第二章 信號(hào)與系統(tǒng)

第2章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2.0引言2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.2卷積積分2.3系統(tǒng)的微分算子方程2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.6系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法2.0引言信號(hào)與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析是指信號(hào)與系統(tǒng)的整個(gè)分析過(guò)程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間t的一種分析方法。自20世紀(jì)60年代以來(lái)，隨著狀態(tài)變量概念的引入，現(xiàn)代系統(tǒng)理論的確立以及計(jì)算技術(shù)的不斷進(jìn)步，時(shí)域分析法正在許多領(lǐng)域獲得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.1奇異信號(hào)證明δ(t)的n次積分為ε(t)，容易證明δ(t)的n次積分為結(jié)合考慮δ函數(shù)的微分運(yùn)算,可以得到以下系列函數(shù)：它是由δ(t)及其各次積分和各階導(dǎo)數(shù)組成的。自左至右，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，或者每一項(xiàng)都是后一項(xiàng)的積分。這樣得到的函數(shù)族統(tǒng)稱為奇異函數(shù)或奇異信號(hào)。在連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析中，δ(t)和δ(-1)(t)=ε(t)是經(jīng)常使用的兩種基本信號(hào)?；蛘弑硎緸?.1.2正弦信號(hào)隨連續(xù)時(shí)間t按正弦規(guī)律變化的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)，簡(jiǎn)稱正弦信號(hào)。數(shù)學(xué)上，正弦信號(hào)可用時(shí)間的sin函數(shù)或cos函數(shù)表示，本書統(tǒng)一采用cos函數(shù)。正弦信號(hào)的一般形式表示為式中，A、ω和φ分別為正弦信號(hào)的振幅、角頻率和初相。(2.1-1)圖2.1–1正弦信號(hào)正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期T、頻率f和角頻率ω之間的關(guān)系為根據(jù)歐拉公式，式(2.1-1)可寫成(2.1-2)(2.1-3)即一個(gè)正弦信號(hào)可以表示為兩個(gè)相同周期和異號(hào)頻率的虛指數(shù)信號(hào)的加權(quán)和。注意式中出現(xiàn)的負(fù)(角)頻率實(shí)際上是不存在的，這里僅僅是一種數(shù)學(xué)表示。正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)作為一種基本信號(hào)用于連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析。2.1.3指數(shù)信號(hào)連續(xù)時(shí)間指數(shù)信號(hào)，簡(jiǎn)稱指數(shù)信號(hào)，其一般形式為根據(jù)式中A和s的不同取值，具體有下面三種情況。

(1)若A=a1和s=σ均為實(shí)常數(shù)，則f(t)為實(shí)指數(shù)信號(hào)，即(2.1-4)(2.1-5)其波形如圖2.1－2所示。當(dāng)σ＞0時(shí)，f(t)隨時(shí)間增大按指數(shù)增長(zhǎng)；當(dāng)σ<0時(shí)，f(t)隨時(shí)間增大按指數(shù)衰減；當(dāng)σ=0時(shí)，f(t)等于常數(shù)a1。圖2.1–2實(shí)指數(shù)信號(hào)(2)若A=1，s=jω，則f(t)為虛指數(shù)信號(hào)，即根據(jù)歐拉公式，虛指數(shù)信號(hào)可以表示為表明ejωt的實(shí)部和虛部都是角頻率為ω的正弦振蕩。顯然，ejωt也是周期信號(hào)，其周期T=2π/|ω|。

(3)當(dāng)A和s均為復(fù)數(shù)時(shí)，

f(t)為復(fù)指數(shù)信號(hào)。若設(shè)

A=|A|ejφ， s=σ+jω則f(t)可表示為(2.1-7)可見，復(fù)指數(shù)信號(hào)f(t)的實(shí)部和虛部都是振幅按指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩。如圖2.1－3所示，當(dāng)σ>0(σ<0)時(shí)，f(t)的實(shí)部和虛部都是振幅按指數(shù)增長(zhǎng)(衰減)的正弦振蕩；當(dāng)σ=0時(shí)，則f(t)的實(shí)部和虛部都是等幅的正弦振蕩。圖2.1–3復(fù)指數(shù)信號(hào)實(shí)部和虛部的波形通常，稱復(fù)指數(shù)信號(hào)Aest中的s為復(fù)頻率，s在復(fù)平面中的不同位置，反映了指數(shù)信號(hào)在時(shí)域中的不同變化規(guī)律。復(fù)指數(shù)信號(hào)est是連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)S域分析中使用的一種基本信號(hào)。2.2卷積積分2.2.1卷積的定義設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，∞)區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，我們將積分定義為f1(t)和f2(t)的卷積(Convolution)，簡(jiǎn)記為即式中，τ為虛設(shè)積分變量，積分的結(jié)果為另一個(gè)新的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。2.2.2卷積的圖解機(jī)理信號(hào)f1(t)與f2(t)的卷積運(yùn)算可通過(guò)以下幾個(gè)步驟來(lái)完成：第一步，畫出f1(t)與f2(t)波形，將波形圖中的t軸改換成τ軸，分別得到f1(τ)和f2(τ)的波形。第二步，將f2(τ)波形以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180°，得到f2(-τ)波形。第三步，給定一個(gè)t值，將f2(-τ)波形沿τ軸平移|t|。在t<0時(shí)，波形往左移；在t>0時(shí)，波形往右移。這樣就得到了f2(t-τ)的波形。第四步，將f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)f1(τ)f2(t-τ)。第五步，計(jì)算乘積信號(hào)f1(τ)f2(t-τ)波形與τ軸之間包含的凈面積，便是式(2.2-1)卷積在t時(shí)刻的值。第六步，令變量t在(-∞，∞)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號(hào)f1(t)*f2(t),它是時(shí)間變量t的函數(shù)。例2.2–1

給定信號(hào)求y(t)=f1(t)*f2(t)。

解

f1(t)和f2(t)波形如圖2.2－1(a)和(b)所示。在圖2.2－2中，圖(a)是f1(τ)波形，圖(b)是f2(-τ)波形，也就是f2(t-τ)在t=0時(shí)刻的波形。對(duì)于不同時(shí)刻t，將f2(-τ)沿τ軸平移(t<0時(shí)左移，t>0時(shí)右移)一個(gè)時(shí)間|t|，得到f2(t-τ)波形。再將乘積信號(hào)f1(τ)f2(t-τ)沿τ軸積分，得到t時(shí)刻的卷積值。隨自變量t從-∞到+∞變化，就可得到不同時(shí)刻t的卷積值y(t)，顯然，它是t的函數(shù)。下面給出具體計(jì)算過(guò)程。當(dāng)t<0時(shí)，f2(t-τ)波形如圖2.2－2(c)所示，對(duì)任一τ，乘積f1(τ)f2(t-τ)恒為零，故y(t)=0。圖2.2–1f1(t)和f2(t)波形圖2.2–2卷積的圖解表示當(dāng)0<t<3時(shí)，f2(t-)波形如圖2.2-2(d)所示。從圖中可以看出，在τ<0時(shí)，f1(τ)=0；在τ>t時(shí)，f2(t-τ)=0。且考慮到在0<τ<t范圍內(nèi)f1(τ)值為1，于是，t時(shí)刻的卷積值就是f2(t-τ)波形與τ軸在(0,t)區(qū)間所包圍的面積(圖中畫斜線部分)，即當(dāng)t>3時(shí)，f2(t-τ)波形如圖2.2-2(e)所示，此時(shí)，僅在0<τ<3范圍內(nèi)，乘積f1(τ)f2(t-τ)不為零，故有總之，有t<00<t<3t>32.2.3卷積性質(zhì)性質(zhì)1

卷積代數(shù)卷積運(yùn)算滿足三個(gè)基本代數(shù)運(yùn)算律，即

交換律結(jié)合律分配律(2.2－2)(2.2－3)(2.2－4)性質(zhì)2

f(t)與奇異信號(hào)的卷積(1)信號(hào)f(t)與沖激信號(hào)δ(t)的卷積等于f(t)本身，即(2.2-5)(2.2-6)(2)信號(hào)f(t)與沖激偶δ′(t)的卷積等于f(t)的導(dǎo)函數(shù)，即(2.2-7)證根據(jù)式(1.4－29)及卷積運(yùn)算定義和交換律，有(3)信號(hào)f(t)與階躍信號(hào)ε(t)的卷積等于信號(hào)f(t)的積分，即證因?yàn)樗裕剑?.2-8）成立（2.2-8）性質(zhì)3

卷積的微分和積分證(2.2－9)(2.2－10)(2.2－11)(2)應(yīng)用式(2.2-8)及卷積運(yùn)算的結(jié)合律，可得卷積的微分性質(zhì)表明，兩信號(hào)卷積后求導(dǎo)與先對(duì)其中一個(gè)信號(hào)求導(dǎo)后再同另一個(gè)信號(hào)卷積，其結(jié)果相同。(3)因?yàn)?2.2-12)同理，可將f2(t)表示為并進(jìn)一步得到當(dāng)f1(t)和f2(t)滿足(2.2-13)(2.2-14)時(shí)，式(2.2－11)成立。必須指出，使用卷積的微積分性質(zhì)是有條件的，條件式(2.2－14)要求：被求導(dǎo)的函數(shù)(f1(t)或f2(t))在t=-∞處為零值，或者被積分的函數(shù)(f2(t)或f1(t))在(-∞，∞)區(qū)間上的積分值(即函數(shù)波形的凈面積)為零。而且，這里的兩個(gè)條件是“或”的關(guān)系，只要滿足其中一個(gè)條件，式(2.2－11)即成立。自然，式(2.2－9)～式(2.2－11)也可推廣用于對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行k次求導(dǎo)，對(duì)另一個(gè)函數(shù)進(jìn)行k次積分的情況，即(2.2-15)(2.2-16)(2.2-17)性質(zhì)4卷積時(shí)移(2.2-18)(2.2-19)又因?yàn)?2.2-20)由卷積時(shí)移性質(zhì)還可進(jìn)一步得到如下推論：若f1(t)*f2(t)=y(t)，則式中，t1和t2為實(shí)常數(shù)。(2.2-21)例2.2–2

計(jì)算常數(shù)K與信號(hào)f(t)的卷積積分。解直接按卷積定義，可得常數(shù)K與任意信號(hào)f(t)的卷積值等于該信號(hào)波形凈面積值的K倍。如果應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)來(lái)求解，將導(dǎo)致(2.2-22)例2.2–3

計(jì)算下列卷積積分：解

(1)先計(jì)算ε(t)*ε(t)。因?yàn)棣?-∞)=0，故可應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)求得

(2)利用卷積運(yùn)算的分配律和時(shí)移性質(zhì)，可將給定的卷積計(jì)算式表示為(2.2-23)(3)由于因此，可直接利用卷積時(shí)移性質(zhì)得到(2.2-24)這一結(jié)果表明，位于t=t0(t0>0)處的單位沖激信號(hào)與另一信號(hào)f(t)的卷積運(yùn)算，相當(dāng)于“復(fù)制”f(t)波形并沿t軸正方向平移t0，如圖2.2－3所示。圖2.2–3例2.2-3圖圖2.2–4應(yīng)用δT(t)產(chǎn)生周期信號(hào)利用式(2.2－24)所具有的“復(fù)制”和“平移”信號(hào)波形的功能，我們可以通過(guò)卷積運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)周期信號(hào)。設(shè)一脈沖信號(hào)f1(t)如圖2.2－4(a)所示。另一周期為T的周期性單位沖激函數(shù)序列如圖2.2－4(b)所示，通常稱為梳狀函數(shù)，用符號(hào)δT(t)表示，它可寫為(2.2-25)式中，m為整數(shù)?，F(xiàn)在，計(jì)算f1(t)與δT(t)的卷積積分。根據(jù)卷積運(yùn)算的分配律和式(2.2－24)可得(2.2－26)例2.2–4

圖2.2-5(a)所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常稱矩形脈沖，用符號(hào)gτ(t)表示，其幅度為1，寬度為τ，求卷積積分gτ(t)*gτ(t)。解方法一圖解法。由于門函數(shù)是偶函數(shù)，故其波形繞縱軸翻轉(zhuǎn)180°后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，t=0時(shí)，門函數(shù)左邊沿位于x=-τ/2位置，右邊沿位于x=τ/2位置，如圖2.2-5(b)所示。在任一t時(shí)刻，移動(dòng)門函數(shù)左邊沿位于x=t-τ/2位置，右邊沿則位于x=t+τ/2位置，如圖2.2-5(c)所示。按照?qǐng)D2.2-5中卷積過(guò)程的圖解表示，可計(jì)算求得：圖2.2–5例2.2-4方法一圖方法二應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分和時(shí)移性質(zhì)，可得圖2.2–6例2.2-4方法二圖2.2.4常用信號(hào)的卷積公式表2.1常用信號(hào)的卷積公式2.3系統(tǒng)的微分算子方程2.3.1微分算子和積分算子式中，p稱為微分算子，1/p稱為微分逆算子或積分算子。這樣，可以應(yīng)用微分或積分算子簡(jiǎn)化表示微分和積分運(yùn)算。例如：(2.3-1)(2.3-2)(2.3-3)(2.3-4)這種含微分算子的方程稱為微分算子方程。必須強(qiáng)調(diào)指出，微分算子方程僅僅是微分方程的一種簡(jiǎn)化表示，式(2.3－4)中等號(hào)兩邊表達(dá)式的含義是分別對(duì)函數(shù)y(t)和f(t)進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算。這種形式上與代數(shù)方程類似的表示方法，將用于系統(tǒng)描述和分析，特別是在時(shí)域中建立與變換域相一致的系統(tǒng)分析方法方面帶來(lái)方便和好處。性質(zhì)1

以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。例如：性質(zhì)2

設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式，則(2.3-5)

性質(zhì)3

微分算子方程等號(hào)兩邊p的公因式不能隨便消去。例如，由下面方程不能隨意消去公因子p而得到y(tǒng)(t)=f(t)的結(jié)果。因?yàn)閥(t)與f(t)之間可以相差一個(gè)常數(shù)c。正確的結(jié)果應(yīng)寫為也不能由方程通過(guò)直接消去方程兩邊的公因式(p+a)得到y(tǒng)(t)=f(t)，因?yàn)閥(t)與f(t)之間可以相差ce-at，其正確的關(guān)系是性質(zhì)4(2.3-6)(2.3-7)2.3.2LTI系統(tǒng)的微分算子方程對(duì)于LTIn階連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性、常系數(shù)n階微分方程。若系統(tǒng)輸入為f(t)，輸出為y(t)，則可表示為(2.3-8)(2.3-9(a))(2.3-9(b))它代表了系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅淖饔?，或系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，故稱H(p)為響應(yīng)y(t)

對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子。(2.3-10)(2.3-11)圖2.3–1用H(p)表示的系統(tǒng)輸入輸出模型例2.3–1

設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為

解選圖中右端積分器的輸出為中間變量x(t)，則其輸入為x′(t)，左端積分器的輸入為x″(t)，如圖所示。寫出左端加法器的輸出試寫出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。

解令系統(tǒng)輸入為f(t)，輸出為y(t)。由給定傳輸算子H(p)寫出系統(tǒng)算子方程該方程所代表的y(t)與f(t)之間的實(shí)際關(guān)系是故系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為y(3)(t)+2y(2)(t)+3y(1)(t)+4y(t)=f(1)(t)+2f(t)右端加法器的輸出例2.3－2某連續(xù)系統(tǒng)如圖2.3－2所示，寫出該系統(tǒng)的傳輸算子。

解選圖中右端積分器的輸出為中間變量x(t)，則其輸入為x′(t)，左端積分器的輸入為x″(t)，如圖所示。寫出左端加法器的輸出(2.3-12)即(2.3-13)圖2.3–2例2.3-2圖應(yīng)用第1章中介紹的方法，消去式(2.3－12)和式(2.3－13)中的中間變量x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，或者利用兩方程系數(shù)與微分方程系數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，直接寫出系統(tǒng)的微分方程為相應(yīng)的算子方程于是，系統(tǒng)的傳輸算子為表2.2電路元件的算子模型2.3.3電路系統(tǒng)算子方程的建立把電路系統(tǒng)中各基本元件(R、L、C)上的伏安關(guān)系(VAR)用微分、積分算子形式表示，可以得到相應(yīng)的算子模型，如表2.2所示。表中pL和有盡有分別稱為算子感抗和算子容抗。例2.3–3

電路如圖2.3-3(a)所示，試寫出u1(t)對(duì)f(t)的傳輸算子。圖2.3–3例2.3-3圖

解畫出算子模型電路如圖2.3-3(b)所示。由節(jié)點(diǎn)電壓法列出u1(t)的方程為所以u(píng)1(t)對(duì)f(t)的傳輸算子為它代表的實(shí)際含義是(2.3-14)(2.3-15)

例2.3–4

如圖2.3-4(a)所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為i2(t)，試建立該電路的輸入輸出算子方程。圖2.3–4例2.3-4圖

解畫出算子模型電路如圖2.3-4(b)所示。列出網(wǎng)孔電流方程如下：該方程組對(duì)新設(shè)變量而言是一個(gè)微分方程組，可以用代數(shù)方法求解，得2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.4.1系統(tǒng)初始條件根據(jù)線性系統(tǒng)的分解性，LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)可分解為零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，即分別令t=0-和t=0+，可得(2.4-1)(2.4-2)(2.4-3)對(duì)于因果系統(tǒng)，由于激勵(lì)在t=0時(shí)接入，故有yf(0-)=0；對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部參數(shù)不隨時(shí)間變化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，式(2.4-2)和式(2.4-3)可改寫為同理，可推得y(t)的各階導(dǎo)數(shù)滿足(2.4-4)(2.4-5)(2.4-6)(2.4-7)對(duì)于n階系統(tǒng)，分別稱y(j)(0-)(j=0,1,…,n-1)和y(j)(0+)(j=0,1,…,n-1)為系統(tǒng)的0-和0+初始條件。式(2.4－7)給出了系統(tǒng)0+與0-初始條件之間的相互關(guān)系，即系統(tǒng)的0+初始條件可通過(guò)0-初始條件和零狀態(tài)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來(lái)確定。根據(jù)狀態(tài)和狀態(tài)變量的概念，系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)都由這一時(shí)刻的狀態(tài)和激勵(lì)共同決定。對(duì)于因果系統(tǒng)，由于在t=0-時(shí)刻，輸入激勵(lì)沒(méi)有接入系統(tǒng)，故0-初始條件是完全由系統(tǒng)在0-時(shí)刻的狀態(tài)所決定的?；蛘哒f(shuō)，0-初始條件反映了系統(tǒng)初始狀態(tài)的作用效果。在以“狀態(tài)”概念為基礎(chǔ)的現(xiàn)代系統(tǒng)理論中，一般采用0-初始條件。這是因?yàn)橐环矫?，它直接體現(xiàn)了歷史輸入信號(hào)的作用；另一方面對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，其0-初始條件也比較容易求得。相反，在傳統(tǒng)的微分方程經(jīng)典解法中，通常采用0+初始條件，這時(shí)y

(j)(0+)(j=0,1,…,n-1)可利用式(2.4－7)，由0-初始條件和y(j)f(0+)(j=0,1,…,n-1)來(lái)確定。2.4.2零輸入響應(yīng)算子方程

設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)y(t)對(duì)輸入f(t)的傳輸算子為H(p)，且y(t)和f(t)滿足的算子方程為(2.4-8)式中，A(p)=pn+an-1pn-1+…+a1p+a0為p的n次多項(xiàng)式，通常稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，方程A(p)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。B(p)=bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0為p的m次多項(xiàng)式。(2.4-9)根據(jù)零輸入響應(yīng)yx(t)的定義，它是輸入為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)(或歷史輸入信號(hào))所引起的響應(yīng)。所以,yx(t)滿足的算子方程為(2.4-10)或者具體地說(shuō)，零輸入響應(yīng)yx(t)是式(2.4－10)齊次算子方程滿足0-初始條件的解。2.4.3簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)1

若A(p)=p-λ，則yx(t)=c0eλt。此時(shí)系統(tǒng)特征方程A(p)=0僅有一個(gè)特征根p=λ。將A(p)=p-λ代入式(2.4-10)可得其實(shí)際含義是兩邊乘以e-λt，并整理得式中，c0為待定系數(shù),其值由初始條件yx(0-)確定。因此，可得結(jié)論為含義是：A(p)=p-λ對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng)yx(t)為c0eλt。兩邊取積分，可求得(2.4-11)簡(jiǎn)單系統(tǒng)2若A(p)=(p-λ)2，則yx(t)=(c0+c1t)eλt。此時(shí)，系統(tǒng)特征方程在p=λ處具有一個(gè)二階重根。將A(p)=(p-λ)2代入式(2.4－10)有將上式改寫為根據(jù)式(2.4－11)，有或者兩邊乘以e-λt，再取積分式中，c0和c1由系統(tǒng)0-初始條件確定。將上述結(jié)論推廣到一般情況，有(2.4-12)式中，系數(shù)c0,c1,…,cd-1由yx(t)的初始條件確定。2.4.4一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于一般情況，設(shè)n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程A(p)=0具有l(wèi)個(gè)不同的特征根λi(i=1,2,…,l)，且λi是di階重根，那么，A(p)可以因式分解為式中，d1+d2+…+dl=n的解yxi(t)也一定滿足方程根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理，令i=1,2,….,l,將相應(yīng)方程求和，便得所以方程A(p)yx(t)=0第一步，將A（p）進(jìn)行因式分解，即綜上所述，對(duì)于一般n階LTI連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解步驟是：(2.4-13)式中，λi和di分別是系統(tǒng)特征方程的第i個(gè)根及其相應(yīng)的重根階數(shù)。第二步，求出第i個(gè)根對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng)yxi(t)第三步，將所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即第四步，根據(jù)給定的零輸入響應(yīng)初始條或者0-系統(tǒng)的初始條件，確定常數(shù)(2.4-14)(2.4-15)例2.4–1某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為已知系統(tǒng)的初始條件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。解由題意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以（2.4-16）其一階和二階導(dǎo)函數(shù)為(2.4-18)(2.4-17)代入初始條件值并整理得在式（2.4-16）~(2.4-18)中，令t=0-,并考慮到聯(lián)立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。將各系數(shù)值代入式(2.4-16)，最后求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為例2.4－2已知系統(tǒng)微分方程和初始條件求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

解附錄A結(jié)論表明，特征方程A(p)=0含有復(fù)根時(shí)，必以共軛成對(duì)方式出現(xiàn)。若設(shè)方程A(p)=0的共軛復(fù)根為λ1,2=a±jω,則由式(2.4－15)求得系統(tǒng)零輸入響應(yīng)令c1=k1+k2,c2=j(k1-k2),并結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系，可得(2.4-19)式中。這就是表2.3中序號(hào)3公式。本例中，因方程A(p)=p2+2p+2=0的特征根λ1,2=σ+jω=-1±j1,代入式(2.4－19)，有代入初始條件得解以上兩方程得A=-1,φ=90°,故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為例2.4-3

電路如圖2.4-1(a)所示，激勵(lì)為is(t)，響應(yīng)為iL(t)。已知R1=1Ω，R2=5Ω，C=0.25F，L=2H，電容上初始電壓uC(0-)=6V，電感中初始電流iL(0-)=2A。試求t≥0時(shí)的零輸入響應(yīng)iLx(t)。圖2.4-1例2.4-3圖解畫出給定電路的算子電路模型如圖2.4-1(b)所示，列出電路的回路電流方程(2.4-20)(2.4-21)為確定式(2.4-19)中的待定常數(shù)，除應(yīng)用電感初始電流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，還需計(jì)算iLx’(0-)值。為此，畫出t=0-時(shí)的等效電路如圖2.4-1(c)所示，由KVL可得令式(2.4－20)和式(2.4－21)中的t=0-，并代入iL(0-)和iL′(0-)值，整理得聯(lián)立求解得c10=c20=1，并代入式(2.4－20)，得到電路的零輸入響應(yīng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.5.1連續(xù)信號(hào)的δ(t)分解任一連續(xù)信號(hào)f(t)與單位沖激信號(hào)δ(t)卷積運(yùn)算的結(jié)果等于信號(hào)f(t)本身，即(2.5-1)對(duì)式(2.5－1)，從信號(hào)的時(shí)間域分解觀點(diǎn)出發(fā)可作如下解釋：δ(t-τ)是位于t=τ處的單位沖激信號(hào)，f(τ)dτ與時(shí)間t無(wú)關(guān)，可以看成是δ(t-τ)的加權(quán)系數(shù)，積分號(hào)∫∞-∞實(shí)質(zhì)上代表求和運(yùn)算，這樣式(2.5－1)表明任何一個(gè)連續(xù)信號(hào)f(t)都可以分解為眾多δ(t-τ)沖激信號(hào)分量的線性組合。圖2.5-1連續(xù)信號(hào)的δ(t)分解可以從圖形上定性地說(shuō)明式(2.5-1)的正確性。(2.5-2)其波形如圖2.5－1(b)所示。應(yīng)用pΔτ(t)信號(hào)，可將圖2.5－1(a)中的臺(tái)階信號(hào)f(t)表示為^(2.5-3)由圖2.5-1可見，當(dāng)Δτ→0，即趨于無(wú)窮小量dτ時(shí)，離散變量kΔτ將趨于連續(xù)變量τ，式(2.5-3)中的各量將發(fā)生如下變化：2.5.2基本信號(hào)δ(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

1.沖激響應(yīng)

設(shè)初始觀察時(shí)刻t0=0。對(duì)一個(gè)初始狀態(tài)為零的LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，輸入為單位沖激信號(hào)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，如圖2.5－2所示。即(2.5－4)圖2.5-2沖激響應(yīng)的定義

2.沖激響應(yīng)的計(jì)算

設(shè)LTI連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為H(p)，現(xiàn)在討論從H(p)出發(fā)計(jì)算沖激響應(yīng)h(t)的方法。具體做法是先研究若干簡(jiǎn)單系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，再在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一般系統(tǒng)沖激響應(yīng)的計(jì)算步驟。簡(jiǎn)單系統(tǒng)1此時(shí)，響應(yīng)y(t)和輸入f(t)滿足的微分方程為當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，y(t)為零狀態(tài)響應(yīng)，上式可表示為根據(jù)h(t)的定義，若在上式中令f(t)=δ(t)，則yf(t)=h(t)，所以有這是關(guān)于h(t)的一階微分方程，容易求得于是式中，符號(hào)“→”表示“系統(tǒng)H(p)對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)為…”。(2.5-6)將這一結(jié)果推廣到特征方程A(p)=0在p=λ處有r重根的情況，有(2.5-7)簡(jiǎn)單系統(tǒng)3此時(shí)，由于因此即(2.5－8)對(duì)于一般的傳輸算子H(p)，根據(jù)本書附錄A的討論結(jié)果，當(dāng)H(p)為p的真分式時(shí)，可將它展開成如下形式的部分分式之和，即(2.5－9)(2.5-10)綜上所述，可以得到計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的一般步驟是：(2.5－11)表2.4

h(t)與H(p)對(duì)應(yīng)關(guān)系例2.5-1

描述系統(tǒng)的微分方程為求其沖激響應(yīng)h(t)。解由系統(tǒng)微分方程得到相應(yīng)的輸入輸出算子方程為(2.5-12)其H(p)可表示為再將各沖激分量相加，得到給定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)根據(jù)表2.4,有(2.5－13)例2.5-2二階電路如圖2.5-3所示，已知L=0.4H，C=0.1F，G=0.6S，若以u(píng)s(t)為輸入，以u(píng)C(t)為輸出，求該電路的沖激響應(yīng)h(t)。圖2.5-3例2.5-2圖解

(1)列寫電路輸入輸出方程。按圖2.5-3，由KCL和KVL有(2.5－14)(2)求沖激響應(yīng)。電路的輸入輸出算子方程為根據(jù)式(2.5-5)，求得2.5.3一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)在前面的討論中，我們已經(jīng)得到了連續(xù)信號(hào)f(t)的δ(t)分解表達(dá)式，還有系統(tǒng)在基本信號(hào)δ(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，即沖激響應(yīng)h(t)的計(jì)算方法。下面將進(jìn)一步利用LTI的線性和時(shí)不變特性，導(dǎo)出一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法。設(shè)LTI連續(xù)系統(tǒng)如圖2.5－4所示。圖中，h(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，yf(t)為系統(tǒng)在一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。為了敘述方便，我們采用如下簡(jiǎn)化符號(hào)：f(t)→y(t)［C］圖2.5-4系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其含義是：系統(tǒng)在f(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)是y(t)，［Ｃ］中的C代表f(t)→y(t)成立所依據(jù)的理由。由于它是激勵(lì)f(t)與沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分。2.5.4零狀態(tài)響應(yīng)的另一個(gè)計(jì)算公式1.連續(xù)信號(hào)的ε(t)分解根據(jù)卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)，有按照卷積運(yùn)算的定義，信號(hào)f(t)可表示為(2.5-17)與對(duì)式(2.5－1)的理解方式一樣，式(2.5－17)可理解為將信號(hào)f(t)分解為單位階躍信號(hào)ε(t)的線性組合。圖2.5-5連續(xù)信號(hào)的ε(t)分解(2.5－18)上面在f(t)=f(t)*δ(t)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用卷積的微積分性質(zhì)得到了ε(t)分解公式(2.5-17)。如果在該式的基礎(chǔ)上，再應(yīng)用一次卷積的微積分性質(zhì)，可得到單位斜升信號(hào)tε(t)形式的分解公式，即(2.5－19)如此等等，可以得到將信號(hào)f(t)分解為δ(t)的一次、二次、…多次積分的奇異信號(hào)的分解公式。其中，最常用的是δ(t)和ε(t)的分解公式。

2.系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一個(gè)LTI連續(xù)系統(tǒng)，在基本信號(hào)ε(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通常記為g(t)。

按照g(t)的定義，由式(2.5-16)知再根據(jù)卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)和δ(t)的有關(guān)性質(zhì)，有所以階躍響應(yīng)g(t)與沖激響應(yīng)h(t)之間的關(guān)系為或者(2.5-20)(2.5-21)

3.利用g(t)計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)信號(hào)f(t)的ε(t)分解公式(2.5－17)和LTI的線性、時(shí)不變特性，我們有如下推導(dǎo)：

(2.5－22)例2.5-3

某LTI連續(xù)系統(tǒng)N由A、B、C三部分組成，如圖2.5-6所示。已知子系統(tǒng)A的沖激響應(yīng) ，子系統(tǒng)B和C的階躍響應(yīng)分別為gB(t)=(1-e-t)ε(t)，gC(t)=2e-3tε(t)，系統(tǒng)輸入f(t)=ε(t)-ε(t-2)，試求系統(tǒng)N的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。圖2.5-6例2.5-3圖解

(1)系統(tǒng)N的沖激響應(yīng)。設(shè)子系統(tǒng)B、C的沖激響應(yīng)為hB(t)和hC(t)，由式(2.5-21)可得按照沖激響應(yīng)的定義，它是f(t)=δ(t)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，故由圖2.5-6可知，系統(tǒng)N的沖激響應(yīng)為

(2)系統(tǒng)N的階躍響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)N的階躍響應(yīng)為gN(t)，根據(jù)式(2.5-20)，有(3)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。方法二因?yàn)橐呀?jīng)求得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)它是輸入為ε(t)時(shí)對(duì)應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)?，F(xiàn)在題中給定f(x)=ε(t)-ε(t-2)，是一個(gè)階躍信號(hào)與另一個(gè)位移階躍信號(hào)的組合。所以，可利用階躍響應(yīng)和系統(tǒng)的線性、時(shí)不變特性直接求得例2.5-4已知某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為若系統(tǒng)的初始條件y(0-)=y′(0-)=1，輸入f(t)=e-tε(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。解(2)零狀態(tài)響應(yīng)。按附錄A方法將H(p)展開為(3)完全響應(yīng)。例2.5-5描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為已知f(t)=ε(t),y(0+)=3,

y′(0+)=1，求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

解本例中已知的是0+初始條件，由式(2.4－1)及其導(dǎo)數(shù)式，令其t=0+時(shí)有(2.5－23)寫出系統(tǒng)傳輸算子，并進(jìn)行部分分式展開，有再由式(2.5－16)，求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)(2.5－24)由式(2.5－5)，求得沖激響應(yīng)h(t)=(4e-t-2e-2t)ε(t)t≥0由上式可求得yf(0+)=0,yf′(0+)=2。將它們代入式(2.5－23)得到y(tǒng)x(0+)=3,yx′(0+)=-1。本例中，A(p)=p2+3p+2。根據(jù)式(2.4-15)可得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為例2.5-6

已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=ε(t)-ε(t-1)，輸入f(t)=ε(t+2)-ε(t-2)。若以t=0為初始觀察時(shí)刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，并畫出波形。解以初始觀察時(shí)刻t=0為時(shí)間分界點(diǎn)，將輸入?yún)^(qū)分為歷史輸入f1(t)和當(dāng)前輸入f2(t)，即所謂零輸入響應(yīng)，是指歷史輸入f１(t)作用于系統(tǒng)，在t≥0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)，即先計(jì)算式中畫出g(t)波形如圖2.5-7(a)所示。再畫出［g(t+2)-g(t)］波形如圖2.5-7(b)所示，其中t≥0部分代表yx(t)。于是圖2.5-7例2.5-6圖當(dāng)輸入f2(t)作用于系統(tǒng)，在t≥0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，即