2023年福建省廈門市普通高校對口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年福建省廈門市普通高校對口單招數(shù)

學(xué)自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

?

L以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率為半長軸為3的橢圓方程是（）

A.r?-

-7

c.?+?=1

D?∕aI或才ir∣

函數(shù)]?=.∕-2x-l的頂點坐標(biāo)為().

A.(l,2)B.(-l,2)C.(-l,-2)D.(l,-2)

f.、[1一77?工》。?

∕<JΓ>"{

3.設(shè)1".'則f(f(-2))=()

A.-lB.1/4C.1/2D.3/2

函數(shù)V=4工+3的單調(diào)遞增區(qū)間是()

4.

(-oθ,+oc)

??k.

b(θ.+∞)

C.(f①

[θ.+oc)

D.

5.一元二次不等式x2+x-6<0的解集為

A.(-3,2)B.(2,3)C.(-∞,-3)U(2,+∞)D.(-∞,2)U(3,+∞)

6.己知向量a=(3,-2),b=(-l,l),則3a+2b等于()

A.(-7,4)B.(7,4)C.(-7,-4)D.(7,-4)

7.己知集合A={x∣x>0},B={x∣-2<x<l),則AUB等于()

A.{x∣0<X<1}B.{x∣x>0}C.{x∣-2<X<1}D.{x∣x>-2}

8.直線2x-y+7=0與圓(x-b2)+(y-b2)=20的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交但不過圓心C.相交且過圓心D.相切

9川列舉法表示9的平方根的全體構(gòu)成的集合是()

A.{-3}

B?{3}

C.{-3,3}

設(shè)全集U={12345},∕={234},B={l2.5},C=?2.4}.

則集合{2,4}應(yīng)是().

10.

A.

AΓ?C

B.

JUB

C.

D.U

二、填空題(10題)

11.已知拋物線的頂點為原點，焦點在y軸上，拋物線上的點M(m,-

2)到焦點的距離為4,則m的值為.

12.l÷3+5÷...÷(2π-b)=.

函數(shù)f(x)=3cos(x+￡)的最小值是______=

13.6

14.口袋裝有大小相同的8個白球，4個紅球，從中任意摸出2個，則

兩球顏色相同的概率是.

復(fù)數(shù)需=____________

15.

22

雙曲線工一匕=1的漸近線方程是Y=。

16.94

某田徑隊有男運動員3。人，女運動員10人.用分層抽樣的方

法從中抽出一個容里為20的樣本，則抽出的女運動員有

17.人.

復(fù)數(shù)（1+?！辜靶ζ矫娣怫康狞c＞5.第象限.

18.

方程3-2=。的根所在的區(qū)間是

19.

20.i為虛數(shù)單位，I∕i+l∕i3+l∕i5+l∕i7

三、計算題(5題)

21.已知函數(shù)y=0cos2x+3sin2x,XeR求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

l-χ

己知函f(x)=Ioga-----,(a>0且a≠)

22.1+x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

23.有語文書3本，數(shù)學(xué)書4本，英語書5本，書都各不相同，要把這

些書隨機排在書架上.

(1)求三種書各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語書不挨著排的概率P。

24.在等差數(shù)列｛a11｝中，前n項和為Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差數(shù)列

｛an｝的通項公式an.

25.某小組有6名男生與4名女生，任選3個人去參觀某展覽，求

(1)3個人都是男生的概率；

(2)至少有兩個男生的概率.

四、簡答題(10題)

26.如圖，四棱錐P-ABCD中，PAJL底面ABCD,AB//CD,

AD=CD=I,BAD=120o,PA=A,ACB=90oo

(1)求證：BC_L平面PAC。

(2)求點B到平面PCD的距離。

27.如圖四面體ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求證:

(1)平面ABDJL平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-Ae-D的正弦值.

28.數(shù)列上；的前n項和Sn,且與=LaZ=S*j=L23求

(1)32,a?,JU的值及數(shù)列E，的通項公式

(2)a2+a4+a6++a2n的值

3(n?(π?

—σe-,πa+—

29.已知CoS=5,….?',求COs?6,.,的值.

χ2y2

30.已知雙曲線C：/下川―的右焦點為用劃且點用到C

的一條漸近線的距離為貶.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P為雙曲線C上一點，若IPFII=,求點P到C的左焦點用的距

離.

31.解關(guān)于X的不等式56/+以〈1

32.在ABC中，BC=石,AC=3,sinC=2sinA

(1)求AB的值

(2)求的值

Sm(180-α)嚴(yán)(270+a)Tsin(360r)

33.化簡cos(α-180)tan(900+α)cos(α-360)

71-2sm10cosl0

34.化簡CoslO-7l-ssn2100

35.據(jù)調(diào)查，某類產(chǎn)品一個月被投訴的次數(shù)為0,1,2的概率分別是

0.4,0.5,0.1,求該產(chǎn)品一個月內(nèi)被投訴不超過1次的概率

五、解答題(10題)

2

己知數(shù)列｛4｝的首項J=I,4“=3^,.1÷2n-6n+3(n=2,3,?..)

數(shù)列｛b,,｝的通項公式b,產(chǎn)，“+!?：

(1)證明數(shù)列｛b"是等比數(shù)列.

36(2)求數(shù)列｛b,J的前n項和S,「

37.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值；

若BA-BC=2,b=2y∣2求a和C的值.

38.數(shù)列&；的前n項和Sn,且與=L-=MJ=】23求

(1)a2,a3,a4的值及數(shù)列加；的通項公式

(2)a2÷a4+a6÷÷a2n的值

39.

L2知向呈α=(-Lcos￠)h=(sa?θ,2)ILi，人求3cos：("-6)+4suι26

的偵

40.

-*t-?-a.??.???s?Λ50?,?7j*i*t-jfA???=S??Λ,從中奧

機獨取io泉金晶.??4.?.?s?CΛ?:R，并得到其基葉邕r?sj.

rυ求之⑷彖會痣支支的文數(shù).并估針這批會品奕際彌漫的平均數(shù)；

「2)若WW金2的類際支￡小于或4??于47g,M機分不合格產(chǎn)品,火估計這枇食品支賢的合格率.

45669

5000112

41.已知橢圓的中心為原點，焦點在X軸上，離心率為P,且經(jīng)過點

M(4,1),直線1：y=x+m交橢圓于異于M的不同兩點A,B直線

MA,MB與X軸分別交于點E,F.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求m的取值范圍.

42.在直角梯形ABCD中，AB∕∕DC,ABjLBC,且AB=4,BC=CD=2.

點M為線段AB上的一動點，過點M作直線a_LAB.令A(yù)M=X,記梯

形位于直線a左側(cè)部分的面積S=f(x).，(1)求函數(shù)f(x)

的解析式；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.

求+F證.?----1-O-----M---To

5∕πl(wèi)OoCmlO0

43.

,已知禹敦/(K)=II一。I—+〃，.V∈11.6],?eR

X

(?)若。=1,試劌新并證明后效/(工)的單司性；

CII)?f∕∈(∣.6)?t,求為雙/'(A)的最大值的表達式Al.

44.

45.

2

,數(shù)列U的各項均為正數(shù)，S”為其前〃項和，對于任意〃￡N*

，總有4,Sfr4

差數(shù)列.

(I)求數(shù)列W的通項公款∏)求數(shù)列“『a’的前〃項和。

六、單選題(0題)

46.噫8=

A.2B.3CA

參考答案

1.B

由題意可知，焦點在X軸或y軸上，所以標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，而a=3,

c∕a=l∕3,所以C=Lb2=8,因此答案為B。

2.D

3.C

函數(shù)的計算?f(-2)=2-2=l∕4>0,則f(f(-2))=f(1/4)=1-旺=1-1/2=1/2

4.A

5.A

6.D

丫向量:=(3,-2)∕=(-1,1),

.?.3α=(9,-6),2/=(-2,2),

.*.3a+2i)=(7,-4)

綜上所述，答案選擇：D

7.D

:集合4={工口>。},β={ι?∣-2<??<l},

.?.4u3={Wτ>()}U{x∣-2<c<l}={c∣,>-2}.

8.D

由題可知，直線2x-y+7=0到圓(x-b)2+(y-b)2=20的距離等于半

徑，所以二者相切。

9.C

10.B

11+4,

由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-2py,

?「拋物線上的點M(M,-2)到焦點的距離為

4,

fn

-÷2=4,解得p=4.

二.拋物線的方程為X2=-Sy.

把點M(m,—2)代入τ∏2=16,解得Tn=±4.

故答案為：±4.

12.n2,

1+3+5+…+(2"-1)共有Ti項

.?.l+3+5+...+(2n-l)

=i×[l÷(2n—l)]×n

1

=-^×o2n×n

=712.

13.-3

由于COS(X+π∕6)的最小值為-1,所以函數(shù)f(x)的最小值為-3.

14.

17

33

解析：都是白色的概率為PI=WL=Ii,都是

?33

2

紅色的概率為P2=C^-=-5

4C?33

故兩球顏色相同的概率為01+P2=

14317

—+—=—?

333333

15.

復(fù)數(shù)2-2i_(2-2D(Li)經(jīng)士竺一,

^T+I(l÷i)(l-i)2

故答案為:2i.

16.

把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成O即得漸近線方

程，化簡即可得到所求.

雙曲線方程為￡=i的，則漸近線方程

94

為線上-12=0,gp2∕=±∣x,

943

故答案為y=±∣χ.

17.5

18.1-π∕4

19.(1,2)

200復(fù)數(shù)的運算.l∕i+l∕i3+l∕i5+l∕i7=-i+i-i+i=0

21.

:解：y=?/?cos2x+3sin2x

=2百(；COS2x+^-sin2x)

=2>∕i(sin-CoS2x+cos'sin2x)

66

=2y∕3sin(2x+令

(1)函數(shù)的值域為[一2百,2√5].

(2)函數(shù)的最小正周期為T=2Ξ=π.

2

22.

l-χ

解：(1)由題意可知：---->0,解得：—1<X<1?

1+x

函數(shù)/(X)的定義域為Xe(-1,1)

(2)函數(shù)/(χ)是奇函數(shù)，理由如下:

r/?11一(一工)11+X1I-X

/(-X)=Ioga——=Ioga--=-Ioge--=-f(x)，

l+(-x)1-x1+x

Λ函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

23.

解：（I）利用捆綁法

先內(nèi)部排：語文書、數(shù)學(xué)書、英語書排法分別為力；、⑷、W

再把語文書、數(shù)學(xué)書、英語書看成三類，排法為H

排法為：H=Io3680

（2）利用插空法

全排列：412

語文書3本，數(shù)學(xué)書4本排法為：4

插空：英語書需要8個空中5個：團

英語書不挨著排的概率：尸=W連=2

父99

24.解：設(shè)首項為ai、公差為d,依題意:4aι+6d=-62;6a1+15d=-75

解得aι=-20,d=3,an=aι+(∏-1)d=3n-23

25.

解：（1）3個人都是男生的選法：Cl

任意3個人的選法：Cf0

P="

3個人都是男生的概率:

C1O6

（2）兩個男生一個女生的選法：

C"C：_2

至少有兩個男生的概率P=

C3

26.證明：（I）PAJ_底面ABCD

PA?BC又NACB=90°,BC±AC則BC，平面PAC

（2）設(shè)點B到平面PCD的距離為h

AB//CDAB//平面PCD

又NBAD=I20。NADC=60。

又AD=CD=I

則4ADC為等邊三角形，且AC=I

PA=APD=PC=2

27.

解：(1)證明過程略

(2)解析：：平面ABDI.面ACV；.平IMABD平而ACD=；AD作BE

±ADTE

則B￡L平面ACD作BF_LAC于F

連接￡F/.EFJ.AC：.BPJE為所求角

設(shè)BD=a則AC=2&aBF=√2a

EFAF,,√2a-√3Ο√30

--=--cLr=--L-?="-~α

CDAD√5α5

SinZBFE=-

5

28.

4=a>2)

則口∕=J4即Nr=τ

343

則數(shù)列從第二項起的公比是g的等比數(shù)列

+n1

⑵%+“，+°JΠ=∣κ^)-ι

29.

3∈(y,Λ?),ΛSina=I

∞sa=——,α

5

/7ζ、TC??TC

cos(α+-)=cosae?s-----SInasin—

666

=(*√34?3√3+4

---一X-=

25210

30.(1)：雙曲線C的右焦點為Fl(2,0),.?.c=2

|2|

又點到的一條漸近線的距離為應(yīng)，..亞+從

F1Cl?,即以

≡=√2

C

解得b=√3

aa=ca-b3≡激雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡-2=1

22

(2)由雙曲線的定義得Pel-IP剛=2√Σ

..照I-闋=2笈解得眼∣=3^

故點閱C的左焦點F由距離為3我

31.

解:將所求不等式轉(zhuǎn)化為

56X2+ax-a2<0-??56x2+ax-a2=0

當(dāng)a>0時,所求不等式的解集為｛x∣-9<x<§

7o

當(dāng)a<0時,所求不等式的解集為｛xq<x<-?

32.

(1)VβC=√5,sinC=2sin^

由正弦定庠得48H型曲￡=2石

s∞A

(2)由余弦定理得：

,4Bj+AC1-BCi2√5

IABAC5

√543

:?Sin/■一,sin2/≡≡-,cos2∕,一

555

410

33.sinα

34.

J(Sinlo-CoslO

解:原式一

CoslO-√cos2100

_Isin10-coslO∣COSlo-sin10

sinlθTCOSlOocos10-SinIo

35.設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個月內(nèi)

被投訴的次數(shù)為1”

.?.P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9

36.

⑴依題意得：

圓C的圓心坐標(biāo)為C(LO)

半徑r=√32-1=2√2

.?.圓C的方程為：

22

(X-I)+V=8

在橢圓D中，焦點在、軸上，

b=4,t*=3

,.ci=yjb2+c--yJ4'+32=J25=5

，橢圓的方程為：

X2V2

—+—=1

2516

(2)由⑴可知橢圓”的方程為：言暇=1

則yj16-空

25

在橢圓。上任取一點∕i(?,v)

則圓C的圓心C(LO)到〃點的距離為

.?.圓C的圓心與橢圓D上任意一點的距離大于圓C的半徑。

37.

解:

一L、cabc

⑴在AABC中設(shè)^一-二^―-==2R

sinAsinBsmC

貝!1：a=2RsinA.b=2RsinB,c=2RsinC

VbcosC=(3a-c)cosB

Λ2RsinBcosC=(3-2RsinA-2RsinC)φsB

≡P：SinBcosC=3sinAcosB-SinCcosB

SinBcosC+CosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180o-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcosB

1

3sinN3

(2)依題意如右圖所示

??BA?BC=∣ft4∣∣BC∣cosB=-ac=2

；?QC=6---------------(1)

11111

τ71?a+c-ba+c-8

又二=COSB=--------------=---

3Iac12

.?.β2+c2=12------------(2)

聯(lián)立①②解得

38.

1?C11416

(1)%=MSIt,α2?2='<Λ3=",Λ4=—

4=；Sl522)

則"4=J%即%L=T

343

則數(shù)列從第二項起的公比是g的等比數(shù)列

+生"鴻）一］

。、+α4÷

⑵’

39.

?..a=(-LCoSe)5=(sιn6,2)“ZeLB

I.-sιn6+2cos6=O.Jtane=2

3cos2^÷8sm^cos^3+8ιanS19

3cos'(∕r-8)+4sm26=3cos2夕+8SlUeCOs8=

cos26+sm]θ1÷tan2Θ5

40.

C)違I。裝會M支戈的眾數(shù)為50fgJ,...................................2分

因為這1。裳食品支支的平均數(shù)為

454646495050505l5152，,、

----+------+-----+------+-----+-----+------+-----+-----+----二49(g),

1()

所以可以牯計這枇?xí)穼嶋H支爰的平均數(shù)為49(rgJ;................................4分

(2)Sl乃JiJO敦登品中實際魚叁小于或等于47g的考3堂.，

3

所以可以估計這枇食g食叁的不合格率為正.......................6分

7

故可以估計這批會品女￡的合格率乃歷.......................8分

73

41.(1)設(shè)橢圓的方程為χ2∕a2+y2∕b2=l因為e=9,所以a2=4b?,又因為橢

圓過點M(4,1),所以16廢+1小2=1,解得點=5,a2=20,故橢圓標(biāo)準(zhǔn)

方x2∕20+y2∕5=l

⑵將y=m+x：代入x2∕20+y2∕5=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0令2

=(8m2)-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5.又由題意可知直線不過M(4,1),

所以4+m≠l,m≠-3,所以m的取值范圍是(-5,-3)U(-3,5).

42.

(1)當(dāng)0≤ι≤4時.記直線α與AD或

Dc的交點為E,再分兩類I當(dāng)?！?r≤2時,悌形

住直線α左禽的部分是等腰直角三角形AME.

AM=EM=x.∕(jr)≡SΛΛJMC≡-??*ι當(dāng)2V/

≤4時.梯形在直線α左網(wǎng)的部分AMED是出用

梯形.AM=x,DE=x-2.ME=2./(x)≡

)+￡

SΔΛM<--~O-×2-2x-2.緣上?函數(shù)

4-J?0≤J≤2.

/(x)的解析式為Ja)=2

2x—,2?2<?≤4.

(2)作出函數(shù)/(?)的圖象如下：

43.

$OzvlO0-√35∕n∣θ0

邊=______GC

00

SZnIOCo5IO

00

2('COSIO-^SZHIO)

SiMlO0CadO0

=2(5/7i300Co.d()°-Cm3()',S∕n∣()0)

SznlO11Co.VlO0

O

2S∕Λ2O

^SMIO1Cm10"

4S∕Λ20O

0

^25∕?∕1∣O"CosIO

=4

=右邊

44.

⑴劌和：若4=1,后就/(N)在［1.6］上爰增為數(shù).

9

證M：ia=IAff(Λ)=X一一，

9X

在區(qū)河∣1,6∣上任意士，&,設(shè)$<4,

「「9999

./(?，)―/(κ)=(?i------)—(工>-----)=(Nl-X,)—(-----