2024年集英苑冬季競賽高中數(shù)學(xué)試題卷附答案解析

年集英苑冬季競賽高中數(shù)學(xué)試題卷本試題滿分150分，考試時(shí)間140分鐘．選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（

）A． B．0 C．1 D．22．平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．113．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件該約束條件在坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域如圖所示，則y的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．設(shè)，集合．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．某考試評(píng)定考生成績時(shí)，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學(xué)才能賦分97分及以上．若這些學(xué)生的原始分的最大值為a，最小值為b，令為滿足的一次函數(shù)．對(duì)于原始分為的學(xué)生，將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分．已知小趙原始分96，賦分100；小葉原始分81，賦分97；小林原始分89，他的賦分是（

）A．97 B．98 C．99 D．98或997．在中，角所對(duì)的邊分別是．已知，則（

）A． B． C．1 D．8．隨機(jī)事件A，B，C滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．9．函數(shù)的最小正周期是．10．橢圓經(jīng)過雙曲線的焦點(diǎn)，則．11．已知圓錐的高等于底面半徑r，則圓錐與半徑為r的球的表面積之比是．12．若數(shù)列滿足對(duì)任意，數(shù)列的前項(xiàng)至少有項(xiàng)大于，且，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．若存在具有性質(zhì)的數(shù)列，使得其前n項(xiàng)和恒成立，則整數(shù)的最小值是．三、解答題：本大題共5小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．13．如圖，已知三棱柱，平面．D，E分別是的中點(diǎn)．(1)證明：平面;(2)設(shè)與平面所成角的大小是，若，證明：．14．設(shè)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在a，使得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)？若存在，試求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.15．設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對(duì)M的一個(gè)子集A，若存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得A的所有數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓周上，且中的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓外，則稱A是一個(gè)M的“可分離子集”．(1)判斷是否是的“可分離子集”，并說明理由；(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，其中分別表示z的實(shí)部和虛部．證明：是的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng)．16．已知A是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），斜率為的直線與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)A（與x軸不平行）．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；(2)斜率為的直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，且是正三角形，求的取值范圍．17．春節(jié)將至，又是一年萬家燈火的團(tuán)圓之時(shí)．方方正正的小城里，住著戶人家，恰好構(gòu)成了坐標(biāo)平面上集合的所有點(diǎn)．夜里，小城的人家掛上大紅燈籠，交相輝映，將小城的夜晚編織成發(fā)光的大網(wǎng)．在坐標(biāo)平面上看，A中的每個(gè)點(diǎn)均獨(dú)立地以概率p被點(diǎn)亮，或以的概率保持暗滅．若A中兩個(gè)點(diǎn)的距離為1，則這兩個(gè)點(diǎn)被稱為是相鄰的．若A中的n個(gè)被點(diǎn)亮的點(diǎn)構(gòu)成一依次相鄰的點(diǎn)列，則稱這n個(gè)點(diǎn)組成的集合是長度為n的“相鄰燈籠串”．規(guī)定空集是長度為0的“相鄰燈籠串”．(1)給定A中3個(gè)依次相鄰的點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為集合包含的“相鄰燈籠串”的長度的最大值，試直接寫出隨機(jī)變量X的分布列（用p表示）；(2)若，證明：存在長度為1000的“相鄰燈籠串”的概率小于0.01；(3)若，證明：存在長度為1000的“相鄰燈籠串”的概率大于0.99．1．D【分析】對(duì)數(shù)運(yùn)算可解.【詳解】.故選：D2．B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B3．A【分析】如圖求出直線交點(diǎn)的坐標(biāo)即可解.【詳解】如圖，求解，得，則，求解，得，則，如圖可知，y的取值范圍是.故選：A4．C【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比的范圍，再結(jié)合通項(xiàng)公式及單調(diào)性求解即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，而，則，又，因此數(shù)列是遞減數(shù)列，又，所以.故選：C5．C【分析】利用集合相等的定義得到關(guān)于的方程組，推得充分性成立；再簡單證得必要性也成立即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則有，或，若，顯然解得；若，則，整理得，因?yàn)?，，所以無解；綜上，，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，顯然，即必要性成立；所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.6．D【分析】根據(jù)題意設(shè)，得到，從而得到，代入不等式即可求解.【詳解】設(shè)(,為常數(shù))，由題可得，，即，由于，令，即，解得：，所以，則，即，所以小林原始分89，他的賦分是98或99.故選：D7．C【分析】利用正弦定理及，得到，將代入，化簡得到，求出答案.【詳解】，由正弦定理得，又，故，即，其中，所以，故，即，故，化簡得，即，，因?yàn)?，所以?故選：C8．D【分析】根據(jù)概率性質(zhì)結(jié)合條件概率以及互斥事件的定義分析判斷.【詳解】由題意可知：，例如，為互斥事件，則，可知，則，滿足題意，所以，顯然，即的取值范圍包含，結(jié)合選項(xiàng)可知D正確.故選：D.9．【分析】首先利用降冪公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)的最小正周期.【詳解】，所以函數(shù)的最小正周期.故答案為：10．1【分析】將雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程求得的值即可.【詳解】由題可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，解得.故答案為：111．【分析】求出圓錐的側(cè)面積和底面積，得到表面積，得到半徑為r的球的表面積，求出比值.【詳解】圓錐的母線長，故側(cè)面積為，圓錐的底面積為，半徑為r的球的表面積為，故圓錐與半徑為r的球的表面積之比為.故答案為：12．2【分析】先根據(jù)特例得到，再通過特例檢驗(yàn)等號(hào)成立，故可求整數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)闉榈臄?shù)列，故的前項(xiàng)至少有項(xiàng)大于，即，所以，故即.構(gòu)造如下數(shù)列：，對(duì)于任意，,,,其中，則數(shù)列的前項(xiàng)比大的有，共個(gè)，滿足題設(shè)條件.下證：滿足恒成立.證明：對(duì)任意，存在，使得，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，當(dāng)，.所以恒成立.綜上，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離散型變量的最值問題，可以先根據(jù)題設(shè)條件得到變量的一般范圍，再通過特例檢驗(yàn)等號(hào)成立即可.13．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，先判斷線線平行，再判斷線面平行.（2）根據(jù)線面角，二面角的概念構(gòu)造出直線與平面所成的角以及二面角，明確兩角的關(guān)系，再找與線面角的關(guān)系.【詳解】（1）由D，E分別是，的中點(diǎn)知．又因?yàn)槭侨庵?，所以，故，又不在平面上，平面，因此平面．?）設(shè)銳二面角的平面角的大小是，連接，由平面知．又，故，因此，，．由，是的中點(diǎn)知．又，而，得，故．14．(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)不存在，理由見解析【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意及圖象平移知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則是上的單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)（1）中函數(shù)結(jié)論即可判斷.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）不存在，理由如下：假設(shè)存在a，使得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù).令，則是上的單調(diào)遞增函數(shù).又也是上的單調(diào)遞增函數(shù)，令，則是上的單調(diào)遞增函數(shù).但由（1）知函數(shù)在上不單調(diào).故不存在a，使得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù).15．(1)是，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）取復(fù)平面上的圓，得到復(fù)數(shù)1，2，3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)，復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外，得到結(jié)論；（2）先證明必要性，令復(fù)數(shù)，取復(fù)平面上的圓，得到是的“可分離子集”；再證明充分性，只需證當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”，得到結(jié)論.【詳解】（1）是，理由如下：取復(fù)平面上的圓，則復(fù)數(shù)1，2，3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)．而，故復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．因此，是的“可分離子集”．（2）必要性：當(dāng)時(shí)，令復(fù)數(shù)，取復(fù)平面上的圓，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓周上，又，故1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．由，，知．故在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．因此，當(dāng)時(shí)，是的“可分離子集”．充分性：只需證當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”．假設(shè)存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓內(nèi)或圓周上，且1，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．設(shè)圓心表示的復(fù)數(shù)為．再設(shè)．由知，故．由知，故．進(jìn)而，，由知，故，進(jìn)而．這與矛盾，故所假設(shè)的圓在復(fù)平面上不存在．即當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”，充分性證畢，綜上，是的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng).【點(diǎn)睛】集合新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.16．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，直線代入拋物線方程，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根即可求出，根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線，代入拋物線求出和的關(guān)系式，設(shè)直線，同理求出和的關(guān)系，不妨設(shè)A，B，C是繞著的重心逆時(shí)針排列，由求出和的關(guān)系式，據(jù)此即可求解.【詳解】（1）由題意可設(shè)，直線，代入拋物線得，由題意，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，故，又，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；（2）

由題意可設(shè)直線，代入拋物線得，故，設(shè)直線，同理可得，由知，不妨設(shè)A，B，C是繞著的重心逆時(shí)針排列的，由知，代入化簡得，由圖易知時(shí)與同號(hào)，當(dāng)時(shí)如圖，

點(diǎn)不存在，所以，對(duì)于，想象這個(gè)圖順時(shí)針轉(zhuǎn)了一個(gè)小角度，AC直線延長和拋物線的交點(diǎn)在軸下面，所以，所以，又，進(jìn)而，代入化簡得，得，當(dāng)時(shí)，易知軸，B位于坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，而均不符合題意，因此，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于不妨設(shè)A，B，C是繞著的重心逆時(shí)針排列，由求出和的關(guān)系式.17．(1)分布列見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由題干可知，隨機(jī)變量X的可能取值為：0、1、2、3，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；（2）先計(jì)算出長度為1000的“相鄰燈籠串”的所有點(diǎn)的選法可能情況，再乘以對(duì)應(yīng)的概率即可判斷對(duì)應(yīng)的概率范圍；（3）從對(duì)立面出發(fā)，找到長度為1000的“暗滅燈籠串”的所有點(diǎn)的選法，乘以對(duì)應(yīng)的概率，再用1減去即可驗(yàn)證.【詳解】（1）A中3個(gè)依次相鄰的點(diǎn)，則隨機(jī)變量X為集合包含的“相鄰燈籠串”的長度的最大值，隨機(jī)變量X的可能取值為：0、1、2、3.則X的分布列為：X0123P（2）長度為1000的“相鄰燈籠串”的所有點(diǎn)的選法小于種．因此，P(存在長度為1000的“相鄰燈籠串”)．（3）現(xiàn)定義，若A中兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于，則這兩個(gè)點(diǎn)