高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料：7 統(tǒng)計(jì)與概率（理科）解答題30題 學(xué)生版

專(zhuān)題7統(tǒng)計(jì)與概率（理科）解答題30題

1.（江西省豐城中學(xué)2023屆高三下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題）某校在2018年11

月份的高三期中考試后,隨機(jī)地抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)并進(jìn)行了分析,結(jié)果這50名

同學(xué)的成績(jī)?nèi)拷橛?0分到140分之間.現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組[80,90）,

第二組[90,100）,.一第六組[130,140],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

t頻率

組距

0.03-------------------

0.024------------I

0.016---------------------------------

OvSO~90100110120130140^^?

（1）試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?20分（含120分）以上的同學(xué)中任意抽取3人,該3人在130分（含

130分）以上的人數(shù)記為,求X的分布列和期望.

2.（廣西梧州市2023屆高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）某班50位學(xué)生期中考試

數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40,50）,[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100].

頻率

8概

0.018

0.006

IVN-------------------------------->

O405060708090100成績(jī)

（1）求圖中X的值和學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；

（2）從成績(jī)低于60分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)記為X,

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

3.（貴陽(yáng)省銅仁市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題）2022年9月

3日至2022年10月8日，因?yàn)橐咔椋F陽(yáng)市部分高中學(xué)生只能居家學(xué)習(xí)，為了監(jiān)測(cè)居

家學(xué)習(xí)效果，某校在恢復(fù)正常教學(xué)后舉行了一次考試，在考試中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體成績(jī)相

較疫情前的成績(jī)有明顯下降，為了解學(xué)生成績(jī)下降的原因，學(xué)校進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，從問(wèn)

卷中隨機(jī)抽取了200份學(xué)生問(wèn)卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學(xué)生成績(jī)下降，在這些成績(jī)下降的

學(xué)生中有54名學(xué)生屬于“長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)娛樂(lè)”(每天使用手機(jī)娛樂(lè)2個(gè)小時(shí)以上)的

學(xué)生.

(1)根據(jù)以上信息，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認(rèn)為“成績(jī)下降”與

“長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)娛樂(lè)”有關(guān)？

長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)娛樂(lè)非長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)娛樂(lè)合計(jì)

成績(jī)下降

成績(jī)未下降

合計(jì)90200

(2)在被抽取的200名學(xué)生中“長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)娛樂(lè)”且“成績(jī)未下降”的女生有12人,現(xiàn)

從“長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)娛樂(lè)''且"成績(jī)未下降”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再?gòu)倪@6

人中隨機(jī)抽取3人訪(fǎng)該，記被抽取到的3名學(xué)生中女生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望E(X).

1

參考公式：K=------——-----------,其中〃=Q+6+C+1.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(κ2>k.)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

402.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

4.(河南省部分名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題)某學(xué)

校組織學(xué)生觀看了“天宮課堂”第二課的直播后，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的興趣,

提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，特別是對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的研究與探究.現(xiàn)有某化學(xué)興趣小組的同

學(xué)在老師的指導(dǎo)下，開(kāi)展了某項(xiàng)化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，為了解實(shí)驗(yàn)效度與實(shí)驗(yàn)中原料A的消耗

量(單位：g)的關(guān)系，該校實(shí)驗(yàn)員隨機(jī)選取了10個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表.

小組編號(hào)i123456789IO

計(jì)

實(shí)驗(yàn)效度工0.50.60.50.70.80.60.60.80.50.46

原料A的消耗量

1.31.31.31.61.81.51.51.71.61.415

M/g

10IOIO

并計(jì)算得∑X：=3.76,Z爐=22.78,ZXM=9.16.

/=1/=1/=1

⑴求這10個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)效度與實(shí)驗(yàn)中原料A的消耗量的平均值；

（2）求這10個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)效度與實(shí)驗(yàn)中原料A的消耗量的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）經(jīng)該校實(shí)驗(yàn)員統(tǒng)計(jì)，以往一個(gè)學(xué)年各種實(shí)驗(yàn)中需用到原料A的實(shí)驗(yàn)有200次左右.假

設(shè)在一定的范圍內(nèi)，每次實(shí)驗(yàn)中原料A的消耗量與實(shí)驗(yàn)效度近似成正比，其比例系數(shù)可

近似為樣本中相應(yīng)的平均值的比值.根據(jù)要求，實(shí)驗(yàn)效度平均值需達(dá)到0?8.請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)

據(jù)信息，估計(jì)該校本學(xué)年原料A的消耗量.

∑(?-^)(Λ?-7)

r=-j=5≡S-------------?,√7≈2.65

22

J∑(χi-χ)∑(yl-y)

附：相關(guān)系數(shù)Vz=I泊

5.（河南省平許濟(jì)洛2022-2023學(xué)年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

顯示，中國(guó)經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%,城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國(guó)民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)》

合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)其會(huì)員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成

如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，圖1為會(huì)員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2為會(huì)員一個(gè)月內(nèi)到健身

若將會(huì)員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以

±）兩類(lèi)，將一個(gè)月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱(chēng)為“健身達(dá)人”，15次及以下

的會(huì)員稱(chēng)為“健身愛(ài)好者”，且已知在“健身達(dá)人''中有I是“年輕人”.

6

（1）現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下

方2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)？

年輕人非年輕人合計(jì)

健身達(dá)人

健身愛(ài)好

者

合計(jì)

附:

P(κ2≥kJ0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

κιn［ad-bc)_______

(α+6)(c+d)(α+c)(b+d)

(2)將(1)中相應(yīng)的頻率作為概率，該健身連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取3名會(huì)員進(jìn)行回訪(fǎng)，設(shè)3

名會(huì)員中既是“年輕人'’又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

6.(河南省濮陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)某出租車(chē)

公司為推動(dòng)駕駛員服務(wù)意識(shí)和服務(wù)水平大提升，對(duì)出租車(chē)駕駛員從駕駛技術(shù)和服務(wù)水平

兩個(gè)方面進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了100名駕駛員，這100名駕駛員的駕駛技術(shù)與

性別的2x2列聯(lián)表和服務(wù)水平評(píng)分的頻率分布直力圖如下，已知所有駕駛員的服務(wù)水平

評(píng)分均在區(qū)間［76,100］內(nèi).

駕駛技術(shù)優(yōu)秀非常優(yōu)秀

男2545

女525

(1)判斷能否有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

⑵從服務(wù)水平評(píng)分在區(qū)間［88,92),［92,96),［96,100］內(nèi)的駕駛員中用分層抽樣的方法抽

取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取4人，記X為4人中評(píng)分落在區(qū)間［92,96)內(nèi)的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc?

其中“=α+b+c+d.

(α+ft)(c+√)(α+c)(?+√)

PHNkO)0.100.0500.010

k。2.7063.8416.635

7.(青海省西寧市城西區(qū)青海[皇川中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題)

某電子產(chǎn)品生產(chǎn)商經(jīng)理從眾多平板電腦中隨機(jī)抽取6臺(tái)，檢測(cè)它們充滿(mǎn)電后的工作時(shí)長(zhǎng)

(單位：分鐘)，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.

平板電腦序號(hào)123456

工作時(shí)長(zhǎng)/分220180210220200230

(1)從被抽中的6臺(tái)平板電腦中隨機(jī)抽出2臺(tái),設(shè)抽出的2臺(tái)平板電腦充滿(mǎn)電后工作時(shí)長(zhǎng)

小于210分鐘的臺(tái)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)下表是一臺(tái)平板電腦的使用次數(shù)與當(dāng)次充滿(mǎn)電后工作時(shí)長(zhǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù).求該平板電腦

工作時(shí)長(zhǎng)V與使用次數(shù)X之間的回歸直線(xiàn)方程，并估計(jì)該平板電腦使用第200次時(shí)充滿(mǎn)

電后的工作時(shí)長(zhǎng).

使用次數(shù)盯次20406080100120140

工作時(shí)長(zhǎng)力分210206202196191188186

之--X)(M-y)

附：虹齦+隊(duì)…,，，，3=3-院.

Σ4)

/=1

8.(甘肅省靖遠(yuǎn)縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(理)試題)某

地教體局為了解該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物的情況，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取

100人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，按[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成五組,

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物的頻率分布直方圖

(1)求頻率分布直方圖中＞n的值，并估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均

值；(各組數(shù)據(jù)用該組中間值作代表)

(2)若某中學(xué)生在暑假期間閱讀課外讀物不低于6本，則稱(chēng)該中學(xué)生為閱讀達(dá)人，以樣本

各組的頻率代替該組的概率，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀

達(dá)人的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

9.(湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)迎接冬季奧運(yùn)會(huì)期間，

某市對(duì)全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季奧運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.統(tǒng)計(jì)人員從全市高中

學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿(mǎn)分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)

所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)都在區(qū)間［40,100］內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)這200名學(xué)生的平均成績(jī)；

(2)用樣本頻率估計(jì)總體，從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記成績(jī)?cè)趨^(qū)間［80,100］

內(nèi)的人數(shù)為X,成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,100］內(nèi)的人數(shù)為丫，記Z=x+y,比較E(X)+E(y)與

E(Z)的大小關(guān)系.

10.(人教A版(2019)選修第三冊(cè)實(shí)戰(zhàn)演練第七章易錯(cuò)疑難突破專(zhuān)練)某種大型醫(yī)療

檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的客戶(hù)，推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后2年內(nèi)的延保

維修優(yōu)惠方案.方案一：交納延保金7000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過(guò)2

次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保差I(lǐng)OOOo元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)維

修4次，超過(guò)4次每次收取維修費(fèi)IOOo元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這種機(jī)器，現(xiàn)需

決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)選擇哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期

后延保2年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：

維修次數(shù)0123

臺(tái)數(shù)5102015

將頻率視為概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的2年內(nèi)共需維修的次數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以方案一與方案二所需費(fèi)用(所需延保金友維修費(fèi)用之和)的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)

院選擇哪種延保方案更合算？

IL(山東省荷澤市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)中國(guó)提出共建“一帶一路”,

旨在促進(jìn)更多的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶一路”的發(fā)展，中亞面粉、波蘭

蘋(píng)果、法國(guó)紅酒走上了國(guó)人的餐桌，中國(guó)制造的汽車(chē)、電子元件、農(nóng)產(chǎn)品豐富著海外市

場(chǎng).為拓展海外市場(chǎng)，某電子公司新開(kāi)發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3

個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率為：，且每個(gè)電子元件能否正常工作

相互獨(dú)立，若系統(tǒng)G中有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就

需要維修，且維修所需費(fèi)用為900元.

(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；

(2)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)，為電子產(chǎn)品所需要維修的費(fèi)用，求百的期

望；

(3)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電

子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率為P,且新增元件后有超過(guò)一半的電子元件正常工

作，則G可以正常工作.問(wèn)：P滿(mǎn)足什么條件時(shí)可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率？

12.(陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題)某學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)答

比賽，設(shè)計(jì)了兩種答題方案：

方案一：先回答一道多選題，從第二道開(kāi)始都回答單選題；

方案二：全部回答單選題.

其中每道單選題答對(duì)得2分，答錯(cuò)得0分；

多選題全部選對(duì)得3分，選對(duì)但不全得1分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分.

每名參與競(jìng)答的同學(xué)至多答題3道.在答題過(guò)程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)

計(jì)參與競(jìng)答的500名同學(xué)，所得結(jié)果如下表所示：

男生女生

選擇方案一10080

選擇方案二200120

(1)能否有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)？

(2)小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對(duì)的概率為0.3,選對(duì)且不全的概

率為0.3.

①若小明選擇方案一，記小明的得分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會(huì)選擇哪個(gè)方案?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

Mad-hcy^

附：K2=-,n=a+h+c+d.

+b/c+d）（Q+c）9+d）

2

P{κ>ko）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

13.(陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題)中國(guó)職業(yè)男籃

CBA總決賽采用七場(chǎng)四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)為總冠軍，比賽就此結(jié)束.

現(xiàn)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)行總決賽，因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為

據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽可獲得門(mén)票收入400萬(wàn)元，以后每場(chǎng)比賽門(mén)票收入比上一

場(chǎng)增加100萬(wàn)元.

(1)求總決賽中獲得門(mén)票總收入恰好為3000萬(wàn)元的概率；

(2)設(shè)總決賽中獲得門(mén)票總收入為X,求X的數(shù)學(xué)期望E(X).

14.(河南省新未來(lái)聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題)在高考結(jié)束后，

程浩同學(xué)回初中母?？赐麛?shù)學(xué)老師，順便幫老師整理初三年級(jí)學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī),

并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),將成績(jī)分為[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6組，得到如圖所示的頻率分布直

方圖，記分?jǐn)?shù)不低于90分為優(yōu)秀.

頻率

0.030

0.020--------------------

0.010------------------------------------

0.005--1—

405060708090IiO名數(shù)

(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分，問(wèn)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成

績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；

(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢?(Uo0］內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，再?gòu)倪@13

名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

15.(山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題)現(xiàn)有5張撲克牌，其中有

3張梅花，另外2張是大王、小王，進(jìn)行某種撲克游戲時(shí)，需要先從5張牌中一張一張

隨機(jī)抽取，直到大王和小王都被抽取到，取牌結(jié)束.以X表示取牌結(jié)束時(shí)取到的梅花張

數(shù)，以￥表示取牌結(jié)束時(shí)剩余的梅花張數(shù).

⑴求概率P(X=2);

(2)寫(xiě)出隨機(jī)變量y的分布列，并求數(shù)學(xué)期望E(K).

16.(山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題)足球比賽淘汰賽階段常規(guī)比賽時(shí)間

為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時(shí)進(jìn)球數(shù)持平，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是

平局，則采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下:①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，

雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢滿(mǎn)5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另

一隊(duì)踢滿(mǎn)5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢(例如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方“點(diǎn)球

大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為2：0,則不需要再踢第5輪了)；③若前5輪“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中雙方進(jìn)球

數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一

輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝出.

(1)假設(shè)踢點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能

地選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向判斷正確也只有3的可能

性將球撲出，若球員射門(mén)均在門(mén)內(nèi)，在一次“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中，求門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的

個(gè)數(shù)X的分布列和期望：

（2）現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)在半決賽中相遇，常規(guī)賽和加時(shí)賽后雙方戰(zhàn)平，需進(jìn)行“點(diǎn)球大戰(zhàn)”來(lái)

3

決定勝負(fù)，設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為

■,假設(shè)每輪點(diǎn)球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

（i）若甲隊(duì)先踢點(diǎn)球，求在第3輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球（不含常規(guī)賽和加時(shí)賽

進(jìn)球）并勝出的概率；

（ii）求“點(diǎn)球大戰(zhàn)”在第6輪結(jié)束，且乙隊(duì)以5：4（不含常規(guī)賽和加時(shí)賽得分）勝出的

概率.

17.（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學(xué)試題）機(jī)動(dòng)車(chē)輛保險(xiǎn)即汽車(chē)

保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱(chēng)車(chē)險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)

損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn).機(jī)動(dòng)車(chē)輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)，商業(yè)險(xiǎn)包括

基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)兩部分.經(jīng)驗(yàn)表明新車(chē)商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車(chē)價(jià)格有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，

下面是隨機(jī)采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：

購(gòu)車(chē)價(jià)格X（萬(wàn)元）5101520253035

商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)y（元）1737207724172757309736223962

（1）某保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上一年沒(méi)有出險(xiǎn)，則

下一年保費(fèi)倍率為85%,上一年出險(xiǎn)一次，則下一年保費(fèi)倍率為100%,上一年出險(xiǎn)兩

次，則下一年保費(fèi)倍率為125%.太原王女士于2022年1月購(gòu)買(mǎi)了一輛價(jià)值32萬(wàn)元的新

車(chē).若該車(chē)2022年2月已出過(guò)一次險(xiǎn)，4月又發(fā)生事故，王女士到汽車(chē)維修店詢(xún)價(jià)，預(yù)

計(jì)修車(chē)費(fèi)用為800元，理賠人員建議王女士自費(fèi)維修（即不出險(xiǎn)），你認(rèn)為王女士是否

應(yīng)該接受該建議？請(qǐng)說(shuō)明理由：（假設(shè)車(chē)輛2022年與2023年都購(gòu)買(mǎi)相同的商業(yè)險(xiǎn)產(chǎn)品）

（2）根據(jù)《保險(xiǎn)法》規(guī)定：“對(duì)屬于保險(xiǎn)責(zé)任的，在與被保險(xiǎn)人或者受益人達(dá)成賠償或者

給付保險(xiǎn)金的協(xié)議后十日內(nèi)，履行賠償或者給付保險(xiǎn)金義務(wù)保險(xiǎn)公司為了解客戶(hù)對(duì)賠

付時(shí)間的滿(mǎn)意度，從該公司客戶(hù)中隨機(jī)抽查了IOOO名將所得的滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)整理后得出

如下表格：

滿(mǎn)意度分

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

數(shù)

人數(shù)481022522981549650

用頻率估計(jì)概率，從公司所有客戶(hù)中隨機(jī)抽取3人，用X表示這3人中滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)不

小于70的人數(shù)，求X的分布列和期望.

77

參考數(shù)據(jù)：2XJ=445605,7=2809.86,gx；=3500.參考公式：

r=lI=I

〃〃__

∑(乙一可(X一歹)∑玉匕一

b=?;------------------------------=月-.

22

Z(Xj-可2?xj-nx

<=1/=1

18.(內(nèi)蒙古赤峰市2023屆高三上學(xué)期1月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)2022年12月2日

晚，神舟十四號(hào)、神舟十五號(hào)航天員乘組進(jìn)行在軌交接儀式，兩個(gè)乘組移交了中國(guó)空間

站的鑰匙，6名航天員分別在確認(rèn)書(shū)上簽字，中國(guó)空間站正式開(kāi)啟長(zhǎng)期有人駐留模式.為

調(diào)查大學(xué)生對(duì)中國(guó)航天事業(yè)的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女

生人數(shù)均為20〃N*),統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算，有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生

對(duì)中國(guó)航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)，但沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)中國(guó)航天事業(yè)的

了解與性別有關(guān).

男生女生合計(jì)

了解IOw

不了解Sn

合計(jì)

(1)求〃的值.

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法在調(diào)查結(jié)果“了解中國(guó)航天事業(yè)”的學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@

10人中抽取3人進(jìn)行第二次調(diào)查，以便了解學(xué)生獲得中國(guó)航天事業(yè)信息的渠道，則至

少有2名女生被第二次調(diào)查的概率.

(3)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從全校男學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，記其中了解中國(guó)

航天事業(yè)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表：

尸(Kf%)0.100.050.0250.010.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

犬2.="(a"-。，')？

(a+b)(c+d)(a+CXb+d)

19.(內(nèi)蒙古赤峰市2023屆高三上學(xué)期1月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=x-ln(αx+l)(α≠0,6?eR).

⑴若/(X)20,求。的值；

(2)已知某班共有〃人，記這〃人生日至少有兩人相同的概率為尸(〃)，"≤365,將一年

看作365天.

(i)求P(〃)的表達(dá)式；

(ii)估計(jì)尸(50)的近似值(精確到0.01).

笑戔加佰-笙出510

奉否奴隹I：e73≈o.O348687?e73≈0.0304049'e73≈0.00121583>e73≈0.000924459?

20.(內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)9年來(lái)，某地區(qū)第

X年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值V(單位：百萬(wàn)元)統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示.根據(jù)該圖提供的信息解

(1)在所統(tǒng)計(jì)的9個(gè)生產(chǎn)總值中任選2個(gè)，記其中不低于平均值的個(gè)數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從第6年開(kāi)始，該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線(xiàn)上升趨勢(shì)，試從第

6年開(kāi)始用線(xiàn)性回歸模型預(yù)測(cè)該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.

(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(IyJ,(々，/),…，(?.κ),其回歸直線(xiàn)夕=菽+，的斜率和

∑(?,-?)(z-?)∑×iyi-nχy

截距的最小二乘法估計(jì)分別為：A=千————=上一二~,a=^-bχ.

2(Xj-X)?X,2-nx

i=l1=1

21.(貴州省貴陽(yáng)市第六中學(xué)2022屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題)某校組織IoOo名學(xué)生

進(jìn)行科學(xué)探索知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)分成5組」50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)”,b,C成等差數(shù)列，成績(jī)落在區(qū)

間[60,70)內(nèi)的人數(shù)為400.

⑴求出直方圖中α,b,C的值；

（2）估計(jì)中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）;

（3）若用頻率估計(jì)概率，設(shè)從這1000人中抽取的6人，得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的學(xué)生人

數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

22.（寧夏吳忠市吳忠中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第三次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）北方的

冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛(ài)的醫(yī)務(wù)工

作者們?cè)诙拘袆?dòng)會(huì)更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨

烯發(fā)熱膜，從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材

料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有A材料、B材料可供選擇，研究人員對(duì)附著在A材料、8材料上的

石墨各做了50次再結(jié)晶試驗(yàn)，得到如下等高堆積條形圖.

石墨烯再結(jié)晶試驗(yàn)

4材料試驗(yàn)結(jié)果8材料試驗(yàn)結(jié)果

■試驗(yàn)成功□試驗(yàn)失敗

“材料B材料合計(jì)

試驗(yàn)成功

試驗(yàn)失敗

合計(jì)

（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫(xiě)如上列聯(lián)表（單位：次），判斷試驗(yàn)結(jié)果與材料是否有關(guān)？

如果有關(guān)，你有多大把握認(rèn)為它們相關(guān)？

（2）研究人員得到石墨烯后.再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié)：①透明基底及膠層;

②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格

的概率為：，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬(wàn)元,

若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù)，第三環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為3000元，其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為

1000元.試問(wèn)如何定價(jià)，才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬(wàn)元的目

標(biāo)？

其中“=q+6+c+”

附:KXjMx?篇…

P(Krkl))0.1()0.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

23.（新疆部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考（全國(guó)乙卷）數(shù)學(xué)（理）試題）某種

植大戶(hù)購(gòu)買(mǎi)了一種新品種蔬菜種子，種植后從收獲的蔬菜果實(shí)中隨機(jī)選取了一個(gè)容量為

20的樣本，得到果實(shí)長(zhǎng)度數(shù)據(jù)如下表：（單位：cm）

序號(hào)⑴12345678910

長(zhǎng)度2）11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.4

序號(hào)⑴11121314151617181920

長(zhǎng)度芹）12.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0

（1）估計(jì)該種植大戶(hù)收獲的果實(shí)長(zhǎng)度的平均數(shù)嚏和方差s,；

（2）若這種蔬菜果實(shí)的長(zhǎng)度不小于12cm,就可以標(biāo)為“N4T級(jí).該種植大戶(hù)隨機(jī)從收獲的

果實(shí)中選取4個(gè)，其中可以標(biāo)為“44/”級(jí)的果實(shí)數(shù)記為X.若收獲的果實(shí)數(shù)量巨大，并以

樣本的頻率估計(jì)總體的概率，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望與方差.

20

參考數(shù)據(jù)：ZV=3133.6.

,=1

24.（慕華優(yōu)策聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）某校本著“我運(yùn)動(dòng)我

快樂(lè)我鍛煉我健康"精神積極組織學(xué)生參加足球、籃球、排球、羽毛球等球類(lèi)活動(dòng).為了

解學(xué)生參與情況，隨機(jī)抽取IOO名學(xué)生對(duì)是否參與情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.所得數(shù)據(jù)制成下

表:

不參與參與合計(jì)

男生153550

女生ab50

合計(jì)Pq100

若從這100人中任選1人恰好參與球類(lèi)活動(dòng)的概率為0.6.

(1)判斷是否有95%的把握認(rèn)為“參與球類(lèi)活動(dòng)”與性別有關(guān)；

(2)現(xiàn)從不參與球類(lèi)活動(dòng)的學(xué)生中按其性別比例采取分層抽樣的方法選取8人，再在這8

人中抽取3人參加游泳，設(shè)抽取的女生人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：2x2列聯(lián)表參考公式：K2=-~，、,其中〃=α+6+c+”.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

臨界值表:

P（K2≥自）0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

25.(江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試(2月聯(lián)考)數(shù)學(xué)(文)試

題)數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車(chē)載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車(chē)載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善,

市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018—2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模(單位：十億元)，其中

年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1—5.

年份代碼X12345

車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y="?6'擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于X的回

歸方程(α,b的值精確到0.1)；

(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素,某預(yù)測(cè)公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得

y關(guān)于X的回歸方程后，通過(guò)修正，把6-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增

長(zhǎng)率，請(qǐng)根據(jù)2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模及修正后的年平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)2024年的中

國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模.

參考數(shù)據(jù)：

5

∑X,W0.52460.472

Ve

r=l

1.9433.821.71.6

?5

其中匕=Iny,?,v=-^vi.

?/=1

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)于,巧），（"2,%）,…，（3,）,其回歸直線(xiàn)￡=9+前的斜率

Zuivj-nuv

和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為2=?i?--------------,a=v-βu.

?w,2-nu2

/=I

26.（江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）卡塔爾世

界杯在今年11月21日至12月18日期間舉行，賽程如下：第一輪中先將32個(gè)國(guó)家隨

機(jī)分為A,B,C,D,E,F,G,H,8個(gè)小組，每個(gè)小組中4個(gè)國(guó)家進(jìn)行循環(huán)

積分賽，在積分賽中，每局比賽中勝者積3分，負(fù)者積0分，平局各積1分，積分前兩

名者晉級(jí)下一輪淘汰賽；每組的循環(huán)積分賽分3輪，其中C組國(guó)家是阿根廷，墨西哥,

波蘭，沙特，第一輪是阿根廷昨沙特，墨西哥MS波蘭；第二輪是阿根廷，S墨西哥，

沙特MS波蘭；第三輪是阿根廷叫波蘭，墨西哥PS沙特.小組賽前曾有機(jī)構(gòu)評(píng)估C組

四個(gè)國(guó)家的實(shí)力是阿根廷＞墨西哥＞波蘭＞沙特，并預(yù)測(cè)各自勝負(fù)概率如下：（D阿根廷

勝墨西哥概率為5，阿根廷勝波蘭、阿根廷勝沙特的概率均為；，阿根廷平墨西哥、波

蘭、沙特的概率均為，；（2）墨西哥勝波蘭、墨西哥勝沙特、波蘭勝沙特的概率均為:，

62

墨西哥平波蘭、墨西哥平沙特、波蘭平沙特的概率均為，；按照上述機(jī)構(gòu)的評(píng)估與預(yù)測(cè)，

6

求解下列問(wèn)題：

（1）已知在C組小組賽第一輪中，阿根廷1:2沙特，墨西哥0:0波蘭，第二輪中，阿根廷

2:0墨西哥，沙特0:2波蘭，求阿根廷最后小組賽晉級(jí)的概率（積分相同時(shí)實(shí)力強(qiáng)的優(yōu)

先晉級(jí)）;

（2）設(shè)阿根廷在小組賽中的不敗的場(chǎng)次為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

27.（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期1月月考（期末）數(shù)學(xué)（理）試題）2020

年，是人類(lèi)首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國(guó)首次精確測(cè)定并公布珠峰高程

的45周年.華為幫助中國(guó)移動(dòng)開(kāi)通珠峰峰頂5G,有助于測(cè)量信號(hào)的實(shí)時(shí)開(kāi)通，為珠峰

高程測(cè)量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號(hào)覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速

下5G信號(hào)的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過(guò)簡(jiǎn)易設(shè)備傳輸視頻信號(hào)的可能性.正如任總在

一次采訪(fǎng)中所說(shuō)：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類(lèi)服務(wù).”有人曾問(wèn)，在珠峰開(kāi)通5G

的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國(guó)5G

的底氣來(lái)自哪里.現(xiàn)在，5G的到來(lái)給人們的生活帶來(lái)更加顛覆性的變革，某IT公司基于

領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G

經(jīng)濟(jì)收入V（單位：百萬(wàn)元）關(guān)于月份X的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所

示的散點(diǎn)圖.

收入W百萬(wàn)元

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=αx+b與N=C?eifa（a,b,C,4均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為

5G經(jīng)濟(jì)收入V關(guān)于月份X的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

⑵根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司7月份的

5G經(jīng)濟(jì)收入.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

（3）從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過(guò)20百萬(wàn)元的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：

666

2

∑u,-υV(xz-x)(ui-u)

Z(Xj-亍)(％一刃e1.52?2.66

XyU

/=1i=l/=1

3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30

其中，設(shè)"=Iny,%=ln%(i=l,2,3,4,5,6).

參考公式：對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（七，V,）（/=1,2,3,…，〃），其回歸

J(X,.-X)(V,.-V)

直線(xiàn)f=+4的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為β=上匕-----------,

∑(?,-?)2

/=1

a=v-βx.

28.(廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試(一模)數(shù)學(xué)(理)試題)4

月23日是“世界讀書(shū)日讀書(shū)可以陶冶情操,提高人的思想境界，豐富人的精神世界.為

了豐富校園生活，展示學(xué)生風(fēng)采，某中學(xué)在全校學(xué)生中開(kāi)展了“閱讀半馬比賽”活動(dòng).活

動(dòng)要求每位學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)閱讀給定書(shū)目，并完成在線(xiàn)閱讀檢測(cè).通過(guò)隨機(jī)抽樣得到

100名學(xué)生的檢測(cè)得分(滿(mǎn)分：100分