝3和直線y＝－4對稱的圖形，試找出它們對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并總結(jié)出一般性規(guī)律．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝m對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(2m－x，y)，即若兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)關(guān)于直線x＝m對稱，則m＝eq\f(x1＋x2,2)，y1＝y(tǒng)2.點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝n對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，2n－y)，即若兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)關(guān)于直線y＝n對稱，則x1＝x2n＝eq\f(y1＋y2,2).例2：如圖，梯形ABCD關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，0)，試寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出梯形ABCD的面積．【分析】已知點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，由此可推知點(diǎn)D，點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：∵點(diǎn)D與點(diǎn)A(－3，3)關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)．同理點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)．故AD＝|3－(－3)|＝6，BC＝|2－(－2)|＝4，∴S梯形＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·OE＝eq\f(1,2)×(6＋4)×3＝15.eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課用坐標(biāo)表示軸對稱的主要解題方法和解題思路．1．已知點(diǎn)關(guān)于某條直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過尋找線段間關(guān)系來求．2．學(xué)生表述關(guān)于x軸，y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．點(diǎn)(3，2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(A)A．(3，－2)B．(－3，2)C．(－3，－2)D．(2，－3)2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(－2，7)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，7)．3．已知點(diǎn)A(m＋2，3)、B(－5，n＋6)關(guān)于y軸對稱，則m＝3，n＝－3．4．(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法)；(2)直接寫出A′，B′，C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：A′(________)，B′(________)，C′(________)；(3)求△ABC的面積是多少？解：(1)如圖所示；(2)(3，2)、(4，－3)、(1，－1)；(3)△ABC的面積是：3×5－eq\f(1,2)×1×5－eq\f(1,2)×2×3－eq\f(1,2)×2×3＝6.5.六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：等腰三角形的性質(zhì)1．探索并證明等腰三角形的性質(zhì)．2．運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等．3．體會(huì)軸對稱在研究幾何問題中的作用.重點(diǎn)：理解和掌握等腰三角形的性質(zhì)．難點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)證明中輔助線的添加和對性質(zhì)2的理解．一、情景導(dǎo)入，感受新知問題：讓學(xué)生根據(jù)自己的理解，做一個(gè)等腰三角形．要求學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手做圖后，再互相交流評(píng)價(jià)．可按下列方法做出：作一條直線l，在l上取點(diǎn)A，在l外取點(diǎn)B，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C，連接AB，AC，CB，則可得到一個(gè)等腰三角形．學(xué)生動(dòng)手、觀察，教師在學(xué)生觀察的同時(shí)提出問題．學(xué)生討論，教師在學(xué)生充分發(fā)表自己的想法基礎(chǔ)上給出畫圖的方法，并畫出圖形．二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】(一)閱讀教材P75～P76例1之前，回答下列內(nèi)容：1．用剪刀按照P75“探究”介紹的方法，剪出一個(gè)等腰三角形，想一想，它是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？解：它是軸對稱圖形，底邊上的垂直平分線．2．將1中的等腰三角形沿對稱軸對折，找出重合的線段和角，由此你發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的哪些性質(zhì)？解：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．(簡寫成“解：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一”)歸納：我們可以得出等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)．(二)除了教材P76的證明方法證明性質(zhì)1，你還有其他的方法嗎？解：方法二：作BC的垂線AD，垂足為D，則△ADB與△ADC是直角三角形．因?yàn)锳B＝AC，AD＝AD，所以△ADB≌△ADC(HL)．所以∠B＝∠C.方法三：作∠A的平分線AD，因?yàn)锳B＝AC，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，所以△ABD≌△ACD(SAS)．所以∠B＝∠C.填空：(1)已知等腰三角形的一個(gè)底角是70°，則其余兩角為70°、40°．(2)已知等腰三角形的一個(gè)角是100°，則它的另外兩個(gè)角是40°和40°；等腰三角形的兩邊長分別為8cm和6cm，則它的周長是20cm或22cm．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例1：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等邊對等角)，設(shè)∠A＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，從而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，于是在△ABC中，有∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.例2：已知△ABC中AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周長分別是20cm和16cm，求AD的長．解：∵AB＝AC，AD⊥BC于D，∴BD＝DC(三線合一)．∴△ABC的周長＝2AB＋BC＝20cm.∴△ABD的周長＝AB＋eq\f(1,2)BC＋AD＝16cm.∴2AD＝12cm.∴AD＝6cm.eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知這節(jié)課主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對性質(zhì)作了簡單的應(yīng)用．請學(xué)生表述性質(zhì)，提醒學(xué)生靈活運(yùn)用．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則其余的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為(D)A．40°、100°B．70°、70°C．60°、80°D．40°、100°或70°、70°2．如圖，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，則∠B等于(D)A．50°B．40°C．25°D．20°第2題圖第3題圖3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則圖中全等三角形共有(B)A．2對B．3對C．4對D．5對4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BF＝CE，BD＝CF，求∠DFE的度數(shù)．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CF，BF＝CE，∴△BDF≌△CFE(SAS)．∴∠BDF＝∠EFC.∴∠DFE＝180°－∠DFB－∠EFC＝180°－∠DFB－∠BDF＝∠B.∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°.∴∠DFE＝75°.六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：等腰三角形的判定1．理解和掌握等腰三角形的判定方法．2．利用等腰三角形的判定方法證明相關(guān)問題，輔助以尺規(guī)作圖為手段作等腰三角形．重點(diǎn)：等腰三角形判定的運(yùn)用，利用尺規(guī)作圖作等腰三角形．難點(diǎn)：等腰三角形判定的應(yīng)用．一、情景導(dǎo)入，感受新知先請學(xué)生回憶等腰三角形的性質(zhì)，再向?qū)W生提出下列問題．例1：如圖，位于海上A，B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測得∠A＝∠B.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)(不考慮風(fēng)浪因素)．引導(dǎo)學(xué)生作如下思考：(1)應(yīng)該能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)，因?yàn)閮伤揖壬乃俣认嗤瑫r(shí)出發(fā)，在相同的時(shí)間內(nèi)走過的路程應(yīng)該相同，也就是OA＝OB，所以兩船能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)．(2)能同時(shí)趕到O點(diǎn)位置的一個(gè)很重要的因素是∠A＝∠B，也就是說如果∠A不等于∠B，那么同時(shí)以同樣的速度出發(fā)就不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)．二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】1．用直尺和量角器畫△ABC，使∠B＝∠C，再用刻度尺量一量線段AB、AC的長，你有什么發(fā)現(xiàn)？答：AB＝AC.2．猜想(教材P77思考)：我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角亦相等；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊有什么關(guān)系？你能驗(yàn)證嗎？答：相等，能．驗(yàn)證過程如下：已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC.證明：作△ABC邊上的高AD.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠B＝∠C.∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB＝AC.歸納：等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(簡寫成：“等角對等邊”)．練習(xí)：1．在△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°，則有(C)A．AB＝ACB．AC＝BCC．AB＝BCD．AB＝AC＝BC2．如圖所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于3cm．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例1：如圖，標(biāo)桿AB高5m，為了將它固定，需要由它的中點(diǎn)C向地面上與點(diǎn)B距離相等的D，E兩點(diǎn)拉兩條繩子，使得D，B，E在一條直線上，量得DE＝4m，繩子CD和CE要多長？【教學(xué)說明】這是一個(gè)與實(shí)際生活相關(guān)的問題，要解決這類問題，需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，本題的實(shí)質(zhì)是已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長的問題．解：如圖(2)，選取比例尺為1∶100.①作線段DE＝4cm.②作線段DE的垂直平分線MN，與DE交于點(diǎn)B.③在MN上截取BC＝2.5m.④連接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的長，就可以計(jì)算出要求的繩長．例2：如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分別是兩腰上的中線，求證：BD＝CE.證明：∵AB＝AC.∴∠ABC＝∠ACB(等邊對等角)．又∵CD＝eq\f(1,2)AC，BE＝eq\f(1,2)AB，∴CD＝BE.在△BEC和△CDB中，∵BE＝CD，∠ABC＝∠ACB.BC＝CB.∴△BEC≌△CDB(SAS)．∴BD＝CEeq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知1．等腰三角形的判定方法．2．尺規(guī)作圖手段作等腰三角形．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°.并說明圖中有哪些等腰三角形．∠1＝72°，∠2＝36°，圖中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△BCD．第1題圖第2題圖2．如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列三個(gè)條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三個(gè)條件中，條件①③或②③可判定△ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫出所有情形)．3．如圖，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別為AB、BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，∠DEF＝∠B.求證：△DEF為等腰三角形．證明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,BD＝CE，,∠BDE＝∠CEF，))∴△BDE≌△CEF(ASA)．∴DE＝FE，即△DEF是等腰三角形．六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：等邊三角形1．知道等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形是軸對稱圖形．2．能敘述、推證等邊三角形的性質(zhì)和判定方法．重點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)與判定．難點(diǎn)：等邊三角形的判定和性質(zhì)的區(qū)別，等邊三角形的判定的應(yīng)用．一、情景導(dǎo)入，感受新知提問：同學(xué)們知道等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)，使它成為等邊三角形？把你的想法與同學(xué)們交流一下．二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】閱讀教材P79標(biāo)題13.3.2下的內(nèi)容，完成下面的內(nèi)容：由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法，可以得到：歸納：1.等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．2．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．3．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．練習(xí)：如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD＝BE＝CF，求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD＝BE＝CF.∴AF＝BD＝CE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)．∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是等邊三角形．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例1：如圖，已知P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．【分析】由已知顯然可知△APQ是等邊三角形，每個(gè)角都是60°，又知△APB與△AQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質(zhì)即可推得∠PAB＝30°.解：∵AP＝AQ＝PQ，∴△APQ是等邊三角形．∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，又∵AP＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.又∵∠APQ＝∠PBA＋∠PAB，∴∠PAB＝30°.同理∠QAC＝30°.∴∠BAC＝∠PAB＝∠PAQ＋∠QAC＝120°.例2：如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的長．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，易證△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠DAC，AD＝BE，又∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP，∴∠BPQ＝∠DAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴BQ⊥AD，∴BP＝2PQ＝6，BE＝BP＋PE＝7，∴AD＝BE＝7.eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，并對這個(gè)結(jié)論的證明有意識(shí)地滲透分類討論的思想方法．這節(jié)課我們學(xué)的定理非常重要，在我們今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．等邊△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點(diǎn)I，則∠BIC等于(C)A．60°B．90°C．120°D．150°2．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，則AB的長度是(C)A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm3．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE＝CD.連接DE.(1)∠E等于多少度？(2)△DBE是什么三角形？為什么？解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×60°＝30°.(2)∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴△DBE是等腰三角形．六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：含30°角的直角三角形的性質(zhì)1．理解掌握有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)．2．有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用．重點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用．難點(diǎn)：1.含30°角的直角三角形性質(zhì)的探索與證明．2．引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題．一、情景導(dǎo)入，感受新知我們學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們先來看一個(gè)特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì)，大家可能已猜到，我讓大家準(zhǔn)備好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？問題：用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說說你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】請同學(xué)們準(zhǔn)備好兩個(gè)全等的含30°角的直角三角形，把相等的邊拼在一起組成平面圖形，有6種拼法．【合作探究】1．在這些圖形中，軸對稱圖形有4個(gè)，其中三角形有2個(gè)，各是一個(gè)怎樣的三角形？說說你的理由．解：一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是等邊三角形．如圖：2．你能借助圖(2)，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？怎樣證明．解：BC＝eq\f(1,2)AB.△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB＝AD，∠BAD＝2×30°＝60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形．再由AC⊥BD，可得BC＝CD＝eq\f(1,2)AB.于是我們得到：定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】1：如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立桿BC，DE要多長？【分析】觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A＝30°，所以DE＝eq\f(1,2)AD，BC＝eq\f(1,2)AB，又由D是AB的中點(diǎn)，所以AD＝eq\f(1,4)AB.解：因?yàn)镈E⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，由定理知BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD，所以BD＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m)．又AD＝eq\f(1,2)AB，所以DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m)．答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.2：等腰三角形的底為15°，腰長為2a，求腰上的高．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高，求CD的長．【分析】觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC＝2a，而∠DAC是△ABC的一個(gè)外角，則∠DAC＝15°×2＝30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD.解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°∴∠DAC＝∠ABC＋∠BCA＝30°.∴CD＝eq\f(1,2)AC＝a(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角等于斜邊的一半)．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知這節(jié)課，我們在上節(jié)課的基礎(chǔ)上推理證明了含30°的直角三角形的邊的關(guān)系．這個(gè)定理是個(gè)非常重要的定理，在今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用．五、檢測反饋、落實(shí)新知1．(張家界中考)如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，則CD＝3．第1題圖第2題圖2．如圖，已知在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，若AC＝6cm，則AD＝2cm.3．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.求證：BD＝eq\f(1,4)AB.證明：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB.在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC，∴BD＝eq\f(1,4)AB.六、課后作業(yè)：鞏固新知(見學(xué)生用書)課題：最短路徑問題能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．如何選擇最短路徑．一、情景導(dǎo)入，感受新知前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬”問題．二、自學(xué)互研，生成新知【自主探究】閱讀教材P85問題1.這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？1.如圖，點(diǎn)A、B在直線l的兩側(cè)，點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？解：連接AB，線段AB與l的交點(diǎn)C就是所求．2.如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？你能利用軸對稱的有關(guān)知識(shí)找到符合條件的點(diǎn)B′嗎？解：如圖所示：過點(diǎn)B做關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，線段AB′與l的交點(diǎn)C即為所求．歸納：解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．三、典例剖析，運(yùn)用新知【合作探究】例1：要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管道最短？【分析】本問題就是要在l上的一點(diǎn)C，使AC與CB的和最小，設(shè)B′是B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，本問題也就是要使AC與CB′的和最?。谶B接AB′的線中，線段AB′最短．因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求．例2：如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往同腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．【分析】由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．eq\a\vs4\al(師生活動(dòng))①明了學(xué)情：學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師巡視全班．②差異指導(dǎo)：對于自學(xué)中遇到的問題適時(shí)點(diǎn)撥．③生生互助：先自學(xué)，對于困惑，同桌、小組交流．四、課堂小結(jié)，回顧新知1．本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？2．軸對稱在所研究問題中起什么作用？解決問題時(shí)，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還有哪些快收獲？五、檢測反饋、落實(shí)新知1．要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張村、李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河邊的垂直距離分別為1km和3km，張村與李莊的水平距離為3km，則所用水管最短長度為5km．2．小英、小蘭兩家分別在公路的兩側(cè)(A、B兩處)新建了住房，現(xiàn)在他們兩家之間要修建一條公路，請你幫助他們設(shè)計(jì)一個(gè)公路修建方案，要達(dá)到既省工又省錢的目的．(要使修建的路最短，請