第八章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（公式、定理、結(jié)論圖表）-2023年高考數(shù)學(xué)知識手冊（新教材）

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析(公式、定理、結(jié)論圖表)

I、思維導(dǎo)圖

樣本相關(guān)系數(shù)

數(shù)值變量

相關(guān)性

一元線性回歸模型

成對數(shù)據(jù)

分類變量

2X2列聯(lián)表獨立性檢粉

I、知識梳理

一、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)函數(shù)關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來表示.

(2)相關(guān)關(guān)系

兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)

系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

2.散點圖

⑴散點圖

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.

(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，

當(dāng)一個變量的值增加時.，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；

如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).

y↑

°正相關(guān)X0負(fù)相關(guān)X

3.線性相關(guān)

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，則稱這兩個變量線性相關(guān).

4.樣本相關(guān)系數(shù)

(1)對于變量X和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(汨,“)，(X2,g)，…，(x,,%),利用相關(guān)

系數(shù)，?來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計算公式：

C（X,-x）（%-?）52%%~nx-y

r=/廠==/'7----（其中M,了2，…，X“和

aL丁卮…2√∑^2--2）∑k-^2）

yl,y2>…，％的均值分別為X和夕）.

①當(dāng)，>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變小；當(dāng)

其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當(dāng)xθ時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當(dāng)

其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小.

二、一元線性回歸模型及其應(yīng)用

1.線性回歸方程：

（1）最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

（2）回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（χ∣,χ）,（χ2,%）,?，（x,,，K），其回歸方程

__

Yjxiyj-nxy

b-^-

為y=bx+α則《￡尤；-〃：注意:線性回歸直線經(jīng)過定點缶5）.

/=1

a=y-bx.

（3）相關(guān)系數(shù):

【方法歸納】

（1）利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便的方法.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)

的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)

系.若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān).

（2）利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)M越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)R?越大，相關(guān)性越

強(qiáng).

（3）在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)

關(guān)系，也可計算相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷.若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值.

（4）正確運(yùn)用計算b,a的公式和準(zhǔn)確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵.并充分利用回歸直線y=Λx+α

過樣本點的中心G,亍）進(jìn)行求值.

2、回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法。

建立回歸模型的基本步驟是:

（1）確定研究對象，明確兩個變量即解釋變量和預(yù)報變量;

（2）畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系；

(3)由經(jīng)驗確定回歸方程類型(若呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程)；

(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)；

(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差出現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等)，若

存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。

三、列寐表與獨立性檢驗

1.2x2列聯(lián)表

設(shè)X，y為兩個變量，它們的取值分別為｛芯，々｝和｛必，%｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2x2列聯(lián)表)如下：

??總計

y2

?laba+b

X2cdc+d

總計a+ch+da+b+c+d

2.獨立性檢驗

利用隨機(jī)變量K2(也可表示為/)?-~〃(叱Tc)_(其中〃=a+。+。+］為樣本容量)來

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

判斷“兩個變量有關(guān)系''的方法稱為獨立性檢驗.

3.獨立性檢驗的一般步驟

⑴根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表；

(2)計算隨機(jī)變量K2的觀測值k,查下表確定臨界值履：

pN≥k°)0.500.400.250.150.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(3)如果k≥z°,就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過p(κ2≥%o);否則，就認(rèn)為在犯錯

誤的概率不超過P(K2≥ZO)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”.

典例1;研究某灌溉渠道水的流速y與水深X之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：

水深％/加1.40L501.601.701.801.902.002.10

流速y∕(m?s~i)1.701.791.881.952.032.102.162.21

(1)求y對X的回歸直線方程;

(2)預(yù)測水深為1.95加時水的流速是多少？

分析：本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點圖表示出來，若這些點大致分布在通過散點

圖中心的一條直線附近，說明這兩個變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過的最小二乘估計思想及計算公式求

得線性回歸直線方程。

【解析】(I)由于問題中要求根據(jù)水深預(yù)報水的流速，

因此選取水深為解釋變量，流速為預(yù)報變量，作散點圖:

由圖容易看出，X與y之間有近似的線性關(guān)系，

或者說，可以用一個回歸直線方程a=晟+a來反映這種關(guān)系,

A11

由計算可求得力=Ua0.733、a≈0.694,

15

對X的回歸直線方程為9=0.733x+0.694:

(2)由(1)中求出的回歸直線方程，把X=L95代入，易得：

?=0.733×1.95+0.694≈2.12(ΛΠ∕5),

計算結(jié)果表示，當(dāng)水深為1.95m時可以預(yù)測渠水的流速為2.12m/s。

典例2：電容器充電后，電壓達(dá)到IOOV，然后開始放電，由經(jīng)驗知道，此后電壓U隨時間f變化的規(guī)律公

式U=A?e"(b<0)表示,觀測得時間f(s)時的電壓U(V)如下表所示:

t0]2345678910

~u~100^^5^3T~4(Γ^30^20∏5^"?^κΓ虧~τ~

試求電壓U對時間f的回歸方程。

【分析】由于兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)

系，我們可通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系,通過線性回歸模型來建立U與t之間的非線性回歸方程。

【解析】對U=A?e”兩邊取自然對數(shù)得：InU=InA+9，令y=lnU,α=lnA,即y=bf+α,

由所給數(shù)據(jù)可得：

t01_2345678910

4.64.3403.93.42.92.72.32.31.61.6

其散點圖為：

ιp129494t?9IO

由散點圖可知y與f具有線性相關(guān)關(guān)系，可用夕=自+力來表示,

經(jīng)計算得：f=5、?=3.1,b≈0.3,a≈4.6,

+

.?.?=-0.3z+4.6,即Inu=-0.3f+4.6,：.U=e^'^

【評注】一般地，有些非線性回歸模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究

呈非線性回歸關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系：

（1）如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模：

（2）如果散點圖中的點的分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，要先對變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來

建模。

典例3：為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

患病不患病合計

吸煙43162205

不吸煙13121134

合計56283339

試問：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎？

【分析】最理想的解決辦法是向所有50歲以上的人作調(diào)查，然后對所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計處理，但這

花費的代價太大，實際上是行不通的，339人相對于全體50歲以上的人，只是一個小部分，已學(xué)過總體和

樣本的關(guān)系，當(dāng)用樣本平均數(shù)，樣本方差去估計總體相應(yīng)的數(shù)字特征時，由于抽樣的隨機(jī)性，結(jié)果并不唯一。

現(xiàn)在情況類似，我們用部分對全體作推斷，推斷可能正確，也可能錯誤。如果抽取的339個調(diào)查對象中很多

人是吸煙但沒患慢性氣管炎，而雖不吸煙因身體體質(zhì)差而患慢性氣管炎，能夠得出什么結(jié)論呢？我們有95%

（或99%）的把握說事件A與事件8有關(guān)，是指推斷犯錯誤的可能性為5%（或1%）,這也常常說成是“以

95%（或99%）的概率”是一樣的。

【解析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K?=339X（43XI2I62*13）~=7469,

205×134×56×283

V7.469>6.635,二我們有99%的把握說50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。

【評注】對兩個分類變量進(jìn)行獨立性檢驗，要對樣本的選取背景、時間等因素進(jìn)行分析。

典例4：為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下的列聯(lián)列表：

藥物效果與動物試驗列聯(lián)表

患病未患病總計

服用藥104555

沒服用藥203050

總計3075105

請問能有多大把握認(rèn)為藥物有效？

【解析】假設(shè)“服藥情況與是否患病之間沒有關(guān)系”，則K?的值應(yīng)比較小，

如果K2的值很大，則說明很可能“服藥情況與是否患病之間有關(guān)系”，

由題目中所給數(shù)據(jù)計算，得K2的觀測值為?≈6.110,

而P（∕f2>5.024）≈0.025,二有97.5%的把握認(rèn)為“服藥情況與是否患病之間有關(guān)系”,

即大約有97.5%的把握認(rèn)