導(dǎo)數(shù)（解析版）-2023年新高考數(shù)學(xué)考前提分練習(xí)

專典十二等政

一、考情分析

從近兩年的新高考試題來看,導(dǎo)數(shù)是高考中的重點與難點,一般有一道客觀題,一道解答題(當(dāng)

然也有意外，如2022新高全國卷I有5道與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的試題)，客觀題考查的熱點是用導(dǎo)數(shù)

研究曲線的切線、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值與零點.解答題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

性質(zhì)及零點與不等式證明問題,難度一般比較大,通常位于第21或22題.

二、三年新高考真題屐示

1.(2020新高考山東卷)已知函數(shù)/(x)=αexτ-lnx+ln..

(1)當(dāng)α=e時,求曲線Ba)在點(1/(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若F(X)≥1,求”的取值范圍.

【解析】(1)Qf(x)=e'-InΛ+1,.?.f'(x)=ex--,.-.k=∕,(1)=e-?.

X

(2/(1)=6+1,，切點坐標(biāo)為(1,1+6),

.?.函數(shù)f(χ)在點(1√U)處的切線方程為y—e—l=(e-l)(x-l),[l∣]y=(e-l)x+2,

???切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為(0,2),(二Z,0),

e-?

1-22

???所求二角形面積為二X2×∣——1=--；

2e-1e-1

(2)Qf(x)=aex~l-Inx+Inβ,

(X)=4e*τ-',且α>0.

X

設(shè)g(x)=r(x),則g'(x)=aex~x+??>0,

.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,即廣⑸在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=1吐/⑴=0,.?./(x),,加=41)=1,“X)≥1成立.

111?-j

當(dāng)。>1時,一<1,?二一)/'⑴=α(e"-l)(a-l)<0,

a??匕7a

...存在唯一毛〉°，使得/'(X。)=ɑe"-----=0,且當(dāng)X∈(0,1)時?'(?)<。,當(dāng)

xO

我T

,1

x∈(/,+oo)時f?x)>0...cιe=一,/.Ina+x0-1=-InX0,

?

因此/(x)min=/(Xo)="e~τ-In/+Ina

=---FIn。+XQ—1+ln。22In。-1+2/—?x0—2Inα+1>1,

?NXO

.：/(x)>l,."'(x)≥l恒成立；

當(dāng)O<α<1時，?(l)=a+lna<a<l,:.f(l)<l,f(x)>1不是恒成立.

綜上所述,實數(shù)。的取值范圍是U,+8).

2.(2021新高考全國卷I)若過點①力)可以作曲線y=e'的兩條切線,則()

A.eh<aB.√,<bC.0<a<ehD.0<h<ea

【答案】D

【解析】函數(shù)y=e*是增函數(shù),y=d'>0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖,y>0,即取得坐標(biāo)在X軸上方，

如果(4,6)在X軸下方,連線的斜率小P0,不成立.

點①力)在X軸或下方時,只有一條切線.

如果(0,6)在曲線上,只有一條切線；

他力)在曲線上側(cè),沒有切線；

由圖象可知(a,b)在圖象的下方,并且在X軸上方時,有兩條切線,可知0<人<e".

3.(2021新高考全國卷I)函數(shù)〃X)=I2x-II-2∕,ιr的最小值為1

【答案】1

［解析】函數(shù)/(x)=?2x-??-2lnx的定義域為(0,+∞).

當(dāng)OCX,?H?,f(x)=|2x-lI-Hrvc=-2x+1-2lnx,

此時函數(shù)F(X)在(0,；］上為減函數(shù)，

所以/(?),,/(?)=-2×→l-=2/〃2；

當(dāng)x>g時,f(x)=|2x-11-21nx=2x-l-2lnx,

則r(x)=2二二2(XT),

XX

當(dāng)Xe(g,1)時,r(x)<O,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)XW(1,E)時,/'(X)>OJ(X)單調(diào)遞增，

；.當(dāng)x=l時f(x)取得最小值為f(1)=2×l-l-2Znl=l.

2ln2=/〃4>Ine=1,

函數(shù)f(x)=∣2x-l∣-2∕nx的最小值為I.

4.(2021新高考全國卷I)已知函數(shù)/(X)=X(ITnr).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)4,b為兩個不相等的正數(shù),且Z√w-H∕?=α-6,證明：2<1+,<e.

ah

【解】(1)解：由函數(shù)的解析式可得了'(X)=ITzuT=-/但

.?.x∈(0,1),∕,(x)>Oj(X)單調(diào)遞增，

x∈(l,+∞),∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

則/(X)在(0,1)單調(diào)遞增,在(l,^?o)單調(diào)遞減.

(2)證明：由bl"a—alnb=a-b,得一L山L+'∣"L=L-L,

aahhha

即L(I一/"L)=J(1一優(yōu)?),

aabb

由(1)/(X)在(0,1)單調(diào)遞增,在α+OO)單調(diào)遞減，

所以/(動皿=AI)=I，且?"e)=0,

令玉=LX2=L則N，％為于(X)=k的兩根,其中k∈(0,1).

ab

不妨令A(yù)i∈(0,1),x2∈(l,e)JW2-χ>1,

先證2<x∣+?,BPijEx2>2-玉,即證f(x2)=f(xi)</(2-x1),

令A(yù)(x)=f(x)-f(2-x),

則h,(x)=f,(x)+f,(2一X)=-Inx-/〃(2-x)=-ln[x(2-x)]>0,

故函數(shù)力(X)單調(diào)遞增，

,

/.h(x)<h(1)=0..*.f(xi)</(2—x1),..2<X1+x2,f?iiE.

同理,要證X+x2<e,即證/(x2)=/(x1)<f(e-xl),

令φ(x)=fM-f(e-x)9xe(0,1),

則φ,(x)=-ln[x(e-x)],令√(?)=0,

f

X∈(O,xo),φ(x)>0,0(X)單調(diào)遞增,

X∈(Λ?,1),φ?x)<0,0(x)單調(diào)遞減，

又x>0,∕(x)>0,且/(e)=0,

故X→O.φ(0)>0.

φ(1)=f(1)—/(e-l)>O,

.?.奴x)>0恒成立，

X1+x2VC得證，

則2<-+-<e.

ab

5.(2021新高考全國卷II)已知函數(shù)/(X)=H-1|,為<0,占>0，函數(shù)/。)的圖象在點

A(%,/(XJ)和點8(%，/(%))的兩條切線互相垂直，且分別交)'軸于M，N兩點,則器

取值范圍是.

【答案】(o,ι)

/、II1—e',xvθ,V—e`,X<O

【解析】由題意J(X)=，則/(X)={

[ex-1,Λ≥O[e,X>O

所以點(石一洲)和點，巧，

A,1B(Λ2,6-1),kAM=_*,kliN=e

所以一/1?*=-1,玉+/=°、

xxχv,

所以AW:y-l+e'=-e(x-xl),Λ∕(θ,βx1-e?'+1^,

所以IAM=JX:+(e*xj=Jl+*L,

同理忸M=JI+02迎.網(wǎng),

IAML生直.㈤—∣1+^2x'_∕l+e%X,(()])

所以網(wǎng)一Jl+e2"網(wǎng)一一?b-?(U).

6.(2021新高考全國卷∏)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-or?+b.

(1)討論f(χ)的單調(diào)性;

(2)從下面兩個條件中選一個,證明：/O)有一個零點

12

①一<α≤e—,h>24；

22

②0<α<-,b<2a.

2

【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：∕,(x)=x(ev-2a),

?β≤O時,若x∈(-w,0),則f'(x)<O,f(x)單調(diào)遞減，

若XW(O,K)JIJ/'(x)>OJ(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)O<“；時,若X∈(F,ln(24)).則/(X)>OJ(x)單調(diào)遞胤

若X∈(ln(20,θ),則1(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，

若Xe(O,+∞),則/'(x)>0√(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)α=g時,/'(x"0,∕(x)在R上單調(diào)遞增：

當(dāng)α〉g時,若X∈(…,O卜則∕,(x)>OJ(X)單調(diào)遞增，

若X∈(0,ln(2α))則/'(%)<OJ(x)單調(diào)遞減，

若x∈(ln(2α),+z>),則r(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

(2)若選擇條件①：

Ie2

由于Ie4，萬,故1v2a≤∕,則方>2?！?,/(0)=/7—1>0、

而/(-/?)=(-1一b)e一"-al?2-h<0,

而函數(shù)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間(-8,0)上有一個零點.

/(ln(2a))=2Q[ln(2α)-l]-Q[ln(2Q)]~+b

>2〃111(2〃)-1]-4[111(2〃)丁+2。

=2aIn(2(7)-a[in(2^)J

=Qln(2Q)[2-1Π(2Q)],

由于g<%冷」<2α≤e2,故αln(2α)[2—ln(2α)]N0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(O,+e)上沒有零點.

綜上可得,題中的結(jié)論成立.

若選擇條件②：

由于OCa<；,故2α<L則/(0)=Z>-l≤2tt-l<0,

當(dāng)?！?時,d>4,40<2.∕(2)=/—4α+0>0,

而函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上有一個零點.

當(dāng)匕<0時,構(gòu)造函數(shù)H(X)="―X-I廁"'(x)=eA-L

當(dāng)X∈(γo,0)時,H'(x)<0,H(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)％∈(0,4w)時,H'(x)>0,H(X)單調(diào)遞增，

注意到H(O)=O,故H(X)≥0恒成立,從而有:"≥X+1,此時：

f(Λ)=(x-l)ev-ax1-Z?>(Λ-1)(X+1)-OT2+b=(l-a)x2+9-1),

當(dāng)X>J；.時,(I-。)》?+優(yōu)-1)>0,

取XO=P≡+l,則/(Λ0)>0,

V1一〃

即：>0.

而函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上有一個零點.

/(ln(2α))=2q[ln(2α)-l]-α[ln(2a)1+b

≤2a[ln(2α)-l]-α[ln(2α)J+2α

=2αln(2")-α[ln(20)]~

=αln(2α)[2-ln(2α)],

由于OeaCg.0<2α<l,故αln(2α)[2-In(2α)]<0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(τQ,0)上沒有零點.

綜上可得,題中的結(jié)論成立.

7.(2022新高考全國卷I)設(shè)α=0.1e°/力=1,C=Tno.9,則

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<h

【答案】C

1γ

【解析】解法一：設(shè)f(x)=In(I+x)-x(-l<x≤O),因為/'(X)=--------1=--------->0,

1+Λ1+Λ

1919」

所以/(x)在(TO)上單調(diào)遞增,/(一—)<∕(0)=0,即In=+—<0,故二<e所所以

1111

—e∣o<—,故α<乩設(shè)g(x)=xe*+ln(l-X)(O<x<-),則

1094

2

g，(X)=(x+l)e*+-5—=(X二Je+1令〃⑴=e'(%-l)+l,

v,x-1x-l

h'(x)=eV—+2x-1)<0,當(dāng)0<X<1時∕z(x)=e,(x2-1)+1單調(diào)遞減,又A(O)=0,所以

4

當(dāng)0<尤<L時/(χ)<0,g'(χ)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(0?1)>g(0)=0,即

4

0.1e0'>-ln0.9,所以a>J故選C.

解法二：易得x≠0時e*>l+x,所以x<lILx≠O時b>1—x>0,即e*<-----.所以

l-x

l+O.ke。/<?r^τ-<2所以0.11<4<乩設(shè)/(耳=1111-4》」)(*>1),則

1-0.192?X)

r(x),-Uι+J7]=所以/(χ)</⑴=o,即lnχ<lfΛ-i?χ>l),?

X21χ-J2X221X)

Iog,101<109、19…

X=—,得C=In—<—.............=-----<0.11<a,故選C.

992(9lθj180

8.(2022新高考全國卷I)已知函數(shù)/(x)=V一％+1,則

A.F(X)有兩個極值點B./(χ)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=∕(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=∕(x)的切

線

【答案】AC

【解析】由/(x)=∕-χ+l得/'(χ)=3f-l.令I(lǐng)f(X)>0得χ>且或x<_走，

令/'(X)<0得一曰<X<弓,所以/(X)在(一號,理)上單調(diào)遞減,在(一8,—理)，

(―,+∞)上單調(diào)遞增,所以X=是極值點,故A正確；

33

因/(-#)=1+等>0,Y)=I-半>OJ(-2)=—5<°、

所以,函數(shù)/(x)在1-8,-I-J上有一個零點，

當(dāng)XN迫時J(X)≥∕[?>0,即函數(shù)"x)在半+8上無零點,

3k?√\?)

綜上所述,函數(shù)F(X)有個零點,故B錯誤；

令〃(X)=/_%,則h(-力=(一Xy-(一X)=-Xs+X=—〃(％)，

則HX)是奇函數(shù),(0,0)是/?(%)的對稱中心，

將做X)的圖象向上移動一個單位得到AX)的圖象，

所以點(0,1)是曲線y=/(X)的對稱中心,故C正確；

令/'(x)=3f—1=2,可得％=±1,又/(1)=/(T)=L

當(dāng)切點為(1,1)時,切線方程為y=2x-1,當(dāng)切點為(-1,1)時,切線方程為y=2x+3.

故D錯誤故選AC.

9.(2022新高考全國卷I)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為RWd

g(χ)=∕,(x),若/(|-2x),g(2+X)均為偶函數(shù)測

A./(0)=0B.g(—；)=0C./(-1)=/(4)D.

g(T)=g⑵

【答案】BC

【解析】因為/[∣-2xj為偶函數(shù)，所以/(X=*+2Λ].令X=1,得

/(—1)=/(4)《正確；

由/(1_2尤/怎+2］得/G-X)=/弓+x),所以J?(3r)=∕(x),兩邊求導(dǎo)得

-g(3-χ)=g(χ),令X=T得g(g)=。,又g(2+x)均為偶函數(shù),所以g(2+x)=g(2—X).

所以8(4-％)=8(%)=-8(3-％),所以8(%+2)=-8(%+1)=8(%),所以

構(gòu)造函數(shù)/(x)=Sin兀V+1,則g(X)=πcosτu?,則/(0)=0不成立,g(T)=g⑵不成立,A,D

錯誤,故選BC.

10.(2022新高考全國卷I)若曲線y=(尤+α)e'有兩條過坐標(biāo)原點的切線,則。的取值范

圍是.

【答案】(-∞,Y)u(0,4w)

(解析]y=(x+a)ex/=(x+l+4)e*,

設(shè)切點為(毛,%),則%=(Λ0+α)e*>,切線斜率A=(AO+l+α)e",

切線方程為：γ-(?+iz)erb=(N)+l+a)e*(x-X0),

：切線過原點,二-(??+α)e"=(XO+l+α)e%(-X0),

整理得：片+0?-α=0.

：切線有兩條,二A=/+4α>O，解得α<-4或α>O,

???”的取值范圍是(-,Y)(0,+∞)

11.(2022新高考全國卷I)已知函數(shù)/(x)=e*-6和g(x)=6-Inx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=∕(χ)和y=g(χ)共有三個不同的交點,并且從

左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【解析】(1)/(x)=e'-ar的定義域為R,且/'(x)=e'-a,

若a≤O,則∕,(x)>O,∕(x)單調(diào)遞增,f(χ)無最小值,故a>0.

當(dāng)x<lna時J'(x)<0,當(dāng)x>Ina吐/'(x)>0,

所以/(χ)在(F,Ina)上為減函數(shù),在(Ina,+∞)上為增函數(shù)，

故/(x)min=/(Ina)=a-alna.

g(x)=aX-InX的定義域為(0,+8),且g'(χ)=a-L=竺二?.

XX

當(dāng)O<%<,時,g'3<O,當(dāng)尤>工時,g'(χ)>0,

aa

g(x)在(θ,L上為減函數(shù),在+8上為增函數(shù)，

故gOOmin=g(L]=l-ln^.

?a)a

因為/(x)=e`一如和g(x)=avTnx有相同的最小值，

所以I-In工=。一aIna.整理得到-~-=Ina,其中a>O.

a?+a

Z7—121—cι~—1

≤0

設(shè)g(0)=?i------Ina,α>0,則g(Q)=7；?一一=-7l-----7-

'，↑+a(1+Q)Qα(l+α)

故g(α)為(0,+8)上的減函數(shù),而g(l)=0.

故g(α)=O的唯-解為α=l,故?Zg=Ina的解為α=l.綜上,α=l.

1+Q

(2)由⑴可得/(x)=e*-x和g(x)=%-InX的最小值為1.

?b=i,x-?nx=b.ex-x=h各有一個實根,不滿足題意，

當(dāng)6<1時,x-lnx=〃、ex-X=b均無實根,不滿足題意

當(dāng)b>l時,設(shè)S(X)=e'-x-4則S'(x)=e*-1,

當(dāng)尤<0時,S'(x)<0,當(dāng)X>0時,S(X)>0,

故S(X)在(i,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù)，

所以S(X)min=S(O)=I-h<0.

而S(-?)=e->O,S(6)=e"-2?,

設(shè)M?=e"-3,其中b>1,則√(?)=ez,-2>0,

故在(1，+Oo)上為增函數(shù),故M')>MD=e-2>0,

故S(S>O,故S(X)=e「x—力有兩個不同的零點,即e-χ=b的根的個數(shù)為2.

設(shè)T(X)=X-Inx-Z?,T'(x)=

當(dāng)0<X<1時,T'(x)<0,當(dāng)X>1時,Γ(x)>0,

故T(X)在(0,1)上為減函數(shù),在(l,+∞)上為增函數(shù)，

所以T(XL=T⑴=1R<°,

而τ(e")=e">0,τ(e")=e"-2?>0,

T(X)=X-InX-。有兩個不同的零點,即XTnX=匕的根的個數(shù)為2.

設(shè)〃(x)=e`+InX-2x淇中X>0,故∕J,(Λ)=e`+?-2,

X

設(shè)S(X)=e*——LX>0,則s'(x)=e*—1>0,

故S(X)在(0,+8)上為增函數(shù),故S(X)>s(0)=0即e*>X+1,

所以“。)>1+,-122-1>0,所以〃(％)在(0,+8)上為增函數(shù)，

X

1-L77

而〃⑴=e-2>0.g?)=ee'-3--r<e-3--r<O,

eee

故MX)在(0,+0))上有且只有一個零點?,-4<?<l,

e

且當(dāng)O<X<Λ?時,∕i(x)<O即e*-x<X-InX即f(x)<g(x),

當(dāng)X>/時.∕z(x)>0即e'-X>X-InX即/(x)>g(x),

因此若存在直線y=。與曲線y=f(χ)、y=g(力有三個不同的交點，

故。=∕(??)=g(不)>L

此時e'—X=〃有兩個不同的零點x∣，?(?i<O<?),

此時X—InX=方有兩個不同的零點XO,%(°<玉)<1<?)-

η,

故e"∣-x1=fe,e-X0=/7,%4-lnx4-/?=O,xo-lnxo-Z?=O

所以/一人=InX4即e"i='4即-(?r4-b)~b=O.

故5一〃為方程e'-x=Z?的解,同理??一〃也為方程e"—x=Z?的解

Aj

Xe-xi=h可化為爐=%+〃即％-ln(?]+Z;)=O即(玉+^)-ln(x1+Z?)-Z?=0,

故玉+〃為方程x—lnx=h的解,同理與+人也為方程x—lnx=h的解，

所以{ΛpΛυ}={%-〃,%4,而>>1，

?=XA-b

故〈即％+Z=2升).

[xi=x0-b

(2兀

12.(2022新高考全國卷II)已知函數(shù)/(%)=sin(2x+9)(0<。<π)的圖像關(guān)于點|,O

中心對稱,則

A./(χ)在區(qū)間[θ,工)單調(diào)遞減

(π1lπ^

B./3)在區(qū)間I-五,五J有兩個極值點

C.直線X=S是曲線y=F(X)的對稱軸

6

D.直線y=#-X是曲線y=∕(x)的切線

【答案】AD

2π4πI4π

【解析】由題意得了=sin所以夕∈

T+SJ=O,7+=EMZ.

44π7r22TπT(2兀1

即夕=--1+E,%eZ,又0<夕<五,所以A=2時,e=丁,故/(x)=Sin[2x+?yJ.

33

,

對?A∕'∣X∈fθ,-,_2π2兀3π,由正弦函數(shù)單調(diào)性知在(卜.是

時,2x+y∈y=/(x)0,

τ,τ

單調(diào)遞減,A正確;

(π?lπC2ππ5π

對B,當(dāng)Xe-----,-----時l,2x+?-∈,由正弦函數(shù)單調(diào)性知y=f(χ)在區(qū)間

I12122,T

πIE)

12,^l2^J只有1個極值點,由2x+5=5,解得X=W,即X=方為函數(shù)的唯一極值

點,B錯誤;

7Ti2717兀7Ti

對C,當(dāng)X=—時,2x+—=3兀，/(一)=0、直線X=—不是對稱軸,C錯誤;

6366

對D,山>'=2cos(2x+g=一1得COS(2%+,一!,解得2x+0=0+2kπ或

233

77Γ4TEπ

2》+—=一+2版,左€2,從而得％=也或%=—+也,攵62,

333

所以函數(shù)y=/(χ)在點(0,日)處的切線斜率為k=y|v=0=2cosy=-l,

切線方程為y一日=—(X一0)即y=等一X,D正確；故選AD?

13.(2022新高考全國卷H)曲線y=InIXl過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-x,y=-L

ee

【解析】因為y=ln∣Λ∣,"iχ>0時y=Inx,設(shè)切點為(后,ln玉)),由了=’,所以>/1,=」_,

Xxo

所以切線方程為yτnΛυ='(X-Xo),乂切線過坐標(biāo)原點,所以TnXO=L(To),解得

??

??=e,所以切線方程為y-l=L(x-e),即y=1x；

ee

當(dāng)時,設(shè)切點為(一玉)).由所以1

X<0y=In(-X)(Xl,Iny'=Ly'Lf一,所以切線方程為

X

y-ln(-XJ=-!-(x-x∣),又切線過坐標(biāo)原點,所以-ln(一玉)='(-XJ.解得石=-e,所以

XxI

切線方程為y-l=——(x+e),即y=-'x.

—ee

14.(2022新高考全國卷∏)已知函數(shù)/(x)=Xem-e”.

(1)當(dāng)。=1時,討論f(χ)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時,/(x)<-l,求”的取值范圍；

111,/,、

(3)設(shè)〃∈N*,證明：廠一+廣，++/?>ln(n+l).

√12+1√22+2yjn2+n

【解析】(1)當(dāng)α=l時J(X)=(X-l)e?,則r(x)=xe',

當(dāng)％<0時當(dāng)x>O時,.盟x)>0,

所以/(x)在(-,O)上單調(diào)遞減,在(0,一)上單調(diào)遞增.

(2)設(shè)〃(X)=xe*e*+1,則MO)=O,

又”(x)=(1+ax)e'"-e",設(shè)g(尤)=(1+ax)em-e?',

貝IJg<x)=(2α+6x)eav-e",

若α>g,則g'(0)=2α-l>0?

故存在蒼w(θ,?+8)√^^Vx∈(O,Xo)^l??g/x)>0,

故g(左)在(0,飛)為增函數(shù),故X∈(0,%)時g(%)>g⑼=。，

故∕z(x)在(O,ΛO)為增函數(shù),故x∈(0,??)時網(wǎng)x)>Mθ)=T,與題設(shè)矛盾.

若O<α4；,則/(x)=(1+or)/-et=ea￥+'n('+ar)-e?

設(shè)S(X)=In(I+x)-X(X>0),故S(X)=『--1=P?vθ,

故S(X)在(0,+∞)上為減函數(shù),故S(X)<S(0)=0,即x>0時In(I+x)<x成立.

2x

所以*+皿1+唱_y<eax+ax_e.r=e--e<0.

故√(x)≤0總成立,即MX)在(0,a)上為減函數(shù)，

所以∕ι(x)<∕z(O)=-L

當(dāng)α≤0時,*<1,3>1,謝3<0,所以〃(％)=0'"-6'+辦產(chǎn)<0,

所以MX)在(0,"o)上為減函數(shù),所以MX)C(O)=-L

綜上α＜〈,α的取值范圍是f-∞.∣

(3)取則Vx>O,總有觀*_e』+i<o成立,

令—*,則f>1,r=e*,x=21nf,

故2"nr</一1即21nf<t—1對任意的r>1恒成立.

t

所以對任意的〃eN*,有2In

整理得In(〃+I)Tnn<——,

7n~+/?

故-1+/]++/1>In2-Inl+ln3-In2++In(〃+I)-Ir1〃

√12+1√22+2Nn2+幾

=In(〃+1),故不等式成立一

=S知識、方法、技能

1.導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)y=7(x)的自變量X在Xo處有增量∕x,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量?y=β,xo+?x)-j(xo),

比值多就叫函數(shù)y=∕(χ)從Xo到χo+∕χ之間的平均變化率,即多Ja°十.上二，二°).如果

當(dāng)∕x-0時,光有極限,我們就說函數(shù)y=∕(x)在點X0處可導(dǎo),并把這個極限叫做Ar)在點網(wǎng)處的

,

導(dǎo)數(shù),記作∕(x0)或y∣x=xo,即/(Xo)=蛔/=蛔'5+丹X'(X0).

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

/(x)=C(C為常數(shù))∕z(χ)=o

/(x)=L(α∈Q*)f(x)=axtt'

f(x)=sin%f(x)-cosx

/(X)=COSX/(X)=-SirLr

/(?x)=ev/(Me*

f(x)-a'?cι>O)/(x)="rln”

/(x)=InX∕ω=^

色=比

f(x)=logαx(α>0,α≠l)

3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

若/(x),g'(x)存在,則有

(i)[∕?(χ)±g(χ)γ=∕α)±g'(χ);

(2)V(x)?g(x)Y=Λx)g(x)+F(x)g<x)；

/(?r)/'(χ)g(χ)-/(χ)g'(?y)

⑶(g(χ)M)?

g(x)[g(χ)T

4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=∕("),"=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yj=yj"j,即y對X的導(dǎo)

數(shù)等于＞?對u的導(dǎo)數(shù)與α對X的導(dǎo)數(shù)的乘積.

5.可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶數(shù)

6.利用導(dǎo)數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)解不等式的基本策略：

⑴給出F'(x)±g<x)可構(gòu)造函數(shù)/(x)±g(x)+c

(2)給出Λ∕,,(Λ)±nf(X)可構(gòu)造函數(shù)x"∕(x)或":)；

(3)給出/'(尤)±/礦(x)可構(gòu)造函數(shù)〃x)eaι或與?

函數(shù)y=∕(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)y(x)的瞬時變化趨勢,其正負(fù)號反映了變化的方向,其大小

IAX)I反映了變化的快慢,l∕7(x)∣越大,曲線在這點處的切線越“陡

7.求函數(shù)在某點處的切線的步驟

(求學(xué)率戶每山曲線在點(g∕(4))處切線的斜率/'(Xo))

(寫，程H用點斜式J-∕(xo尸/'(X。)(x"o)寫出切線方程

倭施d將點斜式變?yōu)橐话闶?

8.求函數(shù)過某點的切線

yo=f(XO)，

求曲線過某點的切線,一般是設(shè)出切點(xojo),解方程組＜Jj-VOz\得切點。0,州),進(jìn)而

--------=f(M)),

IXl一沏J

確定切線方程.

9.求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點('')")),由已知條件整理出關(guān)于f的方程,把切線條數(shù)

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的方程的實根個數(shù)問題.研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點,寫出

兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一條直線.若其中一個函數(shù)為二次函數(shù),也可利用

△=0求解.

10.公切線問題

研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點,寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一

條直線.若其中一個函數(shù)為二次函數(shù),也可利用△=()求解.

?1

ILy=X3在X=O處的切線為X軸,這一點很多學(xué)生有誤解,另外V_,3在X=O處不可導(dǎo)，

但其在X=()有切線,切線為y軸.

12.函數(shù)的單調(diào)性

在某個區(qū)間(。，力內(nèi),如果/(x)>0,那么函數(shù)y=/田在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果/(x)<0,那么函

數(shù)y=Λx)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

13.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)7U)的定義域.

(2)求/(x).

(3)解不等式/(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間.

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

14.在某區(qū)間內(nèi)/(x)>O(f(x)<O)是函數(shù),/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.可導(dǎo)函

數(shù)段)在3,加上是增(減涵數(shù)的充要條件是對VX∈(α力),都有/(x)≥0∕(x)W0)且了(X)在3力)上的

任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

15.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題

⑴定義域優(yōu)先的原則:解決問題的過程只能在定義域內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間.

(2)注意“臨界點”和“間斷點”:在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外,

還要注意在定義域內(nèi)的間斷點.

(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個,這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“U”連接,而只能用“逗號”或

"和”字等隔開.

16.函數(shù)的圖象與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系的判斷方法

(1)對于原函數(shù),要重點考查其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

⑵對于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)考查其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零,在哪個區(qū)間內(nèi)小于零,并考查這些區(qū)

間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.

17.含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般要分類討論,常見的分類討論標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：

①方程/(x)=0是否有根；

②若/(x)=0有根,求出根后判斷其是否在定義域內(nèi)：

③若根在定義域內(nèi)且有兩個,比較根的大小是常見的分類方法.

18.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路

⑴利用集合間的包含關(guān)系處理：y=Ax)在34)上遞增(減)轉(zhuǎn)化為對任意的x∈(",b)都有

/(x)≥0()<0且在(。力)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上/(x)不恒為零,應(yīng)注意此時式子中的等號不能

省略,否則漏解.

(2)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

19.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

①求/(x);

②求方程/(x)=0的根；

③考查/(x)在方程/(x)=0的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號.如果左正右負(fù),那么大X)在這

個根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么加0在這個根處取得極小值.

20.對于極值的認(rèn)識

(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念,是僅對某一點的左右兩側(cè)區(qū)域而言的.極值點是區(qū)間內(nèi)

部的點而不會是端點.

(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)

沒有極值.

(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點是導(dǎo)數(shù)為零的點,但是導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點,即“函數(shù)y=f(x)在

一點的導(dǎo)數(shù)值為零是函數(shù)y=f(x)在這點取極值的必要條件,而非充分條件.”所以已知函數(shù)極

值點或極值求參數(shù),根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解

后必須驗證根的合理性.

(4)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點Xo處取得極值的充要條件是fr(xo)=O,且在點Xo左側(cè)和右側(cè)P(X)的符號不

同.

(5)從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜

率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正.

21.函數(shù)/(x)在(α,b)有意義,則/(x)在(α,b)上有極值O/(x)在(α,6)上不單調(diào);

/(x)在(α,Z?)沒有極值O/(x)在(α,Z?)上單調(diào).

22.函數(shù)的最值

在閉區(qū)間團(tuán)⑸上連續(xù)的函數(shù)./U)在m,勿上必有最大值與最小值.求函數(shù)兀r)在m,勿上的最大值

和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在3/)內(nèi)的極值.

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值Rl)爪b).

⑶將函數(shù)於)的極值與%)岫)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.

23.求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通

過單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

24.含參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出

最值.含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區(qū)間,二是定極值點動區(qū)間,這

兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點的位置關(guān)系來分類討論.

25.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點存在性定理判斷；另

一方面,也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,利用數(shù)形結(jié)合來解決.對于函數(shù)零點個

數(shù)問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最

高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向

趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.但需注意探求與論證之間區(qū)別,論證是充要關(guān)系,要充分

利用零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點個數(shù).

26.零點存在性賦值理論

確定零點是否存在或函數(shù)有幾個零點,作為客觀題常轉(zhuǎn)化為圖象交點問題,作為解答題一般不

提倡利用圖象求解,而是利用函數(shù)單調(diào)性及零點賦值理論.函數(shù)賦值是近年高考的一個熱點，

賦值之所以“熱”，是因為它涉及到函數(shù)領(lǐng)域的方方面面：討論函數(shù)零點的個數(shù)(包括零點

的存在性，唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特

殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等,零點賦值基本模式是已

知?(ɑ)的符號,探求賦值點，"(假定"?<α)使得f(∕n)與f(a)異號,則在(m,a)上存

在零點.賦值點遴選要領(lǐng)：遴選賦值點須做到三個確保：確保參數(shù)能取到它的一切值；

(2)確保賦值點回落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；(3)確保運算可行(1)確保參數(shù)能取到它的一

切值；(2)確保賦值點X。落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；(3)確保運算可行.三個優(yōu)先：(1)優(yōu)先

常數(shù)賦值點；(2)優(yōu)先借助已有極值求賦值點；(3)優(yōu)先簡單運算.

27.隱零點問題

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,常常會把最值問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)的零點問題,若導(dǎo)數(shù)零點存在,但

無法求出,我們可以設(shè)其為與,再利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性確定與所在區(qū)間,最后根據(jù)f'(%)=°,

研究/(x0),我們把這類問題稱為隱零點問題.

28.利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點)的策略

研究方程的根或曲線的交點個數(shù)問題,可構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點個數(shù)問題.可利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、變化趨勢等,從而畫出函數(shù)的大致圖象,然后根據(jù)圖象

判斷函數(shù)的零點個數(shù).

29.三次函數(shù)是高考的一個熱點,有必要了解三次函數(shù)的一些性質(zhì)：

(1)三次函數(shù)的定義域與值域都是R；

⑵三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠O)有極值O導(dǎo)函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c=0的判另!]式

Δ=4b2-12ac>0.

⑶當(dāng)時,①若a>0,則f(x)在R上是增函數(shù);②若a<0,則f(x)在R上是減函數(shù).當(dāng)△>()時,①

若a>0,則f(x)的增區(qū)間為(-8,X])和(X2,+θθ),減區(qū)間為(X∣,X2),f(X∣)為極大值,f(X2)為極小值;②若

a<0,則f(x)的減區(qū)間為(?∞,xi)和(X2,+8),增區(qū)間為(Xl,X2),f(X∣)為極小值,f(X2)為極大值.(如圖所

示)

(4)三次方程/(x)=0實根個數(shù)

若三次函數(shù)/(x)沒有極值,則/(x)=O有1個實根：若/(x)有極值(一定是2個),且2個

極值異號,則3次方程有3個零點,若2個極值同號,則3次方程有1個零點,若1個極值為零，

則3次方程有2個零點.

(5)三次函數(shù)/(x)的圖象是中心對稱曲線,對函數(shù)/(X)進(jìn)行兩次求導(dǎo),滿足/(加)=O的〃？

正是對稱中心函的橫坐標(biāo),三次函數(shù)的對稱中心還有一個很少引起注意的性質(zhì)一過三次曲線

的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條;而過三次曲線上除對稱中心外的任一

點與該三次曲線相切的直線有二條.

30.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟

(1)分析實際問題中各個量之間的關(guān)系,列出實際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實際問題中變量之間

的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Λr).

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”x),解方程XX)=0.

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使/(x)=0的點的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值；若函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,那么該極值點就是最值點.

(4)回歸實際問題作答.

四、新高考地區(qū)最新模擬武題精選

一、單選題

1.(2023屆河北省滄衡八校聯(lián)盟高三上學(xué)期期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為

廣(x),若/'(x)<e",且/(2)=e2+2,則不等式〃InX)>x+2的解集是()

A.(0,2)B.(θ,e2)

C.(e2,+∞)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=/(X)-e'+2,則/(x)=r(x)-e',

因為r(x)<e?所以r(x)—e，<0,βμ√(x)<O,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

不等式/(lnx)>x+2等價于不等式/(InX)-X+2>4,

即g(lnx)>4,因為f(2)=e2+2,

所以g(2)=∕(2)-e?+2=4,

所以g(lnx)>g(2).因為g(x)在R上單調(diào)遞減,

所以InX<2,解得0<x<e2.故選B

2.(2023屆福建省莆田市高三12月月考)若對任意的為，Λ2∈(∕77,+∞),且X<Λ?,都有

fJn2-一三ln%<2,則加的最小值是()

“2一內(nèi)

A.-B.eC.1D.—

ee

【答案】A

【解析】因為0<玉<々，所以由“‘必INnj<2,

X2~X\

可得xlInx2—x2Inx1<Ix2-2x1,xxInx2+2xl<x2InX+2x2,

InX+2InX+2Inx÷2

即一=7—<—!—.所以/*)二——在(九+∞)上是減函數(shù)，

XZ石X

r,.、l-(lnx÷2)lnx+1

JO)=——------=------?—，

XJr

當(dāng)O<x<L時，尸(x)>0,/(χ)遞增，當(dāng)x>1時，f'{x)<0,/*)遞減，

ee

即/(X)的減區(qū)間是d,+8),所以由題意m的最小值是1.故選A.

ee

3.(2023屆山東省德州市高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)F(X)=Siiu的圖像與直線

丘-y-E=0∕>0)恰好有三個公共點，這三個點的橫坐標(biāo)從小到大分別為公，巧，Z則

(Xl-XJtan卜2-毛+，)的值為()

A.-2B.-1C.0D.I

【答案】A

【解析】日―y-?π=O=Mx—π)-y=0,得直線過定點Q,θ),

該點為/(x)=SinX的對稱中心，則A2=兀，%+w=2n.

xx

得％一七=2(兀一鼻)，2~3=π-Λ3.

又恰好有3個交點，則直線"-y-E=0(左>0)為/U)=SinX在X=X1，X=X2處切線，則

,

/(xj=f(?)=%=>COSXl=cosx3=k.

π

又監(jiān)一kκ=sinx3ncos&(??-)=sinx3=>π-x3=-tanx3,

tan?-xU2tanx.“